向量的坐标
两点向量坐标公式
两点向量坐标公式在向量空间中，两点向量是一个非常重要的概念。
它是由两个点在空间中的位置关系所确定的向量。
在日常生活中，两点之间最直接的表示方式就是坐标。
因此，了解两点向量的坐标公式对于研究和应用向量计算具有很大的实际意义。
首先，我们来了解一下两点向量的定义。
两点向量是从一个起点到另一个终点的向量，可以用起点和终点的位置坐标来表示。
在二维平面直角坐标系中，两点向量可以用如下坐标表示：设有两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则两点间的向量可以表示为：AB = (x2 - x1, y2 - y1)这里，AB表示从A点到B点的向量。
接下来，我们来看一下两点向量坐标的计算公式。
在二维平面直角坐标系中，两点间的向量可以表示为：AB = (x2 - x1, y2 - y1)这意味着，我们可以通过计算两点坐标的差值来得到向量的坐标。
同样，在三维空间中，两点间的向量可以表示为：AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)这里，x1、y1、z1和x2、y2、z2分别表示两点在三维空间中的坐标。
为了更好地理解两点向量坐标的计算公式，我们来看一个实例。
假设有一个平面上的两点A(2, 3)和B(5, 7)，我们可以计算出向量AB的坐标：AB = (5 - 2, 7 - 3) = (3, 4)这意味着向量AB的坐标为(3, 4)。
此外，我们还需要了解坐标系的转换。
在实际应用中，有时需要将坐标系从一个基准系转换到另一个基准系。
例如，将平面上的坐标转换为空间中的坐标。
这时，我们需要用到坐标变换矩阵。
常见的坐标变换矩阵有旋转矩阵、平移矩阵等。
总之，了解两点向量坐标公式对于研究和应用向量计算具有重要意义。
通过掌握这个公式，我们可以更好地在各种坐标系中进行向量计算，从而解决实际问题。
向量的坐标表示与运算公式
向量的坐标表示与运算公式向量的坐标表示：1. 在二维平面中，一个向量可以用有序实数对 (x, y) 表示，其中 x 和 y 分别表示向量的横坐标和纵坐标。
2. 在三维空间中，一个向量可以用有序实数三元组 (x, y, z) 表示，其中 x、y 和 z 分别表示向量的三个坐标分量。
向量的运算公式：1. 向量的加法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A + B = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。
- 几何意义：向量加法就是把两个向量的起点放在一起，然后把两个向量终点连起来的向量。
2. 向量的数乘：- 定义：对于任意实数 k，如果向量 A = (x, y)，则 kA = (kx, ky)。
- 几何意义：数乘就是把向量按比例放大或缩小。
3. 向量的减法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A - B = (x₁ - x₂, y₁- y₂)。
- 几何意义：向量减法就是从第一个向量的终点指向第二个向量的终点的向量。
4. 向量的数量积（点乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A · B = xx' + yy'。
- 几何意义：数量积等于两向量的长度之积和它们夹角的余弦值的乘积。
5. 向量的向量积（叉乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A × B 是一个垂直于A 和B 的向量，其大小等于A × B × sin(θ)，其中θ 是 A 和 B 之间的夹角，方向按照右手定则确定。
- 几何意义：向量积表示一个向量相对于另一个向量的旋转。
以上是向量的基本坐标表示和运算公式，是解析几何和线性代数中的基础概念。
向量的坐标表示
向量的坐标表示在数学中，向量是一个具有大小和方向的量。
为了方便计算和分析，我们常常使用向量的坐标表示方法。
向量的坐标表示可以帮助我们更直观地理解和操作向量。
一、二维对于二维空间中的向量，我们可以使用横纵坐标来表示。
假设有一个向量v，它在二维平面上的起点为原点(0,0)，终点为点P(x,y)，那么向量v的坐标表示就是(x,y)。
例如，有一个向量v，它在二维平面上的起点为原点，终点为点P(3,4)。
那么向量v的坐标表示为(3,4)。
二、三维对于三维空间中的向量，我们可以使用三个坐标轴来表示。
假设有一个向量u，它在三维空间中的起点为原点(0,0,0)，终点为点Q(x,y,z)，那么向量u的坐标表示就是(x,y,z)。
例如，有一个向量u，它在三维空间中的起点为原点，终点为点Q(1,2,3)。
那么向量u的坐标表示为(1,2,3)。
三、向量表示方法的应用向量的坐标表示方法在各个领域都有广泛应用。
以下是一些常见应用：1. 几何学：在几何学中，向量的坐标表示方法被用于描述线段、向量的长度和方向等概念。
通过向量的坐标表示，我们可以更方便地计算几何图形的属性。
2. 物理学：在物理学中，向量的坐标表示方法被用于描述物体的位移、速度、加速度等物理量。
通过向量的坐标表示，我们可以更精确地描述物体在空间中的运动状态。
3. 计算机图形学：在计算机图形学中，向量的坐标表示方法被广泛用于表示图像的位置、方向、形状等信息。
通过向量的坐标表示，我们可以实现计算机生成的三维图形和特效效果。
4. 统计学：在统计学中，向量的坐标表示方法被用于表示多维数据和样本。
通过向量的坐标表示，我们可以进行数据分析、模式识别等统计学方法。
总结：通过向量的坐标表示方法，我们可以更直观地理解和操作向量。
无论是二维向量还是三维向量，坐标表示都为我们提供了便利的计算和分析工具。
