平面向量的坐标表示(使用)
平面向量的基本运算法则
平面向量的基本运算法则平面向量是在平面上具有大小和方向的量，它在数学和物理中都有广泛的应用。
对于平面向量，有一些基本的运算法则需要掌握。
一、平面向量的表示方法表示一个平面向量可以使用坐标表示法或者矢量表示法。
1. 坐标表示法：假设平面上有一个点P，以原点O为起点，连接OP，并将OP表示为一个有向线段，那么OP就是一个平面向量。
通常用大写字母表示向量，比如向量OP可以表示为向量OQ = (x, y)。
2. 矢量表示法：平面向量还可以使用矢量符号表示，比如向量OP 可以表示为向量→OP。
二、平面向量的基本运算包括加法、减法、数乘和数量积。
1. 加法：设有两个平面向量→AB和→CD，它们的和表示为→AB+→CD，即将两个向量的起点对齐，连接终点即可得到它们的和向量→AD。
2. 减法：设有两个平面向量→AB和→CD，它们的差表示为→AB-→CD，即将被减向量→CD取反，然后按照加法法则相加，即→AB+(-→CD)。
3. 数乘：设有一个平面向量→AB，它与一个实数k的乘积表示为k→AB，即将向量→AB的长度乘以实数k，方向不变。
4. 数量积：设有两个平面向量→AB和→CD，它们的数量积表示为→AB·→CD，即将两个向量的模长相乘再乘以它们夹角的余弦值。
如果→AB和→CD垂直，它们的数量积为0；如果夹角为锐角，它们的数量积为正；如果夹角为钝角，它们的数量积为负。
三、平面向量基本运算法则的性质平面向量的基本运算法则满足一些重要的性质。
1. 交换律：对于加法和数量积来说，交换向量的顺序不改变运算结果，即→AB+→CD = →CD+→AB，→AB·→CD = →CD·→AB。
2. 结合律：对于加法来说，可以将多个向量的和分成多个组，然后先对每组中的向量进行加法运算，再将每组的运算结果进行加法运算，结果是相同的。
3. 分配律：对于加法和数乘来说，分配律成立，即k(→AB+→CD)= k→AB+k→CD，(k+m)→AB = k→AB+m→AB。
平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示平面向量是二维空间中具有大小和方向的量，可以用坐标表示。
平面向量的坐标表示方式有两种：位置向量和方向向量。
一、位置向量的坐标表示位置向量是指从原点O到平面上的一个点P所形成的向量。
位置向量的坐标表示方式为(r, θ)，其中r表示向量的大小，θ表示向量与x轴的夹角。
当点P(x, y)在第一象限时，r为点P到原点O的距离，θ为点P与正x轴的夹角。
当点P(x, y)在第二象限时，r为点P到原点O的距离，θ为点P与正x轴的夹角的负值。
当点P(x, y)在第三象限时，r为点P到原点O的距离，θ为点P与正x轴的夹角的180°减去角度。
当点P(x, y)在第四象限时，r为点P到原点O的距离，θ为点P与正x轴的夹角的正值。
二、方向向量的坐标表示方向向量是指没有起点的向量，仅有大小和方向的定义。
方向向量的坐标表示方式为(a, b)，其中a表示向量在x轴方向上的分量，b表示向量在y轴方向上的分量。
通过给定a和b的数值，可以确定一个方向向量。
三、坐标表示的计算方法已知两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，求向量AB的坐标表示。
首先，根据两点坐标求出向量的坐标差：Δx = x2 - x1，Δy = y2 - y1。
然后，根据坐标差得到向量的坐标表示：AB = (Δx, Δy)。
四、坐标表示的应用1. 向量的加法和减法：若有向量A(a, b)和向量B(c, d)，则向量A加向量B的结果为A+B = (a+c, b+d)；若有向量A(a, b)和向量B(c, d)，则向量A减去向量B的结果为A-B = (a-c, b-d)。
2. 向量的数量积：若有向量A(a, b)和向量B(c, d)，则向量A和向量B的数量积为A·B = ac + bd。
3. 向量的模长：若有向量A(a, b)，则向量A的模长为|A| = √(a² + b²)。
五、结论通过坐标表示，可以方便地进行向量的计算和运算。
平面向量的坐标表示和应用
平面向量的坐标表示和应用在数学中，向量是一种包含大小和方向的量，常用来表示物理量。
而平面向量则是指位于同一平面上的向量。
为了便于描述和计算，我们通常使用坐标来表示平面向量。
本文将探讨平面向量的坐标表示及其应用。
一、平面向量的坐标表示平面向量可以用有序数对表示，例如向量AB可以表示为(AB)，其中A和B是平面上的两个点。
而这个有序数对的坐标表示即为平面向量的坐标。
对于平面上的点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，向量AB的坐标表示为：(AB) = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)这样，我们就可以用有序数对表示平面向量，并通过坐标的差值表示向量的方向和大小。
二、平面向量的坐标运算在进行平面向量的坐标运算时，我们可以类比于进行普通的数学运算。
主要涉及到向量的加法、减法和数乘。
1. 向量的加法设有两个向量AB和CD，它们的坐标分别为(AB) = (x₁, y₁)和(CD) = (x₂, y₂)。
那么这两个向量的和为：(AB + CD) = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)向量的加法相当于分别对向量的x轴和y轴分量进行相加。
2. 向量的减法向量的减法可以通过向量的加法和数乘来表示。
设有两个向量AB 和CD，那么它们的差为：(AB - CD) = (AB + (-CD))其中(-CD)是向量CD的相反向量，其坐标为=(-x₂, -y₂)。
将其带入上式，可得：(AB - CD) = (x₁ - x₂, y₁ - y₂)向量的减法相当于向量的加法和数乘的结合运算。
3. 向量的数乘设有向量AB，那么它与一个实数k的数乘表示为：k(AB) = (kx, ky)其中kx和ky分别为向量AB的x轴和y轴分量乘以k。
