第七章 非线性系统2

而不再变化。例如电机的磁化特性曲线，线性放大器
设置限幅时都具有这种饱和特性。
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3 ．间隙( 回环 ) 特性 输出在输入增加、
减少时与输入成不同的直线关系 , 即输出不 仅与输入量的大小有关，而且还与输入量的 变化状态有关。 4．继电特性 它相当于上述三
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例7-1 非线性系统如图7－7所示，绘制相轨迹。 解 系统线性部分的微分方程为
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系统非线性部分特性为
为使系统的平衡点移至相平面原点,可令 则可得到
于是有
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初始状态确定后，例如 ，将状态变量值代入上式就可开始绘图 了，由于非线性特性f(e)有三种可能的值， 因此在计算斜率时，要根据χ1 的大小正 确选用f(e)三种取值中的一个。绘出的相 轨迹如图7-8 例7-1的相轨迹所示。 用xoBox软件绘制相轨迹非常简单，只需输入非线性特性的 特征值、线性部分的传递函数及初始状态值即可。上例用 xoBox 软件绘制的相轨迹与图 7-8 一样。由图可知，系统稳定， 并且无振荡。稳态误差0.05 。
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自动化与电气工程学院 § 7－ 2 相平面法
二阶非线性系统解的轨迹能用平面上的曲线表示，因此非
线性系统的许多概念都能有简单、明确的几何解释。相平面
法是一种求解二阶非线性方程的图解方法，是状态空间法在 二维空间情况下的应用。用这种方法不但能判定非线性系统 的稳定性，还可以给出系统的时间响应。
死区的存在会使系统的稳态误差增大，在调速系统中使 低速运动的不平滑性增大。
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2．饱和特性 饱和特性的输入输出关系如图7－2，
有时为简化，可把它近似为理想饱和特性，即由两条 直线来表示。也就是说，当输入低于某值时，输出与 输入成正比，而当输入超过此值后，输出就保持定值
还可以起抑制高频低振幅噪音的作用。
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三、非线性系统的工作特点 描述非线性系统运动过程的数学模型是非线性微分方程， 它不能使用叠加原理。非线性系统的运动规律也与线性系统 有许多不同之处。例如 (1)线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，而与输
入信号的大小及系统的初始条件无关。但非线性系统的稳定
性，除了和系统的结构和参数有关外，还与输入信号的大小 及系统的初始条件有关。
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(2)线性系统暂态过程的形式与初始条件或外作用的大小无
关，如果线性系统在某一初始条件或某一输入幅值下的时间
响应是衰减振荡的形式，那么它在任何初始条件或同一形式 输入的任何幅值下的时间响应将仍是衰减振荡的形式。对于 非线性系统，它的暂态过程的形式与初始条件有关。
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下面将讨论如何由已知非线性微分方程画出相轨迹的方法。 二、相轨迹的绘制方法 根据已知系统的初始条件和微分方程，绘制系统相轨迹的方 法可以是解析法和图解法。对于可以对微分方程实行分段积分 的非线性系统，应用解析法是方便的，这实质上是非钱性系统 的分段线性化，但这究竟是属于少数的情况。就一的般非线性 系统而言，常需要用图解法来绘制相轨迹。图解法常用的方法 有两种、即等倾线法和δ法。本书只介绍等倾线法。 设巳知系统微分方程为
种特性的综合：输出存在死区，
当输入达某值时，输出立即跃变
为定值，相当于饱和，而在输出 饱和区中又存在回环。
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5．变增益特性
在输入信号不同范围
时，元件或系统的增益也不同，小信号时
增益低，大信号时增益高(当然也可以相 反)。 这种特性一般是人为设置的，可以用来影响系统的性能；
如前所述，取两个状态变量
，则状态方程为
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将以上两个状态方程相除，可以得到下式
很显然这是相轨迹的斜率，从其关系式可知，相轨迹的斜 率完全取决于它的微分方程，因此不同的系统有不同的相轨 迹，与线性系统的根轨迹、频率特性一样，相轨迹完全反映 系统的特性。 根据式（7-2）可以得到绘制相轨迹的方法。若要绘制从初 始状态开始的相轨迹，只要把状态变量值代入式（7-2）算出 该点相轨迹的斜率，由于在小范围内，曲线的切线与曲线是 重合的，因此沿着该点的切线画一小段，这段也近似为相轨 迹上的一小段，得到新的状态变量值后，重复以上步骤就可 绘出系统的相轨迹了。 xoBox分析软件包含了用上述方法编制的绘制相轨迹子程序 ，下面举一个例子来说明相轨迹的绘制方法及xoBox软件绘制 相轨迹子程序的使用方法。
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这种产生于非线性系统内部的稳定的周期运动，
叫做自振荡或自持振荡，简称自振。通常认为
自振是不好的，强烈的自振会对系统起破坏作 用。但是，自振也被用来改善系统的某些性能， 如用高频小振幅的颤振克服摩擦和间隙等的影 响。自振问题是研究非线性系统的重要内容之
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如果系统的非线性因素既不能忽略，又不符合线性化处 理的条件，则就要按非线性系统的概念来进行讨论了。本章介 绍的描述函数法和相平面法。 系统的非线性一般会对系统的工作产生不利的影响，但
在某些情况下，人为地使系统非线性也可以使控制系统结构简
化而又改善系统的某些性能。因此正确运用非线性系统的概念， 在系统没计中也是至关重要的。
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设二阶系统的微分方程为
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若a1 、a2是χ的函数，那么微分方程就是非线性的。取两 个状态变量 ，则二阶系统可用如下两个一阶微 分方程来表示，即
当t变化时，以解出的χ1为横坐标 ;χ2为纵坐标绘出的轨迹称为状态平面 轨迹。对于 这种特定形式的状态 平面，称为相平面。对应的轨迹称为相轨迹。某系统的相轨迹 如图7－6所示。由于 即为系统的输出量，因此，从图中 可以看出，该系统是衰减振荡的，最终系统输出为零。故系统 稳定。也就是说，相轨迹包含了二阶非线性系统的时间响应的 许多信息。只要绘出了相轨迹，就可以对二阶非线性系统进行 时域分析了。
xc (t ) A0 ( An cos n t Bn sin n t )
n 1
式中
A0 X cn sin(n t n )
n 1

