第七章 非线性系统2
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(优选)自动控制原理第七章非线性系统
1, x 0 signx 1, x 0
0
xa
y k( x asignx) x a
3 滞环特性
滞环特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起，而是
在输入--输出曲线上出现闭合环路。其静特性曲线如图7-3
所示。其数学表达式为：
y
b
y
k(
x asignx) bsignx
y0 y0
-a
0a
x
（优选）自动控制原理第七章 非线性系统
7.1 典型非线性特性
在控制系统中，若控制装置或元件其输入输出间的静 特性曲线，不是一条直线，则称为非线性特性。如果这 些非线性特性不能采用线性化的方法来处理，称这类非 线性为本质非线性。为简化对问题的分析，通常将这些 本质非线性特性用简单的折线来代替，称为典型非线性 特性。 7.1.1 典型非线性特性的种类
描述函数法是非线性系统的一种近似分析方法。首先利用描 述函数将非线性元件线性化，然后利用线性系统的频率法对系统 进行分析。它是线性理论中的频率法在非线性系统中的推广，不 受系统阶次的限制。
分析内容主要是非线性系统的稳定性和自振荡稳态，一 般不给出时域响应的确切信息。 7.2.1 描述函数的定义
1.描述函数的应用条件
2．死区特性
死区又称不灵敏区，在死区内虽有输入信号，但其输
出为零，其静持性关系如图7-2所示。
y
其数学表达式为
k -a
0a
x
0,| x | a
y
k(x
a),
x
a
k( x a), x a
若引入符号函数
图7-2 死区特性
死区小时，可忽略；大 时，需考虑。工程中，为抗 干扰，有时故意引入。比如 操舵系统。
第七章非线性系统
第七章非线性系统第一节，非线性的大体概念一，非线性模型组成：非线性环节+线性环节二，分类从形状特性上分：饱和、死区、回环、继电器a,饱和x三，特点：稳固性与结构，初始条件有关；响应不能用叠加原理四，分析方式相平面法（实际限于二阶非线性系统）较精准，因高阶作用太复杂描述函数法：近似性，高阶系统也很方便1，2四，滞环特性（间隙）7—2 二阶线性和非线性系统相平面法分析一、相平面法大体概念要完全地描述二阶的系统时域行为，至少要用两个变量（状态变量）。
可选x(t) 和)(t x作为状态变量。
1． 相平面：以横坐标表示X ，以纵坐标x组成一个直角坐标系， 2． 相轨迹：相平面上的点随时刻转变刻画出来的曲线称为相轨迹。
3． 相平面图：相平面和想轨迹曲线簇组成相平面图。
4． 想平面法：用相图表示非线性二阶系统进程的方式成相平面法，5． 相平面发局限性在于只适用在定常系统，系统输入只适限于阶跃和斜坡。
举例：例8—1 某弹簧——质量运动系统。
m —质量，k —弹性系数解：描述系统运动的微分方程为：直接微分法。
方程x ∙∙+x=0 可写成 x ∙dx ∙/dx=--x分离变量x ∙dx=--xdx 代入初始条件∫x ∙dx ∙=--∫xdx即 x+x=Xo 与上法结果相同。
分析：等幅振荡特性能够用相轨迹表征 ，相轨迹为闭合曲线。
一. 奇点1. 概念:相轨迹方程dx`/dx 为不定值的点dy/dx=0/04.奇点类型1) 稳固核心(-1<ζ<0) 相轨迹从原点向外发散,自由运动不收敛平稳点,是周期性增幅振荡二. 极限环分类相平面上孤点的闭和曲线称为极限环,与初始条件无关. 极限环表示对应于时域中有确信振幅和频率的振荡，极限环包括 稳固极限环 不稳固极限环 半稳固极限环稳固极限环：极限环外部和内部起始的相轨迹都渐进趋向于那个极限环,任何较小的扰动使系统离开极限环后,最后回到环上。
不稳固极限环、半稳固极限环不能产生自振荡,环内相轨迹发散、极限环外相轨迹收拢极限环7—3非线性系统的相平面分析第一依照非线性特性的分段情形,用几条分界限将相 划分为几个现行区域1) 然后依照系统的结构图别离列写各区域的线性微分方程式2) 并应用线性系统相平面分析的方式和结论,绘出各区域的相轨迹3) 依照系统状态转变的持续性,在各区域的交壤限上,将响轨迹彼此衔接成持续曲线,即组成完整的线性系统相图实奇点：每一个区域内有一个奇点,若是那个奇点在本区域之内,这种奇点称实奇点 虚奇点：若是奇点落在本区域之外,称虚奇点说明该区域相轨迹不可能聚集于虚奇点. 二阶非线性系统中,只可能有一个实奇点,而与那个实奇点所在区域邻接的所有其它区域都可能有虚奇点操纵系统分析例: 饱和特性的非线性操纵系统，用相平面法分析系统的阶跃响应和斜坡响应解：系统线性部份c(s)/x(s)=s+1) ``+c`\ e=r-c非线性部份：10e |e|<1x= 10 e>1-10 e<-1阶跃响应r=Rx1(t)，当t>0+时r``(t)=r`(t), r=R e`=-c`, e``=-c``描述系统误差的方程为``+e`+=0x=10e |e|<=1x=10 e>1x=-10 e>1即为方程线性方程，在相平面上，e=+-1的两条直线把相平面划分为三个区域，1) 关于1区，系统线性微分方程为``+e`+=0de`/de=-e` 相轨迹方程。