三、平面向量的坐标表示应用平面向量的坐标表示在解决实际问题中有着广泛的应用。
下面介绍两个常见的应用。
1. 向量的平移平面向量的坐标表示可以用于描述平面上的点的平移，即将一个点沿着一个向量进行移动。
平面向量的坐标表示与方向角
平面向量的坐标表示与方向角平面向量是平面上的有向线段，既有大小又有方向。
为了方便表示和计算，我们可以使用坐标表示和方向角来描述平面向量。
一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，我们可以使用二维坐标来表示平面上的点。
同样地，我们可以使用两个实数来表示一个平面向量。
设平面向量为AB，A点的坐标为(x₁, y₁)，B点的坐标为(x₂, y₂)。
则向量AB的坐标表示为(Δx, Δy)，其中Δx = x₂ - x₁，Δy = y₂ - y₁。
举例说明：若A(1, 2)和B(4, 5)是平面上的两个点，可以计算得到向量AB的坐标表示为(3, 3)。
二、平面向量的方向角平面向量的方向可以用方向角来表示。
方向角是从正 x 轴逆时针旋转到向量所在直线的角度。
设平面向量为AB，与正 x 轴的夹角为θ（0 <= θ < 2π）。
则向量AB的极坐标表示为(│AB│, θ)，其中│AB│表示向量AB的长度。
计算方向角θ的方法如下：1. 若向量AB的坐标表示为(Δx, Δy)，则有tanθ = Δy/Δx。
- 当Δx > 0时，θ = arctan(Δy/Δx)。
- 当Δx = 0且Δy > 0时，θ = π/2。
- 当Δx = 0且Δy < 0时，θ = 3π/2。
- 当Δx < 0时，θ = arctan(Δy/Δx) + π。
2. 根据θ的值的范围，进行调整使其满足0 <= θ < 2π。
举例说明：若向量AB的坐标表示为(3, 3)，则有tanθ = 3/3 = 1，所以θ = π/4。
由于0 <= π/4 < 2π，θ = π/4就是向量AB的方向角。
三、使用坐标表示和方向角求解平面向量的运算使用坐标表示和方向角可以方便地进行平面向量的运算，包括加减法和数量乘法。
1. 加减法：设向量AB的坐标表示为(Δx₁, Δy₁)，向量CD的坐标表示为(Δx₂, Δy₂)。
《平面向量的坐标表示》课件
首先计算$overrightarrow{AC}$和$overrightarrow{BC}$ 的坐标。根据向量的坐标表示，$overrightarrow{AC} = C - A = (-1-1, -2-2) = (-2,-4)$，$overrightarrow{BC} = C - B = (-1-3, -2-4) = (-4,-6)$。然后计算 $overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC}$的坐标。 根据向量加法的性质，$overrightarrow{AB} + overrightarrow{AC} = (2+(-2), 2+(-4)) = (0,-2)$。
向量加法
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量$overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则$overset{longrightarrow}{AC} = overset{longrightarrow}{AB} + overset{longrightarrow}{BC} = (x_{1} + x_{2},y_{1} + y_{2})$。
b坐o标ve求rse解t{longrightarrow}{ j}$。
通过向量的起点和终点坐标，可以求出$a$和$b$的值， 从而得到向量的坐标。
03
起点坐标法
如果知道起点$A$和终点$B$的坐标，则向量 $overset{longrightarrow}{AB}$的坐标为$(B_x - A_x, B_y - A_y)$。
向量积：设向量 $overset{longrightarrow}{AB} = (x_{1},y_{1})$，向量 $overset{longrightarrow}{BC} = (x_{2},y_{2})$，则 $overset{longrightarrow}{AB} times overset{longrightarrow}{BC}$的大 小为 $|overset{longrightarrow}{AB}| cdot |overset{longrightarrow}{BC}| cdot sintheta$，其中$theta$为两
平面向量的坐标表示与运算学习平面向量的坐标表示及其运算法则
平面向量的坐标表示与运算学习平面向量的坐标表示及其运算法则平面向量的坐标表示与运算平面向量是解析几何学中的重要概念，它可以通过坐标表示和进行各种运算。
本文将介绍平面向量的坐标表示及其运算法则。
一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，一个向量可以用有序实数对（x, y）表示，其中x代表向量在x轴上的投影长度，y代表向量在y轴上的投影长度。
这个有序实数对称为向量的坐标表示。
例如，对于平面上的向量AB，若A点的坐标为（x₁, y₁），B点的坐标为（x₂, y₂），则向量AB的坐标表示为（x₂ - x₁, y₂ - y₁）。
二、平面向量的运算法则1. 加法：向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
平面向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相接，然后将它们的终点连线，新的向量就是连接相接点与连接终点的线段的向量。
对于向量AB和向量CD，它们的和向量为向量AC。
和向量的坐标表示为（x₂ - x₁ + x₄ - x₃, y₂ - y₁ + y₄ - y₃）。
2. 数乘：向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量。
数乘改变了向量的大小，但不改变其方向。
