求矩阵特征值特征向量的进化策略算法
矩阵特征与特征向量的计算
第三章 矩阵特征与特征向量的计算3.1 引言在科学技术的应用领域中，许多问题都归为求解一个特征系统。
如动力学系统和结构系统中的振动问题，求系统的频率与振型；物理学中的某些临界值的确定等等。
设A 为n 阶方阵，n n ij R a A ⨯∈=)(，若)0(≠∈x R x n ，有数λ使Ax= λx（5.1）则称λ为A 的特征值，x 为相应于λ的特征向量。
因此，特征问题的求解包括两方面：1．求特征值λ，满足 0)det()(=-=I A λλϕ（5.2）2．求特征向量)0(≠∈x R x n ，满足齐方程组0)(=-x I A λ（5.3）称ϕ（λ）为A 的特征多项式，它是关于λ的n 次代数方程。
关于矩阵的特征值，有下列代数理论，定义1 设矩阵A, B ∈Rn ⨯n，若有可逆阵P ，使AP P B 1-= 则称A 与B 相似。
定理1 若矩阵A, B ∈R n ⨯n 且相似，则 （1）A 与B 的特征值完全相同；（2）若x 是B 的特征向量，则Px 便为A 的特征向量。
定理2 设A ∈R n ⨯n 具有完全的特征向量系，即存在n 个线性无关的特征向量构成R n 的一组基底，则经相似变换可化A 为对角阵，即有可逆阵P ，使⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==-n D AP P λλλ 211其中λi 为A 的特征值，P 的各列为相应于λi 的特征向量。
定理3 A ∈R n ⨯n ，λ1, …, λn 为A 的特征值，则 （1）A 的迹数等于特征值之积，即∑∑===≡ni ini iiaA tr 11)(λ（2）A 的行列式值等于全体特征值之积，即n A λλλ 21)det(=定理4 设A ∈R n ⨯n 为对称矩阵，其特征值λ1≥λ2≥…≥λn ，则（1）对任A ∈R n ，x ≠0，1),(),(λλ≤≤x x x Ax n（2）),(),(minx x x Ax x n ≠=λ（3）),(),(max1x x x Ax x ≠=λ定理5 （Gerschgorin 圆盘定理） 设A ∈R n ⨯n ，则 （1）A 的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中，n i aa z nij j ijii ,,2,1,1 =≤-∑≠= （5.4）（5.4）式表示以a ii 为中心，以半径为∑≠=nij j ij a 1的复平面上的n 个圆盘。
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中的一个重要概念，具有广泛的应用领域。
在矩阵的运算中，特征值与特征向量是矩阵理论中的重要内容，具有很多重要的性质和应用。
本文将详细介绍矩阵的特征值与特征向量的定义、计算方法及其应用。
特征值与特征向量的定义给定一个n阶方阵A，如果存在一个n维非零向量X，使得AX=λX，其中λ为一个常数，则我们称λ为矩阵A的特征值，X为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
特征值与特征向量的计算方法求解矩阵的特征值与特征向量的计算方法主要有两种：特征多项式法和迭代法。
1. 特征多项式法特征多项式法是求解矩阵特征值与特征向量最常用的方法之一。
具体步骤如下：（1）设A是一个n阶矩阵，I是n阶单位矩阵，记为I_n。
（2）定义特征多项式为f(λ)=|A-λI_n|，其中|A-λI_n|表示A-λI_n的行列式。
（3）求解f(λ)=0的根，即为矩阵A的特征值。
（4）将特征值代入方程(A-λI_n)X=0，求解Ax=λX，即可得到矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
2. 迭代法迭代法是求解特征值与特征向量的一种数值方法。
它通过不断迭代矩阵的幂，逐渐逼近特征值与特征向量。
具体步骤如下：（1）选择一个任意的非零向量X_0作为初始向量。
（2）计算矩阵A与初始向量X_0的乘积AX_0。
（3）根据公式X_1=AX_0/|AX_0|，其中|AX_0|表示AX_0的模长。
（4）重复上述步骤，计算X_2=AX_1/|AX_1|，X_3=AX_2/|AX_2|，直到收敛。
（5）当向量X_k满足|AX_k-AX_{k-1}|<ε时，停止迭代，其中ε为预先设定的误差限。
特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在实际应用中具有广泛的价值，下面将介绍其在不同领域的应用。
1. 物理学中的应用在量子力学和固体物理学中，特征值和特征向量描述了问题的能量和波函数。
通过求解薛定谔方程，可以得到物质的特征值与特征向量，从而研究其电子能级和波函数分布。
求矩阵特征值特征向量的进化策略算法精编
式中： ——父代个体的第 个分量； ——子代新个体的第 个分量； ——服从标准正态分布的随机数； ——针对第 个分量重新产生一次符合标准正态分布的随机数； ——全局系数； ——局部系数。上式表明，新个体是在旧个体基础上随机变化而来。
2)随机生成初始群体：进化策略中初始群体由 个个体组成。初始个体是随机生成的，也可以从某个初始点 出发，通过多次突变产生 个初始个体，该初始点可从可行域中用随机方法选取。初始个体的标准差 。
3)进化策略的突变是在旧个：
式中 , ， 是个体中所含分量的数目。通常， 及 取为1。
4基于进化策略求矩阵特征值及特征向量的步骤
步骤1：求特征值
1) 确定矩阵特征值个体的表达方式：表达式中个体由目标变量 和标准差 两部分组成，因为是在复数范围内求特征值，所以每个个体有2个分量，分别代表特征值的实部和虚部，即 。
关键词：实矩阵；特征值；特征向量；进化策略
中图法分类号：TP183
ANewEvolution Strategy Method for Solving Matrix
Eigenvalues and Eigenvectors
Xia huimingZhou Yongquan
(College ofmathandcomputer science,GuangxiUniversityforNationalities,Nanning530006)
