高中数学坐标系知识点总结及练习

第1讲坐标系

1.在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsinθ－π

4

＝

2

2

.

(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；

(2)当θ∈(0，π）

时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标. 解(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，

即x2＋y2－x－y＝0，

直线l：ρsinθ－π

4

＝

2

2

，

即ρsin θ－ρcos θ＝1，

则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.

(2)由x2＋y2－x－y＝0，

x－y＋1＝0，

得

x＝0，

y＝1，

故直线l与圆O公共点的一个极坐标为1，π2.

2.(2017·

贵阳调研)以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标

系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝

2

1－sin θ

.

(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直线l的极坐标方程. 解(1)∵ρ＝x2＋y2，ρsin θ＝y，

∴ρ＝

2

1－sin θ

化为ρ－ρsin θ＝2，

∴曲线的直角坐标方程为x2＝4y＋4. (2)设直线l的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R)，

根据题意

2

1－sin θ0

＝3·

2

1－sin（θ0＋π）

，

解得θ0＝π

6

或θ0＝

5π

6

，

直线l的极坐标方程θ＝π

6

(ρ∈R)或θ＝

5π

6

(ρ∈R).

3.在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π

4

对称的曲线的极坐标方程.

解以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，则曲线ρ＝2cos θ的直角

坐标方程为(x －1)2

＋y 2

＝1，且圆心为(1，0).直线θ＝π

4

的直角坐标方程为y ＝x ，

因为圆心(1，0)关于y ＝x 的对称点为(0，1)，

所以圆(x －1)2

＋y 2

＝1关于y ＝x 的对称曲线为x 2

＋(y －1)2

＝1. 所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π

4

对称的曲线的极坐标方程为

ρ＝2sin θ.

4.在极坐标系中，已知圆C 的圆心C 3，π

3，半径r ＝3.

(1)求圆C 的极坐标方程；

(2)若点Q 在圆C 上运动，点P 在OQ 的延长线上，且OQ →＝2QP →，求动点P 的轨迹方程. 解

(1)设M(ρ，θ)是圆C 上任意一点.

在△OCM 中，∠COM ＝θ－π

3

，由余弦定理得

|CM|2＝|OM|2＋|OC|2

－2|OM|·

|OC|cos θ－π3

，化简得ρ＝6cos θ－π

3. (2)设点Q(ρ1，θ1)，P(ρ，θ)，由OQ →＝2QP →，得OQ →＝23OP →，

∴ρ1＝23ρ，θ1＝θ

，代入圆C 的方程，得

2

3

ρ＝6cos θ－π3，即ρ＝9cos θ－π3. 5.(2015·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：

x ＝tcos α，y ＝tsin α

(t 为参数，t ≠0)，

其中0≤α＜π．在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.

(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；

(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB|的最大值. 解

(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x

2

＋y 2

－23x ＝0.

联立x2＋y2－2y＝0，

x2＋y2－23x＝0，

解得

x＝0，

y＝0

或

x＝

3

2

，

y＝

3

2

.

所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和

3

2

，

3

2

.

(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，

其中0≤α＜π．

因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(23cos α，α).

所以|AB|＝|2sin α－23cos α|＝4sinα－π3

.

当α＝5π

6

时，|AB|取得最大值，最大值为 4.

6.(2017·

唐山质检)已知曲线C1：x＋3y＝3和C2：x＝6cos φ，

y＝2sin φ

(φ为参数).以

原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的

长度单位.

(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；

(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离.

解(1)曲线C1化为ρcos θ＋3ρsin θ＝ 3.

∴ρsinθ＋π

6

＝

3

2

.

曲线C2化为x2

6

＋

y2

2

＝1(*)

将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(*)式

得ρ2

6

cos2θ＋

ρ2

2

sin2θ＝1，即ρ2(cos2θ＋3sin2θ)＝6.

∴曲线C2的极坐标方程为ρ2＝

6

1＋2sin2θ

.

(2)∵M(3，0)，N(0，1)，∴P

3

2

，

1

2

，

∴OP的极坐标方程为θ＝π6，

把θ＝π

6

代入ρsinθ＋

π

6

＝

3

2

，得ρ1＝1，P1，

π

6.