对于向量AB和实数k，向量kAB的坐标表示为（k(x₂ - x₁), k(y₂- y₁)）。
3. 减法：向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
向量的减法可以通过向量的加法和数乘来表示。
对于向量AB和向量CD，它们的差向量为向量AD。
差向量的坐标表示为（x₂ - x₁ - x₄ + x₃, y₂ - y₁ - y₄ + y₃）。
4. 模长：向量的模长表示了向量的大小。
在平面直角坐标系中，向量（x, y）的模长表示为√(x² + y²)。
三、平面向量的运算实例例1：已知向量A(3, 4)，向量B(5, 2)，求向量A + 向量B 和向量A - 向量B的坐标表示。
解：向量A + 向量B的坐标表示为（3 + 5, 4 + 2），即(8, 6)。
平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。
为了表示和计算平面向量，我们常常使用坐标表示法。
本文将介绍平面向量的坐标表示方法，以及如何进行向量的加法、减法和数量乘法运算。
1. 坐标表示法简介在平面直角坐标系中，我们可以用有序数对表示一个点的坐标。
同样地，我们也可以用有序数对$(x,y)$来表示一个平面向量。
其中，$x$表示向量在$x$轴上的分量，$y$表示向量在$y$轴上的分量。
2. 向量的加法对于平面向量$\mathbf{a}=(x_1,y_1)$和$\mathbf{b}=(x_2,y_2)$，它们的和可以通过分别将它们的$x$分量相加，$y$分量相加得到：$$\mathbf{a}+\mathbf{b}=(x_1+x_2, y_1+y_2)$$3. 向量的减法平面向量的减法可以通过将被减向量取负后与减向量相加得到。
对于向量$\mathbf{a}=(x_1,y_1)$和$\mathbf{b}=(x_2,y_2)$，它们的差可以表示为：$$\mathbf{a}-\mathbf{b}=\mathbf{a}+(-\mathbf{b})=(x_1-x_2, y_1-y_2)$$4. 向量的数量乘法向量的数量乘法即将向量的每个分量都乘以一个实数。
对于平面向量$\mathbf{a}=(x,y)$和实数$k$，其数量乘积为：$$k\mathbf{a}=(kx, ky)$$5. 向量的坐标表示在几何上的意义通过坐标表示法，我们可以将平面向量转化为有向线段。
以原点$(0,0)$为起点，平面向量$(x,y)$的终点坐标为$(x,y)$。
直观地，这个有向线段从原点指向$(x,y)$，表示向量的大小和方向。
6. 向量的线性组合由于向量的加法和数量乘法运算，我们可以进行向量的线性组合。
给定平面向量$\mathbf{a}=(x_1,y_1)$和$\mathbf{b}=(x_2,y_2)$以及实数$k_1$和$k_2$，它们的线性组合可以表示为：$$k_1\mathbf{a}+k_2\mathbf{b}=(k_1x_1+k_2x_2,k_1y_1+k_2y_2)$$线性组合的几何意义是将$k_1$倍的$\mathbf{a}$和$k_2$倍的$\mathbf{b}$相加得到一个新的向量。
平面向量的坐标表示与向量模长
平面向量的坐标表示与向量模长在平面几何中，向量是一种具有方向和大小的物理量，通常用箭头表示。
为了描述和计算向量的性质和运算，常常使用它的坐标表示和模长。
本文将探讨平面向量的坐标表示以及如何计算其模长。
一、平面向量的坐标表示平面向量通常由两个不平行的线段表示，其中一个线段表示向量的大小和方向，另一个线段表示向量的方向。
为了方便计算和描述，我们可以使用坐标表示来表示平面向量。
平面坐标系是一个由两条彼此垂直的坐标轴组成的坐标系，通常称为x轴和y轴。
以原点O为起点，x轴和y轴正方向分别为正向和负向。
在平面坐标系中，每个点都可以表示为一个有序对(x, y)，其中x表示点到y轴的水平距离，y表示点到x轴的垂直距离。
对于平面向量AB，可以使用一个有序对来表示其坐标表示，即(ABx, ABy)，其中ABx表示向量AB在x轴上的投影长度，ABy表示向量AB在y轴上的投影长度。
二、向量的模长向量的模长表示向量的大小，也称为向量的长度。
在平面向量中，向量的模长通常由向量的坐标表示计算而得。
设平面向量AB的坐标表示为(ABx, ABy)，那么向量AB的模长记作|AB|，可以通过勾股定理得到如下公式：|AB| = √(ABx^2 + ABy^2)其中^2表示平方运算，√表示开方运算。
三、示例与应用为了更好地理解平面向量的坐标表示和模长，我们来看一个具体的示例。
示例：已知平面向量AC的坐标表示为(3, 4)，求向量AC的模长。
解析：根据上述公式，我们可以计算向量AC的模长：|AC| = √(3^2 + 4^2)= √(9 + 16)= √25= 5因此，向量AC的模长为5。
平面向量的坐标表示和模长在几何学和物理学中有着广泛的应用。
它们可以用于描述力和力矩等物理量，计算线段的长度和方向等几何性质。
同时，在向量运算和向量计算中，坐标表示和模长也是必不可少的工具。
结论平面向量的坐标表示和模长是描述和计算向量性质的重要工具。
通过使用坐标表示，我们可以准确地表示向量的方向和大小；通过计算模长，我们可以得到向量的大小。
平面向量的表示方法
平面向量的表示方法平面向量是研究平面上对象的重要工具。
在研究平面向量时，我们需要了解不同的表示方法。
下面将介绍平面向量的不同表示方法，包括坐标表示法、分量表示法和模长与方向角表示法。
一、坐标表示法坐标表示法是最常见的一种表示方法。
在平面直角坐标系中，平面向量可以用坐标表示为一个有序数对 (x, y)。
其中，x 表示向量在 x 轴上的分量，y 表示向量在 y 轴上的分量。
例如，向量 AB 可以表示为 (x, y)。
二、分量表示法分量表示法是将平面向量拆分为两个独立的有向线段的表示方法。
我们可以将向量拆分为水平和垂直方向的分量。
设向量 AB 的水平分量为 A 的 x 分量与 B 的 x 分量的差，垂直分量为 A 的 y 分量与 B 的 y 分量的差。
用 (a, b) 表示向量 AB 的分量表示法，其中 a 表示水平分量，b 表示垂直分量。