向量的坐标表示方法在几何学、物理学、计算机图形学和统计学等领域都有重要的应用。
掌握向量的坐标表示方法对于理解和应用相关概念都非常重要。
向量坐标表示方法
向量坐标表示方法一、向量坐标表示的基本概念。
1.1 向量这个概念啊，就像一个小箭头，在数学的世界里到处跑。
那向量坐标表示呢，就是给这个小箭头找个家住。
比如说在平面直角坐标系里，一个向量就可以用两个数来表示它的位置和方向，这就好比给这个到处晃悠的小箭头在坐标系这个大地图里标上了经纬度。
这两个数就是向量的坐标，简单得很，就像给人起名字一样，方便我们找到它、研究它。
1.2 咱打个比方，假如有个向量在平面上，它的起点在原点，终点在某个点上。
那这个终点的坐标就是这个向量的坐标。
这就像是一个人从家里（原点）出发，走到了一个地方，这个地方的地址就是这个人的“坐标”，向量也是这个理儿。
二、向量坐标表示的意义。
2.1 向量坐标表示可不得了，它就像一把神奇的钥匙，打开了很多数学问题的大门。
在几何问题里，以前那些弯弯绕绕的图形关系，通过向量坐标表示，一下子就变得清晰明了。
就像雾里看花的时候，突然一阵风吹来，把雾吹散了，看得真真切切。
比如说判断两个线段是不是平行，以前得靠眼睛看、尺子量，现在用向量坐标表示，算一算就知道了，那叫一个方便快捷，真可谓是“得来全不费工夫”。
2.2 在物理里，向量坐标表示也大有用处。
力啊、速度啊这些都是向量。
有了坐标表示，就像给这些物理量穿上了一件整齐的制服，规规矩矩地站在坐标系里，让我们能够准确地分析它们的关系。
比如一个物体受到多个力的作用，我们把这些力用向量坐标表示出来，然后就可以轻松算出合力的大小和方向，就像把几个调皮的小孩拉到一起，让他们听话一样。
2.3 从计算的角度看，向量坐标表示让向量的运算变得像做加减法一样简单。
加法、减法、数乘这些运算，按照坐标的规则来，那是手到擒来。
就好比按照菜谱做菜，一步一步来，肯定不会出错。
以前觉得向量运算很神秘，现在有了坐标表示，就像揭开了神秘的面纱，原来是这么个通俗易懂的东西。
三、向量坐标表示的实际应用。
3.1 在计算机图形学里，向量坐标表示可是主角。
平面向量的坐标系和基底
平面向量的坐标系和基底平面向量是在平面上有方向和大小的量，一般用箭头表示。
在平面上表示向量时，需要建立坐标系和基底。
坐标系用来描述向量在平面上的位置，基底用来描述向量的方向。
接下来将介绍平面向量的坐标系和基底的相关知识。
1. 坐标系的建立在平面上建立坐标系时，通常选择两条互相垂直的轴作为坐标轴，分别称为x轴和y轴。
x轴和y轴的交点称为坐标原点O。
坐标系中规定x轴正方向为右，y轴正方向为上，这样确定了平面的正交坐标系。
对于任意一点P(x, y)，其坐标可表示为一个有序数对 (x, y)，其中x表示点P在x轴上的投影长度，y表示点P在y轴上的投影长度。
建立了坐标系后，可以通过坐标表示向量的位置。
2. 基底的选择在平面向量中，通常考虑单位向量作为基底。
单位向量是长度为1的向量，通常用i和j表示。
其中，i表示x轴正方向的单位向量，j表示y轴正方向的单位向量。
任意向量都可以表示为基底i和j的线性组合。
例如，一个向量a可以表示为a = xi + yj，其中x和y分别为向量在x轴和y轴上的投影长度。
这样，基底的选择也对向量的表示起到了重要作用。
3. 坐标系变换在平面向量的运算中，有时需要将一个向量在不同坐标系下进行表示。
坐标系变换需要考虑坐标系的旋转和平移。
对于旋转，可以通过矩阵乘法来表示向量相对于坐标系的旋转关系；对于平移，可以通过向量的加法来表示向量相对于坐标原点的平移。
坐标系变换的目的是为了方便向量的运算，使得问题更易解决。
总结平面向量的坐标系和基底是描述向量位置和方向的重要工具。
建立坐标系需要确定坐标轴和原点，选择基底需要考虑单位向量。
坐标系变换可以通过矩阵乘法和向量运算来表示。
通过对坐标系和基底的理解和应用，可以更好地解决平面向量的问题。
平面向量的坐标系和基底是向量分析的基础，对于深入理解向量运算和空间几何具有重要意义。
投影向量的坐标求法
投影向量的坐标求法
1、坐标由点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)投影，向量AB=(x2-x1，y2-y1，z2-z1)，其在XOY平面上的投影=(x2-x1，y2-y1，0)，其在YOZ平面上的投影=(0，0)
2、在数学中，向量(又称欧几里得向量、几何向量、矢量)是指具有大小和方向的量。
3、可以形象地表示为带箭头的线段。
4、箭头指：代表矢量的方向；线段长度：代表向量的大小。
5、向量对应的量叫做量(物理学中的标量)，量(或标量)只有大小，没有方向。
6、向量表示法：字母(如A、B、U、V)用粗体书写，字母顶端加一个小箭头“”。
7、如果给定向量的起点(a)和终点(b)，可以将向量记为AB(并加到顶部)。
8、在空间直角坐标系中，向量也可以成对表示，例如，(2，3)是xOy平面中的一个向量。
关于用坐标求投影向量，坐标向量的投影怎么求的介绍到此结束，希望对大家有所帮助。
向量的坐标运算法则
向量的坐标运算法则向量是数学中的一个重要概念，可以用来描述物体的位置和运动。
在二维平面上，一个向量可以用两个数值（即x和y坐标）表示。
本文将介绍向量的坐标运算法则，包括坐标加法、坐标减法、数乘坐标、坐标点乘和坐标叉乘等方面。
1. 坐标加法定义：已知两个向量a和b，求向量c，使得c=a+b。
公式：c(x,y)=a(x,y)+b(x,y)坐标加法就是将两个向量的对应坐标相加，得到一个新的向量。
例如，如果向量a的坐标为(1，2)，向量b的坐标为(3，4)，则向量c 的坐标为(1+3，2+4)=(4，6)。
2. 坐标减法定义：已知两个向量a和b，求向量c，使得c=a-b。
公式：c(x,y)=a(x,y)-b(x,y)坐标减法是将两个向量的对应坐标相减，得到一个新的向量。