自动控制原理第七章非线性控制系统的分析
X X
这里，M=3，h=1
负倒描述函数为
N 1 X
X
12 1 1 2
X
X 1
X 1, N 1 X , N 1
必有极值
d N 1X 令
0 dX
得 X 2
N 1 2
2
0.523
12
1
1 2
2
6
X： 1 2
-N-1(X)： 0.523
2.自振的稳定性分析
在A点，振幅XA，频率A。
扰动：
X : A点 C点 C点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由C点向B点运动；
A点一个不稳 定的极限环。
X : A点 D点 D点不被G(j)轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由D点左移。
在B点，振幅XB，频率B 。 扰动：
X : B点 E点 E点不被G(j) 轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由E点到B点；
X : B点 F点 F点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由F回到B点。
B点呈现稳定的自激振荡:振幅XB ,频率B。
3.闭环系统稳定性判别步骤
1）绘制非线性部分的负倒描述函数曲线和线 性部分的频率特性曲线。
2）若G(j)曲线不包围“-N-1(X)”曲线，则系统稳定。 若G(j)曲线包围“-N-1(X) ”曲线，系统不稳定。 若G(j)曲线与“-N-1(X)”曲线相交，系统出现自振。
3）若G(j )曲线与“-N-1(X)”曲线有交点，做以 下性能分析：
（1）不稳定的极限环
（2）稳定的极限环 计算自振频率和幅值。
例1：非线性系统如图所示,其中非线性特性为 具有死区的继电器,分析系统的稳定性。
0e
这里，M=3，h=1
负倒描述函数为
N 1 X
X
12 1 1 2
X
X 1
X 1, N 1 X , N 1
必有极值
d N 1X 令
0 dX
得 X 2
N 1 2
2
0.523
12
1
1 2
2
6
X： 1 2
-N-1(X)： 0.523
2.自振的稳定性分析
在A点，振幅XA，频率A。
扰动：
X : A点 C点 C点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由C点向B点运动；
A点一个不稳 定的极限环。
X : A点 D点 D点不被G(j)轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由D点左移。
在B点，振幅XB，频率B 。 扰动：
X : B点 E点 E点不被G(j) 轨迹包围，稳定，
振幅 ，工作点由E点到B点；
X : B点 F点 F点被G(j)轨迹包围，不稳定，
振幅 ，工作点由F回到B点。
B点呈现稳定的自激振荡:振幅XB ,频率B。
3.闭环系统稳定性判别步骤
1）绘制非线性部分的负倒描述函数曲线和线 性部分的频率特性曲线。
2）若G(j)曲线不包围“-N-1(X)”曲线，则系统稳定。 若G(j)曲线包围“-N-1(X) ”曲线，系统不稳定。 若G(j)曲线与“-N-1(X)”曲线相交，系统出现自振。
3）若G(j )曲线与“-N-1(X)”曲线有交点，做以 下性能分析：
（1）不稳定的极限环
（2）稳定的极限环 计算自振频率和幅值。
例1：非线性系统如图所示,其中非线性特性为 具有死区的继电器,分析系统的稳定性。
0e
第七章 非线性系统
2 2 x (0.5 3x ) x x x 0
解：由 奇点为
0 x ) 0 f ( x, x
0 x x 0
0 x x 1
在奇点邻域，其线性化方程为
在奇点
) f ( x, x x
0 x x 0
x
x
x
x 0
在相平面上闭合的相轨迹表现为 非线性系统的自持振荡。
6. 相平面图分析
1、分区作出系统的相平面图。 2、分析系统的稳定性。 3、分析系统是否具有极限环。 4、参考线性系统的性能指标来考虑该非线 性系统的调节时间与超调量等。
例：继电控制系统，阶跃信号作用下，试 用相平面法分析系统运动。
-KM
II 区:e<0
2.给定初值 (0, e0 ) 作相轨迹
e
3.系统性能分析
运动是分区的组合， e 0 为翻转条件， 运动连续，有 振荡
=0
KM
Mp
B A
e0
e
=0
-KM
II 区:e<0 I 区:e>0
§7.3 描述函数法
1. 描述函数的定义
本质非线性 固有特性
R(s) +-
+-
G0 (s)
C(s)
闭环特征方程
描述函数 固有特性
1 N ( X )Go ( j ) 0
1 G o ( j ) N(X)
R(s) +-
N(X)
G0 (s)
C(s)
非线性系统的稳定性描述 当 Go ( j ) 曲线不包围 该非线性系统是稳定的。
1 N(X )
X G(j)
远离奇点 包围奇点
解：由 奇点为
0 x ) 0 f ( x, x
0 x x 0
0 x x 1
在奇点邻域，其线性化方程为