三、模长与方向角表示法模长与方向角表示法是将平面向量表示为一个长度与一个角度的表示方法。
向量的模长是从向量的起点到终点的长度，可以通过勾股定理计算出来。
向量的方向角是向量与平面上某个固定方向之间的角度，可以用三角函数计算出来。
表示为 |AB|，其中 |AB| 表示向量 AB 的模长，θ 表示向量 AB 的方向角。
总结：平面向量的表示方法包括坐标表示法、分量表示法和模长与方向角表示法。
坐标表示法是最常见的一种，通过给出向量在坐标系中的位置来表示向量。
分量表示法将向量拆分为水平和垂直方向的分量表示。
模长与方向角表示法是将向量表示为一个长度和一个角度的方式。
以上是关于平面向量的表示方法的讨论。
了解这些不同的表示方法对于理解平面向量的性质和运算非常重要。
在实际应用中，我们根据具体的问题选择合适的表示方法，并利用向量的性质进行计算和分析。
对于进一步学习平面向量的相关知识和应用具有重要的指导意义。
平面向量的坐标表示
j O i x
我们把实数对（x,y）叫作向量a的坐标，记作 a =(x,y)
这是向量a的坐标表示．
例１ 在平面内以点Ｏ的正东方向为x轴正向，正北方向为y轴
正向建立直角坐标系．质点在平面内做直线运动．分别求下列
位移向量的坐标： (1)向量a表示沿东北方向移动了2个长度单位; (2)向量b表示沿西偏北60 方向移动了3个长度单位; (3)向量c表示沿东偏南30 方向移动了4个长度单位;
Q
y
b
P
j
a
i P’ c R’
(2)QOQ 60，| OQ | 3,
Q’ O
3 3 所以b OQ OQ Q Q i 3j 2 2 3 3 3 所以b ( , ) 2 2
x
R
(3)ROR 30，| OR | 4, 所以c Or OR RR 2 3i 2 j 所以c (2 3,2)
Q
y
b
Q’ O j
P a
i P’ c R’
x
解：设OP a, OQ b, OR c, 并设P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ), R( x3 , y3 ),
R
(1)由图可知， POP 45，| OP | 2, 所以a OP OP PP 2i 2 j 所以a ( 2 , 2 )
４.1 平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中 ， 分别取与x轴，y 轴方向相同的两个 单位向量i, j作为基底，a 为坐标平面内的任意向 量。
以坐标原点 O为起点作 OP a
由平面向量基本定理可 知， 有且只有一对实数 x, y， 使得 OP xi yj
因此a xi Leabharlann yjy P(x,y) a
平面向量的坐标表示和应用
平面向量的坐标表示和应用平面向量是我们在平面上研究几何和物理问题时经常遇到的重要概念。
平面向量有多种表示方法，其中坐标表示是最常用和最方便的一种。
本文将介绍平面向量的坐标表示方法以及其在实际问题中的应用。
一、平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示是指使用带方向的有序数对来表示一个向量。
在二维平面中，一个向量可以表示为矩阵形式：AB = (x, y)其中，(x, y)表示向量AB在x轴和y轴上的投影长度。
x表示向量在x轴上的投影长度，y表示向量在y轴上的投影长度。
这种表示方法相对简洁明了，方便计算和应用。
在直角坐标系中，我们可以利用两点的坐标来确定一个向量的坐标表示。
考虑两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，可以得到向量AB的坐标表示：AB = (x2 - x1, y2 - y1)这里的(x2 - x1)表示向量在x轴上的投影长度，(y2 - y1)表示向量在y轴上的投影长度。
二、平面向量的应用平面向量的坐标表示不仅仅是一种数学工具，也是解决实际问题的重要手段。
下面我们将介绍平面向量坐标表示的一些具体应用。
1. 位移问题平面向量的坐标表示可以用于描述位移问题。
假设一个物体在平面上从点A(x1, y1)移动到点B(x2, y2)，我们可以用向量表示物体的位移：AB = (x2 - x1, y2 - y1)这个向量就表示了物体从A点到B点的位移情况。
通过计算向量的模长和方向，我们可以得到具体的位移距离和方向角度。
2. 力的合成平面向量的坐标表示还可以用于描述力的合成问题。
假设一个物体受到两个力F1和F2的作用，我们可以用向量表示这两个力的合力：F = F1 + F2通过将两个力的向量相加，我们可以得到其合力的坐标表示。
这个合力向量可以帮助我们确定物体受力的大小和方向。
3. 速度和加速度问题平面向量的坐标表示在描述速度和加速度问题时也非常有用。
假设一个物体在平面上沿着某个路径运动，我们可以用向量表示物体的速度和加速度：速度 V = (v1, v2)加速度 A = (a1, a2)其中v1和v2表示速度在x轴和y轴上的分量，a1和a2表示加速度在x轴和y轴上的分量。
平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示平面向量是二维向量，表示了平面上的位移量或者力的作用线。
为了便于计算和表达，平面向量通常使用坐标表示。
本文将介绍平面向量的坐标表示方法。
一、平面向量的定义平面向量是由大小和方向确定的箭头。
通常用有向线段表示，箭头所指示的方向为向量的方向，线段的长度则表示向量的大小，即模。
平面向量的定义如下：设平面上两个点A和B，表示平面向量的有向线段为→AB。
则平面向量的定义为：→AB = (x, y)其中，x为向量的x轴分量，y为向量的y轴分量。
二、平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示就是将向量表示为一个有序数对(x, y)，其中x 表示向量在x轴的分量，y表示向量在y轴的分量。
具体地，我们可以通过以下步骤来得到平面向量的坐标表示：1. 确定基准线：选择一个基准线作为x轴，通常选择水平的线段。
2. 确定正方向：在基准线上确定一个正方向，通常选择从左到右。
