20132大物期末复习题(1)

1.如图所示, 一个均匀带电的球层, 其电量为Q , 球层内表面半径为R 1, 外表面半径为R

2. 设无穷远处为电势零点，求电势分布. 解：设球层电荷密度为ρ.

ρ=Q/(4πR 23/3-4πR 13/3)=3Q/[4π(R 23-R 13)]

球内，球层中，球外由高斯定理求得电场为

E 1=0,

E 2=ρ(r 3-R 13)/(3ε0r 2) , E 3=ρ(R 23-R 13)/(3ε0r 2)

故 r

+=⋅=

r

R R R r

2

1

1

d d d U 2

1

r E r E r E ⎰∞

+2

d 3

R r E

=0+{ρ(R 22-R 12)/(6ε0)+[ρR 13/(3ε0)(1/R 2-1/R 1)]}+ ρ(R 23-R 13)/(3ε0R 2)

=ρ(R 22-R 12)/(2ε0)

=3Q (R 22-R 12)/[8πε0(R 23-R 13)]

R 1

=⋅=

r

R 2

r

2

d d U r E r E ⎰∞

+2

d 3

R r E

R ＞R 2 ⎰⎰∞∞

=⋅=

r

r

3

d d U r E r E

2. 如图所示，一根半径为R 2的无限长载流直导体，其中电流沿轴向由里向外流出，并均匀分布在横截面上，电流密度为j 。现在导体上有一半径为R 1（R 1< R 2）的圆柱形空腔，其轴与直导体的轴重合。 试求各区域的磁感强度。

解：用安培环路定理i l

I l d B ∑=∙⎰0μ

来做。

r

R 1

1202R r j r B ππμπ-=

r R r j B πππ

μ2/)(21202-=

方向：满足右手螺旋关系

R ＞R 2 )R (22

12202R j r B ππμπ-=

r R R j B πππμ2/)(212

202-=

方向：满足右手螺旋关系

此题也可以用补偿法做。

3．如图14.8所示，长直导线AC 中的电流I 沿导线向上，并以d I /d t = 2 A/s 的变化率均匀增长. 导线附近放一个与之同面的直角三角形线框，其一边与导线平行，位置及线框尺寸如图所示. （直角三角形线框向右运动），求此线框中产生的感应电动势的大小和方向.（将直角三角形线框换成长方形呢？将直角三角形线框换成一与长直导线AC 垂直棒自由下落呢？）

解：取顺时针为三角形回路电动势正向,得三角形面法线垂直纸面向里.取窄条面积微元

d S =y d x =[(a+b -x )l/b ]d x

Φm =⎰

⋅S d S B

=

()⎰

+-+⋅

b

a a

b

ldx

x b a x I πμ20 =()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-++b a b a b a b

Il

ln 20πμ εi = -d Φm /d t

=

()dt

dI

a b a b a b b l ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ln 20πμ = -5.18×10－

8V

负号表示逆时针 向右运动时

方向:顺时针.

欲求任意时刻的感应电动势,令x ’=a+vt 即可求得. 4.内外半径为R 、r 的环形螺旋管截面为长方形,共有N 匝线圈.另有一矩形导线线圈与其套合,如图16.4(1)所示. 其尺寸标在图16.4(2) 所示的截面图中,

求其互感系数. 解：设环形螺旋管电流为I , 则管内磁场大小

为

B =μ

0NI/(2πρ) r ≤ρ≤R

方向垂直于截面; 管外磁场为零.取窄条微元d S=h d ρ,由Φm =⎰

⋅S

S B d 得

Φm =

⎰R

r

NIh πρρ

μ2d 0=μ0NIh ln(

R/r )/(2π) M =Φm /I ==μ0Nh ln(R/r )/(2π)

5. 一导线弯成如图形状，放在均匀磁场B 中，B

的方向垂直图面向里． ∠bcd =60°，bc =cd

=a ．使导线绕轴OO ＇旋转，如图，转速为每分钟n 转．计算o 'o ε＇．（将直角三角形线框换成长方形呢？） 解：补回路bcdb,用法拉第电磁感应定律t i /d d Φε-=求电动势。

4/32/32

122a a S ==

t BS ωΦcos =， 60/2n π=ω

B

图14.8

图16.4

(1)

⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-=Φ-=b x b x b x b Il dt d dt

d m ''ln )'(2(0πμεv a b a a a Il ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=ln 1120πμ

∴ t BS t ωωεsin )/d (d bcdb =Φ-=)60/2sin()60/2(nt BSn ππ=

)60/2sin()120/3(2

nt B na ππ=

由于bd 不切割磁力线，0db =ε

则bd εεε-='bcdb o o )60/2sin()120/3(2

nt B na ππ=

6.如图18.6所示，一半径为a 的很小的金属圆环，在初始时刻与一半径为b (b >>a )的大金属圆环共面且同心. 求下列情况下小金属圆环中t 时刻的感应电动势.

(1) 大金属圆环中电流I 恒定，小金属圆环以匀角速度ω1绕一直径

转动;

(2) 大金属圆环中电流以I = I 0sin ω2t 变化，小金属圆环不动;

(3) 大金属圆环中电流以I = I 0sin ω2t 变化，同时小金属圆环以匀角速度ω1绕一直径转动;

解：因b >>a ,可认为小金属环上的磁场是均匀. Φm =⎰

⋅S d S B =BS cos θ=[μ0I/(2b )]πa 2cos θ

=μ0I πa 2cos θ/(2b ) (1) I 恒定,θ=ω1t : εi = -d Φm /d t

=(-d Φm /d θ)(d θ/d t ) =μ0I πa 2ω1sin(ω1t )/(2b ) (2) I =I 0sin ω2t ,θ=0:

εi =-d Φm /d t =(-d Φm /d I )(d I/d t ) =-μ0πa 2I 0ω2cos ω2t/(2b )

(3) I =I 0sin ω2t ,θ= ω1t : εi = -d Φm /d t

= -[(∂Φm /∂θ)(∂θ/∂t )+(∂Φm /∂I )(∂I/∂t )]

=[μ0I 0πa 2/(2b )][ω1sin(ω1t )sin(ω2t )-ω2cos ω2t ]

7. 静止长度为90m 的宇宙飞船以相对地球0.8c 的速度飞离地球,一光脉冲从船尾传到船头.求:(1) 飞船上的观察者测得该光脉冲走的时间和距离；(1) 地球上的观察者测得该光脉冲走的时间和距离.

解：设地球和飞船分别为K 和K '系,有

(1)飞船上观察者测飞船长度为固有长度,又因光速不变,有

∆x '=90m ∆t '=∆x '/c =3×10-7s (2)地球上观察者

∆x =(∆x '+v ∆t ')/(1-v 2/c 2)1/2

=270m

∆t =(∆t '+v ∆x '/c 2)/(1-v 2/c 2)1/2

=9×10-7s

或 ∆t =(∆t '+v ∆x '/c 2)/(1-v 2/c 2)1/2 =(∆x '/c+v ∆x '/c 2)/(1-v 2/c 2)1/2 =[(∆x '+v ∆t ')/(1-v 2/c 2)1/2]/c =∆x /c =9×10-7s

图18.6