在奇点
) f ( x, x x
0 x x 0
x
x
x
x 0
在相平面上闭合的相轨迹表现为 非线性系统的自持振荡。
6. 相平面图分析
1、分区作出系统的相平面图。 2、分析系统的稳定性。 3、分析系统是否具有极限环。 4、参考线性系统的性能指标来考虑该非线 性系统的调节时间与超调量等。
例：继电控制系统，阶跃信号作用下，试 用相平面法分析系统运动。
-KM
II 区:e<0
2.给定初值 (0, e0 ) 作相轨迹
e
3.系统性能分析
运动是分区的组合， e 0 为翻转条件， 运动连续，有 振荡
=0
KM
Mp
B A
e0
e
=0
-KM
II 区:e<0 I 区:e>0
§7.3 描述函数法
1. 描述函数的定义
本质非线性 固有特性
R(s) +-
+-
G0 (s)
C(s)
闭环特征方程
描述函数 固有特性
1 N ( X )Go ( j ) 0
1 G o ( j ) N(X)
R(s) +-
N(X)
G0 (s)
C(s)
非线性系统的稳定性描述 当 Go ( j ) 曲线不包围 该非线性系统是稳定的。
1 N(X )
X G(j)
远离奇点 包围奇点
自动控制原理 第七章 非线性系统
实质上是应用谐波线性化的方法，将非线性特性线性化， 然后用频域法的结论来研究非线性系统，它是线性理论 中的频率法在非线性系统中的推广，不受系统阶次的限 制。
（2）相平面法（本质非线性）：图解法。通过在相平 面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下 的解。是一种时域分析法，仅适用于一阶和二阶系统。
1
ωt
y1 (t ) B1 sint
由式（7-15）可得饱和特性的描述函数为
B1 2k a a a 2 N ( A) arcsin 1 ( ) A A A A
M sin td ( t )
yMFra bibliotek0 π2π
ωt
所以基波分量为：
y1 ( t )
4M
sin t
故理想继电器特性的描述函数为
Y1 4M N ( A) 1 A A
2.饱和特性
请牢记！
即 N(A)的相位角为零度,幅值是输入正弦信号A的函数.
当输入为x(t)＝Asinωt，且A大于线性区宽度a 时， 饱和特性的输出波形如图7-10所示。
7.1.3
非线性系统的分析方法
非线性的数学模型为非线性微分方程，大多数尚无
法直接求解。到目前为止，非线性系统的研究还不成熟， 结论不能像线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系 统的结构，输入及初始条件等具体情况进行分析。工程 上常用的方法有以下几种：
（1）描述函数法（本质非线性）：是一种频域分析法，
r(t)=0 x
N
y
G(s)
c(t)
图7-8 非线性系统典型结构图
（2）非线性环节的输入输出静特性曲线是奇对称的，即 y(x)=-y(-x)，以保证非线性元件在正弦信号作用下的输出不 包含直流分量。 （3）系统的线性部分具有良好的低通滤波特性。能较好的滤 除非线性环节在正弦输入下输出中的高次谐波，于是可以认 为在闭环通道中只有基波分量在流通，此时应用描述函数法 所得的分析结果才是比较准确的。实际系统基本都能满足。
第7章 非线性系统
24
25
【步骤5】在系统中加入滞环非线性环节，系统框图 如图所示：
26
结论： 随着滞环宽度 的增加，系统 振荡加剧，变 得越来越不稳 定。
27
分析： 对比以上各图，可分析出非线性环节对控制系统稳定 性的影响: 当系统中存在饱和非线性环节时，响应较 慢，但超调减小；死区环节对0附近小范围的输入信号 无影响，而当输入超过这个“不灵敏区”后，输出与输 入呈现出线性；滞环环节会引起系统的振荡，使系统 变得不稳定。
31
相平面分析方法: 由于相平面图表示了系统在各种初始条件下的运动过 程，因而，只要绘出了系统的相平面图，就可以用它来分 析： 1）系统的稳定性； 2）瞬态响应性能； 3）稳态误差。 下面举二个例子进行说明：
32
例7-2.设系统的微分方程为：
x
x+ x+ x =0
其相平面图如右图所示 图中的箭头表示系统的状 态沿相轨迹的移动方向。 由图可知： （1）在各种初始条件下（任意一 条相轨迹），系统都趋向原点 （0,0）,说明原点是系统的平衡点，
39
2、非线性系统的奇点 设非线性系统的方程为：
x + f ( x, x ) = 0
(7-7)
只要 f ( x, x ) 是解析的，总可以将方程在奇点附近线性化。 设：奇点为 ( xi , xi ) ， f ( x, x ) 线性化为 g ( x, x) 即：
∂f ∂f g ( x, x ) = ( x − xi ) + ( x − xi ) ∂x xi ∂x xi
⎧ 0 ⎪ y=⎨ ⎪k ( x − Δsignx ) ⎩
x ≤Δ x >Δ
(7-2)
对系统的影响： （1）使系统产生稳态误差（尤其是测 量元件）。 （2）可能会提高系统的抗干扰能力或 减少振荡性。 来源： （1）测量元件的不灵敏区; （2）弹簧的预张力; （3）执行机构的静摩擦.