3. 确定坐标系：在确定基准线和正方向后，建立一个平面直角坐标系。
4. 确定向量的坐标：根据向量的起点和终点在坐标系中的位置来确定向量的坐标。
首先确定向量的x轴分量，即向量在x轴上的投影长度。
然后确定向量的y轴分量，即向量在y轴上的投影长度。
举例来说，考虑一个平面向量→AB，在坐标系中，点A的坐标为(Ax, Ay)，点B的坐标为(Bx, By)。
则向量→AB的坐标表示为：→AB = (Bx - Ax, By - Ay)三、向量的运算平面向量的坐标表示使得向量之间的运算更加方便。
以下是平面向量的常见运算：1. 向量的加法：设有向量→AB和→CD，它们的坐标表示分别为→AB = (x1, y1)和→CD = (x2, y2)。
则两个向量的和为：→AB + →CD = (x1 + x2, y1 + y2)2. 向量的数乘：设有向量→AB和实数k，它的坐标表示为→AB = (x, y)。
则向量的数乘为：k→AB = (kx, ky)3. 向量的减法：设有向量→AB和→CD，它们的坐标表示分别为→AB = (x1, y1)和→CD = (x2, y2)。
平面向量的表示和坐标
平面向量的表示和坐标在数学中，平面向量是描述平面上有大小和方向的量。
平面向量可以通过各种方式进行表示和描述，其中最常用的是用坐标表示法。
一、平面向量的定义和性质平面向量是由两个有序实数（也可以是复数）组成的有序对。
在平面直角坐标系中，平面向量通常用有向线段表示，起点为原点，终点为平面上的一点。
平面向量的性质如下：1. 平面向量的大小等于其模长，记作 |AB| 或 ||AB||，表示从 A 点到B 点的距离。
2. 平面向量的方向由无穷多个与其大小相等的向量共同确定。
3. 平面向量可以通过平移、缩放、反向等运算进行操作。
二、平面向量的坐标表示法平面向量的坐标表示法是一种常用的描述方法，它使用有序实数对（x，y）表示一个向量。
例如，向量 AB 可以表示为 (x1, y1) 到 (x2, y2) 的有序实数对表示。
三、平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算包括加法、减法、数乘等操作。
1. 加法：设有向线段 AB 和有向线段 CD，分别表示为 AB = (x1, y1) 和 CD = (x2, y2)。
则它们的和为 AB+ CD = (x1 + x2, y1 + y2)。
2. 减法：设有向线段 AB 和有向线段 CD，分别表示为 AB = (x1, y1) 和 CD = (x2, y2)。
则它们的差为 AB- CD = (x1 - x2, y1 - y2)。
3. 数乘：设有向线段 AB 表示为 AB = (x, y)，常数 k 为实数。
则kAB = (kx, ky)。
四、平面向量的模长和方向角向量的模长表示向量的大小，可以使用勾股定理计算。
设向量 AB = (x, y)，则其模长|AB| = √(x^2 + y^2)。
向量的方向角表示向量与 x 轴正向的夹角。
设向量 AB 的方向角为α，则有：α = arctan(y/x) (x>0)α = arctan(y/x) + π (x<0, y>=0)α = arctan(y/x) - π (x<0, y<0)α = π/2 (x=0, y>0)α = -π/2 (x=0, y<0)注：arctan 表示反正切函数。
平面向量的坐标表示与运算
平面向量的坐标表示与运算平面向量是数学中的一个重要概念，它在几何学和向量代数的研究中具有广泛的应用。
在平面直角坐标系中，平面向量可以通过其坐标表示和进行运算。
本文将详细介绍平面向量的坐标表示和运算方法。
一、平面向量的坐标表示平面向量可以用有序数对表示，其中第一个数表示向量在x轴上的分量，第二个数表示向量在y轴上的分量。
例如，向量AB可以表示为(3, 4)，其中向量的起点为A，终点为B，x轴上的分量为3，y轴上的分量为4。
二、平面向量的运算1. 向量的加法与减法向量的加法可以通过分别对应分量进行加法运算得到。
例如，向量A(3, 4)与向量B(1, 2)的和向量C可以表示为C(3+1, 4+2)，即C(4, 6)。
类似地，向量的减法可以通过分别对应分量进行减法运算得到。
2. 向量的数量积两个向量的数量积，也称为点积或内积，可以表示为两个向量的对应分量乘积的和。
例如，向量A(3, 4)与向量B(1, 2)的数量积可以表示为3×1 + 4×2 = 11。
数量积具有一些重要的性质，如交换律和分配律，可以用于向量的运算。
3. 向量的数量积与夹角两个向量的数量积与它们之间的夹角有一定的关系。
根据数量积的定义，两个向量的数量积等于它们的模的乘积与它们之间夹角的余弦值的乘积。
即A·B = |A| |B| cosθ，其中A·B表示向量A与向量B的数量积，|A|和|B|分别表示向量A和B的模，θ表示A与B之间的夹角。
4. 向量的数量积与平行垂直关系如果两个非零向量的数量积为0，则它们是垂直的。
如果两个非零向量的数量积非零，则可以通过比较它们的数量积的正负来判断其是否平行。
如果数量积为正数，则它们是同向的；如果数量积为负数，则它们是反向的。
5. 向量的向量积向量的向量积，也称为叉积或外积，是一种特殊的向量运算。
向量的向量积满足“左手定则”，结果的方向垂直于原来两个向量所在的平面，并符合右手法则。
平面向量的坐标表示与运算
平面向量的坐标表示与运算一、平面向量的坐标表示平面向量是具有大小和方向的量，可以用有序数对表示。
对于二维平面上的向量，一般采用坐标形式表示。
平面向量的坐标表示通常用(a, b)来表示，其中a表示向量在x轴上的投影，b表示向量在y轴上的投影。
二、平面向量的加法和减法运算1. 平面向量的加法运算将两个向量合成为一个新的向量，其坐标表示分别对应相加。
例如，设有向量A(a1, b1)和向量B(a2, b2)，则它们的和为向量C(a1+a2,b1+b2)。
2. 平面向量的减法运算将一个向量减去另一个向量，其坐标表示分别对应相减。
例如，设有向量A(a1, b1)和向量B(a2, b2)，则它们的差为向量C(a1-a2, b1-b2)。
