平面向量的坐标表示(使用)

合集下载

平面向量的坐标表示

平面向量的坐标表示平面向量是二维空间中具有大小和方向的量，可以用坐标表示。

平面向量的坐标表示方式有两种：位置向量和方向向量。

一、位置向量的坐标表示位置向量是指从原点O到平面上的一个点P所形成的向量。

位置向量的坐标表示方式为(r, θ)，其中r表示向量的大小，θ表示向量与x轴的夹角。

当点P(x, y)在第一象限时，r为点P到原点O的距离，θ为点P与正x轴的夹角。

当点P(x, y)在第二象限时，r为点P到原点O的距离，θ为点P与正x轴的夹角的负值。

当点P(x, y)在第三象限时，r为点P到原点O的距离，θ为点P与正x轴的夹角的180°减去角度。

当点P(x, y)在第四象限时，r为点P到原点O的距离，θ为点P与正x轴的夹角的正值。

二、方向向量的坐标表示方向向量是指没有起点的向量，仅有大小和方向的定义。

方向向量的坐标表示方式为(a, b)，其中a表示向量在x轴方向上的分量，b表示向量在y轴方向上的分量。

通过给定a和b的数值，可以确定一个方向向量。

三、坐标表示的计算方法已知两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，求向量AB的坐标表示。

首先，根据两点坐标求出向量的坐标差：Δx = x2 - x1，Δy = y2 - y1。

然后，根据坐标差得到向量的坐标表示：AB = (Δx, Δy)。

四、坐标表示的应用1. 向量的加法和减法：若有向量A(a, b)和向量B(c, d)，则向量A加向量B的结果为A+B = (a+c, b+d)；若有向量A(a, b)和向量B(c, d)，则向量A减去向量B的结果为A-B = (a-c, b-d)。

2. 向量的数量积：若有向量A(a, b)和向量B(c, d)，则向量A和向量B的数量积为A·B = ac + bd。

3. 向量的模长：若有向量A(a, b)，则向量A的模长为|A| = √(a² + b²)。

五、结论通过坐标表示，可以方便地进行向量的计算和运算。

平面向量的坐标表示与方向角

平面向量的坐标表示与方向角平面向量是平面上的有向线段，既有大小又有方向。

为了方便表示和计算，我们可以使用坐标表示和方向角来描述平面向量。

一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，我们可以使用二维坐标来表示平面上的点。

同样地，我们可以使用两个实数来表示一个平面向量。

设平面向量为AB，A点的坐标为(x₁, y₁)，B点的坐标为(x₂, y₂)。

则向量AB的坐标表示为(Δx, Δy)，其中Δx = x₂ - x₁，Δy = y₂ - y₁。

举例说明：若A(1, 2)和B(4, 5)是平面上的两个点，可以计算得到向量AB的坐标表示为(3, 3)。

二、平面向量的方向角平面向量的方向可以用方向角来表示。

方向角是从正 x 轴逆时针旋转到向量所在直线的角度。

设平面向量为AB，与正 x 轴的夹角为θ（0 <= θ < 2π）。

则向量AB的极坐标表示为(│AB│, θ)，其中│AB│表示向量AB的长度。

计算方向角θ的方法如下：1. 若向量AB的坐标表示为(Δx, Δy)，则有tanθ = Δy/Δx。

- 当Δx > 0时，θ = arctan(Δy/Δx)。

- 当Δx = 0且Δy > 0时，θ = π/2。

- 当Δx = 0且Δy < 0时，θ = 3π/2。

- 当Δx < 0时，θ = arctan(Δy/Δx) + π。

2. 根据θ的值的范围，进行调整使其满足0 <= θ < 2π。

举例说明：若向量AB的坐标表示为(3, 3)，则有tanθ = 3/3 = 1，所以θ = π/4。

由于0 <= π/4 < 2π，θ = π/4就是向量AB的方向角。

三、使用坐标表示和方向角求解平面向量的运算使用坐标表示和方向角可以方便地进行平面向量的运算，包括加减法和数量乘法。

1. 加减法：设向量AB的坐标表示为(Δx₁, Δy₁)，向量CD的坐标表示为(Δx₂, Δy₂)。

平面向量的坐标表示与运算学习平面向量的坐标表示及其运算法则

平面向量的坐标表示与运算学习平面向量的坐标表示及其运算法则平面向量的坐标表示与运算平面向量是解析几何学中的重要概念，它可以通过坐标表示和进行各种运算。

本文将介绍平面向量的坐标表示及其运算法则。

一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，一个向量可以用有序实数对（x, y）表示，其中x代表向量在x轴上的投影长度，y代表向量在y轴上的投影长度。

这个有序实数对称为向量的坐标表示。

例如，对于平面上的向量AB，若A点的坐标为（x₁, y₁），B点的坐标为（x₂, y₂），则向量AB的坐标表示为（x₂ - x₁, y₂ - y₁）。

二、平面向量的运算法则1. 加法：向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

平面向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相接，然后将它们的终点连线，新的向量就是连接相接点与连接终点的线段的向量。