例如，如果向量a的坐标为(5，7)，向量b的坐标为(3，5)，则向量c的坐标为(5-3，7-5)=(2，2)。
3. 数乘坐标定义：已知向量a和实数k，求向量b，使得b=k*a。
公式：b(x,y)=k*a(x,y)数乘坐标是将一个向量的每个坐标乘以一个实数，得到一个新的向量。
例如，如果向量a的坐标为(4，5)，实数k为3，则向量b的坐标为(4*3，5*3)=(12，15)。
4. 坐标点乘定义：已知两个向量a和b，求实数c，使得c=a*b。
公式：c=a*b坐标点乘也称为内积或标量积，它是将两个向量的对应坐标相乘，并求和得到一个实数。
例如，如果向量a的坐标为(3，4)，向量b的坐标为(5，6)，则它们的内积为(3*5+4*6)=57。
内积是一个重要的概念，它可以用来表示两个向量的夹角以及向量的长度。
5. 坐标叉乘定义：已知两个向量a和b，求向量c，使得c=a×b。
公式：c(x,y)=a(x,y)×b(x,y)坐标叉乘也称为外积或向量积，它是通过两个向量的对应坐标之间乘积得到一个新的向量。
例如，如果向量a的坐标为(1，2)，向量b的坐标为(3，4)，则它们的外积为(1*4-2*3)=-2。
向量坐标运算公式
向量坐标运算公式1. 向量坐标：向量坐标是一种以坐标方式表示向量的一种变换方式。
它将空间中每一个点给予它独一无二的坐标用来描述。
它使用平面（二维）或空间（三维）坐标来表示向量，例如平面内的向量可以用(x, y)的形式来表示。
2. 向量坐标的运算：(1）加法：如果有两个具有相同维数的向量，那么它们可以相加，其结果也是一个向量。
假设有两个二维向量A=(x1, y1)和B=(x2, y2)，那么它们的和就是A+B=(x1+x2, y1+y2)。
(2）减法：类似于加法，向量之间也可以作减法，其结果也是一个向量。
假设有两个二维向量A=(x1, y1)和B=(x2, y2)，那么它们的差就是A-B=(x1-x2, y1-y2)。
(3）乘法：向量可以与标量乘法，即A*a，结果也是一个向量，假设A=(x1, y1)，那么A*a=(x1*a, y1*a)。
(4）除法：向量可以与标量相除，即A/a，结果也是一个向量，假设A=(x1, y1)，那么A/a=(x1/a, y1/a)。
(5）数量积：它是两个向量之间运算，正常而言，两个或多个向量可以做数量积。
若A=(x1, y1)，B=(x2, y2)，则A·B=x1*x2+y1*y2。
需要注意的是，此运算的结果是一个实数。
(6）矢量积：它是在三维及以上空间上的向量之间运算，若有A=(x1, y1, z1)，B=(x2, y2, z2)，则A×B=(y1*z2-y2*z1,z1*x2-z2*x1,x1*y2-x2*y1）。
另外，矢量积有一个重要特性，即空间内两个线段对应的向量相乘，其结果是其所在平行四边形的有向面积。
向量及其坐标表示法
3 2 a y a cos 6 4 , 3 2 az a cos 6 4. 3
例6 已知作用于一质点的三 个力为F1 i 2k , F2 2i 3 j 4k , F3 j k , 求其合力F的大小及方向角。
单位向量：模为1的向量.
0
0 2
1
不考虑起点位置的向量.即只考虑向量 自由向量： 的大小和方向，而不论它的起点在何处. 相等向量： 大小相等且方向相同的向量.
a
:
： b
负向量： 大小相等但方向相反的向量. a
: a
a:
向量的加减法
[1] 加法： a b c
{a x bx , a y by , a z bz }; a ( a x )i ( a y ) j ( a z )k
a x , a y , az .
例3 已知a {3,5,1}, b {2,2,2}, c {4,1,3} 求(1)a b ( 2)2a 3b 2c
2 2
2
y
cos
az a x a cos 2 cos 2 cos 2 1
特殊地：单位向量可表示为
0 a a |a |
{cos , cos , cos }.
例4 已知M 1 1,2,3, M 2 4,2,1，求 M 1 M 2的模 及方向余弦。
a AB OB OA
3. 向量运算的坐标表达式 设 a {a x , a y , az }, b {bx , b y , bz },
则 a b (a x bx )i (a y by ) j (az bz )k
向量的坐标与坐标变换
向量的坐标与坐标变换一、概述在数学中，向量是一种有方向和大小的量。
在三维空间中，向量通常由三个有序实数（或复数）组成，称为向量的坐标。
这些坐标可以用来表示一个点到另一个点的位移，并且可以通过坐标变换来实现向量在不同坐标系下的表示与计算。
二、向量的坐标向量的坐标是描述向量在某个坐标系下的位置的数值。
在三维空间中，通常使用笛卡尔坐标系（也称为直角坐标系）来描述向量的位置。
笛卡尔坐标系由三个互相垂直的轴构成，通常表示为x轴、y轴和z轴。
一个向量的坐标通常表示为(x, y, z)，其中x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影，z表示向量在z轴上的投影。
这些坐标用实数表示，可以是正数、负数或零。
三、坐标变换坐标变换是将向量从一个坐标系转换到另一个坐标系的过程。
在三维空间中，常见的坐标变换包括平移、旋转和缩放。
1. 平移平移是将向量沿着某个方向上的位移，在三维空间中，一个向量平移了(dx, dy, dz)后的位置可以表示为(x+dx, y+dy, z+dz)。
2. 旋转旋转是将向量绕某个轴旋转一定角度，旋转后的向量的坐标会发生改变。
在三维空间中，常用的旋转方式有绕x轴旋转、绕y轴旋转和绕z轴旋转。
旋转后的向量的坐标可以通过旋转矩阵的乘法运算得到。
3. 缩放缩放是改变向量的大小，使向量的每个分量乘以一个比例因子。
在三维空间中，一个向量经缩放后的坐标可以表示为(sx*x, sy*y, sz*z)，其中sx、sy和sz分别为缩放因子。