三、平面向量的数乘运算平面向量的数乘运算指的是向量与一个实数的乘法运算。
将向量的每个分量与实数相乘即可。
例如，设有向量A(a, b)和实数k，那么k乘以向量A就是向量B(ka, kb)。
四、平面向量的数量积运算平面向量的数量积运算又称为点积运算，结果是一个实数。
设有两个向量A(a1, b1)和B(a2, b2)，它们的数量积可以表示为A·B = a1·a2 +b1·b2。
五、平面向量的向量积运算平面向量的向量积运算又称为叉积运算，结果是一个向量。
设有两个向量A(a1, b1)和B(a2, b2)，它们的向量积可以表示为A×B = a1b2 -a2b1。
六、平面向量的运算规律1. 加法的交换律和结合律向量加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A + B) + C = A+ (B + C)。
2. 数量积的交换律和结合律向量数量积满足交换律和结合律，即A·B = B·A，(kA)·B = k(A·B)。
3. 数量积与向量积的分配律向量数量积与向量积满足分配律，即A·(B + C) = A·B + A·C。
平面向量的坐标表示与计算
平面向量的坐标表示与计算平面向量是数学中的重要概念之一，它在几何和物理学中有着广泛的应用。
本文将详细介绍平面向量的坐标表示方法以及如何进行计算。
一、平面向量的坐标表示方法平面向量可以用有序数对表示其坐标，也可以用分量表示。
下面将详细介绍这两种表示方法。
1.有序数对表示法假设平面向量为AB，A点的坐标为(x₁, y₁)，B点的坐标为(x₂,y₂)，则向量AB的坐标表示为(x₂-x₁, y₂-y₁)。
其中，x₂-x₁表示横坐标的变化量，y₂-y₁表示纵坐标的变化量。
例如，给定平面上两点A(3, 4)和B(1, 2)，则向量AB的坐标表示为(1-3, 2-4)，即(-2, -2)。
2.分量表示法平面向量的分量表示法是指将向量表示为一个有序数组，该数组的元素是向量在各个坐标轴上的分量值。
假设平面向量为v，其分量表示为v = (a, b)，其中a表示向量在x轴上的投影，b表示向量在y轴上的投影。
例如，给定平面向量v = (3, 4)，则向量v在x轴上的投影为3，在y轴上的投影为4。
二、平面向量的计算平面向量的计算包括向量的加法、减法、数量乘法以及数量除法。
下面将逐一进行介绍。
1.向量的加法设向量a = (a₁, a₂)，向量b = (b₁, b₂)，则向量a + b的坐标表示为(a₁+b₁, a₂+b₂)。
例如，给定向量a = (1, 2)和向量b = (3, 4)，则向量a + b的坐标表示为(1+3, 2+4)，即(4, 6)。
2.向量的减法设向量a = (a₁, a₂)，向量b = (b₁, b₂)，则向量a - b的坐标表示为(a₁-b₁, a₂-b₂)。
例如，给定向量a = (5, 6)和向量b = (2, 3)，则向量a - b的坐标表示为(5-2, 6-3)，即(3, 3)。
3.数量乘法设向量a = (a₁, a₂)，常数k，则向量ka的坐标表示为(ka₁, ka₂)。
例如，给定向量a = (2, 3)和常数k = 4，则向量ka的坐标表示为(4*2, 4*3)，即(8, 12)。
平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示平面向量是解析几何中重要的概念之一，在数学和物理学中都有广泛的应用。
平面向量可以用多种方式表示，其中最常见的一种是坐标表示法。
本文将探讨平面向量的坐标表示，并介绍一些相关的概念和性质。
1. 平面向量的定义在数学中，平面向量是具有大小和方向的量。
它可以由一个有序的数对表示，这个数对通常被称为向量的坐标。
例如，一个平面向量可以表示为 (x, y)。
其中，x 和 y 分别代表向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
2. 平面向量的加法平面向量的加法运算是通过将两个向量的对应分量相加得到的。
例如，给定两个向量 A 和 B，它们的坐标表示分别为 A = (x1, y1) 和 B = (x2, y2)，则它们的和向量 C = A + B 的坐标表示为 C = (x1 + x2, y1 + y2)。
3. 平面向量的数乘平面向量的数乘运算是将向量的每个分量乘以一个实数得到的。
例如，给定一个向量 A = (x, y) 和一个实数 k，它们的数乘表示为 kA，其坐标表示为 kA = (kx, ky)。
4. 平面向量的减法平面向量的减法可以通过将两个向量的对应分量相减得到。
例如，给定两个向量 A 和 B，它们的坐标表示分别为 A = (x1, y1) 和 B = (x2,y2)，则它们的差向量 C = A - B 的坐标表示为 C = (x1 - x2, y1 - y2)。
5. 平面向量的长度平面向量的长度可以使用勾股定理计算得出。
给定一个向量 A = (x, y)，其长度表示为|A| = √(x^2 + y^2)。
6. 平面向量的单位向量单位向量是长度为 1 的向量。
给定一个非零向量 A = (x, y)，其单位向量 A' 可以通过将向量 A 的坐标除以其长度得到。
即 A' = (x/|A|, y/|A|)，其中 |A| 为向量 A 的长度。
7. 平面向量的数量积平面向量的数量积也被称为点积。
平面向量的坐标表示与运算
平面向量的坐标表示与运算在数学中，平面向量是一个有方向和大小的量。
它可以用坐标表示，并且可以进行一些基本的运算，比如加法和乘法。
本文将介绍平面向量的坐标表示与运算。
1. 平面向量的坐标表示平面向量可以用有序数对表示其坐标，通常用大写字母表示向量。
假设有一个向量AB，其起点是A，终点是B。
向量AB的坐标表示为(Ax, Ay)，其中Ax表示向量在x轴上的分量，Ay表示向量在y轴上的分量。
2. 平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有向量AB和向量CD，它们的坐标分别为(Ax, Ay)和(Cx, Cy)。