对于向量AB和向量CD，它们的和向量为向量AC。

和向量的坐标表示为（x₂ - x₁ + x₄ - x₃, y₂ - y₁ + y₄ - y₃）。

2. 数乘：向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量。

数乘改变了向量的大小，但不改变其方向。

对于向量AB和实数k，向量kAB的坐标表示为（k(x₂ - x₁), k(y₂- y₁)）。

3. 减法：向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

向量的减法可以通过向量的加法和数乘来表示。

对于向量AB和向量CD，它们的差向量为向量AD。

差向量的坐标表示为（x₂ - x₁ - x₄ + x₃, y₂ - y₁ - y₄ + y₃）。

4. 模长：向量的模长表示了向量的大小。

在平面直角坐标系中，向量（x, y）的模长表示为√(x² + y²)。

三、平面向量的运算实例例1：已知向量A(3, 4)，向量B(5, 2)，求向量A + 向量B 和向量A - 向量B的坐标表示。

解：向量A + 向量B的坐标表示为（3 + 5, 4 + 2），即(8, 6)。

平面向量的坐标表示

平面向量的坐标表示平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。

为了表示和计算平面向量，我们常常使用坐标表示法。

本文将介绍平面向量的坐标表示方法，以及如何进行向量的加法、减法和数量乘法运算。

1. 坐标表示法简介在平面直角坐标系中，我们可以用有序数对表示一个点的坐标。

同样地，我们也可以用有序数对$(x,y)$来表示一个平面向量。

其中，$x$表示向量在$x$轴上的分量，$y$表示向量在$y$轴上的分量。

2. 向量的加法对于平面向量$\mathbf{a}=(x_1,y_1)$和$\mathbf{b}=(x_2,y_2)$，它们的和可以通过分别将它们的$x$分量相加，$y$分量相加得到：$$\mathbf{a}+\mathbf{b}=(x_1+x_2, y_1+y_2)$$3. 向量的减法平面向量的减法可以通过将被减向量取负后与减向量相加得到。

对于向量$\mathbf{a}=(x_1,y_1)$和$\mathbf{b}=(x_2,y_2)$，它们的差可以表示为：$$\mathbf{a}-\mathbf{b}=\mathbf{a}+(-\mathbf{b})=(x_1-x_2, y_1-y_2)$$4. 向量的数量乘法向量的数量乘法即将向量的每个分量都乘以一个实数。

对于平面向量$\mathbf{a}=(x,y)$和实数$k$，其数量乘积为：$$k\mathbf{a}=(kx, ky)$$5. 向量的坐标表示在几何上的意义通过坐标表示法，我们可以将平面向量转化为有向线段。

以原点$(0,0)$为起点，平面向量$(x,y)$的终点坐标为$(x,y)$。

直观地，这个有向线段从原点指向$(x,y)$，表示向量的大小和方向。

6. 向量的线性组合由于向量的加法和数量乘法运算，我们可以进行向量的线性组合。

给定平面向量$\mathbf{a}=(x_1,y_1)$和$\mathbf{b}=(x_2,y_2)$以及实数$k_1$和$k_2$，它们的线性组合可以表示为：$$k_1\mathbf{a}+k_2\mathbf{b}=(k_1x_1+k_2x_2,k_1y_1+k_2y_2)$$线性组合的几何意义是将$k_1$倍的$\mathbf{a}$和$k_2$倍的$\mathbf{b}$相加得到一个新的向量。

平面向量的坐标表示与向量模长

平面向量的坐标表示与向量模长在平面几何中，向量是一种具有方向和大小的物理量，通常用箭头表示。

为了描述和计算向量的性质和运算，常常使用它的坐标表示和模长。

本文将探讨平面向量的坐标表示以及如何计算其模长。

一、平面向量的坐标表示平面向量通常由两个不平行的线段表示，其中一个线段表示向量的大小和方向，另一个线段表示向量的方向。

为了方便计算和描述，我们可以使用坐标表示来表示平面向量。

平面坐标系是一个由两条彼此垂直的坐标轴组成的坐标系，通常称为x轴和y轴。

以原点O为起点，x轴和y轴正方向分别为正向和负向。

在平面坐标系中，每个点都可以表示为一个有序对(x, y)，其中x表示点到y轴的水平距离，y表示点到x轴的垂直距离。

对于平面向量AB，可以使用一个有序对来表示其坐标表示，即(ABx, ABy)，其中ABx表示向量AB在x轴上的投影长度，ABy表示向量AB在y轴上的投影长度。

二、向量的模长向量的模长表示向量的大小，也称为向量的长度。

在平面向量中，向量的模长通常由向量的坐标表示计算而得。

设平面向量AB的坐标表示为(ABx, ABy)，那么向量AB的模长记作|AB|，可以通过勾股定理得到如下公式：|AB| = √(ABx^2 + ABy^2)其中^2表示平方运算，√表示开方运算。

三、示例与应用为了更好地理解平面向量的坐标表示和模长，我们来看一个具体的示例。

示例：已知平面向量AC的坐标表示为(3, 4)，求向量AC的模长。

解析：根据上述公式，我们可以计算向量AC的模长：|AC| = √(3^2 + 4^2)= √(9 + 16)= √25= 5因此，向量AC的模长为5。

平面向量的坐标表示和模长在几何学和物理学中有着广泛的应用。

它们可以用于描述力和力矩等物理量，计算线段的长度和方向等几何性质。

同时，在向量运算和向量计算中，坐标表示和模长也是必不可少的工具。

结论平面向量的坐标表示和模长是描述和计算向量性质的重要工具。

通过使用坐标表示，我们可以准确地表示向量的方向和大小；通过计算模长，我们可以得到向量的大小。

平面向量的坐标表示和向量方程

平面向量的坐标表示和向量方程平面向量是在平面上可平移的有向线段，用来表示平面上的大小和方向。

在解决平面向量问题时，我们常常需要使用坐标来表示向量和向量方程。

一、平面向量的坐标表示一般情况下，我们使用平面直角坐标系来表示平面向量。

在二维平面直角坐标系中，一个平面向量可以由其水平和垂直方向的分量表示。

假设有一个向量AB，它的起点为A(x1, y1)、终点为B(x2, y2)，则向量AB的表示形式为：AB = (x2 - x1, y2 - y1)这里，x2 - x1表示水平方向的分量，y2 - y1表示垂直方向的分量。