第七章非线性控制系统
自动控制理论
第七章
第七章 非线性控制系统
第一节 非线性系统的基本概念
第二节 非线性特性的一种线性近似表示--描述函数 第三节 典型非线性特性的描述函数 第四节 分析非线性系统的谐波平衡分析法 第五节 非线性系统性能改进及非线性应用 小结
CHANG’AN UNIVERSITY
长安大学信息工程学院
自动控制理论
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长安大学信息工程学院
自动控制理论
第七章
式中：A0
1
2
2
y(t)dt
0
1
An
2
y(t) cos ntdt
0
Bn
1
2
y(t) sin ntdt
0Байду номын сангаас
Yn An2 Bn2
n
arctan
An Bn
对于奇对称函数
A0 0
k 2 )[sin
1
a A
a A
1 ( a )2 ] A
(A a)
CHANG’AN UNIVERSITY
非线性增益II
N(A)
k3
2
(k1
k2
)[sin1
a A
a A
1 ( a )2 ] A
2
(k 2
k3)[sin1
s A
s A
1 ( s )2 ] A
(A s)
特征：当输入信号在零位附近变化时，系统没有输出。当
输入信号大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关。
死区特性对系统性能的影响： 各系测类统量液的变压库送阀伦装的摩置正擦的重；不叠灵量敏； 区；（了定1）位增精大度了。系统的稳态误差，降低 调节器和执行机构的死区； （2）减小了系统的开环增益，提高
第七章
第七章 非线性控制系统
第一节 非线性系统的基本概念
第二节 非线性特性的一种线性近似表示--描述函数 第三节 典型非线性特性的描述函数 第四节 分析非线性系统的谐波平衡分析法 第五节 非线性系统性能改进及非线性应用 小结
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第七章
式中：A0
1
2
2
y(t)dt
0
1
An
2
y(t) cos ntdt
0
Bn
1
2
y(t) sin ntdt
0Байду номын сангаас
Yn An2 Bn2
n
arctan
An Bn
对于奇对称函数
A0 0
k 2 )[sin
1
a A
a A
1 ( a )2 ] A
(A a)
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非线性增益II
N(A)
k3
2
(k1
k2
)[sin1
a A
a A
1 ( a )2 ] A
2
(k 2
k3)[sin1
s A
s A
1 ( s )2 ] A
(A s)
特征：当输入信号在零位附近变化时，系统没有输出。当
输入信号大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关。
死区特性对系统性能的影响： 各系测类统量液的变压库送阀伦装的摩置正擦的重；不叠灵量敏； 区；（了定1）位增精大度了。系统的稳态误差，降低 调节器和执行机构的死区； （2）减小了系统的开环增益，提高
7第七章非线性系统的分析
第七章 非线性系统的分析
5、 ( 1)
jω
××
λ1 λ2
x
x
系统的运动是非周期发散运动。相轨迹是由原点出发的发散 型抛物线。原点处的奇点称为不稳定节点。
第七章 非线性系统的分析
6、
, 为一正一负两实根
12
jω
×
λ1
0
×
λ2
x
x
系统的自由运动是发散运动，原点处的奇点称为鞍点。 以上6种奇点，类似的奇点在非线性系统中也常见到。
复平面中，根据二者的相对位置可分析非线性系统的稳定
性。
一、非线性系统稳定
Im
1 不被G(j)包围
N(X)
x a
1 N(X)
0
Re
G( j)
第七章 非线性系统的分析
二、非线性系统不稳定 1 被G( j)包围
N(X)
三、非线性系统产生自持振荡
1 与G(j)相交
N(X)
图示系统在a点产生稳定的自 持振荡。由交点可确定自持 振荡的频率和幅值。
Im
0
Re
x a
G( j) 1
N(X)
Im
1 N(X)
a0
Re
x b a
G( j)
非线性系统即使无外界作用，也可能会发生某一 固定振幅和频率的振荡，称为自持振荡。
３、频率响应畸变 非线性系统在输入为正弦函数时，输出为包含一定数
量的高次谐波的非正弦周期函数。
第七章 非线性系统的分析
线性系统分析可用叠加原理，在典型输入信号下系 统分析的结果也适用于其它情况。
非线性系统不能应用叠加原理，没有一种通用的方 法来处理各种非线性问题。
自动控制原理-第七章 非线性系统分析
p p p ( x1 , x 2 ) ( x1 x 10 ) ( x 2 x 20 ) x1 x 2 Q ( x , x ) Q ( x x ) Q ( x x ) 1 2 1 10 2 20 x1 x 2
p ( x1 , x 2 ) a ( x1 x10 ) b( x 2 x 20 ) Q( x1 , x 2 ) c( x1 x10 ) d ( x 2 x 20 )
c 区域： a Tc c k m