定义 2。1如果 是一个 实矩阵，则它存在 个特征值 ，其中 为实数或复数。
定义 2。2如果 是 的特征值并且非零向量 具有如下特性： ，则 称为矩阵 对应于特征值 的特征向量。
3进化策略算法
算法实现过程如下：
1)确定问题的表达方式。表达方式中个体由目标变量 和标准差 两部分组成，每部分又可以有 个分量，即：
求矩阵特征值及特征向量的一种梯度逼近法
求矩阵特征值及特征向量的一种梯度逼近法
矩阵特征值及特征向量是矩阵理论中的重要概念，它们在许多领域中都有广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。
在实际应用中，求解矩阵特征值及特征向量是一个非常困难的问题，因为它需要对矩阵进行复杂的计算。
为了解决这个问题，人们提出了许多求解矩阵特征值及特征向量的方法，其中一种重要的方法是梯度逼近法。
梯度逼近法是一种基于梯度下降的优化算法，它通过迭代的方式逼近矩阵的特征值及特征向量。
具体来说，梯度逼近法的步骤如下：
1. 首先，选择一个初始矩阵A和一个初始向量x0。
2. 计算矩阵A的梯度G，即G=A*x0-x0*λ0，其中λ0是x0的特征值。
3. 通过梯度下降的方式更新向量x0，即x1=x0-α*G，其中α是学习率。
4. 计算新的特征值λ1和特征向量x1。
5. 如果新的特征值λ1与旧的特征值λ0之间的差异小于一个预设的阈值，或者迭代次数达到了预设的上限，那么停止迭代，输出λ1和x1作为矩阵A的特征值和特征向量；否则，返回第2步。
梯度逼近法的优点是可以处理大规模的矩阵，并且可以在迭代过程中动态调整学习率，以提高收敛速度。
但是，它也存在一些缺点，比如容易陷入局部最优解，需要进行多次试验来选择合适的初始矩阵和学习率等参数。
总之，梯度逼近法是一种有效的求解矩阵特征值及特征向量的方法，它在实际应用中具有广泛的应用前景。
矩阵的特征值与特征向量的简易求法
矩阵的特征值与特征向量的简易求法特征值与特征向量对于矩阵的性质和变换有着重要的意义。
矩阵的特征值可以帮助我们判断矩阵的相似性、可逆性以及矩阵的对角化等；而特征向量可以帮助我们理解矩阵的线性变换、寻找矩阵的基矢量等。
求解矩阵的特征值与特征向量可以采用多种方法。
下面介绍两种常见的简易求法：特征多项式法和幂迭代法。
特征多项式法是求解矩阵特征值与特征向量的一种常见方法。
其步骤如下：步骤1：对于n阶方阵A，求解其特征多项式，即特征方程det(A-λI)=0。
其中，I为单位矩阵，λ为未知数。
步骤2：将特征多项式化简，得到一个关于λ的方程，如λ^n+c1λ^(n-1)+c2λ^(n-2)+...+cn=0。
步骤3：解这个n次方程，得到n个特征值λ1,λ2,...,λn。
步骤4：将每个特征值λi带入原方程(A-λI)X=0，求解对应的特征向量。
特征多项式法适用于任意阶数的方阵，但是对于高阶矩阵，其计算过程可能比较复杂，需要借助数值计算工具。
幂迭代法是一种迭代求解特征值与特征向量的方法，适用于对于方阵的特征值为实数且相近的情况。
其步骤如下：步骤1：选取一个初始向量X(0)，通常是一个n维非零向量。
步骤2：迭代计算：X(k+1)=A*X(k)，其中k为迭代次数，A为待求特征值与特征向量的方阵。
步骤3：计算迭代步骤2中得到的向量序列X(k)的模长，即，X(k)。
步骤4：判断，X(k)-X(k-1)，是否满足预定的精度要求，如果满足，则作为矩阵A的近似特征向量；否则，返回步骤2继续进行迭代。
步骤5：将步骤4得到的近似特征向量作为初始向量继续迭代，直至满足精度要求。
幂迭代法的优点是求解简单、易于操作，但由于其迭代过程，只能得到一个特征值与特征向量的近似解，且只适用于特征值为实数的情况。
在实际应用中，根据具体问题的要求，可以选择适合的方法来求解矩阵的特征值与特征向量。
除了特征多项式法和幂迭代法，还有QR分解法、雅可比迭代法等其他方法。
特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量的求解方法
特征值与特征向量矩阵特征值与特征向量的求解方法特征值和特征向量是线性代数中重要的概念，广泛应用于许多领域，如物理学、工程学和计算机科学等。
在本文中，我们将探讨特征值和特征向量的定义、求解方法及其在实际问题中的应用。
一、特征值与特征向量的定义特征值是一个矩阵所具有的与矩阵的线性变换性质有关的一个数值，特征向量是对应于特征值的非零向量。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x和一个数λ，使得满足Ax=λx，那么λ就是矩阵A的一个特征值，x是对应于特征值λ的特征向量。
二、求解特征值与特征向量的方法有几种方法可以求解特征值和特征向量，其中比较常用的是特征多项式法和迭代法。
1. 特征多项式法特征多项式法是通过求解特征方程的根来得到特征值。
对于一个n阶矩阵A，其特征多项式定义为det(A-λI)=0，其中I是n阶单位矩阵，det表示行列式运算。
将特征多项式置为零，可以得到n个特征值λ1，λ2，...，λn。
将每个特征值代入原矩阵A-λI，解线性方程组(A-λI)x=0，就可以得到对应的特征向量。
2. 迭代法迭代法是通过不断迭代矩阵的特征向量逼近实际的特征向量。
常用的迭代方法包括幂法、反幂法和Rayleigh商迭代法。
幂法是通过不断迭代向量Ax的归一化来逼近特征向量，其基本原理是向量Ax趋近于特征向量。
反幂法是幂法的反向操作，通过求解(A-λI)y=x逼近特征向量y。
Rayleigh商迭代法是通过求解Rayleigh商的最大值来逼近特征向量，其中Rayleigh商定义为R(x)=x^T Ax/(x^T x)，迭代公式为x(k+1)=(A-λ(k)I)^(-1)x(k)，其中λ(k)为Rayleigh商的最大值。
三、特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在实际问题中有广泛的应用。
其中，特征值可以用于判断矩阵是否可逆，当且仅当矩阵的所有特征值均不为零时，矩阵可逆。
特征向量可用于描述矩阵的稳定性和振动状态，如在结构工程中可以通过求解特征值和特征向量来分析物体的固有频率和振动模态。
求矩阵特征向量的三种方法
求矩阵特征向量的三种方法特征向量是线性代数中一个重要的概念，用于描述矩阵变换作用后不改变方向的向量。