那么两个向量的和向量EF的坐标可以通过分别将Ax与Cx相加得到新向量的x轴分量，将Ay与Cy相加得到新向量的y轴分量来表示。
EF的坐标表示为(EF_x, EF_y)，其中EF_x = Ax + Cx，EF_y = Ay + Cy。
3. 平面向量的数乘平面向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量。
假设有向量AB，其坐标为(Ax, Ay)，实数k表示数乘因子。
那么该向量的数乘结果向量AC的坐标可以通过将Ax与k相乘得到新向量的x轴分量，将Ay与k相乘得到新向量的y轴分量来表示。
AC的坐标表示为(AC_x, AC_y)，其中AC_x = Ax * k，AC_y = Ay* k。
4. 平面向量的零向量零向量是指所有分量均为0的向量，通常用0表示。
对于任意向量AB，与其相加的零向量的坐标为(0, 0)。
即，任意向量与零向量相加，结果向量仍为原向量。
5. 平面向量的减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
设有向量AB和向量CD，它们的坐标分别为(Ax, Ay)和(Cx, Cy)。
那么两个向量的差向量GH的坐标可以通过分别将Ax与Cx相减得到新向量的x轴分量，将Ay与Cy相减得到新向量的y轴分量来表示。
GH的坐标表示为(GH_x, GH_y)，其中GH_x = Ax - Cx，GH_y =Ay - Cy。
2.3 平面向量的坐标表示(上课用)
y
7 4
D
j | ______, 1 1 （1） | i | _____,|
（2）若用 i, j 来表示 OC, OD ，则： 5 i 7 j 3 i 4 j OD _________. OC ________,
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的坐标，
①式叫做向量的坐标表示。
a ( x, y)
①
例1.如图，分别用基底 i ，j 表示向量 a 、 c、 d ，并求出 b、
它们的坐标。
A2
解：如图可知
a AA 1 AA 2 2i 3 j a (2,3)
2.3.2 平面向量的正交分解 及坐标表示
平面向量基本定理告诉我们：
• 平面内任一向量都可以沿两个不共线 的方向分解成两个向量和的形式。
把一个向量分解为两个互相垂直的向 量，叫作把向量正交分解
思考：如图，在直角坐标系中，
已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7). 设 OA i, OB j ，填空：
解:如图所示,利用三角函数的定义,可得
y x ,cos 60°= , sin 60°= OA OA
3 所以 y=| OA |·sin 60°=4 3 × =6, 2 1 x=| OA |·cos 60°=4 3 × =2 3 , 2 ∴A(2 3 ,6),∴ OA =(2 3 ,6).
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标 的和（差） a ( x1, y1 ) 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标
r r r r r r 例2.已知a = ( 2,1), b = ( - 3, 4), 求a＋b，a－b， r r 3a＋4b的坐标. r r 解 : a + b = (2,1)+ (- 3, 4) = (- 1, 5); r r a - b = (2,1)- (- 3,4) = (5, - 3);
平面向量的基本定理及坐标表示
例3、已知 ABCD的三个顶点 A、B、C的坐标分别为(2,1)、 (1,3)、(3, 4)，求顶点D的坐标.
巩固练习： 已知A(1,1)、B(3, 0)、C(2, 5)是 平行四边形的三个顶点，求第 四个顶点D的坐标.
四、向量平行的坐标表示
设a (x1, y1)，b (x2, y2 )，其 中b 0，则a b的充要条件是
a b x1 x2且y1 y2
4、向量平行的坐标表示
a b x1y2 x2 y1 0
六、作业
➢习题5.4第3、4、 7、8题.
➢ 完成《三维设计》
谢谢同学们
再 见
例1、如图，用基底i、j表示向量a、
b、c、d，并求出它们的坐标.A2 5 Nhomakorabea4
b
a
3
2
A
1 j -4 -3 -2 -1 o i 1 2 3
-1
-2
c
-3 d
-4
B
A1 4x
-5
三、平面向量的坐标运算
已知a (x1, y1)，b (x2, y2 )，则
a b __(x_1___x_2_, _y_1 __y_2_)_____;
一、复 习 引 入
1、平面向量基本定理
已知e1、e2是同一平面内的两不共线向量， 那么对这一平面内的任意向量a，有且
只有一对实数1、2，使a 1e1 2 e2.
2、什么是平面向量的基底？
不共线向量e1、e2叫做这一平面内所有 向量的一组基底.
二、平面向量的坐标表示
在直角坐标系中，我们分别取与x轴、
a b _(_x_1___x_2_, _y_1 ___y_2 )_____; a ___(__x_1_, __x_2 )__________ .
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a b (3,4) (5,3) (8,1)
a b (3,4) (5,3) (2,7)
2a 3b 2(3,4) 3(5,3)
(6,8) (15,9) (9,17)
思考交流：
❖ 设两个非零向量 a (x1, y1) ，b (x2, y2) ， 当 a // b 时，x1,y1,x2,y2之间满足什么关系？反
❖ 在平面上，建立一个直角坐标系xOy，若设x轴
正方向上的单位向量为 i ， y轴正方向上的单
位向量为 j ，则x轴上的向量总可以表示成 xi 的形式，y轴上的向量总可以表示成 y j 的形式，
其中x，y分别是它们的终点在数轴上的坐标。
探索:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点O的向量又如何处理呢?