这种表示方式也被称为坐标表示。

二、向量方程向量方程是通过向量的起点和终点表示的方程，通常用于描述平面上的直线、曲线等几何问题。

对于平面向量的方程，一般形式如下：r = a + λb其中，r是位于平面上的任意一点的位置向量，a是向量的起点位置向量，b是平面上的一个固定向量，λ是实数。

解析上述向量方程，可以得到点P(x, y)的坐标表示：OP = a + λb这里，P(x, y)是位于平面上的任意一点，O是坐标系的原点。

a是向量的起点位置向量，b是平面上的一个固定向量，λ是实数。

通过这种向量方程的表示方法，我们可以方便地描述平面上的直线、曲线以及其他几何形状。

三、平面向量的基本运算1. 向量加法：对于平面上的两个向量a(x1, y1)和b(x2, y2)，它们的和记作a + b，其坐标表示为(x1 + x2, y1 + y2)。

2. 向量减法：对于平面上的两个向量a(x1, y1)和b(x2, y2)，它们的差记作a - b，其坐标表示为(x1 - x2, y1 - y2)。

3. 数乘运算：对于平面上的一个向量a(x, y)和一个实数k，它们的数乘记作k * a，其坐标表示为(kx, ky)。

通过以上基本运算，我们可以对平面向量进行加法、减法和数乘运算，从而解决各种与平面向量相关的问题。

四、平面向量的应用平面向量在几何学和物理学中有广泛的应用，尤其是在力学、动力学和几何形状的描述中。

平面向量的基本定理及坐标表示

平面向量的基本定理及坐标表示【考点梳理】1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，该平面内的任一向量a 可表示成a ＝x i ＋y j ，由于a 与数对(x ，y )是一一对应的，把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中a 在x 轴上的坐标是x ，a 在y 轴上的坐标是y .3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 【考点突破】考点一、平面向量基本定理及其应用【例1】(1)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A ．AD →B ．12AD →C ．12BC →D ．BC →(2)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.[答案] (1) A (2)43[解析] (1)如图所示，EB →＋FC →＝(EC →－BC →)＋(FB →＋BC →) ＝EC →＋FB →＝12AC →＋12AB →＝12(AC →＋AB →)＝AD →.(2)选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μAB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μAD →，于是得⎩⎪⎨⎪⎧12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43. 【类题通法】1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.【对点训练】1．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝( )A ．12AC →＋13AB → B ．12AC →＋16AB → C ．16AC →＋12AB →D ．16AC →＋32AB →[答案] C[解析] 如图，∵EC →＝2AE →，∴EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →.2．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ， E 为线段AO 的中点.若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________.[答案] 34[解析] 由题意可得BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋14BD →，由平面向量基本定理可得λ＝12，μ＝14，所以λ＋μ＝34.考点二、平面向量的坐标运算【例2】(1)向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1，5)，a －b ＝(5，－3)，则b 为( ) A ．(－3，4) B ．(3，4) C ．(3，－4)D ．(－3，－4)(2)向量a ，b ，c 在正方形网格中，如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] (1)A (2)D[解析] (1)由a ＋b ＝(－1，5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1，5)－(5，－3)＝(－6，8)， ∴b ＝12(－6，8)＝(－3，4)，故选A.(2)以向量a ，b 的交点为坐标原点，建立如图直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，A (1，－1)，B (6，2)，C (5，－1)，所以a ＝(－1，1)，b ＝(6，2)，c ＝(－1，－3)，∵c ＝λa ＋μb ，∴⎩⎨⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解之得λ＝－2且μ＝－12，因此，λμ＝－2－12＝4，故选D.【类题通法】1.巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.2.向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题.【对点训练】1．已知点A (－1，5)和向量a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为( ) A ．(7，4) B ．(7，14) C ．(5，4) D ．(5，14)[答案] D[解析] 设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5). 由AB →＝3a ，得⎩⎨⎧x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝14.2．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2).若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________.[答案] －3[解析] 由向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，得m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，则⎩⎨⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝－3.考点三、平面向量共线的坐标表示【例3】(1)已知向量a ＝(－1，1)，b ＝(3，m )，若a ∥(a ＋b )，则m ＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－3D ．3(2) 已知A (2，3)，B (4，－3)，点P 在线段AB 的延长线上，且|AP |＝32|BP |，则点P 的坐标为________.[答案] (1)C (2) (8，－15)[解析] (1)由题意可知a ＋b ＝(2,1＋m )， ∵a ∥(a ＋b )，∴2＋(m ＋1)＝0⇒m ＝－3.(2) 设P (x ，y )，由点P 在线段AB 的延长线上，则AP →＝32BP →，得(x －2，y －3)＝32(x －4，y ＋3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝32（x －4），y －3＝32（y ＋3）.解得⎩⎨⎧x ＝8，y ＝－15.所以点P 的坐标为(8，－15). 【类题通法】1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；(2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb .2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.【对点训练】1．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________. [答案] －54[解析] AB →＝(a －1，3)，AC →＝(－3，4)，根据题意AB →∥AC →， ∴4(a －1)－3×(－3)＝0，即4a ＝－5，∴a ＝－54.2．已知点A (－1，2)，B (2，8)，AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，则CD →的坐标为________. [答案] (－2，－4)[解析] 设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2). 由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3，6)， DA →＝(－1－x 2，2－y 2)，BA →＝(－3，－6). 因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有⎩⎨⎧x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎨⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝4和⎩⎨⎧x 2＝－2，y 2＝0.所以点C ，D 的坐标分别为(0，4)，(－2，0)，从而CD →＝(－2，－4).。