c k m c 1 （k m c) T T ct 0 由奇点定义： k m c 0 c 常数 c k m 1 k m c dc T dc c 区域： c 常数 奇线： c k m
§7-4
奇点及极限环
dx 0 奇点概念：相轨迹上满足 dx 0 不定式的特殊点，称为奇点。
在奇点处有多条相轨迹穿过或趋于该奇点，相当于系统处于 平衡状态 一 奇点分类：(线性系统)
2 2 n x n x 0 x 2 2 n x n x x dx 2 x dx 2 n x n x dt (*) 相轨迹方程 dx x dx x dt
介绍：典型非线性特性、相平面法、描述 函数法
§7-1引言
稳定性 1．线性系统与非线性系统区别： 输出曲线 等幅振荡 稳态输出
2．非线性特性（典型） 1）死区
0 x a y k ( x a ) x a k ( x a ) x a
0 = k ( x aSignx)
x1 a ( x1 x 10 ) b( x 2 x 20 ) x 2 c( x1 x10 ) d ( x 2 x 20 )
自动控制原理第七章非线性系统分析
02
非线性系统的分析方法
相平面法
相平面法是一种通过绘制系统的 相图来分析非线性系统的动态行
为的方法。
它通过将系统的状态变量绘制在 二维平面上，显示系统的平衡状 态、周期运动和混沌运动等不同
状态。
相平面法可以用于分析非线性系 统的稳定性、分岔和混沌等现象。
描述函数法
描述函数法是一种通过引入描 述函数来分析非线性系统的频 率特性的方法。
滑模控制是一种变结构控制方法，通过设计滑模面和滑模控制器，使 得系统状态在滑模面上滑动，以达到控制系统的目的。
非线性系统的设计方法
相平面法
通过分析非线性系统的相轨迹，了解系统的动态行为，并 设计适当的控制器来控制系统状态。
描述函数法
通过分析非线性系统的频率特性，了解系统的动态行为， 并设计适当的控制器来控制系统状态。
它通过将非线性系统近似为线 性系统，并利用频率响应函数 来描述系统的频率特性。
描述函数法可以用于分析非线 性系统的谐振、倍周期分岔等 现象。
逆系统法
逆系统法是一种通过构建逆系统来补偿非线性系 统的非线性特性的方法。
它通过设计一个逆系统来抵消原系统的非线性， 从而将非线性系统转化为线性系统进行处理。
根轨迹法
根轨迹法是通过绘制系统的根轨迹图来分析系统的稳定性，根轨迹是指系统的极点随参数变化而变化 的轨迹。
劳斯稳定判据
劳斯稳定判据是判断线性系统稳定性的重要方法之一，其基本思想是通过 计算系统的极点，判断极点是否位于复平面的左半部分。
劳斯稳定判据的优点是简单易行，适用于多变量系统，可以同时考虑系统 的所有极点。
03
非线性系统的稳定性分析
定义与特点
定义
非线性系统的稳定性是指系统在受到 扰动后，能否恢复到原来的平衡状态 。
第七章 非线性系统的分析2
b
-b e0
k e
-e0
常见于齿轮传动机构、铁磁 元件的磁滞现象。可使系统 的稳态误差增大，也使系统 的动态特性变差。
m a x(t ) a, x' (t ) 0 0 0 a x(t ) m a, x' (t ) 0 y (t ) bsignx(t ) x(t ) a b x(t ) m a, x' (t ) 0 x(t ) m a, x' (t ) 0 b
描述方程（1）的解，也就是用质点的状态（如位置和 动量） 。用 x 和 x 动量）来表示质点的运动。在物理学中，这种不直接用时间变量而用状 态变量表示运动的方法称为相空间法，也称为状态空间法。在自动控制 的平面称为相平面，相平面是二维的 理论中，把具有直角坐标的 x 和 x 状态空间。
一、线性二阶系统奇点的类型
x x ( ) 2 ( x 1 ) 2 ( ( ) 2 ( x1 1 ) 2 ) A 2 w w
x 和 的关系 x （1）解析法 绘制相轨迹的关键在于找出 的关系，从而可在相平面上绘制 x, x 用求解微分方程的办法找出 相轨迹，这种方法称为解析法。解析法分为
t a.消去参变量 f (x , x ) 直接解出x (t ) ，通过求导得到x (t ) 。在这两个解中消去作为 x 由 的关系。 t ，就得到 xx 参变量的
50 54.4 58 61 63.4 68.2 71.6 76 84.8 21.8 11.3 0 26.6 45 63.4 76 84.3
等倾线。相轨迹必然以 的斜率经过等倾线
第七章非线性系统的分析
2、死区非线性
x1 ≤ ∆ 0, x2 = k ( x1 − ∆signx1 ), x1 > ∆
1 signx1 = −1
x1 > 0 x1 < 0
在实际系统中死区可由众多原因引起，它对系统可产生不同的 影响：一方面它使系统不稳定或者产生自振荡；另一方面有时 人们又人为的引入死区特性，使系统具有抗干扰能力。
第七章 非线性控制系统
7-2
1、饱和非线性
kx1 = x2 = ka x2 m −ka = − x 2m
典型非线性环节
x1 < a x1 ≥ a x1 ≤ −a
x2m
x2
−a
0
k
a
x1
此处：输入 x1 − − − − x2 − − − −输出 k − − − −比例系数
− x2m
第七章 非线性控制系统
第七章 非线性控制系统
4）混沌(Chaos)
蝴蝶效应（ The Butterfly Effect） 是指在一个动力系统中，初始条 件下微小的变化能带动整个系统 的长期的巨大的连锁反应。这是 一种混沌现象。 核心理念：看似微不足道的细小 变化，却能以某种方式对社会产 生微妙的影响，甚至影响整个社 会系统的正常运行。
