解二维扩散方程的一类有限差分并行算法

0 引言
很多物理现象( 如热传导 , 气体的扩散等 ) 都可以用扩散方程来描述 , 所以研究它的数值解法十分重要, 已有许多方法可以用来求解 。目前, 也有诸多文献讨论了数值求解扩散方程的并行差分方法 , 由于高 性能并行计算机的出现和并行计算机的发展 , 扩散方程有限差分并行算法的设计与分析受到了密切关注。 从大规模科学工程计算的实际要求来说 , 并行差分格式应具有好的稳定性, 精度高 ( 与隐式差分格式有一样 的精度 , 从而满足实际应用问题的精度要求) , 并行性好, 计算区域没有限制 , 构造的并行格式简单等等。本 [ 1] 文介绍一种简单 , 实用的有限差分并行算法, 采用斜向差分算子 , 构造了斜向隐式差分格式 , 再结合边界条 件, 对扩散方程进行求解。虽然是隐格式, 但可以利用边界条件显式计算。这样 , 既保持了隐格式的稳定性 和精度 , 也减少了计算复杂性。理论分析和数值算例均表明, 此类算法并行性好 , 精度高, 并行格式简单, 实 用。虽然是条件稳定的, 但对精确解的逼近性好, 误差较小。
A class of parallel finite difference methods for solving a two dimensional diffusion equation
XU Qiu yan
( School of M athematics and System Science, Shandong University, Jinan 250100, Shandong, China)
3
um n = #e
k
k im∃ + in%
, ( i = - 1)
2
代入式( 3) , 经整理得特征方程 # = 1其中 , s 1 = sin
2
4 r( s1 + s2 ) 1+ 4 rs 1 。
( 7)
∃ + % 2 ∃ - % , s 2 = sin [ 0, 1] 。 2 2
所以 , 特征方程 ( 7) 的根满足 | # | # 1 的充分必要条件是 4r ( s 1 + s 2 ) - 1 # 1# 1。 1+ 4 rs 1 简化可得 2 rs 2 # 1+ s 1 r ( 4 - 2) 。 由此可解得式( 6) , 同样地, 对式 ( 4) 的稳定性分析同上 , 从而得到斜向差分格式 ( 3) 和 ( 4) 稳定的充分条件。
现在 , 利用 A i 和 B i ( i = 1, 2, 3) 这 6 个公式, 建立 2 种实用的并行算法。 并行算法 % :
4
山
东
大
学
学
报
(理
学
版)
第 43 卷
( 1) 取 m , n 均为奇数, 不妨以 m = n = 7 为例 , 如图 3 ( 左 ) 所示 , 具体给出计算步骤。 & 从左下角出发, 结合边界条件 , 利用公式 B 1 和 A 2 求出图中所有标记为 ∋ 的结点的函数值。 ( 从左上角出发, 结合边界条件 , 利用公式 A 1 和 B 2 求出图中所有标记为 ) 的结点的函数值。 这样 , 便求出所有结点处的函数值。 ( 2) 取 m , n 均为偶数, 第一步与 & 相同 , 第二步 , 先用隐格式算出 n - 1 层上的函数值, 然后计算过程 与 ( 相同。 这样, 便求出所有结点处的函数值。 并行算法 ∗ : i i ( 1) 取 m , n 均为奇数, 不妨以 m = n = 7 为例 , 如图 3( 右) 所示 , 标记 A j 和 Bj 表示第 i ( i = 1, 2, 3, !) 步 用公式 Aj 和 Bj ( j = 1, 2, 3) 计算出其左下角结点处的函数值 , 具体给出计算步骤。 第一步, 结合边界条件, 利用公式 A 1 和 B 1 计算出 4 个角上的函数值。 第二步 , 采用公式 A 2 , B 2 , A 3 , B 3 , 结合边界条件以及第一步的计算结果, 又可计算出上标为 2 的 4 个结 点上的值。 依次类推, 利用相应的公式, 结合边界条件和前 i - 1 步的计算结果 , 可并行计算出上标为 i ( i = 1, 2, 3, !) 的所有结点上的函数值。 ( 2) 取 m , n 均为偶数 , 计算方法与( 1) 相同 , 其中无法用以上 6 个公式求解时, 可采用稳定性好的隐格 式求解, 以求出所有结点处的函数值。 显然 , 算法 % 和算法 ∗都是并行的。算法 % 比算法 ∗简单, 但算法 ∗的逼近性更好。虽然式( 3) 和( 4) 是 隐式差分格式, 但整个计算过程是显式计算的 , 实用性很好。
2
u
2
2
x
+
u
2
y
( 1)
是成立的。 本文主要研究在 x 轴和 y 轴上, 建立二维扩散问题的差分格式, 故而称之为斜向差分格式。
