放缩法证明数列不等式经典例题

放缩法证明数列不等式

主要放缩技能： 1.211111111(1)(n 1)1n n n n n n n n

-=<<=-++-- 2221144112()141(21)(21)21214

n n n n n n n <===--+--+-

2. ==>=

==<=

=<=

==

4.

=<

=

= 5. 121122211(21)(21)(22)(21)(21)2121n n n n n n n n n n ---<==-------- 6.

111

22(1)11(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n n n n n n +++++-==-+⋅+⋅⋅+⋅

例1.设函数2*2()1x x n y n N x -+=∈+的最小值为n a ，最大值为n b ，

且n c =（1）求n c ；（2）证明：

4444123111174n c c c c ++++

<

例2.证明：11611780<+

+<

例3.已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n s ，且12n n n a s a +

=，*n N ∈； （1）求证：数列{}

2n s 是等差数列； （2）解关于数列n 的不等式：11()48n n n a s s n ++⋅+>-

（3）记312311112,n n n n

b s T b b b b

==

++++，证明：312n T <<

例4. 已知数列{}n a 满足：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

是公差为1的等差数列，且121n n n a a n ++=+； （1） 求n a ；（2

112n na +++<

例5.在数列{}n a 中，已知1112,2n n n n a a a a a ++==-；

（1）求n a ；（2）证明：112233(1)(1)(1)(1)3n n a a a a a a a a -+-+-++-<

例6. 数列{}n a 满足：11122,1()22

n n n n n a a a n a ++==++； （1）设2n

n n b a =，求n b ；（2）记11(1)n n c n n a +=+，求证：12351162

n c c c c ≤++++<

例7. 已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n s 满足：1,6(1)(2)n n n n s s a a >=++；

（1）求n a ；

（2）设数列{}n b 满足(21)1,n b n a -=并记123n n T b b b b =++++，

求证：(3)231log n a n T ++>（函数的单调性，贝努力不等式，构造，数学归纳法）

例8. 已知正项数列{}n a 满足：111

(1)1,1n n n n na n a a a a +++==+ ， 记2111222231111,[](2)n n b a b n a n a a a -==+

+++≥。 （1）求n a ；

（2）证明：1231111(1)(1)(1)(1)4n b b b b ++++<