四、向量的应用向量在数学和物理中有广泛的应用。
在几何学中，向量可以用来描述几何图形的位置、位移和方向。
在物理学中，向量可以用来描述物体的速度、加速度和力。
在计算机图形学中，向量可以用来描述三维模型的位置、旋转和缩放。
除了基本的向量运算（如向量的加法、减法和数量乘法），坐标变换是处理向量的重要工具之一。
通过坐标变换，可以将向量从一个坐标系转换到另一个坐标系，使得向量在不同坐标系下的表示与计算变得更加方便和灵活。
向量坐标法
向量坐标法向量坐标法在数学中是一种常用的方法，它可以用来描述空间中的点、直线、平面等几何对象。
在本文中，我们将介绍向量坐标法的基本概念和应用。
向量是一个有方向的量，它可以用一个有序数对表示。
例如，向量(3,4)表示从原点出发，沿着x轴方向走3个单位，再沿着y轴方向走4个单位，最终到达点(3,4)。
向量的长度可以用勾股定理计算，即∥(3,4)∥=√(3²+4²)=5。
向量的加法和减法可以用坐标表示。
例如，向量(1,2)+(3,4)=(4,6)，向量(1,2)-(3,4)=(-2,-2)。
向量的数量积可以用坐标表示，即向量(3,4)与向量(1,2)的数量积为3×1+4×2=11。
二、向量坐标法的应用1.向量的平移向量的平移可以用向量加法表示。
例如，向量(1,2)平移后到达点(4,6)，则平移向量为(3,4)。
即(1,2)+(3,4)=(4,6)。
2.向量的旋转向量的旋转可以用矩阵乘法表示。
例如，向量(1,0)绕原点逆时针旋转30度后变为向量(cos30°,sin30°)=(√3/2,1/2)。
旋转矩阵为：cosθ -sinθsinθ cosθ其中θ为旋转角度。
3.向量的投影向量的投影可以用数量积表示。
例如，向量(3,4)在x轴上的投影为3，y轴上的投影为4。
向量(3,4)在向量(1,0)上的投影为3，即(3,4)·(1,0)/∥(1,0)∥=3。
4.向量的夹角向量的夹角可以用数量积和向量长度表示。
例如，向量(1,2)和向量(3,4)的夹角为cosθ=(1,2)·(3,4)/∥(1,2)∥∥(3,4)∥=11/√21√25=11/35。
因此，θ=arccos(11/35)≈1.23弧度。
5.向量的垂直和平行向量的垂直和平行可以用数量积表示。
例如，向量(1,2)和向量(2,-1)垂直，因为它们的数量积为1×2+2×(-1)=0。
向量的坐标表示及其运算
x
y
7, a的单位向量a0,则a0 (
, x2 y2
) x2 y 2
13
练习： 1)已知点A(3, -1), B(-1, -1),求:① | OA 2AB - OB |；
②若x OA y OB 2AB,求x, y.
2)已知2a b (4, 3), a 2b (3, 4),求a, b.
Ab
位置向量，如图，OA即为 1
a
一个位置向量.
j
O i1
x
1）平面内每一点都有对应的位置向量。
2)平面内任一向量都有唯一的与它相等的位置向量。
思考:与一个位置向量相等的向量有 ______ 个。
3
-2
调用几何画板
4
怎样用i, j表示位置向量OP？
3
P（3，2）
N2
2j
1
j
Oi
2
M
4
3i
பைடு நூலகம்
6
-1
OP OM ON 3i 2 j
a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j ) ( x1 x2 )i ( y1 y2 ) j
a (x1i y1 j ) x1i y1 j
即：( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x1 x2 , y1 y2 ) ( x1 , y1 ) (x1 , y1 )
8.1向量的坐标表示及其运算
一、基本概念
1
引入:
1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来
表示? 2.平面向量是否也有类似的表示呢?
ya
b
A(a,b)
O
a
x
2
1，在平面直角坐标系中，方向与x轴和y轴正方向分别
已知两个坐标求向量坐标
已知两个坐标求向量坐标在数学和物理学中，向量是描述物体移动、力的作用以及空间定位等概念的重要工具。
向量由大小和方向组成，通常表示为箭头。
假设我们已知两个点的坐标，我们可以通过这些点计算出连接它们的向量的坐标。
设两个点的坐标分别为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)。
我们可以通过以下步骤求出向量坐标：1.计算x坐标的差值：Δx = x₂ - x₁2.计算y坐标的差值：Δy = y₂ - y₁3.将Δx和Δy作为向量的坐标表示：向量V = (Δx, Δy)举例说明：假设点A的坐标为A(2, 3)，点B的坐标为B(5, 7)。
我们按照上述步骤计算向量坐标。
1.Δx = 5 - 2 = 32.Δy = 7 - 3 = 43.向量V = (3, 4)因此，点A到点B的向量的坐标为(3, 4)。
可以进一步说明的是，向量的坐标可以表示为一个有序对，其中第一项是x坐标的差值，第二项是y坐标的差值。
向量的坐标可以用来表示向量的位移、速度、加速度等物理量。
使用向量的坐标表示，我们可以方便地进行向量的运算。
例如，向量的相加、相减、数量乘法和点乘等操作都可以通过向量的坐标表示来实现。
在实际问题中，我们经常需要计算两点之间的距离或者两个向量之间的夹角等。
这些计算也可以利用向量的坐标来实现。
综上所述，已知两个坐标，我们可以通过计算坐标的差值来求出连接它们的向量的坐标。
向量的坐标表示可以方便地进行向量运算、计算距离和夹角等。
向量作为数学和物理学中重要的概念，对于解决现实世界中的问题具有重要意义。
向量坐标运算公式总结
向量坐标运算公式总结向量是线性代数中的重要概念，它在几何、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