在本文中，将介绍矩阵特征向量的三种求解方法：特征值分解法、幂迭代法和雅可比方法。
一、特征值分解法特征值分解法是求解矩阵特征向量最常用的方法之一，其基本思想是将矩阵分解为特征向量和特征值的乘积形式。
特征值分解法的步骤如下：1.对于一个n×n的矩阵A，首先求解其特征方程：，A-λI，=0，其中λ为特征值，I为单位矩阵。
2.解特征方程得到所有的特征值λ1，λ2，...，λn。
3.将每个特征值代入特征方程，得到对应的特征向量。
特征向量满足(A-λI)X=0，其中X为特征向量。
特征值分解法的优点是求解过程简单、直观，但在实际运算中，特征值分解法可能由于求解特征方程而导致计算量大、耗时长。
二、幂迭代法幂迭代法是一种迭代算法，用于求解矩阵特征向量。
幂迭代法的基本思想是通过不断迭代，逐渐逼近矩阵的特征向量。
幂迭代法的步骤如下：1.随机选择一个向量作为初始向量X(0)，并进行归一化处理。
2.根据迭代公式X(k+1)=AX(k)求解下一次迭代的特征向量。
3.重复步骤2直到特征向量收敛。
一般通过判断向量的变化是否小于设定的阈值来确定是否收敛。
幂迭代法的优点是收敛速度快，但受到初始向量的选择的影响，可能不能找到所有的特征向量。
三、雅可比方法雅可比方法是一种基于矩阵相似变换的求解特征向量的方法。
雅可比方法的基本思想是通过一系列的正交相似变化，逐渐将矩阵变换为对角线形式，从而得到特征向量。
雅可比方法的步骤如下：1.初始化D为单位矩阵，将矩阵A进行复制得到副本B。
2. 在矩阵B中寻找绝对值最大的非对角元素(b_ij)，将其所在行列的元素，使其变为0。
3.利用一系列的旋转变换R(i,j)乘以矩阵D和B，得到新的矩阵D和B'，使得B'中新的非对角元素b_i'j'为0。
4.重复步骤2和步骤3直到矩阵B变为对角线形式。
矩阵的特征值和特征向量的计算
矩阵的特征值和特征向量的计算在线性代数中，矩阵的特征值和特征向量是一对重要的概念。
它们可以帮助我们了解矩阵的性质和特点，对于很多问题的求解具有重要的意义。
本文将详细介绍矩阵特征值和特征向量的计算方法。
一、特征值和特征向量的定义对于 n 阶方阵 A，如果存在非零向量 v 使得Av = λv，其中λ 是一个常数，则称λ 为矩阵 A 的特征值，v 称为对应于特征值λ 的特征向量。
特征值和特征向量的计算可以帮助我们理解矩阵的线性变换效果，以及在某些问题中起到重要的作用。
二、特征值和特征向量的计算方法要计算一个矩阵的特征值和特征向量，我们可以按照以下步骤进行：1. 首先，我们需要求解特征方程 det(A - λI) = 0，其中 A 是待求矩阵，λ 是一个待定常数，I 是单位矩阵。
这个方程是由特征向量的定义出发得到的。
2. 解特征方程可以得到一组特征值λ1, λ2, ... , λn。
这些特征值就是矩阵的特征值，它们可以是实数或复数。
3. 对于每一个特征值λi，我们需要求解方程组 (A - λiI)v = 0，其中 v 是待求特征向量。
这个方程组的解空间就是对应于特征值λi 的特征向量的集合。
4. 对于每一个特征值λi，我们需要求解出它对应的特征向量 vi。
特征向量的计算需要利用高斯消元法或其他适用的方法。
这样，我们就可以计算出矩阵的所有特征值和对应的特征向量。
三、特征值和特征向量的应用矩阵的特征值和特征向量在很多领域有着广泛的应用，以下是其中一些常见的应用：1. 特征值和特征向量可以帮助我们理解矩阵的性质。
例如，特征值的数量可以告诉我们矩阵的维度，而特征向量可以描述矩阵的线性变换效果。
2. 特征值和特征向量在图像处理和模式识别领域有着重要的应用。
通过矩阵的特征向量，我们可以提取图像的特征，进而进行分类和识别。
3. 特征值和特征向量在物理学中也有着广泛的应用。
它们可以用于描述量子力学中的粒子运动，电路中的振动模式等。
求矩阵特征值的方法
求矩阵特征值的方法介绍在线性代数中，矩阵特征值是一个重要的概念。
特征值可以帮助我们了解矩阵的性质和特点。
求解矩阵特征值的方法有很多种，每种方法都有其适用的场景和优缺点。
本文将介绍几种常用的方法，包括幂法、QR方法、雅可比方法和特征值问题的迭代解法。
幂法幂法是一种用于估计矩阵最大特征值和对应特征向量的迭代算法。
该方法的基本思想是通过不断迭代矩阵与向量的乘积，使得向量逐渐趋近于特征向量。
具体步骤如下：1.随机选择一个向量b作为初始向量。
2.计算矩阵A与向量b的乘积，得到向量c。
3.对向量c进行归一化处理，得到向量b。
4.重复步骤2和步骤3，直到向量b的变化趋于稳定。
5.向量b的模即为矩阵A的最大特征值的估计值，向量b即为对应的特征向量的估计值。
幂法的收敛速度取决于矩阵A的特征值分布。
如果矩阵A的最大特征值与其他特征值之间的差距较大，那么幂法往往能够快速收敛。
QR方法QR方法是一种迭代算法，用于计算实对称矩阵的特征值。
该方法的基本思想是通过不断迭代矩阵的QR分解，使得矩阵逐渐趋近于上三角矩阵，从而得到特征值的估计值。
具体步骤如下：1.对矩阵A进行QR分解，得到正交矩阵Q和上三角矩阵R。
2.计算矩阵R与矩阵Q的乘积，得到新的矩阵A。
3.重复步骤1和步骤2，直到矩阵A的变化趋于稳定。
4.矩阵A的对角线元素即为矩阵A的特征值的估计值。
QR方法的收敛速度较快，并且对于任意实对称矩阵都适用。
但是，QR方法只能计算实对称矩阵的特征值，对于一般的矩阵则不适用。
雅可比方法雅可比方法是一种用于计算实对称矩阵的特征值和特征向量的迭代算法。
该方法的基本思想是通过不断迭代交换矩阵的非对角线元素，使得矩阵逐渐趋近于对角矩阵，从而得到特征值和特征向量的估计值。
具体步骤如下：1.初始化一个单位矩阵J，将其作为迭代的初始矩阵。
2.在矩阵J中找到非对角线元素的绝对值最大的位置，记为(i, j)。
3.构造一个旋转矩阵P，使得P^T * J * P的(i, j)位置元素为0。
第7章 矩阵特征值与特征向量的计算
第7章 矩阵特征值与特征向量的计算 小结
1．本章介绍了乘幂法和反幂法。乘幂法用来求按模最大特征 值和对应的特征向量，反幂法用来求按模最小特征值和对应 的特征向量。 2．乘幂法和反幂法特点是算法简单，易于在计算机上实现。
第7章 矩阵特征值与特征 向量的计算
引言 乘幂法 反幂法
7.1 引言
