高考数学专题复习3：函数与导数核心题型

导数与函数核心考点

目录

题型一切线型

1.求在某处的切线方程

2.求过某点的切线方程

3.已知切线方程求参数

题型二单调型

1.主导函数需“二次求导”型

2.主导函数为“一次函数”型

3.主导函数为“二次函数”型

4.已知函数单调性，求参数范围

题型三极值最值型

1.求函数的极值

2.求函数的最值

3.已知极值求参数

4.已知最值求参数

题型四零点型

1.零点(交点，根)的个数问题

2.零点存在性定理的应用

3.极值点偏移问题

题型五恒成立与存在性问题

1.单变量型恒成立问题

2.单变量型存在性问题

3.双变量型的恒成立与存在性问题

4.等式型恒成立与存在性问题

题型六与不等式有关的证明问题

1.单变量型不等式证明

2.含有e x与lnx的不等式证明技巧

3.多元函数不等式的证明

4.数列型不等式证明的构造方法

题型一 切线型

1.求在某处的切线方程

例1.【2015重庆理20】求函数f (x )＝3x ²

e x 在点(1，

f (1))处的切线方程. 解：由f (x )＝3x ²e x ，得f ′(x )＝6x －3x ²e x ，切点为(1，3e ) ，斜率为f ′(1)＝3

e

由f (1)＝3e ，得切点坐标为(1，3e )，由f ′(1)＝3e ，得切线斜率为3

e ；

∴切线方程为y －3e ＝3

e (x －1)，即3x －ey ＝0.

例2.求f (x )＝e x (1

x ＋2)在点(1，f (1))处的切线方程.

解：由f (x )＝e x (1x ＋2)，得f ′(x )＝e x (－1x ²＋1

x ＋2)

由f (1)＝3e ，得切点坐标为(1,3e )，由f ′(1)＝2e ，得切线斜率为2e ；

∴切线方程为y －3e ＝2e (x －1)，即2ex －y ＋e ＝0. 例3.求f (x )＝ln 1－x

1＋x 在点(0，f (0))处的切线方程.

解：由f (x )＝ln

1－x 1＋x ＝ln (1－x )－ln (1＋x )，得f ′(x )＝－11－x －1

1＋x

由f (0)＝0，得切点坐标为(0，0)，由f ′(0)＝－2，得切线斜率为－2； ∴切线方程为y ＝－2x ，即2x ＋y ＝0.

例4.【2015全国新课标理20⑴】在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =x ²

4

与

直线l ：y =kx ＋a (a ＞0)交于M ，N 两点，当k ＝0时，分别求C 在点M 与N 处的切线方程.

解：由题意得：a =x ²

4，则x ＝±2a ，即M (－2a ，a )，N (2a ，a )，

由f (x )＝x ²4，得f ′(x )＝x

2，

当切点为M (－2a ，a )时，切线斜率为f ′(－2a )＝－a ， 此时切线方程为：ax ＋y ＋a ＝0；

当切点为N (2a ，a )时，切线斜率为f ′(2a )＝a ， 此时切线方程为：ax －y －a ＝0；

解题模板一 求在某处的切线方程

⑴写出f (x )； ⑵求出f ′(x )；

⑶写出切点(x 0，f (x 0))； ⑷切线斜率k ＝f ′(x 0)；

⑸切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0). 2.求过某点的切线方程

Step 1 设切点为(x 0，f (x 0))，则切线斜率f ′(x 0)，切线方程为： y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)

Step 2 因为切线过点(a ，b )，所以b －f (x 0)＝f ′(x 0)(a －x 0)，解得x 0＝x 1或x 0＝x 2 Step 2 当x 0＝x 1时，切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 0)(x －x 1) 当x 0＝x 2时，切线方程为y －f (x 2)＝f ′(x 0)(x －x 2)

例1.求f (x )＝13x 3＋4

3

过点P (2，4)的切线方程.

解：设切点为(x 0，13x 03＋4

3)，则切线斜率f ′(x 0)＝x 0²，

所以切线方程为：y －13x 03＋4

3＝x 0² (x －x 0)，

由切线经过点P (2，4)，可得4－13x 03＋4

3＝x 0² (2－x 0)，整理得：x 03－3x 0²＋4＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2

当x 0＝－1时，切线方程为：x －y ＋2＝0； 当x 0＝2时，切线方程为：4x －y －4＝0. 例2.求f (x )＝x 3－4x ²＋5x －4过点 (2，－2)的切线方程. 解：设切点为(x 0，x 03－4x 0²＋5x 0－4)，则切线斜率f ′(x 0)＝3x 0²－8x 0＋5，

所以切线方程为：y －(x 03－4x 0²＋5x 0－4)＝(3x 0²－8x 0＋5) (x －x 0)， 由切线经过点P (2，4)，可得4－(x 03－4x 0²＋5x 0－4)＝(3x 0²－8x 0＋5) (2－x 0)， 解得x 0＝1或x 0＝2

当x 0＝1时，切线方程为：2x ＋y －2＝0； 当x 0＝2时，切线方程为：x －y －4＝0.

例3.过A (1，m )(m ≠2)可作f (x )＝x 3－3x 的三条切线，求m 的取值范围. 解：设切点为(x 0，x 03－3x 0)，则切线斜率f ′(x 0)＝3x 0²－3，切线方程为

y －(x 03－3x 0)＝(3x 0²－3)(x －x 0)

∵切线经过点P (1,m )，

点P 不在曲线上 点P 在曲线上 点P 在曲线上