向量坐标运算是对向量进行加减乘除等运算的过程，掌握这些运算公式对于解决实际问题至关重要。
本文将对向量坐标运算公式进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和运用向量。
1. 向量的表示。
在二维空间中，向量通常用坐标表示，如向量a可以表示为(a1, a2)，其中a1和a2分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
在三维空间中，向量可以表示为(a1, a2, a3)，分别表示在x、y、z轴上的分量。
向量的表示形式可以根据具体问题进行调整，但基本思想是一致的。
2. 向量的加法。
向量的加法是指两个向量相加的运算。
设有向量a=(a1, a2)，向量b=(b1, b2)，则它们的和为a+b=(a1+b1, a2+b2)。
这个运算公式表明，向量的加法是将两个向量的对应分量分别相加得到新的向量。
3. 向量的减法。
向量的减法与加法类似，只是将对应分量相减得到新的向量。
设有向量a=(a1, a2)，向量b=(b1, b2)，则它们的差为a-b=(a1-b1, a2-b2)。
4. 向量的数乘。
向量的数乘是指一个向量与一个数相乘的运算。
设有向量a=(a1, a2)，数k，则它们的数乘为ka=(ka1, ka2)。
这个运算公式表明，向量的数乘是将向量的每个分量分别与数相乘得到新的向量。
5. 向量的数量积。
向量的数量积又称为点积，是指两个向量相乘得到一个数的运算。
设有向量a=(a1, a2)，向量b=(b1, b2)，则它们的数量积为a·b=a1b1+a2b2。
这个运算公式表明，向量的数量积是将两个向量的对应分量分别相乘再相加得到一个数。
6. 向量的向量积。
向量的向量积又称为叉积，是指两个向量相乘得到一个新的向量的运算。
设有向量a=(a1, a2, a3)，向量b=(b1, b2, b3)，则它们的向量积为a×b=(a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1)。
向量坐标运算
向量坐标运算向量是带有方向和大小的物理量，通常用箭头表示，箭头方向表示向量方向，箭头长度表示向量大小。
向量坐标运算是指对向量进行加、减、数乘等运算，并以坐标的形式表示出来。
本文将从向量加法、向量减法、数量积、向量积四个方面来详细介绍向量坐标运算。
一、向量加法向量加法是指把两个向量的各个对应分量相加得到一个新的向量。
用公式表示为A＋B＝C，在二维空间中，向量A（a1，a2）和向量B（b1，b2）的向量加法如下：A +B = (a1 + b1, a2 + b2)在三维空间中，向量A（a1，a2，a3）和向量B（b1，b2，b3）的向量加法如下：A +B = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)向量加法的本质是平移或者说移位。
根据平行四边形法则，向量加法可以表示两个向量合力后的结果。
因为向量有方向，所以向量加法不满足交换律，即A + B ≠ B + A。
但是，满足结合律，即 A + (B + C) = (A + B) + C。
二、向量减法向量减法是指把两个向量的各个对应分量相减得到一个新的向量，用公式表示为A－B＝C。
在二维空间中，向量A（a1，a2）和向量B（b1，b2）的向量减法如下：A -B = (a1 - b1, a2 - b2)在三维空间中，向量A（a1，a2，a3）和向量B（b1，b2，b3）的向量减法如下：A -B = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)同样，向量减法的本质也是平移或者移位。
运用这个方法，可以很方便地解决几何问题。
三、数量积数量积是指两个向量按一定规律相乘得到一个标量的运算。
用公式表示为A·B＝|A||B|Cosθ，在二维坐标系中，向量A（a1，a2）和向量B（b1，b2）的数量积如下：∣A∣×∣B∣×Cosθ=a1b1＋a2b2在三维坐标系中，向量A（a1，a2，a3）和向量B（b1，b2，b3）的数量积如下：∣A∣×∣B∣× Cosθ=a1b1＋a2b2＋a3b3其中，|A|、|B|分别为向量A、B的大小，θ为A、B之间的夹角。
向量及向量的坐标表示
a
B
O
y
x
设
a a xi a y j azk ,
b bxi by j bzk ,
则
a b (a x bx )i (a y by ) j (az bz )k ,
α (αx )i (a y ) j (az )k ,
( 为数量).
3 , - 2 , 3 ,
所以，可得
F 3 2 ( -2) 2 3 2 22 4.7,
cosa 3 22 , cos b -2 22 , cos 3 22 .
查表可得
a 5014 ，
b 11514,
5014,
合力的 因此，合力大小的近似值为 4.7 个单位， 三个方向角为
或 a b
(a x bx , a y by , az bz ),
a a x , a y , az .
例2 解
已知 a = { 2 , - 1 , - 3 }， b = { 2 , 1 , - 4 } ， a + b 2 2 , - 1 1 , - 3 ( -4) a - b 2 - 2 , - 1 - 1 , - ， 终点为 P(x, y, z). 过 a 的终点 P(x, y, z)作三个平面分别垂直于三条坐 标轴， 设垂足依次为 A， B ，C， 则点 A 在 x 轴上 的坐标为 x ，根据向量与数的乘法运算得向量
OA x i , 同理 OB yj , OC zk .
例 1 已知 a AB 是以 A( x1, y1, z1 )为起点， B(x2, y2 , z2)为终点的向量，求向量 a 的坐标表达 式.