第七章 非线性控制系统
r(t)
e(t)
N(A,ω) NLS
x(t)
G(s)
c(t)
非线性系统的闭环“传递函数”：
G ( jω ) N ( A, ω ) Φ ( jω ) = 1 + G ( jω ) N ( A, ω )
0 闭环“特征方程”： 1 + G ( jω ) N ( A, ω ) =
即
1 G ( jω ) = − N ( A, ω )
第七章 非线性系统
二阶非线性系统解的轨迹能用平面上的曲线表示，因此非 线性系统的许多概念都能有简单、明确的几何解释。相平面 法是一种求解二阶非线性方程的图解方法，是状态空间法在 二维空间情况下的应用。用这种方法不但能判定非线性系统 的稳定性，还可以给出系统的时间响应。
xoBox
§7－2
相平面法
设二阶系统的微分方程为
xoBox
二、典型非线性特性 常见的非线性元件或系统的特性可划分为以下几种。 1．死区(不灵敏区)特性 死区特性的输入输出关系如图7—1所示， 输入在低于某值时无输出。例如测速发电 机的输出电压与输入转速应成正比，但由 于有电刷压降的存在，只有在转速超过某 一值后，才会有电压的输出，形成了一定 的转速、电压关系的死区。二极管正向开 放电压、机械运动中的静摩擦等都能产生死区。 死区的存在会使系统的稳态误差增大，在调速系统中使低 速运动的不平滑性增大。
点附近对非线性系统进行线性化的方法。这种方法前面已经作 过介绍。线性化后的系统就可按线性系统的方法来分析计算。 当然不要忘记，这种分析计算的结果只是在限制条件下才是有 效的。如果系统的非线性因素既不能忽略，又不符合线性化处 理的条件，则就要按非线性系统的概念来进行讨论了。对非线 性系统的分析计算还是要采用近似的或数值计算的方法，而且 往往是具体情况要具体处理。本章介绍的描述函数法和相平面 法，用于分析非线性系统是相当烦琐和困难的，因此，只是提 供一些基本的概念和方法，对非线性系统的分析主要使用 xoBox分析软件的非线性仿真功能。 系统的非线性一般会对系统的工作产生不利的影响，但在某 些情况下，人为地使系统非线性也可以使控制系统结构简化而 又改善系统的某些性能。因此正确运用非线性系统的概念，在 系统没计中也是至关重要的。
xoBox
4．继电特性 一般的继电特性的输入 输出关系如图7－4所示。它相当于上述三 种特性的综合：输出存在死区，当输入达 某值时，输出立即跃变为定值，相当于饱 和，而在输出饱和区中又存在回环。电器。 中的继电器的工作特性就是典型的例子，由于吸合、释放电 压的不同而形成这种特性。继电特性一般是人为的，可以用 来改善系统性能，但也可能带来不利的作用。
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§7－2
相平面法
设二阶系统的微分方程为
xoBox
二、典型非线性特性 常见的非线性元件或系统的特性可划分为以下几种。 1．死区(不灵敏区)特性 死区特性的输入输出关系如图7—1所示， 输入在低于某值时无输出。例如测速发电 机的输出电压与输入转速应成正比，但由 于有电刷压降的存在，只有在转速超过某 一值后，才会有电压的输出，形成了一定 的转速、电压关系的死区。二极管正向开 放电压、机械运动中的静摩擦等都能产生死区。 死区的存在会使系统的稳态误差增大，在调速系统中使低 速运动的不平滑性增大。
点附近对非线性系统进行线性化的方法。这种方法前面已经作 过介绍。线性化后的系统就可按线性系统的方法来分析计算。 当然不要忘记，这种分析计算的结果只是在限制条件下才是有 效的。如果系统的非线性因素既不能忽略，又不符合线性化处 理的条件，则就要按非线性系统的概念来进行讨论了。对非线 性系统的分析计算还是要采用近似的或数值计算的方法，而且 往往是具体情况要具体处理。本章介绍的描述函数法和相平面 法，用于分析非线性系统是相当烦琐和困难的，因此，只是提 供一些基本的概念和方法，对非线性系统的分析主要使用 xoBox分析软件的非线性仿真功能。 系统的非线性一般会对系统的工作产生不利的影响，但在某 些情况下，人为地使系统非线性也可以使控制系统结构简化而 又改善系统的某些性能。因此正确运用非线性系统的概念，在 系统没计中也是至关重要的。
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4．继电特性 一般的继电特性的输入 输出关系如图7－4所示。它相当于上述三 种特性的综合：输出存在死区，当输入达 某值时，输出立即跃变为定值，相当于饱 和，而在输出饱和区中又存在回环。电器。 中的继电器的工作特性就是典型的例子，由于吸合、释放电 压的不同而形成这种特性。继电特性一般是人为的，可以用 来改善系统性能，但也可能带来不利的作用。
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就是谐波线性化的基本出发点。在这种情况下，同样可以讨
论非线性元件输出与输入正弦函数的幅值比和相位差，但这 个幅值比和相位差与输入正弦函数的幅值有关，或者说它是 输入幅值的函数。如果用复数来表示幅值比和相位差与输入 幅值的函数关系，那么这个复变函数就称为非线性元件的描
述函数。