定义：对于n阶方阵A，数λ0，若存在非零列向量x，使得Ax=λ0x，则称λ0 为A的特征值（特征根），x为A的属于λ0的特征向量。 定义： 以λ为未知量的方程|A-λE|=0称为方阵A的特征方程，λ的多项式|Aλ0E|称为方阵A的特征多项式，记为f(λ)。 λ0是为方阵A的特征值，x为A的属于λ0的特征向量的充要条件是：λ0是A的特 征方程|A-λE|=0的根，x是齐次线性方程组(A-λ0E)X=0的非零解向量。 因此，可以按以下步骤求方阵A的特征值和特征向量： ⒈ 计算A的特征多项式|A-λE|； ⒉ 求出A的特征方程|A-λE|=0的全部根，这是A的全部特征值； ⒊ 对A的每一个特征值λi，求出(A-λiE)X=0的一个基础解系x1,x2,……,xs，并 写成列向量的形式，这就是A的属于λi的一组线性无关的特征向量。那么 的 属于λi的全部特征向量为： k1x1＋k2x2＋……＋ksxs 其中k1,k2,……,ks是不全为零的常数。 对于高阶方阵用上述方法求特征值，运算量大，需要求解高阶代数方程，并 且在计算机上实现也较为困难。本章介绍几种便于在计算机上实现的方法。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 7.3 反幂法
一、反幂法的基本思想（续）
上述方法在求u(k)时需要先求出A-1，求A的逆矩阵常常比较麻烦。为了避 免求A-1，可以把u(k)=A-1v(k-1)变形为Au(k)=v(k-1)，求解这个线性方程组得 到u(k)，解线性方程组的方法可以参考第3章和第4章。一般在计算过程一 开始，首先对A进行三角分解，这样每轮迭代求解Au(k)=v(k-1)时只需要2 次回代就可以了。下面以LU分解法为例，重新给出反幂法的求解步骤： 对方阵A进行LU分解A=LU，然后任取n维非零向量v(0)作为初始向量，按 以下迭代公式反复计算： ①回代，求解单位下三角线性方程组Ly(k)=v(k-1)，得到向量y(k)。②回代， 求解上三角线性方程组Uu(k)=y(k)，得到向量u(k)。③若u(k)各分量中绝对 值最大的分量为j第个分量uj(k)，则令m(k)=uj(k)，④令v(k)=u(k)/m(k)， k=1,2,3,……。 当k足够大时，近似地认为1/m(k)≈λn，向量v(k)是A的属于λn的特征向量。
四矩阵特征值与特征向量的计算
四矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值和特征向量是矩阵分析中非常重要的概念，它们在各个领域的应用非常广泛。
特征值和特征向量可以帮助我们理解矩阵的性质，解决方程组，降维和主成分分析等问题。
在本文中，我们将讨论如何计算矩阵的特征值和特征向量的方法和应用。
首先，我们来介绍一下矩阵的特征值和特征向量的定义。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x和一个实数λ，使得Ax=λx，则λ称为A的特征值，x称为对应于特征值λ的特征向量。
特征方程为，A-λI，=0，其中I是n阶单位矩阵。
求解特征方程，可以得到矩阵的特征值。
接下来，我们来讨论几种求解矩阵特征值和特征向量的方法。
1.特征值分解法特征值分解法是最常用的求解特征值和特征向量的方法之一、对于一个n阶矩阵A，特征值分解可以将其分解为A=PDP^(-1)，其中P是由特征向量组成的矩阵，D是一个对角矩阵，对角线上的元素是矩阵A的特征值。
这种方法在计算上较为复杂，但可以得到全部的特征值和特征向量。
2.幂法幂法是一种迭代法，用来计算矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
幂法的基本思想是不断迭代一个向量，直到其收敛到矩阵的特征向量。
算法的步骤如下：(1)任意选择一个非零向量x0作为初始向量；(2) 迭代计算xk=Ax(k-1)，其中k表示迭代次数；(3) 标准化向量，即xk=xk/，xk，保证向量的模为1；(4) 判断向量是否收敛，如果满足收敛条件，则停止迭代，向量收敛到的值为矩阵的特征向量，特征值为Axk/ xk。
3.QR算法QR算法是一种迭代法，用于计算矩阵的全部特征值和特征向量。
QR 算法的基本思想是不断进行QR分解，直到得到上三角矩阵，对角线上的元素即为矩阵的特征值。
算法的步骤如下：(1)将矩阵A分解为QR，其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵；(2)令A=RQ，继续进行QR分解；(3)重复第二步，直到矩阵变为上三角矩阵；(4)上三角矩阵的对角线元素即为矩阵的特征值。
进化策略算法在矩阵特征值求解中的应用
（． ｏ ｅ ｅ ｆ ｔｅ ｔ ｄＣ ｍｐ ｔ ｃ ｎ ｅ Ｇ ａ ｇｉ ｉｅｓｙｆｒ ｔ ｎ ｌｉ ， ｎ ｉｇ５ ０ ０ ， ｈ ａ １ Ｃ ｌ ｇ Ｍａ ｍａ ｃ ｎ ｏ ｕｅ Ｓ ｉ ｃ ， ｕｎ ｘ ｖｒｉ ｉ ａ ｔ ｓ Ｎａｎｎ ３ ０ ６ Ｃ ｉ ； ｌ ｏ ｈ ｉａ ｒ ｅ Ｕｎ ｔ ｏ Ｎａ ｏ ｉｅ ｎ ２ Ｃ ｌ ｇ ｆ ｔｅ ｔ ｎ ｆｒ ｔ ｎＳ ｉ ｃ， ｕ ｇｈ ｕＵ ｉｅｓｙ Ｇ ａｇｈ ｕ５ ０ ，Ｃ ｉａ ． ｏｌ ｅ ｈ ｍａ ｃ ｄ ｎｏｍａ ｏ ｃｅ ｅ Ｇ ａ ｚ ｏ ｎｖｒｉ ， ｕ ｎ ｚ ｏ １０ ６ ｈｎ） ｅ ｏ Ｍａ ｉａ Ｉ ｉ ｎ ｎ ｔ ０
夏 慧 明 ， 梁 华 周永 权 ，
（．广 西 民族 大学 数 学 与计 算机 科 学 学院 ，广 西 南 宁 ５００ ； １ ３０ ６ ２ ．广 州大 学 数 学与信 息科 学 学院 ，广 东 广 州 ５００） １０６
摘 要： 工程 实践 中多种振 动 问题 的求解常 常 归纳 为求 矩 阵特 征值 问题 ，另外一 些稳 定性分 析 问题 及相 关分析 问题 也可 以
ｏ ｖ ｒｏ ｓ ｙ ｅ ｆ ｈ ｔｉ 、 Ｓ ｖ ｒ ｌ ｘ ｅ ｍｅ ｔｌ ｅ ｕ ｔ ｏ ｔ ａ ｅ ｒ ｐ ｓ ｄｅ ｏ ｕ ｉ ｎｓｒ ｔ ｇ ｔ ｏ ｏ ｅｅ ｃ ｅ ｔ ｎ ａ ｉｌ ｆ ａｉｕ ｐ ｓ ｔ ｅ ｔ ｏ ｍａ ｒ ｘ ｅ ｅ ａ ｐ ｒ ｎ ａ ｓ ｌ ｓ ｗ ｔ ｈ ｏ ｏ ｅ ｖ ｌ ｔ ａ ｅ ｙｍｅ ｈ ｄｉ ｍ ｒ ｆ ｉ ｎ ｄｆ ｓｂ ｅ ｅ ｉ ｒ ｓｈ ｈ ｔ ｐ ｏ ｔ ｓ ｉ ａ ｅ
矩阵特征值与特征向量的求解方法