解 a AB OB - OA
向量的坐标表示及其运算
1向量的坐标表示及其运算一、知识点（一）向量及其表示：1.平面向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示.对于平面直角坐标系内的任意一个向量a ，我们都能将它正交分解为基本单位向量,i j 的线性组合吗？如下图左.显然，如上图右，我们一定能够以原点O 为起点作一位置向量OA ，使OA a =.于是，可知：在平面直角坐标系内，任意一个向量a 都存在一个与它相等的位置向量OA .由于这一点，我们研究向量的性质就可以通过研究其相应的位置向量来实现.由于任意一个位置向量都可以正交分解为基本单位向量,i j 的线性组合，所以平面内任意的一个向量a 都可以正交分解为基本单位向量,i j 的线性组合.即：a =OA =xi y j +上式中基本单位向量,i j 前面的系数x,y 是与向量a 相等的位置向量OA 的终点A 的坐标.由于基本单位向量,i j 是固定不可变的，为了简便，通常我们将系数x,y 抽取出来，得到有序实数对（x,y ）.可知有序实数对（x,y ）与向量a 的位置向量OA 是一一对应的.因而可用有序实数对（x,y ）表示向量a ，并称（x,y ）为向量a 的坐标，记作：a =（x,y ）[说明]（x,y ）不仅是向量a 的坐标，而且也是与a 相等的位置向量OA 的终点A 的坐标！当将向量a 的起点置于坐标原点时，其终点A 的坐标是唯一的，所以向量a 的坐标也是唯一的.这样，我们就将点与向量、向量与坐标统一起来，使复杂问题简单化.显然，依上面的表示法，我们有：(1,0),(0,1),0(0,0)i j ===.（3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或|AB|.（4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定.（5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.（6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.（7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.2向量坐标的有关概念（1）基本单位向量（2）位置向量（3）向量的正交分解我们称在平面直角坐标系中，方向与x轴和y轴正方向分别相同的的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为,i j，如图，称以原点O为起点的向量为位置向量，如下图左，OA即为一个位置向量.如上图右，设如果点A的坐标为(),x y，它在小x轴，y轴上的投影分别为M，N，那么向量OA能用向量OM与ON来表示吗？（依向量加法的平行四边形法则可得OA OM ON=+），OM与ON 能用基本单位向量,i j来表示吗？（依向量与实数相乘的几何意义可得,OM xi ON y j==），于是可得：OA OM ON xi y j=+=+由上面这个式子，我们可以看到：平面直角坐标系内的任一位置向量OA都能表示成两个相互垂直的基本单位向量,i j的线性组合，这种向量的表示方法我们称为向量的正交分解.向量的坐标运算：设),(),(),(),,(1121212211yxayyxxbayxbyxaλλλλ=±±=±ℜ∈==，，3.向量的摸：22yxa+=（二）向量平行的充要条件：1向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa，即b∥a⇔b=λa（a≠0）.2设a=（x1，y1），b=（x2，y2）则b∥a⇔1221yxyx=练习2：1．已知向量(2,3)a =，(,6)b x =，且//a b ，则x 为_________；2．设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则下列a 与b 共线的充要条件的有（ ） ① 存在一个实数λ，使a =λb 或b =λa ； ②2121y yx x =；③(a +b )//(a －b ) A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个3．设0a 为单位向量，有以下三个命题：（1）若a 为平面内的某个向量，则0a a a =⋅；(2)若a 与0a 平行，则0a a a =⋅；（3）若a 与0a 平行且1a =，则0a a =.上述命题中，其中假命题的序号为 ；问题一：已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k=____ [说明] 三点共线的证明方法总结： 法一：利用向量的模的等量关系法二：若A 、B 、C 三点满足AB AC λ=，则A 、B 、C 三点共线.*法三：若A 、B 、C 三点满足OC mOA nOB =+，当1m n +=时，A 、B 、C 三点共线. 问题二：定比分点公式：设点P 1（),11y x ，),(222y x P ，点P 是直线 21P P 上任意一点，且满足 12PP PP λ=，求点P 的坐标.解：由12PP PP λ= ，可知{)()(2121x x x x y y y y -=--=-λλ，因为λ≠-1， 所以⎩⎨⎧++=++=λλλλ112121x x x y y y ，这就是点P 的坐标.[说明]由定比分点公式可知λ=1 时有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=222121x x x y y y ，此公式叫做线段21P P 的中点公式.例、已知平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为A （),11y x ， ),(22y x B ， ),(33y x C ，G 是△ABC 的重心，求点G 的坐标.解：由于点G 是△ABC 的重心，因此CG 与AB 的交点D 是AB 的中点，于是点D 的坐标是（2,22121y y x x ++）. 设点G 的坐标为),(y x ，且2CG GD =则由定比分点公式得 ⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=21222122213213x x x x y y y y ，整理得 ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=3332121x x x x y y y y 这就是△ABC 的重心G 的坐标.例、)15,12(),0,3(),5,2(21P P P - 且有12PP PP λ=求实数λ的值. 解1： 由已知可求 1(10,10)PP =，2(15,15)PP λλ=-- 故10=λ .（-15），所以定比λ=-32.解2： 因为12PP PP λ=，所以P 1，P ，2P 三点共线，由定比分点公式得12=λλ+-⨯+1)3(2解出实数λ=-32.解3：由图形可知点P 在线段21P P 外，故λ﹤0 ，又21PP P P= 32 ，所以λ=-32 .3.向量的坐标表示的运算我们学过向量的运算，知道向量有加法、减法、实数与向量的乘法等运算，那么，在学习了向量的坐标表示以后，我们怎么用向量的坐标形式来表示这些运算呢？