平面向量的坐标表示和应用

平面向量的坐标表示和应用平面向量是我们在平面上研究几何和物理问题时经常遇到的重要概念。

平面向量有多种表示方法，其中坐标表示是最常用和最方便的一种。

本文将介绍平面向量的坐标表示方法以及其在实际问题中的应用。

一、平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示是指使用带方向的有序数对来表示一个向量。

在二维平面中，一个向量可以表示为矩阵形式：AB = (x, y)其中，(x, y)表示向量AB在x轴和y轴上的投影长度。

x表示向量在x轴上的投影长度，y表示向量在y轴上的投影长度。

这种表示方法相对简洁明了，方便计算和应用。

在直角坐标系中，我们可以利用两点的坐标来确定一个向量的坐标表示。

考虑两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，可以得到向量AB的坐标表示：AB = (x2 - x1, y2 - y1)这里的(x2 - x1)表示向量在x轴上的投影长度，(y2 - y1)表示向量在y轴上的投影长度。

二、平面向量的应用平面向量的坐标表示不仅仅是一种数学工具，也是解决实际问题的重要手段。

下面我们将介绍平面向量坐标表示的一些具体应用。

1. 位移问题平面向量的坐标表示可以用于描述位移问题。

假设一个物体在平面上从点A(x1, y1)移动到点B(x2, y2)，我们可以用向量表示物体的位移：AB = (x2 - x1, y2 - y1)这个向量就表示了物体从A点到B点的位移情况。

通过计算向量的模长和方向，我们可以得到具体的位移距离和方向角度。

2. 力的合成平面向量的坐标表示还可以用于描述力的合成问题。

假设一个物体受到两个力F1和F2的作用，我们可以用向量表示这两个力的合力：F = F1 + F2通过将两个力的向量相加，我们可以得到其合力的坐标表示。

这个合力向量可以帮助我们确定物体受力的大小和方向。

3. 速度和加速度问题平面向量的坐标表示在描述速度和加速度问题时也非常有用。

假设一个物体在平面上沿着某个路径运动，我们可以用向量表示物体的速度和加速度：速度 V = (v1, v2)加速度 A = (a1, a2)其中v1和v2表示速度在x轴和y轴上的分量，a1和a2表示加速度在x轴和y轴上的分量。

平面向量的表示和坐标

平面向量的表示和坐标在数学中，平面向量是描述平面上有大小和方向的量。

平面向量可以通过各种方式进行表示和描述，其中最常用的是用坐标表示法。

一、平面向量的定义和性质平面向量是由两个有序实数（也可以是复数）组成的有序对。

在平面直角坐标系中，平面向量通常用有向线段表示，起点为原点，终点为平面上的一点。

平面向量的性质如下：1. 平面向量的大小等于其模长，记作 |AB| 或 ||AB||，表示从 A 点到B 点的距离。

2. 平面向量的方向由无穷多个与其大小相等的向量共同确定。

3. 平面向量可以通过平移、缩放、反向等运算进行操作。

二、平面向量的坐标表示法平面向量的坐标表示法是一种常用的描述方法，它使用有序实数对（x，y）表示一个向量。

例如，向量 AB 可以表示为 (x1, y1) 到 (x2, y2) 的有序实数对表示。

三、平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算包括加法、减法、数乘等操作。

1. 加法：设有向线段 AB 和有向线段 CD，分别表示为 AB = (x1, y1) 和 CD = (x2, y2)。

则它们的和为 AB+ CD = (x1 + x2, y1 + y2)。

2. 减法：设有向线段 AB 和有向线段 CD，分别表示为 AB = (x1, y1) 和 CD = (x2, y2)。

则它们的差为 AB- CD = (x1 - x2, y1 - y2)。

3. 数乘：设有向线段 AB 表示为 AB = (x, y)，常数 k 为实数。

则kAB = (kx, ky)。

四、平面向量的模长和方向角向量的模长表示向量的大小，可以使用勾股定理计算。

设向量 AB = (x, y)，则其模长|AB| = √(x^2 + y^2)。

向量的方向角表示向量与 x 轴正向的夹角。

设向量 AB 的方向角为α，则有：α = arctan(y/x) (x>0)α = arctan(y/x) + π (x<0, y>=0)α = arctan(y/x) - π (x<0, y<0)α = π/2 (x=0, y>0)α = -π/2 (x=0, y<0)注：arctan 表示反正切函数。

平面向量的坐标表示与运算

平面向量的坐标表示与运算平面向量是数学中的一个重要概念，它在几何学和向量代数的研究中具有广泛的应用。

在平面直角坐标系中，平面向量可以通过其坐标表示和进行运算。

本文将详细介绍平面向量的坐标表示和运算方法。

一、平面向量的坐标表示平面向量可以用有序数对表示，其中第一个数表示向量在x轴上的分量，第二个数表示向量在y轴上的分量。

例如，向量AB可以表示为(3, 4)，其中向量的起点为A，终点为B，x轴上的分量为3，y轴上的分量为4。

二、平面向量的运算1. 向量的加法与减法向量的加法可以通过分别对应分量进行加法运算得到。

例如，向量A(3, 4)与向量B(1, 2)的和向量C可以表示为C(3+1, 4+2)，即C(4, 6)。

类似地，向量的减法可以通过分别对应分量进行减法运算得到。

2. 向量的数量积两个向量的数量积，也称为点积或内积，可以表示为两个向量的对应分量乘积的和。

例如，向量A(3, 4)与向量B(1, 2)的数量积可以表示为3×1 + 4×2 = 11。

数量积具有一些重要的性质，如交换律和分配律，可以用于向量的运算。

3. 向量的数量积与夹角两个向量的数量积与它们之间的夹角有一定的关系。

根据数量积的定义，两个向量的数量积等于它们的模的乘积与它们之间夹角的余弦值的乘积。

即A·B = |A| |B| cosθ，其中A·B表示向量A与向量B的数量积，|A|和|B|分别表示向量A和B的模，θ表示A与B之间的夹角。

4. 向量的数量积与平行垂直关系如果两个非零向量的数量积为0，则它们是垂直的。

如果两个非零向量的数量积非零，则可以通过比较它们的数量积的正负来判断其是否平行。

如果数量积为正数，则它们是同向的；如果数量积为负数，则它们是反向的。

5. 向量的向量积向量的向量积，也称为叉积或外积，是一种特殊的向量运算。

向量的向量积满足“左手定则”，结果的方向垂直于原来两个向量所在的平面，并符合右手法则。

平面向量的坐标表示与坐标变换

平面向量的坐标表示与坐标变换在平面几何中，向量是一个具有方向和大小的量，它常常被表示为有序数对（x，y），其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。