矩阵特征值与特征向量的求解方法矩阵特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，广泛应用于科学和工程领域。
特征值和特征向量可以帮助我们理解矩阵的性质和变换过程。
在本文中，我们将探讨矩阵特征值与特征向量的求解方法。
一、特征值与特征向量的定义在矩阵A的情况下，如果存在一个非零向量v，使得Av=λv，其中λ是一个标量，那么v称为A的特征向量，λ称为A的特征值。
特征向量表示了在矩阵变换下不变的方向，特征值则表示了特征向量的缩放比例。
二、特征值与特征向量的求解方法1. 特征值与特征向量的几何意义特征向量表示了线性变换下不变的方向，而特征值则表示了这个方向的缩放比例。
例如，对于一个二维平面上的矩阵A，如果存在一个特征向量v，使得Av=2v，那么这个特征向量表示了一个在线性变换下不变的方向，并且这个方向的缩放比例为2。
2. 特征值与特征向量的求解方法求解矩阵的特征值与特征向量有多种方法，其中最常用的方法是特征值分解和幂迭代法。
特征值分解是一种将矩阵分解为特征向量和特征值的形式的方法。
通过特征值分解，我们可以将一个矩阵表示为一个对角矩阵和一个特征向量矩阵的乘积。
特征值分解可以帮助我们简化矩阵的计算和分析。
幂迭代法是一种通过迭代矩阵的幂次来逼近特征值和特征向量的方法。
幂迭代法的基本思想是通过不断迭代矩阵的乘法，使得矩阵的幂次逼近于一个特定的特征向量。
通过幂迭代法，我们可以求解矩阵的特征值和特征向量的近似解。
除了特征值分解和幂迭代法之外，还有其他一些求解特征值和特征向量的方法，如QR分解法、雅可比迭代法等。
这些方法在不同的情况下具有不同的适用性和效率。
三、应用举例矩阵特征值与特征向量的求解方法在科学和工程领域有广泛的应用。
例如，在图像处理中，特征值与特征向量可以用来描述图像的纹理和形状信息。
在量子力学中，特征值与特征向量可以用来描述量子系统的能量和波函数。
在金融领域中，特征值与特征向量可以用来分析股票市场的波动和相关性。
求解矩阵特征值问题的算法研究
求解矩阵特征值问题的算法研究求解矩阵特征值问题是线性代数和数值计算中的重要问题。
特征值问题的一般形式为Ax = λx，其中A是一个矩阵，x是一个非零向量，λ是一个标量。
求解特征值问题即寻找矩阵A 的特征值λ和对应的特征向量x。
以下是一些常用的求解矩阵特征值问题的算法：1. 幂迭代法：幂迭代法是求解特征值问题的一种迭代方法。
该方法的基本思想是选择一个随机的初始向量x0，通过迭代计算xk+1 = Axk / ||Axk||，其中||.||表示向量的2-范数。
随着迭代的进行，x收敛到矩阵A的主特征向量，而λ则收敛到对应的主特征值。
2. QR迭代法：QR迭代法是求解特征值问题的一种迭代方法。
该方法首先通过QR分解将矩阵A分解为Q和R的乘积，其中Q是一个正交矩阵，R是一个上三角矩阵。
然后，将分解后的矩阵重新相乘得到新的矩阵A'，迭代此过程直到A'的对角线元素收敛到矩阵的特征值。
3. 特征向量分解法：特征向量分解法是求解特征值问题的一种直接方法。
该方法通过对矩阵A 进行特征向量分解得到矩阵V和对角矩阵Λ，其中V的列向量是A的特征向量，Λ的对角线元素是A的特征值。
特征向量分解法在理论上可以得到A的所有特征值和特征向量，但实际计算中对大型矩阵会较为困难。
4. Davidson方法：Davidson方法是求解特征值问题的一种迭代方法。
该方法采用子空间迭代的方式逐步构建特征子空间，并寻找特征值和对应的特征向量。
Davidson方法可以有效地处理大型矩阵，特别适合于求解特征值问题中的一部分特征对。
这些算法都有各自的优点和适用范围，研究者可根据具体问题选择合适的算法进行求解。
求矩阵的特征值与特征向量
2.则A-1的特征值和特征向量为：
1
1
1
2
1
n
u1 , u2 ,, un
3.可见， A-1的按模最大特征值的倒数即为矩阵A 的按模最小特征值。
5.2.1 逆幂法的计算公式
方法：作迭代 或 反迭代
x( k 1) A1x( k ) , k 0,1,
* 方阵C在区间[a,b]内特征值的个数 =(点a处的总连号数) –(点b处的总连号数)
P91页 例1
5.3 求实对称阵特征值的对分法
(2)求三对角阵C的全部特征值（对分法）
① 求三对角阵C的Sturm序列; ② 根据Gerschgorin定理确定矩阵C全部特征值的上界 M和下界m; ③ 对区间[m,M]对分，取中点a=(m+M)/2，计
3. Gerschgorin定理(圆盘定理)
(1)Gerschgorin盘(圆盘) 对n阶方阵A，称Di为方阵A的第i个圆盘，其中:
n Di z z aii ri , ri aij , j i j 1
(2)Gerschgorin定理(圆盘定理) 对n阶方阵A，A的全部特征值均在区域D内,其中:
k k x( k ) Ax( k 1) 11 u1 2k u 2 2 n nun )
k k 2 n k 1 1u1 2 u u n 2 n 1 1
Ax( k 1) x( k ) , k 0,1,
实际计算公式：
(1)先对A作LU分解；（ LU分解的要点: ??） (2)再解方程组： ( k 1) (k )
用迭代求特征值特征向量的方法
用迭代求特征值特征向量的方法
迭代方法是求解特征值和特征向量的常用方法之一。
其基本思想是通过迭代过程逐步逼近所求的特征值和特征向量，直到满足一定的精度要求为止。
具体来说，迭代方法一般分为幂法和反幂法两种。
其中，幂法是求解最大特征值和对应的特征向量的方法，反幂法是求解最小特征值和对应的特征向量的方法。
幂法迭代过程如下：首先任取一个非零向量作为初始向量，然后对其进行归一化处理。
接下来，将该向量与矩阵相乘，得到一个新向量。
对新向量进行归一化处理，再与矩阵相乘，重复以上过程直到收敛。
在迭代过程中，每次得到的向量都是当前矩阵的特征向量的一个近似值。
当迭代到一定次数或者收敛达到一定精度时，所得到的向量就是矩阵的最大特征值对应的特征向量。
反幂法与幂法的迭代过程基本相同，只是在每次迭代时需要对当前向量进行逆矩阵的乘法操作。
这样可以得到矩阵的最小特征值对应的特征向量。
需要注意的是，迭代求解特征值和特征向量的方法对于矩阵的条件数很敏感，因此在实际应用中需要对矩阵进行预处理和调整，以保证迭代过程的收敛性和精度。
- 1 -。
矩阵特征值问题的求解方法比较