M (x1, y1)
MN (x2 x1, y2 y1)
1
M N (x2 x1)2 ( y2 y1)2
两点间距离公式
O1
x
课堂小结
1.平面向量的坐标的表示
a=xi+yj=(x,y).
2. 要把点的坐标与向量的坐标区分开
来，两者不是一个概念 .
3. 4.
ai, j
的 含义 b ( x1
7.3平面向量的坐标表示
思考
❖ 在平面直角坐标系中，平面内的每一点都 可以用一对有序实数来表示，这对实数就 是点在平面内的坐标；反之，每一对有序 实数都能确定一个点。在平面直角坐标系 内，每一个平面向量是否也能用一对有序 实数来表示呢？
探究
❖ 导弹在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直 向上和水平向前的两个分速度。如果分别在水
（2） b 5i (5,0)
（3） c j (0, )
思考交流:
❖ 怎样通过坐标确定两个向量相等呢？
a b x1 x2且y1 y2
平面向量的直角坐标运算
探究：平面向量可以用坐标表示，向量
的运算可以用坐标来运算吗？ 如何计算？ （1）已知a =(x1 , y1), b= (m , n) ，
平面向量的坐标运算
❖ 设 c (x, y) ， 为一实数，则
那么
c (xi y j) (x)i (y) j c (x,y)
实数与向量乘积的坐标等于用这个实数乘以原来向 量的相应的坐标．
❖ 例题：已知 a (3,4) ， b (5,3) ，
求 a b ， a b ，2a 3b 。
平方向和竖直方向取两个单位向量 e1、e2，导
弹的飞行速度用向量 a 表示，若以点O为起点，
作向量
OP， 过a 点P(x,y)分别向水平方向、
竖直方向作垂线，垂足分别为M和N。
（1）分别用单位向量e1、e2表示向量 OM ，ON （2）用向量 OM ，ON 表示向量 OP ；
（3）用单位向量e1、e2表示向量 OP 。
（2）当x=2时，a 与 b 方向相同。
问题解决：
写出以M (x1, y1)为起点, N(x2, y2 ) 为终点的向量 MN的坐标.
MN ON OM
求出 MN 的模。
r r rr x2i y2 j (x1i y1 j)
y
N (x2 , y2 )
r
r
(x2 x1)i ( y2 y1) j
成 xi 与 y j 。由向量加法的平行四边形法则可
知，
OP OM ON
即：
OP xi y j
事实上， 平面直角坐标系中任一向量都可以唯一 地表示成 a xi y j 的形式。
❖ 我们把 a xi y j 叫做向量 a 的坐标形式， 把 xi 叫做向量 a 在x轴上的分向量，把 y j叫做 向量 a 在y轴上的分向量。把有序数对(x,y)叫
做向量 a 在直角坐标系中的坐标，记
作 a (x, y) ，其中x叫做向量 a 的横坐标， y叫做向量 a 的纵坐标，a (x, y) 叫做向量 a
的坐标表示。
4 位置向量的关键点
3
P（3，2）
2
1
j
OP=3i+2 j
-2
2
4
6
Oi
-1
注意观察，发现一个位置
向量,只要它的终点确定了,
-2
那这个位置向量也就确定
.
x2 ,
y1
y2
),
a
(x1, y1 )
其中a
(
x1
,
y1
),
b
(
x2
,
y2
)
.
作业
❖ 书第54-55页，习题1、4题
y
o
x
解决方案:
y
可通过向量的平移，
将向量的起点移到坐
标的原点O处.
o
x
我们将这样的起点在坐标原点处的向量称 为位置向量，平面上任意向量都有与它相 等的位置向量，所以研究向量的性质可以 通过研究其相应的位置向量来实现。
❖ 对于直角坐标系平面内任意向量 a ，将它的起
点移至原点O，其的终点坐标为P(x,y)。以OP为 对角线，作矩形OMPN，则 OM ，ON 分别表示
之，当这个关系成立时，能否得出 a // b ？ y1 x1 y2 x2
y1 x2 y2 x1
❖ 向量 a (x,1)， b (4, x) ，当x是何值时，
（1） a / b x • x 41 0 x 2;
两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差
例：已知 A(x1, y1 )，B(x2 , y2 ) ．求 AB
解： AB OB OA
A(x1, y1 )
y
(x2 , y2 ) (x1, y1)
O
(x2 x1, y2 y1)
B(x2 , y2 ) x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．
了.
-3
4 向量的坐标表示
3
y
P (x,y)
2
1
j
-2
2
4
6
Oi
x
-1
OP=xi+y j=(x,y)
一一对应
一一对应
-2
向量OP 点P（x,y） 有 （序 x，实y数）对
-3
r 、 a (x, y)
点的坐标可以表示一个点在坐标平面的位置，向 量的坐标能否也表示向量在坐标平面的位置呢？
理解：向量的坐标意义是向量正交分解时对应的有序 实数对，表面是坐标形式，它只是一种记法，实际上 是分解出来的基底的系数。
求a + b , a – b .
（2）已知a =(x1 , y1)和实数 ， 求 a的坐标 .
平面向量的坐标运算
借助向量的坐标表示，可以把向量的加法、 减法和数乘运算转化为坐标之间的代数运算 。
❖ 设 a (x1, y1)，b (x2, y2) ，则
那么
a b (x1 x2, y1 y2) a b (x1 x2, y1 y2 )
向量的坐标不表示向量的位置，同一向量可以任 意平移，而它的坐标只有一个。
a b x1 x2且y1 y2
向量的坐标表示是一种向量与坐标的对 应关系，它使得向量具有代数意义.将向量的 起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点 坐标就是向量的坐标.
❖ 例题：写出下列向量的坐标表示：
（1） a 5i 3 j (5,3)