这种表示方式被称为坐标表示。

一、坐标表示的基础在平面直角坐标系中，我们可以用两个坐标轴来确定一个点的位置。

同样地，我们也可以使用两个坐标来表示一个向量。

为了方便起见，我们通常使用单位向量i和j来表示x轴和y轴上的方向。

通过将向量的分量与单位向量相乘，我们可以得到向量在每个轴上的分量。

例如，向量A可以表示为A = Axi + Ayj，其中Ax和Ay分别是向量A在x轴和y轴上的分量。

二、坐标表示的计算方法当我们知道向量在x轴和y轴上的分量时，我们可以通过相加或相减这些分量来计算向量的结果。

例如，当我们有两个向量A和B，并且知道它们在x轴和y轴上的分量分别是Ax，Ay和Bx，By时，我们可以使用以下公式计算它们的和：A +B = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j同样地，我们可以使用以下公式计算它们的差：A -B = (Ax - Bx)i + (Ay - By)j三、坐标变换在有些情况下，我们需要将向量从一个坐标系变换到另一个坐标系。

这种变换可以通过坐标变换矩阵来实现。

假设我们有两个坐标系，分别为原始坐标系和目标坐标系。

如果我们已知两个坐标系中某一向量的坐标表示，我们可以使用坐标变换矩阵来计算该向量在目标坐标系中的坐标。

坐标变换矩阵可以表示为一个2×2的矩阵，其中每个元素代表两个坐标系之间的转换关系。

下面是一个示例，假设我们有一个向量V=(3，4)在坐标系A中的表示。

现在我们需要将其转换到坐标系B中。

我们可以使用以下的坐标变换矩阵：[ 2 1 ][ 1 3 ]计算向量V在坐标系B中的坐标：V' = [ 2 1 ] * [ 3 ] = [ 10 ][ 4 ] [ 13 ]因此，向量V在坐标系B中的坐标表示为V'=(10，13)。

平面向量的坐标表示与运算

平面向量的坐标表示与运算一、平面向量的坐标表示平面向量是具有大小和方向的量，可以用有序数对表示。

对于二维平面上的向量，一般采用坐标形式表示。

平面向量的坐标表示通常用(a, b)来表示，其中a表示向量在x轴上的投影，b表示向量在y轴上的投影。

二、平面向量的加法和减法运算1. 平面向量的加法运算将两个向量合成为一个新的向量，其坐标表示分别对应相加。

例如，设有向量A(a1, b1)和向量B(a2, b2)，则它们的和为向量C(a1+a2,b1+b2)。

2. 平面向量的减法运算将一个向量减去另一个向量，其坐标表示分别对应相减。

例如，设有向量A(a1, b1)和向量B(a2, b2)，则它们的差为向量C(a1-a2, b1-b2)。

三、平面向量的数乘运算平面向量的数乘运算指的是向量与一个实数的乘法运算。

将向量的每个分量与实数相乘即可。

例如，设有向量A(a, b)和实数k，那么k乘以向量A就是向量B(ka, kb)。

四、平面向量的数量积运算平面向量的数量积运算又称为点积运算，结果是一个实数。

设有两个向量A(a1, b1)和B(a2, b2)，它们的数量积可以表示为A·B = a1·a2 +b1·b2。

五、平面向量的向量积运算平面向量的向量积运算又称为叉积运算，结果是一个向量。

设有两个向量A(a1, b1)和B(a2, b2)，它们的向量积可以表示为A×B = a1b2 -a2b1。

六、平面向量的运算规律1. 加法的交换律和结合律向量加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A + B) + C = A+ (B + C)。