矩阵特征值问题的求解方法比较矩阵特征值问题是线性代数中的一个重要问题，其在数学、物理、工程等应用领域中都有广泛的应用。
在实际应用中，求解矩阵特征值和特征向量是一项基础工作，因此对于不同的特征值求解方法进行比较和分析是非常重要的。
本文将从传统的基于化为特殊形式的算法到基于迭代的算法，对几种常见的特征值求解方法进行比较和分析。
一、传统算法1.1 基于幂迭代的算法幂迭代是一种基于矩阵乘法的简单直接的求解矩阵最大特征值和特征向量的方法。
其基本思想是通过不断的迭代，把向量不断“拉长”到与最大特征向量平行的方向，从而获取最大特征值和对应的特征向量。
幂迭代的复杂度是O(n3)，计算速度较慢，且只能求解最大的特征值和对应的特征向量，对于求解其他特征值和特征向量的问题则不适用。
1.2 基于QR分解的算法QR分解是将矩阵分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R的过程，可以通过不断迭代QR分解来求解特征值和特征向量。
这种方法的优点是可以同时求解多组特征值和特征向量，并且不需要知道待求解的特征值的范围。
但QR分解的计算复杂度是O(n3)，且需要对矩阵进行多次分解，因此对于大规模数据的矩阵求解来说，计算代价还是较大的。
二、基于迭代算法2.1 基于反迭代的算法反迭代是一种用于求解特征值接近某个给定值的方法，其基本思想是在计算过程中引入一个移项，对于偏离所求特征值不远的解，其迭代结果会逐步趋向给定的特征值。
反迭代的优点是计算速度很快，能够求解接近特定特征值的所有特征向量，但其在求解特征值精度上表现不佳。
2.2 基于位移的QR分解算法位移QR分解算法是QR分解的一种变形，可以通过引入一个位移来向所求特征值移动，从而得到更为精确的特征值。
在该算法中，通过对矩阵加入一个位移，得到新的矩阵，并使用QR分解方法对新矩阵进行分解，不断迭代求解，从而得到特征值和特征向量。
位移QR分解算法能够高效地求解矩阵的特征值和特征向量，但其需要进行多次QR分解，计算复杂度较高，不适合求解大规模的矩阵问题。
求矩阵特征值特征向量的进化策略算法
求解矩阵特征值及特征向量的进化策略新方法夏慧明周永权（广西民族大学数学与计算机科学学院，南宁，530006）摘要：提出了一种基于进化策略求解矩阵特征值及特征向量的新方法。
该方法可用于求解任意实矩阵的特征值及特征向量。
实验结果表明，这种基于进化策略求解矩阵特征值及特征向量的方法，相比传统方法，收敛速度较快，并且求解精度提高了10倍。
该算法能够快速有效地获得任意矩阵对应的特征值及特征向量。
关键词：实矩阵；特征值；特征向量；进化策略中图法分类号：TP183A New Evolution Strategy Method for Solving MatrixEigenvalues and EigenvectorsXia huiming Zhou Yongquan(College of math and computer science, Guangxi University for Nationalities, Nanning 530006)Abstract: In this paper, a new Evolution Strategy method for solving matrix eigenvalues and eigenvectors was proposed. Any real matrix’s eigenvalues and eigenvectors can be solved by this method. Several experimental results show that the proposed Evolution Strategy method is more efficient and feasible in solving the matrix’s eigenvalues and eigenvectors of arbitrary matrix than the tradition method. It was found that the accuracy is ten times higher than the old method and the speed convergent quickly.Keywords: real matrix; eigenvalues; eigenvectors; evolution strategy1 引言在科学和工程计算中，求解矩阵的特征值及特征向量，是最普遍的问题之一。
求矩阵特征值特征向量的进化策略算法
深入研究进化策略算法的理论基础，分析其收敛 性和稳定性，为算法的改进和应用提供理论支持 。
扩展应用
将进化策略算法应用于更多类型的矩阵问题，如 矩阵分解、矩阵函数计算等，以拓展其应用范围 。
混合算法
尝试将进化策略算法与其他优化算法相结合，形 成混合算法，以充分利用各种算法的优势，进一 步提高求解矩阵特征值和特征向量的能力。
进化策略算法简介
• 进化策略算法是一种基于达尔文进化论的优化算法，通过不 断迭代和优化，寻找问题的最优解。该算法具有全局搜索能 力强、对目标函数连续性要求低等优点，因此在许多优化问 题中得到了广泛应用。近年来，进化策略算法在求解矩阵特 征值和特征向量问题中也取得了一些进展。
02
矩阵特征值与特征向量的基本 概念
实例选择与数据准备
实例选择
为了验证进化策略算法在求解矩阵特 征值特征向量方面的有效性，我们选 择了一个3x3的实对称矩阵作为实例 。
数据准备
根据该矩阵的元素，我们构建了适应 度函数，用于评估算法的性能。同时 ，我们设定了算法的参数，如种群规 模、迭代次数等。
算法运行过程与结果展示
算法运行过程
我们按照进化策略算法的流程，首先 初始化种群，然后根据适应度函数对 种群进行评估和选择，再进行交叉和 变异操作，最后更新种群。
适用范围
该算法适用于不同类型的矩阵问题，包括实数矩阵、复数矩阵以及 奇异矩阵等，具有广泛的适用性。
参数优化
进化策略算法中的参数选择对算法性能具有重要影响，通过实验和调 整，可以找到最优参数组合，提高算法的效率和准确性。
对未来研究的建议与展望算法改进 Nhomakorabea进一步优化进化策略算法，提高其求解大规模和 高维度矩阵特征值和特征向量的能力。
矩阵的特征值与特征向量算法