设λ是一个实数，1122(,),(,).a x y b x y == 由于1111(,),a x y x i y j ==+ 2222(,)b x y x i y j ==+ 所以1122(,)(,)a b x y x y ±=±()()1122x i y j x i y j =+±+()()()()()121212121212,x i x i y j y j x x i y y j x x y y =±+±=±+±=±± ()()11111111(,),a x y x i y j x i y j x y λλλλλλλ==+=+=于是有：1122(,)(,)x y x y ±()1212,x x y y =±±()1111(,),x y x y λλλ=[说明]上面第一个式子用语言可表述为：两个向量的和(差)的横坐标等于它们对应的横坐标的和(差)，两个向量的和(差)的纵坐标也等于它们对应的纵坐标的和(差)，可笼统地简称为：两个向量和(差)的坐标等于对应坐标的和(差)；同样，第二个式子用语言可表述为：数与向量的积的横坐标等于数与向量的横坐标的积，数与向量的积的纵坐标等于数与向量的纵坐标的积，也可笼统地简称为：数与向量积的坐标等于数与向量对应坐标的积. 例.如图，平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为()2,1、()3,2-、()1,3-.（1）写出向量,AC BC 的坐标； （2）如果四边形ABCD 是平行四边形，求D 的坐标.解：（1）()()12,313,2AC =---=- ()()()13,322,1BC =----=（2）在上图中，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以DC AB = 设点D 的坐标为(),D D x y ，于是有()1,3D D x y AB ---= 又 ()()32,215,1AB =---=- 故 ()()1,35,1D D x y ---=- 由此可得1531D D x y --=-⎧⎨-=⎩ 解得42D D x y =⎧⎨=⎩因此点D 的坐标为()4,2.1. 如图，写出向量,,a b c 的坐标.2.已知(1,2)a =-，若其终点坐标是(2,1),则其起点的坐标是 ；DC(-1,3)A(2,1)B(-3,2)yxO若其起点坐标是(2,1),则其终点的坐标是 . 3.已知向量()2,3a =-与()1,5b =-，求3a b -及3b a -的坐标.解：1.由题意：()()()()()()2,1,1,1,2,11,121,1(1)1,2a b c ==-=--=---=2.设起点的坐标是(x,y)，则(2,1)-(x,y)=(-1,2),解得：(x,y)=(3,-1)，即起点的坐标是(3,-1)；设终点的坐标是(x,y)，则(x,y)-(2,1) =(-1,2),解得：(x,y)=(1,3)，即起点的坐标是(1,3).3. 3a b -=3()7,14---()()1,57,14-=- 3b a -=()1,5--3()2,3-()7,14=-[另法]：3b a -=()3a b --=()7,14--()7,14=-二、典型例题例1若向量b a ,. 满足.b a b a -=+，则b a 与所成角的大小为多少?例2 下列哪些是向量？哪些是标量？（1）浓度 （2）年龄 （3）风力 （4） 面积 （5）位移 （6）人造卫星速度 （7）向心力 （8）电量 （9）盈利 （10）动量 例3． ∆ABC 中，A （1，1），B （-3，5）， C （8，-3），G 是ABC ∆重心，求GA 的坐标例4. 已知A ()()()()3,2,2,3,1,2,2,1--D C B ()反向的单位向量求与AB 1 ()()的坐标，求点，若E BE 522-= ()3若a BD AC a 求,-=()三点不共线，，求证：C B A 4 ()CD BD AD AC AB ++来表示，以5()()坐标三点共线，求点，，且若P P B A x P 3,6()如图7所示，若点M 分BA 的比λ为3：1，点N 在线段BC 上，且ABC AMNC S S ∆=32，求点N 点的坐标例5若ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，且AB =a ，AD =b ，则BE 等于 A.b +21a B.b －21a C.a +21b D.a －21b 例6.e 1、e 2是不共线的向量，a =e 1+k e 2，b =k e 1+e 2，则a 与b 共线的充要条件是实数k 等于 A.0 B.－1 C.－2 D.±1例7.若a =“向东走8 km ”，b =“向北走8 km ”，则｜a +b |=_______，a +b 的方向是_______.例8 已知向量a 、b 满足|a |=1，|b |=2，|a －b |=2，则|a +b |等于 A.1B.2C.5D.6. 例11若a 、b 是两个不共线的非零向量（t ∈R ）.（1）若a 与b 起点相同，t 为何值时，a 、t b 、31（a +b ）三向量的终点在一直线上?（2）若|a |=|b |且a 与b 夹角为60°，那么t 为何值时，|a －t b |的值最小?例12.若a 、b 为非零向量，且|a +b |=|a |+|b |，则有A.a ∥b 且a 、b 方向相同B.a =bC.a =－bD.以上都不对例13.设四边形ABCD 中，有DC =21AB 且|AD |=|BC |，则这个四边形是 A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形例15.设两向量e 1、e 2满足|e 1|=2，|e 2|=1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1+7e 2与向量e 1+t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围..例16已知向量a =2e 1－3e 2，b =2e 1+3e 2，其中e 1、e 2不共线，向量c =2e 1－9e 2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d =λa +μb 与c 共线?例17.如图所示，D 、E 是△ABC 中AB 、AC 边的中点，M 、N 分别是DE 、BC 的中点，已知BC =a ，BD =b ，试用a 、b 分别表示DE 、CE 和MN .AB CDMN E例18在△ABC 中，AM ∶AB =1∶3，AN ∶AC =1∶4，BN 与CM 交于点E ，AB =a ，AC =b ，用a 、b 表示AE .A BCMNE1.若平面向量b 与向量a =（1，－2）的夹角是180°，且|b |=35，则b 等于 A.（－3，6） B.（3，－6）C.（6，－3）D.（－6，3） 2.已知向量a =（3，4），b =（sin α，cos α），且a ∥b ，则tan α等于A.43 B.－43 C.34D.－343已知平面向量a =（3，1），b =（x ，－3）且a ⊥b ，则x 等于 A.3 B.1 C.－1 D.－31．如图，已知四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、AB 与CD 的中点，则EF 等于（ ）A ．BC AD +B ．DC AB +C ．DH AG +D ．GH BG +2．下列说法正确的是 （ ） A ．方向相同或相反的向量是平行向量 B ．零向量的长度为0C ．长度相等的向量叫相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于（ ）A ．OB ．MD 4C ．MF 4D ．ME 4 4．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是（ ）A ．||||||b a b a -=-B ．||||b a b a -=+C ．||||||b a b a -=+D ．||||||b a b a +=+5．在 ABCD 中，设d BD c AC b AD a AB ====,,,，则下列等式中不正确的是（ ） A ．