1 斜向隐式差分格式
考虑如下形式的扩散方程初边值问题 u u u = 2+ 2, t x y u( x , y , t ) = f ( x , y , t ) , u ( x , y , o ) = g( x , y ) 。 这里 为有界区域, 首先, 对区域 是 的边界。
k k k 2 2
( ( x, y) ( ( x , y) ( ( x, y)
, t > 0) , t > 0) ) ( 2)
进行剖分, 令 x i = ih , y j = jh , ( i = 0, 1, 2, !, m ; j = 0, 1, 2, !, n ) , t = k !t , ( k = 0, 1,
关于此格式的稳定性 , 描述如下: 定理 1 斜向差分格式( 3) 和( 4) 稳定的充分条件均为 r # 1/ 2, r# 证明 利用 Fourier 稳定性分析方法 , 令 1 4( 11 ∃ ) 2 1 。 ( < ) ) 2 ( ( 6)
第 8期
许秋燕 : 解二维扩散方程的一类有限差分并行算法
2 2 k k k k k k k k
∀ 2 uij = u i + 1, j - 1 - 2 uij + u i - 1, j + 1 。 由此 , 构造如下隐格式来逼近扩散方程 ( 2) 。 u ij - u ij = !t u ij - u ij = !t 其中
2 k+ 1 k k+ 1 k
∀ 1 u ij + ( 12 2h
收稿日期 : 2008 05 09 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 ( 10671113) 作者简介 : 许秋燕 ( 1983 ) , 女 , 博士研究生 , 主要从事偏微分方程数值分析及科学工程计算方面的研究 . Email : qiuyan1025@ 163. com
[ 2 6] [ 7 10]
同样地, 可将式 ( 4) 改写成如下 3 种形式 : u ij = r k+ 1 k+ 1 k ( u i + 1, j - 1 + u i - 1, j + 1 + G ij ) , 1+ 2 r k+ 1 1 k+ 1 k+ 1 k u i + 1, j - 1 = + 2 u ij - u i - 1, j + 1 - G ij , r
2 并行算法的实现
建立具体的有限差分并行算法 , 来逼近扩散方程( 2) 。为了实现算法的并行 , 现将式( 3) 改写成如下 3 种 形式 : u ij = r k+ 1 k+ 1 k ( u i + 1, j + 1 + u i - 1, j - 1 + F ij ) , 1+ 2 r k+ 1 1 k+ 1 k+ 1 k u i + 1, j + 1 = + 2 u ij - u i - 1, j - 1 - F ij , r
2 k 1 k ∀ 1 u ij + r u ij 。
( 15)
显然, 式( 8) , ( 9) , ( 10) , ( 12) , ( 13) , ( 14) 分别给出了 ( k + 1) 时间层上数值解的分布 , 如图 2 所示。式
图 2 ( k + 1) 时间层上数值解的分布 Fig. 2 The distribution of numerical solvers at ( k + 1) th time step
许秋燕
( 山东大学数学学院 , 山东 济南 250100)
摘要 : 对于求解二维扩散方程 , 构造了一类简单 、 实用的有限 差分并行算 法 。采 用斜向 差分算 子 [ 1] , 建立 斜向隐 式 差分格式 , 再结合边界条件 , 对扩散方程进行求解 。 此算法虽然是 隐格式 , 但可以 利用边界条 件显式计 算 , 既 保持 了隐格式的稳定性和精度 , 也减少了计算复杂性 。 通过具体的数值算 例表明 , 此类算法 并行性好 , 精度 高 , 并 行格 式简单 , 有很好的实用性 。 关键词 : 扩散方程 ; 斜向差分算子 ; 斜向隐式差分格式 ; 并行 算法 中图分类号 : O241. 82 文献标志码 : A
k+ 1
( 12) ( 13) ( 14)
u i - 1, j + 1 = 其中 Gij = ( 11) , ( 15) 表示 k 层上数值解的运算。
k
k+ 1
1 + 2 uk + 1 - uk + 1 - G k 。 ij i + 1, j - 1 ij r - 1 ∀ 2 u ij +
2 k
1
1
2
山
东
大
学
学
报
(理
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版)
第 43 卷