2. 数量积的交换律和结合律向量数量积满足交换律和结合律，即A·B = B·A，(kA)·B = k(A·B)。

3. 数量积与向量积的分配律向量数量积与向量积满足分配律，即A·(B + C) = A·B + A·C。

平面向量的坐标表示与计算

平面向量的坐标表示与计算平面向量是数学中的重要概念之一，它在几何和物理学中有着广泛的应用。

本文将详细介绍平面向量的坐标表示方法以及如何进行计算。

一、平面向量的坐标表示方法平面向量可以用有序数对表示其坐标，也可以用分量表示。

下面将详细介绍这两种表示方法。

1.有序数对表示法假设平面向量为AB，A点的坐标为(x₁, y₁)，B点的坐标为(x₂,y₂)，则向量AB的坐标表示为(x₂-x₁, y₂-y₁)。

其中，x₂-x₁表示横坐标的变化量，y₂-y₁表示纵坐标的变化量。

例如，给定平面上两点A(3, 4)和B(1, 2)，则向量AB的坐标表示为(1-3, 2-4)，即(-2, -2)。

2.分量表示法平面向量的分量表示法是指将向量表示为一个有序数组，该数组的元素是向量在各个坐标轴上的分量值。

假设平面向量为v，其分量表示为v = (a, b)，其中a表示向量在x轴上的投影，b表示向量在y轴上的投影。

例如，给定平面向量v = (3, 4)，则向量v在x轴上的投影为3，在y轴上的投影为4。

二、平面向量的计算平面向量的计算包括向量的加法、减法、数量乘法以及数量除法。

下面将逐一进行介绍。

1.向量的加法设向量a = (a₁, a₂)，向量b = (b₁, b₂)，则向量a + b的坐标表示为(a₁+b₁, a₂+b₂)。

例如，给定向量a = (1, 2)和向量b = (3, 4)，则向量a + b的坐标表示为(1+3, 2+4)，即(4, 6)。

2.向量的减法设向量a = (a₁, a₂)，向量b = (b₁, b₂)，则向量a - b的坐标表示为(a₁-b₁, a₂-b₂)。

例如，给定向量a = (5, 6)和向量b = (2, 3)，则向量a - b的坐标表示为(5-2, 6-3)，即(3, 3)。

3.数量乘法设向量a = (a₁, a₂)，常数k，则向量ka的坐标表示为(ka₁, ka₂)。

例如，给定向量a = (2, 3)和常数k = 4，则向量ka的坐标表示为(4*2, 4*3)，即(8, 12)。

平面向量的坐标表示和运算

平面向量的坐标表示和运算平面向量是数学中的一个重要概念，用于描述平面上的位移、力、速度等物理量。

在平面向量的研究中，坐标表示和运算是基本且常用的方法。

本文将详细介绍平面向量的坐标表示和运算，并说明其在解决问题中的应用。

一、平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示是将向量在坐标系中用数值来表示。

通常，平面向量常用欧几里得空间的笛卡尔坐标系来表示，即二维平面上的直角坐标系。

设平面向量为AB，A点的坐标为(x1, y1)，B点的坐标为(x2, y2)，则平面向量AB的坐标表示为：AB = (x2 - x1, y2 - y1)例如，若A点的坐标为(3, 4)，B点的坐标为(7, 2)，则向量AB的坐标表示为：AB = (7 - 3, 2 - 4) = (4, -2)在直角坐标系中，向量的坐标表示可以帮助我们直观地理解向量的方向和大小，方便进行后续运算和问题解答。

二、平面向量的运算1. 加法运算平面向量的加法运算是指将两个向量按照坐标分量相对应相加的运算。

设向量A的坐标表示为(x1, y1)，向量B的坐标表示为(x2, y2)，则向量A与向量B的加法运算结果C的坐标表示为：C = A + B = (x1 + x2, y1 + y2)例如，设向量A的坐标表示为(3, 2)，向量B的坐标表示为(1, -1)，则向量A与向量B的加法运算结果C的坐标表示为：C = (3 + 1, 2 + (-1)) = (4, 1)2. 减法运算平面向量的减法运算是指将一个向量减去另一个向量的运算。

设向量A的坐标表示为(x1, y1)，向量B的坐标表示为(x2, y2)，则向量A与向量B的减法运算结果D的坐标表示为：D = A - B = (x1 - x2, y1 - y2)例如，设向量A的坐标表示为(3, 2)，向量B的坐标表示为(1, -1)，则向量A与向量B的减法运算结果D的坐标表示为：D = (3 - 1, 2 - (-1)) = (2, 3)3. 数乘运算平面向量的数乘运算是指将一个向量乘以一个实数的运算。

平面向量的坐标表示

平面向量的坐标表示平面向量是解析几何中重要的概念之一，在数学和物理学中都有广泛的应用。

平面向量可以用多种方式表示，其中最常见的一种是坐标表示法。

本文将探讨平面向量的坐标表示，并介绍一些相关的概念和性质。

1. 平面向量的定义在数学中，平面向量是具有大小和方向的量。

它可以由一个有序的数对表示，这个数对通常被称为向量的坐标。

例如，一个平面向量可以表示为 (x, y)。

其中，x 和 y 分别代表向量在 x 轴和 y 轴上的分量。

2. 平面向量的加法平面向量的加法运算是通过将两个向量的对应分量相加得到的。

例如，给定两个向量 A 和 B，它们的坐标表示分别为 A = (x1, y1) 和 B = (x2, y2)，则它们的和向量 C = A + B 的坐标表示为 C = (x1 + x2, y1 + y2)。

3. 平面向量的数乘平面向量的数乘运算是将向量的每个分量乘以一个实数得到的。

例如，给定一个向量 A = (x, y) 和一个实数 k，它们的数乘表示为 kA，其坐标表示为 kA = (kx, ky)。

4. 平面向量的减法平面向量的减法可以通过将两个向量的对应分量相减得到。

例如，给定两个向量 A 和 B，它们的坐标表示分别为 A = (x1, y1) 和 B = (x2,y2)，则它们的差向量 C = A - B 的坐标表示为 C = (x1 - x2, y1 - y2)。