矩阵的特征值与特征向量算法矩阵特征值和特征向量定义A为n阶矩阵，若数λ和n维非0列向量x满足Ax=λx，那么数λ称为A的特征值，x称为A的对应于特征值λ的特征向量。
式Ax=λx也可写成( A-λE)x=0，并且，λE-A，叫做A 的特征多项式。
当特征多项式等于0的时候，称为A的特征方程，特征方程是一个齐次线性方程组，求解特征值的过程其实就是求解特征方程的解。
依据普通线性代数中的概念，特征值和特征向量能够用传统的方法求得，可是实际项目中一般都是用数值分析的方法来计算。
这里介绍一下雅可比(Jacobi)迭代法求解特征值和特征向量。
雅可比(Jacobi)迭代法雅克比方法用于求实对称阵的所有特征值、特征向量。
Jacobi算法计算简单、稳定性好、精度高、求得的特征向量正交性好。
但当A为稀疏阵时，Givens旋转变换将破坏其稀疏性，且只能适用于实对称矩阵。
相关知识•矩阵A与相似矩阵 B = P A P-1的特征值相同。
•若矩阵Q满足QT Q = I,则称Q为正交矩阵。
显然Q-1 = QT,且正交阵的乘积仍为正交阵。
•若A为实对称矩阵，则存在正交阵Q，使Q A QT = diag(λ1,λ2,...,λn)，且QT 的列是相应的特征向量。
•实对称矩阵的特征值均为实数，且存在标准正交的特征向量系。
•Givens 旋转矩阵R(p,q,θ)是正交阵，其中Givens 旋转矩阵R原理：•Jacobi 方法用平面旋转对实对称矩阵 A 做一系列旋转相似变换，从而将A 约化为对角阵，进而求出特征值与特征向量。
•R A RT 与A元素之间的关系：为使R A RT 为对角矩阵，可选择θ为：当A为n阶实对称矩阵时，设A有非对角元，apq ≠ 0 ，设Givens 旋转矩阵R(p,q,θ)为：令C = R A RT,则有：若令C的非对角元素cpq = cqp = 0,则：C与A的元素满足下列关系：说明经旋转变换C = R A RT后，C的对角线元素平方和比A的对角线元素平方和增加了2apq2、而C的非对角元素平方和比A的非对角元素平方和减少了2apq2、如果不断的变换下去，则最后非对角元素可趋于0，即可通过一系列旋转变换，使A与一对角阵相似。
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求解矩阵特征值及特征向量的进化策略新方法夏慧明周永权（广西民族大学数学与计算机科学学院，南宁，530006）摘要：提出了一种基于进化策略求解矩阵特征值及特征向量的新方法。
该方法可用于求解任意实矩阵的特征值及特征向量。
实验结果表明，这种基于进化策略求解矩阵特征值及特征向量的方法，相比传统方法，收敛速度较快，并且求解精度提高了10倍。
该算法能够快速有效地获得任意矩阵对应的特征值及特征向量。
关键词：实矩阵；特征值；特征向量；进化策略中图法分类号：TP183A New Evolution Strategy Method for Solving MatrixEigenvalues and EigenvectorsXia huiming Zhou Yongquan(College of math and computer science, Guangxi University for Nationalities,Nanning 530006)Abstract:In this paper, a new Evolution Strategy method for solving matrix eigenvalues and eigenvectors was proposed. Any real matrix’s eigenvalues and eigenvectors can be solved by this method. Several experimental results show that the proposed Evolution Strategy method is more efficient and feasible in solving the matrix’s eigenvalues and eigenvectors of arbitrary matrix than the tradition method. It was found that the accuracy is ten times higher than the old method and the speed convergent quickly.Keywords: real matrix; eigenvalues; eigenvectors; evolution strategy1 引言在科学和工程计算中，求解矩阵的特征值及特征向量，是最普遍的问题之一。
在许多应用领域，经常使用矩阵的特征值及特征向量，如主成分分析、因子分析等都必须计算相关矩阵的特征值和特征向量。
目前，关于特征值、特征向量问题的数值解法有两种：变换法和迭代法。
其中，变换法是直接对矩阵进行处理，通过变换，使之变成较容易求解特征值、特征向量的新矩阵，但是变换方法常常存贮量较大，计算速度较慢；迭代法基金项目：国家自然科学基金( );广西自然科学基金(0542048);广西民族大学重大项目资助课题。
作者简介：夏慧明(1981-),男,硕士,主要从事于进化计算及应用方面研究。
周永权(1962- ),男, 博士,教授,主要研究方向为神经网络,计算智能及应用。
是通过一系列矩阵向量乘积而求得特征值和特征向量，常用的方法有：Lanczos法、Davidson 法等。
虽然这些方法在求解时都取得了巨大的成功，但是普遍存在着计算精度低、收敛速度慢及泛化能力弱等缺陷。
进化策略（Evolution Strategies, ES）]21[-是由和为研究风洞中的流体力子问题而提出的。
它是一种基于生物界自然选择和自然遗传机制的计算方法，利用生物变异的思想来随机改变参数值，并获得了较好的结果。
文中基于进化策略的特点，提出一种基于进化策略求解矩阵特征值及特征向量的新方法。
该方法可用于求解任意实矩阵A的特征值及特征向量。
实验结果表明，这种新的方法，相比传统方法，具有求解精度高、收敛速度快等特点，能够快速有效地求得任意矩阵的特征值及特征向量，该方法在科学与工程计算中有着广泛的应用。
2 特征值与特征向量]3[设A是一个nn⨯方阵，X是一个n维向量，乘积AXY=可以看成是n维空间内的线性变换。
