人教新课标版数学高一必修1导学案 2.3 幂函数教师版

2.3 幂函数

教学目标 1.理解幂函数的概念.

2.掌握y ＝x α(α＝－1，1

2

，1,2,3)的图象与性质.

3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题.

教学过程 一、创设情景

教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.3幂函数》课件“情景导入”部分，了解几个基本的幂函数。通过举例说明和互相交流，进一步掌握幂函数的概念与性质.

二、自主学习 1.幂函数的概念

阅读教材P 77至倒数第二自然段，完成下列问题．

幂函数：一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2.幂函数的图象与性质

阅读教材P 77倒数第二自然段至P 78“例1”以上部分，完成下列问题． 幂函数的图象与性质：

R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) 问题1 y ＝1

x

，y ＝x ，y ＝x 2三个函数有什么共同特征？

提示：底数为x ，指数为常数．

问题2 类比y ＝x 3的图象和性质，研究y ＝x 5的图象与性质.

提示：y ＝x 3与y ＝x 5的定义域、值域、单调性、奇偶性完全相同．只不过当01时，x 5＝x 3·x 2>x 3，结合两函数性质，可得图象如下：

探究点1：幂函数的概念 例1 已知

y ＝(m 2＋2m －2)

2

2

m

x -＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值.

提示：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧

m 2＋2m －2＝1，

2n －3＝0，解得⎩

⎪⎨⎪⎧

m ＝－3，n ＝

3

2

或⎩⎪⎨⎪

⎧

m ＝1，n ＝32

.

所以m ＝－3或1，n ＝3

2

.

名师点评：幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x ，指数为常数这三个条件，才是幂函数.如：y ＝3x 2，y ＝(2x )3，y ＝⎝⎛⎭

⎫

x 24都不是幂函数.

探究点2：幂函数的图象及应用

例2 若点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点(－2，1

4)在幂函数g (x )的图象上，问当x

为何值时，(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )

提示：设f (x )＝x α，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，所以，将点(2，2)代入f (x )＝x α中，得2＝(2)α，解得α＝2，则f (x )＝x 2.同理可求得g (x )＝x －

2.

在同一坐标系里作出函数f (x )＝x 2和g (x )＝x

－2

的图象(如图所示)，观察图象可得：

(1)当x >1或x <－1时，f (x )>g (x )； (2)当x ＝1或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； (3)当－1

若对于例2中的f (x )，g (x )，定义h (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

f x ，f x ≤

g x ，

g x ，f x >g x ，试画出h (x )的图象.

提示：h (x )的图象如图所示：

名师点评：注意本题中对f (x )＞g (x )，f (x )＝g (x )的几何解释.这种几何解释帮助我们从图形角度解读不等式方程，是以后常用的方法.

探究点3：幂函数性质的综合应用 命题角度1：比较大小

例3 设a ＝2323⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1323⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝23

25⎛⎫

⎪⎝⎭

，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.b >a >c C.b >c >a

D.c >b >a

提示：B [∵y ＝⎝⎛⎭⎫23x 在R 上为减函数，∴2

3

23⎛⎫ ⎪⎝⎭<13

23⎛⎫ ⎪⎝⎭

，即a

3x 在(0，＋

∞)上为增函数，∴2

323⎛⎫

⎪⎝⎭>23

25⎛⎫

⎪⎝⎭

，即a >c .∴b >a >c .故选B.] 名师点评：此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变.比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量.

命题角度2：幂函数性质的综合应用

例4 已知幂函数y ＝x 3m －

9 (m ∈N *)的图象关于y 轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足()

3

1m a -+<()

3

32m a -

-的a 的取值范围.

提示：因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0， 解得m <3.又因为m ∈N *，所以m ＝1,2. 因为函数的图象关于y 轴对称， 所以3m －9为偶数，故m ＝1. 则原不等式可化为()()113

3

132a a -

-

-<-.

因为y ＝13

x

-在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，

所以a ＋1>3－2a >0或3－2a

2

或a <－1.

故a 的取值范围是{a |a <－1或23

}.

名师点评：幂函数y ＝x α中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制α的取值.

四、当堂检测

1.已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2

2，则k ＋α等于( )

A.12

B.1

C.3

2 D.2 2.已知幂函数f (x )的图象经过点(2，2

2

)，则f (4)的值等于( ) A.16 B.116 C.2

D.12

3.设α∈{－1,1，1

2，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 的所有α的值为( )

A.1,3

B.－1,1

C.－1,3

D.－1,1,3

4.下列是y ＝23

x 的图象的是( )

5.以下结论正确的是( )

A.当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线

B.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点

C.若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大

D.幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限