（7-4）
考虑一般的非线性特性都是奇对称的，故A0＝0 ，再忽略式 （7-4）中的高次谐波，可得输出信号的基波分量为
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xc1 (t ) A1 cos t B1 sin t
式中
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（7-5）
X c1 sin( t 1 )
于是可得到非线性环节的描述函数为
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求非线性环节的描述函数时，必须先 求非线性环节的正弦响应函数χc （ t ）， 然后再把χc （ t ）按傅立叶级数展开即 可。 下面通过求图7-9 所示饱和特 性的描述函数来进一步说明求取描述函 数的方法。 饱和特性的数学表达式为
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(3)定常线性系统在没有外作用时，只有在阻尼系数 ζ＝0时才可能发生等幅的周期振荡，而实际上，任 何真实的物理系统都存在不同程度的阻尼，即阻尼 系数不可能为零。退一步说，即使系统能达到ζ＝0
的临界状态，由于各种扰动，等幅的周期振荡也是
不可能维持的。对于非线性系统，在没有外作用时， 也可能会产生频率、振幅不变的稳定的周期运动， 而且在系统参数一定的变化范围内仍能维持。
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第七章
非线性系统
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第七章
§ 7 —1
一、概述
非线性系统 自动化与电气工程学院
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就是谐波线性化的基本出发点。在这种情况下，同样可以讨
论非线性元件输出与输入正弦函数的幅值比和相位差，但这 个幅值比和相位差与输入正弦函数的幅值有关，或者说它是 输入幅值的函数。如果用复数来表示幅值比和相位差与输入 幅值的函数关系，那么这个复变函数就称为非线性元件的描
述函数。
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c
非线性系统典型结构
描述函数负倒数：

1 NX
假设非线性系统的线性部分传递函数G(s)为开环稳定， 在同一平面上画出G(jω)曲线和-1/N（X）曲线
Im
•若-1/N（X）曲线没有被G(jω) 曲线包围，则系统是稳定的
§7—3
描述函数法
一、概述 如果非线性系统的阶数高于二阶则相轨迹法不再适用，对 此可以用描述函数法进行分析。
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自动化与电气工程学院 §7—3
一、概述 如果非线性系统的阶数高于二阶则相轨迹法不再适 用，对此可以用描述函数法进行分析。
描述函数法
对于线性元件或系统，当输入正弦函数时，它的
非线性系统的基本概念
当系统中所有元件都具有线性的输入输出关系时，它就 是线性系统，否则就是非线性系统。线性系统和非线性系统
在输入输出特性上的本质区分是前者具有叠加性和齐次性，
而后者则不具有这些性质。 系统在以下两种条件下工作时，可按线性系统来处理， 一是系统中的非线性因素对系统的工作影响极小，完全可以 忽略不计，二是系统具有非线性的性质，但在某些限制条件 下，如在某一工作点上工作，输入小信号。
源自文库
X——正弦输入信号的幅值，
Xc1——非线性元件输出信号基波分量的幅值 φ1——非线性元件输出信号基波分量与输入正弦信 号的相位差。 描述函数一般为输入信号幅值的函数。
二、描述函数的计算
设非线性元件的输入为 ，则可将它展开为傅立叶级数形式为
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，输出χc 为周期函数
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二、典型非线性特性
1．死区(不灵敏区)特性
输入在低于某值时无输出。例如测速发电
机的输出电压与输入转速应成正比，但由 于有电刷压降的存在，只有在转速超过某 一值后，才会有电压的输出，形成了一定 的转速、电压关系的死区。二极管正向开
放电压、机械运动中的静摩擦等都能产生死区。
输出也是正弦函数，而且频率完全相同，输出与输 入的幅值比和相位差是频率的函数，它也就是元件 或系统的频率特性。线性元件或系统的频率特性与 输入函数的幅值无关。
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非线性元件输入正弦函数时，它的输出将是一个周期函数
，除了有和输入相同频率的正弦函数外，还存在其它频率的 所谓谐波成分。按照谐波分析的方法，可以把输出分解为和 输入同频率的基波和其它频率的谐波。如果现在忽略各次谐 波，只讨论输出的基波正弦函数与输入正弦函数的关系，这
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令输入
，则环节的正弦响应函数χc为
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将χc按富氏级数展开，由于饱和特性是单值奇对称的，故。 而
饱和特性的描述函数为
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•用描述函数分析非线性系统的性能
r
x
非线性部分N
y
线性部分G(s)
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综上所述，若把描述函数用复函数表示出来，它的幅值等
于非线性元件输出信号的基波分量的幅值与输入正弦信号的 幅值之比，它的相角等于上述两个正弦函数的相角差，即
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X c1 j1 N(X ) e X （7-3）
式中
N(X)——非线性元件的描述函数，
一。
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(4) 线性系统在正弦输入下的输出是同频率的 正弦函数。而非线性系统在正弦输入下的输出是 比较复杂的，它可以包含高次谐波，系统可能产 生除与输入频率相同的振荡外，还会产生其它频
率的振荡。当输入频率由小到大变化时，其幅频
的数值可能会发生跳跃式的突变，出现所谓跳跃 谐振和多值响应。