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种特性的综合：输出存在死区，
当输入达某值时，输出立即跃变
为定值，相当于饱和，而在输出 饱和区中又存在回环。
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5．变增益特性
在输入信号不同范围
时，元件或系统的增益也不同，小信号时
增益低，大信号时增益高(当然也可以相 反)。 这种特性一般是人为设置的，可以用来影响系统的性能；
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第七章
非线性系统
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第七章
§ 7 —1
一、概述
非线性系统 自动化与电气工程学院
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令输入
，则环节的正弦响应函数χc为
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将χc按富氏级数展开，由于饱和特性是单值奇对称的务, 促教学, 兴科研!
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•用描述函数分析非线性系统的性能
r
x
非线性部分N
y
线性部分G(s)
非线性系统的基本概念
当系统中所有元件都具有线性的输入输出关系时，它就 是线性系统，否则就是非线性系统。线性系统和非线性系统
在输入输出特性上的本质区分是前者具有叠加性和齐次性，
而后者则不具有这些性质。 系统在以下两种条件下工作时，可按线性系统来处理， 一是系统中的非线性因素对系统的工作影响极小，完全可以 忽略不计，二是系统具有非线性的性质，但在某些限制条件 下，如在某一工作点上工作，输入小信号。
xc1 (t ) A1 cos t B1 sin t
式中
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（7-5）
X c1 sin( t 1 )
于是可得到非线性环节的描述函数为
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求非线性环节的描述函数时，必须先 求非线性环节的正弦响应函数χc （ t ）， 然后再把χc （ t ）按傅立叶级数展开即 可。 下面通过求图7-9 所示饱和特 性的描述函数来进一步说明求取描述函 数的方法。 饱和特性的数学表达式为
还可以起抑制高频低振幅噪音的作用。
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三、非线性系统的工作特点 描述非线性系统运动过程的数学模型是非线性微分方程， 它不能使用叠加原理。非线性系统的运动规律也与线性系统 有许多不同之处。例如 (1)线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，而与输
入信号的大小及系统的初始条件无关。但非线性系统的稳定
性，除了和系统的结构和参数有关外，还与输入信号的大小 及系统的初始条件有关。
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(2)线性系统暂态过程的形式与初始条件或外作用的大小无
关，如果线性系统在某一初始条件或某一输入幅值下的时间
响应是衰减振荡的形式，那么它在任何初始条件或同一形式 输入的任何幅值下的时间响应将仍是衰减振荡的形式。对于 非线性系统，它的暂态过程的形式与初始条件有关。
§7—3
描述函数法
一、概述 如果非线性系统的阶数高于二阶则相轨迹法不再适用，对 此可以用描述函数法进行分析。
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自动化与电气工程学院 §7—3
一、概述 如果非线性系统的阶数高于二阶则相轨迹法不再适 用，对此可以用描述函数法进行分析。
描述函数法
对于线性元件或系统，当输入正弦函数时，它的
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例7-1 非线性系统如图7－7所示，绘制相轨迹。 解 系统线性部分的微分方程为
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系统非线性部分特性为
为使系统的平衡点移至相平面原点,可令 则可得到
于是有
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初始状态确定后，例如 ，将状态变量值代入上式就可开始绘图 了，由于非线性特性f(e)有三种可能的值， 因此在计算斜率时，要根据χ1 的大小正 确选用f(e)三种取值中的一个。绘出的相 轨迹如图7-8 例7-1的相轨迹所示。 用xoBox软件绘制相轨迹非常简单，只需输入非线性特性的 特征值、线性部分的传递函数及初始状态值即可。上例用 xoBox 软件绘制的相轨迹与图 7-8 一样。由图可知，系统稳定， 并且无振荡。稳态误差0.05 。