若能找到一个标量λ，使得存在一个非零向量X，满足X=，则可以认为线AXλλ，此时称X是对应于特征值λ的特征向量X。
通常标量λ性变换AX(将X映射为XT=X)和向量X 可以是复数。
为了简单起见，本文特征值考虑在复数范围内，特征向量考虑在实数范围内。
定义 2。
1 如果A 是一个n n ⨯实矩阵，则它存在n 个特征值n λλλ,,,21 ，其中),,2,1(n i i =λ为实数或复数。
定义 2。
2 如果λ是A 的特征值并且非零向量V 具有如下特性：V AV λ=，则V 称为矩阵A 对应于特征值λ的特征向量。
3 进化策略算法算法实现过程如下：1) 确定问题的表达方式。
表达方式中个体由目标变量X 和标准差σ两部分组成，每部分又可以有n 个分量，即：)),,,,,(),,,,,,((),(2121n i n i x x x x X σσσσσ =X 和σ之间的关系是：⎪⎩⎪⎨⎧⋅+=⋅+⋅⋅=)1,0())1,0()1,0(exp('''i i i i i i i N x x N r N r σσσ 式中：),(i i x σ——父代个体的第i 个分量；),(''i i x σ——子代新个体的第i 个分量；)1,0(N ——服从标准正态分布的随机数；)1,0(i N ——针对第i 个分量重新产生一次符合标准正态分布的随机数； 'r ——全局系数；r ——局部系数。
上式表明，新个体是在旧个体基础上随机变化而来。
2) 随机生成初始群体：进化策略中初始群体由μ个个体组成。
初始个体是随机生成的，也可以从某个初始点))0(),0((σX 出发，通过多次突变产生μ个初始个体，该初始点可从可行域中用随机方法选取。
初始个体的标准差0.3)0(=σ。
3) 进化策略的突变是在旧个体基础上添加一个随机量，生成新个体，突变过程为：⎪⎩⎪⎨⎧⋅+=⋅+⋅⋅=)1,0())1,0()1,0(exp('''i i i i i i i N x x N r N r σσσ 式中1)2(-=n r ,1')2(-=n r ， n 是个体中所含分量的数目。
通常，r 及'r 取为1。
4基于进化策略求矩阵特征值及特征向量的步骤步骤1：求特征值1) 确定矩阵特征值个体的表达方式：表达式中个体由目标变量X 和标准差σ两部分组成，因为是在复数范围内求特征值，所以每个个体有2个分量，分别代表特征值的实部和虚部，即)),(),,((),(2121σσσx x X =。
2) 随机生成特征值初始群体：初始群体由μ个个体组成，初始个体是随机生成的，设初始个体的标准差0.3)0(=σ。
3) 计算适应度：特征值是在满足将特征值代入特征多项式后，即多项式)det(A I e -=λ的值越小时，则特征值的近似程度越好。
取适应度函数为：)1/(12e f +=，适应度值越接近1，特征值越优良，其中：10<<f ，终止条件选择一个很接近1的值ε，当适应度值大于ε时终止。
4) 若满足条件，则终止，选出最优解。
否则，继续向下进行。
5) 根据进化策略，采用产生新群体：重组：从父代个体中随机取出两个个体，交换目标变量和随机因子，产生新个体。
目标变量与随机因子均采用黄金分割重组。
突变：对重组后的个体添加随机变量，按照式))1,0()1,0(ex p(''i i i N r N r ⋅+⋅⋅=σσ与)1,0('i i i i N x x ⋅+=σ产生新个体。
其中r 及'r 取为1，2,1=i 。
计算个体适应度f 。
选择：采用),(λμ选择策略，挑选优良的个体作为进化的结果。
6) 反复执行第5)步，直到满足终止条件，选择最佳的个体作为进化策略的结果，即所求的最优特征值。
步骤2: 求特征向量7) 对步骤1中所求的特征值进行整理，设误差限0000000001.0=η，若特征值的虚部的绝对值小于η时，则记该特征值为实数。
从步骤1中找出所有的实特征值，求实特征值相应的特征向量。
8) 随机生成μ个初始群体，每一个个体),(σX 包含n 个分量（n 为矩阵A 的阶数）。
即)),,,,,(),,,,,,((),(2121n i n i x x x x X σσσσσ =，其中),,,,,(21n i x x x x 为特征向量个体。
初始个体的标准差取0.3)0(=σ。
9) 计算适应度：取适应度函数为)1/(1d g +=，d 为将特征向量X 代入线性方程组：X AX λ=，经整理可写成：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0)(0)(0)(21X f X f X f n 然后，令∑==ni i X f d 12)(，若适应度值越接近1，则表示特征向量越优，10<<g ，终止条件选择一个很接近1的值ε，当适应度值大于ε时终止。
10) 若满足条件，则终止，选出最优解。
否则，继续向下执行。
11) 根据进化策略，采用 产生新群体：重组：从父代个体中随机取出两个个体，交换目标变量和随机因子，产生新个体。
目标变量与随机因子均采用黄金分割重组。
突变：对重组后的个体添加随机变量，按照式))1,0()1,0(ex p(''i i i N r N r ⋅+⋅⋅=σσ与)1,0('i i i i N x x ⋅+=σ产生新个体。
其中r 及'r 取为1，n i ,...,2,1=。
计算个体适应度g 。
选择：采用),(λμ选择策略，挑选优良的个体作为进化的结果。
12) 反复执行第11)步，直到满足终止条件，选择最佳的个体作为进化策略的结果，即为与实特征值相对应的最优特征向量。
5 仿真实例为了验证本文算法在求解矩阵特征值与特征向量时的正确性，适应度函数分别取为：①求特征值时取)1/(12e f +=，其中)det(A I e -=λ；②求特征向量时取)1/(1d g +=，其中∑==ni i X f d 12)(。
根据上节算法的思想，当f 与g 的值越接近1 时，表示特征值、特征向量与精确解间的误差越小；③以下算例，均采用),(λμ选择策略，其中20=μ， 1407=*=μλ，终止条件均取9999999999.0=ε；④精确解由Maple 软件求得。
例1 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=266157113A 的特征值及与实特征值相对应的特征向量。
由本文算法，可求出矩阵的特征值及与实特征值相对应的特征向量，结果见表1。