5. 平面向量的长度平面向量的长度可以使用勾股定理计算得出。

给定一个向量 A = (x, y)，其长度表示为|A| = √(x^2 + y^2)。

6. 平面向量的单位向量单位向量是长度为 1 的向量。

给定一个非零向量 A = (x, y)，其单位向量 A' 可以通过将向量 A 的坐标除以其长度得到。

即 A' = (x/|A|, y/|A|)，其中 |A| 为向量 A 的长度。

7. 平面向量的数量积平面向量的数量积也被称为点积。

平面向量平面向量共线的坐标表示

03
CATALOGUE
平面向量共线的坐标变换
坐标轴的旋转
绕原点逆时针旋转角度θ
将坐标轴上的点$M(x,y)$变为$M'(x',y')$，其中$x' = x\cos\theta - y\sin\theta$，$y' = x\sin\theta + y\cos\theta$。
绕原点顺时针旋转角度θ
将坐标轴上的点$M(x,y)$变为$M'(x',y')$，其中$x' = x\cos\theta + y\sin\theta$，$y' = -x\sin\theta + y\cos\theta$。
平面向量平面向量共线的坐标表示
目录
• 平面向量共线的坐标表示 • 平面向量共线的坐标运算 • 平面向量共线的坐标变换 • 平面向量共线的坐标应用
01
CATALOGUE
平面向量共线的坐标表示
定义及坐标表示
平面向量共线定义
若存在实数λ，使得向量a=λb，则向量a与向量b共线。
平面向量的坐标表示
详细描述
设向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则向量a+b=(x1+x2,y1+y2)。向量坐标的加法运算满足平行四边形法则，即对角线上的两个向量之和等于0。
坐标的数乘运算
总结词
数乘向量坐标运算满足分配律和结合律，即k(a+b)=ka+kb ，(k+l)a=ka+la。
详细描述
设向量a=(x,y)，k为实数，则向量ka=kx,ly)。数乘向量坐标运算满足分配律和结合律，即k(a+b)=ka+kb， (k+l)a=ka+la。

平面向量的坐标表示与运算

平面向量的坐标表示与运算一、平面向量的坐标表示平面向量是有大小和方向的量，可以用坐标来表示。

在平面直角坐标系中，以原点为起点，终点为点(x,y)的向量可以表示为：AB = xi + yj其中，i和j分别为x轴和y轴的单位向量。

x和y分别为该向量在x轴和y轴的投影长度。

二、平面向量的运算1. 向量的加法设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的和为：AB + CD = (a1 + b1)i + (a2 + b2)j即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相加得到新向量的x轴分量和y轴分量。

2. 向量的减法设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的差为：AB - CD = (a1 - b1)i + (a2 - b2)j即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相减得到新向量的x轴分量和y轴分量。

3. 向量的数量乘法设有一个向量AB = ai + bj，k为实数，则数量乘法的结果为：k * AB = (k * a)i + (k * b)j即将向量的x轴分量和y轴分量都乘以数k得到新向量的x轴分量和y轴分量。

4. 向量的点积设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的点积为：AB · CD = a1b1 + a2b2即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相乘，然后再相加得到一个数。

5. 向量的叉积设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的叉积为：AB × CD = (a1b2 - a2b1)k其中，k为垂直于平面的单位向量。

三、平面向量的应用平面向量的坐标表示与运算在几何学、力学、电磁学等领域中有着广泛的应用。

1. 几何学中，平面向量的坐标表示可以简化向量的计算，方便求解几何问题，如求解两条直线之间的夹角、判断两个向量是否垂直等。

2. 在力学中，平面向量的坐标表示与运算常用于描述物体的受力情况。

平面向量的坐标表示与应用教案

平面向量的坐标表示与应用教案一、平面向量的坐标表示平面向量是指在平面上有大小和方向的箭头，可以通过坐标表示。

平面内的点可以用坐标表示为(x, y)，而平面向量可以表示为< x, y >。

对于平面上的向量A，我们可以用起点为原点(0, 0)和终点为(x, y)的有向线段来表示。

其中，x称为向量的横坐标或x分量，y称为向量的纵坐标或y分量。

二、平面向量的加法与减法1. 平面向量的加法设有向量A的坐标为< x₁, y₁ >，向量B的坐标为< x₂, y₂ >，则向量A与向量B的和C的坐标可以表示为< x₁ + x₂, y₁ + y₂ >。

2. 平面向量的减法设有向量A的坐标为< x₁, y₁ >，向量B的坐标为< x₂, y₂ >，则向量A与向量B的差D的坐标可以表示为< x₁ - x₂, y₁ - y₂ >。

三、平面向量的数乘运算平面向量的数乘指将向量的每个分量与一个实数相乘。

设向量A的坐标为< x, y >，实数k，则k与A的数乘结果为< kx, ky >。

四、平面向量的模长与单位向量1. 平面向量的模长设向量A的坐标为< x, y >，则向量A的模长表示为|A|，计算方式为|A| = √(x² + y²)。

2. 单位向量若一个向量的模长为1，则称它为单位向量。

设向量A的坐标为< x, y >，可以将向量A除以它的模长，得到单位向量的坐标表示为< x/|A|,y/|A| >。

五、平面向量的应用平面向量在几何学和物理学中有广泛的应用，下面列举几个常见的应用场景：1. 平面向量的位移在平面坐标系中，可以用向量表示一个点的位移。

设有向量A的坐标为< x, y >，表示某个点的位移。

通过平面向量的加法，我们可以计算出多个位移的和或差。

平面向量的坐标表示与向量积

平面向量的坐标表示与向量积在解决平面向量相关问题时，我们经常需要对向量进行坐标表示和向量积的计算。

本文将介绍平面向量的坐标表示的方法以及向量积的概念和应用。

一、平面向量的坐标表示平面向量在直角坐标系中的坐标表示是常用的求解方法之一。

平面向量可以表示为一个有序数对（x，y），其中x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。

下面以平面向量AB为例进行阐述。

设A（x1，y1）和B（x2，y2）分别是平面上两个点A和B的坐标。

向量AB的坐标表示为（x2-x1，y2-y1）。

也就是说，向量AB的坐标表示是由B点的坐标减去A点的坐标得到的。

在坐标表示中，我们可以通过坐标的加减、数的乘法和数的除法来实现对向量的运算。

例如，若向量AB的坐标表示为（x1，y1），则向量BA的坐标表示为（-x1，-y1），向量OA的坐标表示为（x1，y1）。

此外，向量的大小可以通过勾股定理来计算，即向量AB的大小为√((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)。