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(3)定常线性系统在没有外作用时，只有在阻尼系数 ζ＝0时才可能发生等幅的周期振荡，而实际上，任 何真实的物理系统都存在不同程度的阻尼，即阻尼 系数不可能为零。退一步说，即使系统能达到ζ＝0
的临界状态，由于各种扰动，等幅的周期振荡也是
不可能维持的。对于非线性系统，在没有外作用时， 也可能会产生频率、振幅不变的稳定的周期运动， 而且在系统参数一定的变化范围内仍能维持。
c
非线性系统典型结构
描述函数负倒数：
1 NX
假设非线性系统的线性部分传递函数G(s)为开环稳定， 在同一平面上画出G(jω)曲线和-1/N（X）曲线
Im
•若-1/N（X）曲线没有被G(jω) 曲线包围，则系统是稳定的
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自动化与电气工程学院 § 7－ 2 相平面法
二阶非线性系统解的轨迹能用平面上的曲线表示，因此非
线性系统的许多概念都能有简单、明确的几何解释。相平面
法是一种求解二阶非线性方程的图解方法，是状态空间法在 二维空间情况下的应用。用这种方法不但能判定非线性系统 的稳定性，还可以给出系统的时间响应。
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下面将讨论如何由已知非线性微分方程画出相轨迹的方法。 二、相轨迹的绘制方法 根据已知系统的初始条件和微分方程，绘制系统相轨迹的方 法可以是解析法和图解法。对于可以对微分方程实行分段积分 的非线性系统，应用解析法是方便的，这实质上是非钱性系统 的分段线性化，但这究竟是属于少数的情况。就一的般非线性 系统而言，常需要用图解法来绘制相轨迹。图解法常用的方法 有两种、即等倾线法和δ法。本书只介绍等倾线法。 设巳知系统微分方程为
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二、典型非线性特性
1．死区(不灵敏区)特性
输入在低于某值时无输出。例如测速发电
机的输出电压与输入转速应成正比，但由 于有电刷压降的存在，只有在转速超过某 一值后，才会有电压的输出，形成了一定 的转速、电压关系的死区。二极管正向开
放电压、机械运动中的静摩擦等都能产生死区。
死区的存在会使系统的稳态误差增大，在调速系统中使 低速运动的不平滑性增大。
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2．饱和特性 饱和特性的输入输出关系如图7－2，
有时为简化，可把它近似为理想饱和特性，即由两条 直线来表示。也就是说，当输入低于某值时，输出与 输入成正比，而当输入超过此值后，输出就保持定值
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这种产生于非线性系统内部的稳定的周期运动，
叫做自振荡或自持振荡，简称自振。通常认为
自振是不好的，强烈的自振会对系统起破坏作 用。但是，自振也被用来改善系统的某些性能， 如用高频小振幅的颤振克服摩擦和间隙等的影 响。自振问题是研究非线性系统的重要内容之
如前所述，取两个状态变量
，则状态方程为
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将以上两个状态方程相除，可以得到下式
很显然这是相轨迹的斜率，从其关系式可知，相轨迹的斜 率完全取决于它的微分方程，因此不同的系统有不同的相轨 迹，与线性系统的根轨迹、频率特性一样，相轨迹完全反映 系统的特性。 根据式（7-2）可以得到绘制相轨迹的方法。若要绘制从初 始状态开始的相轨迹，只要把状态变量值代入式（7-2）算出 该点相轨迹的斜率，由于在小范围内，曲线的切线与曲线是 重合的，因此沿着该点的切线画一小段，这段也近似为相轨 迹上的一小段，得到新的状态变量值后，重复以上步骤就可 绘出系统的相轨迹了。 xoBox分析软件包含了用上述方法编制的绘制相轨迹子程序 ，下面举一个例子来说明相轨迹的绘制方法及xoBox软件绘制 相轨迹子程序的使用方法。
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综上所述，若把描述函数用复函数表示出来，它的幅值等
于非线性元件输出信号的基波分量的幅值与输入正弦信号的 幅值之比，它的相角等于上述两个正弦函数的相角差，即
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X c1 j1 N(X ) e X （7-3）
式中
N(X)——非线性元件的描述函数，
而不再变化。例如电机的磁化特性曲线，线性放大器
设置限幅时都具有这种饱和特性。
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3 ．间隙( 回环 ) 特性 输出在输入增加、
减少时与输入成不同的直线关系 , 即输出不 仅与输入量的大小有关，而且还与输入量的 变化状态有关。 4．继电特性 它相当于上述三
输出也是正弦函数，而且频率完全相同，输出与输 入的幅值比和相位差是频率的函数，它也就是元件 或系统的频率特性。线性元件或系统的频率特性与 输入函数的幅值无关。