c b a =+ B ．d b a =-C ．d a b =-D ．b a c =- 6．下列各量中是向量的是（ ） A ．质量 B ．距离C ．速度D ．电流强度7．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若OC e DC e BC 则213,5=== （ ）A ．)35(2121e e + B ．)35(2121e e - C ．)53(2112e e - D ．)35(2112e e - 8．若),,(,,,R o b a b a ∈=+μλμλ不共线则（ ）A ．o b o a ==,B ．o o a ==μ,C ．o b o ==,λD ．o o ==μλ, 9．化简)]24()82(21[31b a b a --+的结果是（ ）A ．b a -2B ．a b -2C ．a b -D ．b a -10．下列三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底 ②一个平面内有无数对不共线向量可作为该平面的所有向量的基底 ③零向量不可作为基底中的向量．其中正确的是 （ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 11．若2121,,PP P P b OP a OP λ===，则OP 等于 （ ）A ．b a λ+B ．b a +λC ．b a )1(λλ-+D ．b a λλλ+++111 12．对于菱形ABCD ，给出下列各式： ①BC AB =②||||BC AB =③||||BC AD CD AB +=-④||4||||22AB BD AC =+ 2其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上）13．21,e e 不共线，当k= 时，2121,e k e b e e k a +=+=共线. 14．非零向量||||||,b a b a b a +==满足，则b a ,的夹角为 . 15．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 .16．已知c b a ,,的模分别为1、2、3，则||c b a ++的最大值为 .三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分）17．设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=，若A 、 B 、D 三点共线，求k 的值.19．已知向量,,32,32212121e e e e b e e a 与其中+=-=不共线向量,9221e e c -=，问是否存在这样的实数,,μλ使向量c b a d 与μλ+=共线？20．如图，在△ABC 中，P 是BC 边上的任一点，求证：存在,1)1,0(,2121=+∈λλλλ且使AC AB AP 21λλ+=.1.已知(2,0),(1,3),a b ==-则a b +与a b -的坐标分别为( ) (A)(3,3),(3,-3) (B)(3,3),(1,-3) (C)(1,3),(3,3) (D)(1,3),(3,-3)2.若点A 坐标为(2,-1),AB 的坐标为(4,6),则B 点的坐标为( ) (A)(-2,-7) (B)(2,7) (C)(6,5) (D)(-2,5)3.已知(,4),(3,2).a x b y ==-若1,2a b =则x= ,y= . 4.已知AB (1)i x j +-=(2-x)，且AB 的坐标所表示的点在第四象限，则x 的取值范围是.5.已知A(5,-2),B(2,-5),C(7,4),D(4,1),求证：AB=CD .6.已知(1,2),(3,1),(11,7),a b c =-=-=-并且.c xa yb =+求x,y 的值.7.已知22(,2),(5,)a m n b mn =+=，且.a b =求,.m n 的值.。
向量的运算坐标公式
向量的运算坐标公式向量这玩意儿，在数学里可是个相当重要的角色。
就拿我之前遇到的一件事来说吧，有一次我在公园里散步，看到一群小朋友在玩飞盘。
一个小朋友用力把飞盘扔出去，飞盘在空中划过的轨迹，其实就可以看作是一个向量。
咱们先来说说向量的加法运算坐标公式。
假设存在两个向量 a =(x₁, y₁) 和 b = (x₂, y₂) ，那么它们相加的结果向量 c = (x₁ + x₂, y₁+ y₂) 。
这就好比你从 A 点出发，走了 (x₁, y₁) 这么一段距离，然后又从当前位置接着走了 (x₂, y₂) 这么一段距离，最终到达的位置就是(x₁ + x₂, y₁ + y₂) 。
再说说向量的减法运算坐标公式。
还是刚才那两个向量 a = (x₁, y₁) 和 b = (x₂, y₂) ，它们相减得到的向量 d = (x₁ - x₂, y₁ - y₂) 。
这就好像你先从 A 点走到了 B 点，形成向量 a ，然后要倒着走回去，回到起点，走的这段距离就是向量 -a ，而这个 -a 其实就等于 ( -x₁, -y₁) 。
向量的数乘运算坐标公式也挺有意思。
如果有个向量 a = (x, y) ，一个实数 k ，那么数乘后的向量 b = (kx, ky) 。
比如说，一辆车以一定的速度向量行驶，速度乘以行驶的时间，就能算出这段时间车行驶的位移向量。
在实际生活中，向量的运算坐标公式用处可大了。
就像建筑工人盖房子，要确定建筑物各个部分的位置和方向，就得用到向量运算。
还有飞机在空中飞行，导航系统也得依靠向量的知识来确定飞行路线。
再比如说，我们在电脑游戏里控制角色移动，游戏程序也是通过计算向量来确定角色的位置变化的。
学习向量的运算坐标公式，刚开始可能会觉得有点头疼，但只要多做几道题，多联系实际想一想，就会发现它其实并没有那么难。
就像我之前提到的那群小朋友扔飞盘，要是能从数学的角度去思考飞盘的运动轨迹，是不是感觉数学也变得有趣起来了呢？总之，向量的运算坐标公式是数学中非常实用的工具，掌握了它，能帮助我们解决很多实际问题，也能让我们更好地理解这个丰富多彩的世界。
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【课题】7.2 平面向量的坐标表示
【教学目标】
知识目标：
（1）了解向量坐标的概念，了解向量加法、减法及数乘向量运算的坐标表示； （2）了解两个向量平行的充要条件的坐标形式. 能力目标：
培养学生应用向量知识解决问题的能力.
【教学重点】
向量线性运算的坐标表示及运算法则.
【教学难点】
向量的坐标的概念.采用数形结合的方法进行教学是突破难点的关键.
【教学设计】
向量只有“模”与“方向”两个要素，为了研究方便，我们首先将向量的起点放置在坐标原点（一般称为位置向量）．设x 轴的单位向量为i ，轴的单位向量为j ．如果点A 的坐标为（x ，y ）,则
OA x y =+
i j ， 将有序实数对（x ，y ）叫做向量OA 的坐标．记作OA
=（x ，y ）．
例1是关于“向量坐标概念”的知识巩固性例题．要强调此时起点的位置．让学生认识到，当向量的起点为坐标原点时，其终点的坐标就是向量的坐标．例2是关于“向量线性运算的坐标表示”的知识巩固性例题．要强调与公式的对应．
在研究起点为坐标原点的向量的基础上，利用向量加法的三角形法则，介绍起点在任意位置的向量的坐标表示，向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起点的向量的坐标，由此得到公式（7.8）.数值上可以简单记为：终点的坐标减去起点的坐标．例3是关于“起点在任意位置的向量的坐标表示”的巩固性例题．要强调“终点的坐标减去起点的坐标”．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
【教师教学后记】。