二、向量积的概念和应用向量积，又称叉乘或矢量积，是向量运算中的一个重要概念。

在平面向量中，向量积的结果是一个数，被称为向量积的数量积。

向量积的计算公式如下：向量积AB = x1 * y2 - x2 * y1其中，（x1，y1）和（x2，y2）分别是两个向量A和B的坐标表示。

向量积的应用非常广泛，特别是在几何学和物理学中。

其中，向量积可以用来计算平面上两个向量的夹角、向量是否垂直以及向量的投影等问题。

1. 向量的夹角两个非零向量A和B的夹角θ可以通过向量积的计算得到：cosθ = (A · B) / (∥A∥ ·∥B∥)其中，(A ·B)表示向量积，∥A∥和∥B∥表示向量A和B的大小。

2. 向量是否垂直两个向量A和B垂直的充要条件是它们的向量积为零，即A · B = 0。

3. 向量的投影向量A在向量B上的投影为向量C，则有：C = (A · B / ∥B∥²) * B其中，(A · B / ∥B∥²)表示向量A在向量B上的投影长度与∥B∥的比。

平面向量的坐标表示

平面向量的坐标表示【基础知识精讲】1. 平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对任一向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数(x,y)，使得a =x i +y j ,则实数对(x,y)叫做向量a的直角坐标(简称坐标)，记作a=(x,y)，其中x和y分别称为向量a的x轴上的坐标与y轴上的坐标，而a =(x,y)称为向量的坐标表示.相等的向量其坐标相同.同样，坐标相同的向量是相等的向量显然i =(1,0), j =(0,1), 0=(0,0)2. 平面向量的坐标运算：(1) 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差：——— _a ±b=(x1 ±<2,y1 却2)(其中a=(x1,y2)、b=(x2,y2)).(2) 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标如果A(x 1，y1)、(X2,y2)，则AB =(X1-X2,y1-y2)(3) 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘以原来向量的相应坐标―k —w若a =(x,y),则入a=( /x, ?y)3. 向量平行的坐标表示已知向量a、b(b ^0),则a //b的充要条件为存在实数入，使a = xb .如果a=(x1,y”，b=(x2,y2)( b P)则a /b 的充要条件为：X1y2-X2y1=o.平面向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，此入向量的坐标表示以后，可以使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样很多的几何问题的证明，就可以转化为学生熟悉的数量的运算.两个向量相加减，是这两个向量的对应坐标相加减，这个结论可以推广到有限个向量相加减.【重点难点解析】1. 向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起始点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系，即两个向量不论它们的起始点坐标是否相同，只要这两个向量的坐标相同，那么它们就是相等向量.两个向量如果是相等的，那么它们的坐标也应该是相同的2. 向量AB的坐标是终点的坐标减去始点的对应坐标，而不是始点的坐标减去终点的坐标.3. 实数入与向量a 的积的运算时，入应与a 的相应坐标相乘，以下的结论都是错误的设入 R ， a =(x,y )^a = A(x,y)=( Xy)或入 a = A(x,y)=(x, ^y)A(1 , 2), B(3 , 2)，则 x=16y+3)，若 2 a =3 b ,试求 x 与 y 9依题意， AB = DC 或 AC = DB 或 AB = CD 由 AB = DC ，可得：OB -OA = OC -OD 即(5,2)-(3,2)=(-1,4)-(x,y) 二(2,4)=(-1-x,4-y)「x=~34-y=4 J y=0•D(-3 , 0)同理，若 AC = DB 可得：(-4 , 6)=(5-x,2-y). •'x=9,y=-4,.'D(9,-4)若 AB = CD 可得：(2 , 4)=(x+1,y-4)•'x=1,y=8. .'D(1,8) •••点D 的坐标为(-3 , 0)或(9, -4)或(1 , 8)例 4 已知丨 a I =10, b =(3,-4),且 a //b,求 a .—► —h- —k -- I - —h- —*例 5 已知 a =(3,2), b =(-2,1), c =(7,-4),用 a , b 表示 c .例6 如图，已知凸四边形 ABCD 中，E 、F 分别是AB 与CD 的中点，试证: 2 EF = AD + BC若向量a =(x+3,x 2-3x-4)与AB 相等，其中已知 a =(3x+4y,-2x-y), b =(2x-3y+1,-3x+ 的值•例 3 4)，求第四个顶点的坐标• 解：如图，设 OA =(3,-2), OB =(5,-2), OC =(-1,4), OD =(x,y)【难题巧解点拔】例 1 已知：点 A(2 , 3)、B(5 , 4), C(7, 10)若AP = AB +入A C (入R ),试求入为何值时，点P 在一、三象限角平分线上？点P在第三象限内？例2如图已知OA =a ,OB = b , OC = c ,求证A 、B 、C 三点在一条直线上的充要例1 若向量a =(i,2), 解：u=(1,2)+2(x,1)=(1,2)+(2x,2)=(2x+1,4)V =2(1,2)-(x,1)=(2,4)-(x,1)=(2-x,3)— MT由u //v ，—定存在入€R ，使u = 2则有(2x+1,4)=((2-x)入3 为应填—.2 例 2 若点 A(-1 , 2), B(2 , 3), C(3 , -1)，且 AD =2 AB -3 BC ，则点 D 的坐标为 ________ . 【典型热点考题】2x 1 =(2 -x)， 4=3 解得： 4 扎=一3 1x = _ 2条件是：有不全为 0的实数b =(x,i), u = a +2 b ,v =2 a -b ,且 u //v ,贝U x=例 3 若A、B、C 三点的坐标分别为(2 , -4), (0, 6), (-8 ,10)，则AB +2 BC , —1---------BC -— AC的坐标分别为、2例4 已知a *0 , b工0, a不平行于b,求证：a + b不平行于a- b .。