光学(光的衍射)

3. 光栅方程（重点）
相邻狭缝对应点在衍射角 φ 方向光线的光程差：
(a b)sin
(a b)sin
(a b)sin
a+b
O
x
f
★ 光栅方程 — 光栅衍射形成明纹主极大的公式。
(a b)sin k , k 0, 1, 2, (13-57)
中央明纹极大
次极大
明纹主极大
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x1
O
l0
中央明纹宽度是各级明纹宽度的两倍。
中央明纹范围满足的条件： a sin
ⅱ) 中央明纹半角宽度 = 第一级暗纹衍射角1
1 sin1 ,
1
a
* 三、单缝衍射条纹的光强分布
I
p
sin I0(
)2
其中：
a sin
I0 a2
(13 - 49)
-2.46 -1.43
I I0
r
θ ≥ π ，k (θ ) = 0， dE = 0 。
•P
2
惠更斯 — 菲涅耳原理解释了波为什么不向后传的问题，
这是惠更斯原理所无法解释的。
P 点的光振动 ( 惠 - 菲原理的数学表达 ) 为：
E
dE
C
k(
r
)
cos
2
(t T
r
)
dS
(13-44)
三、衍射的分类
1. 菲涅耳衍射
光源
障碍物 接收屏
明纹
A. a A1.
A2.
C
B.
O
x
P f
★ 四个半波带 AC a sin 4 暗 纹
2
A.
a AAAB213....
C
O
x
P f
★ 结论： 单缝面分成奇数个半波带时屏上会聚处为明纹 ， 单缝面分成偶数个半波带时屏上会聚处为暗纹 。
3. 单缝衍射明暗纹公式
a sin
2k
(2k
会聚时的最大光程差：
max AC a sin
O
P f
max AC a sin
用
2
分割最大光程差 AC，
单缝面 AB 被分为：
AA1、A1A2、A2A3 …
a
称“ 菲涅耳半波带”
注意：
并非每个半波带的宽度是
2
！
A
A1
C
A2
A3
B
1）. 菲涅耳半波带的特点：
ⅰ) 各半波带面积相等，因而包含的子波数目相等。
x
O
f
f
xk (2k 1) 2a
明纹 k 1,2,3,
xk k f a
暗纹
(k 1,2,3, )
6. 各级明纹宽度 = 两相邻暗纹极小的间距： x f
a
7.纹宽度 l0 = 两侧第一级暗纹极小的间距
x1 f a
l0 2x1 2 f a
1
f
暗纹极小
各级明纹主级大之间有许多暗纹极小，其间又充满许多次极大。
★ N个缝的暗纹公式： (a b)sin m
N
其中： m 1, 2 , ,(N 1), (N 1), (m kN )
例：N =100， (a b)sin m
100
⑴ m 1,
(a b)sin ,
100
相邻缝光线的光程差为 。
则面元 dS 在 P 点引起的光振动：
dE dS , 1 , k( )
r
dS
S
r
dE C k( ) cos 2 ( t r ) dS
•P
r
T
dE C k( ) cos 2 ( t r ) dS
r
T
dS
其中： c — 比例常数， k ( θ ) — 倾斜因子。
θ ↓， k (θ )↑； θ = 0，k (θ ）最大； S
N= 1 N= 2 N= 5 N = 20
4. 缺级现象及其条件 由于单缝衍射的影响在应该出现明纹主极大的
地方不再出现明纹的现象称为缺级现象。
缺
缺
级
级
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
当衍射角 φ 同时满足
(a b)sin k ( k 0, 1, 2, ) 光栅衍射明纹
a sin k' ( k' 1, 2, 3, ) 单缝衍射暗纹
或 467 nm 的第 4 级明纹。
(3) 求半波带个数
对 600 nm 而言，半波带个数为 2k 1 2 3 1 7 个。
对 467 nm 而言，半波带个数为 2k 1 2 4 1 9 个。
例题 在单缝衍射实验中，透镜焦距为0.5m,入射波长为λ=500nm, 单缝宽为a=0.1mm, 求（1）中央明条纹的宽度。（2）第 一级明条纹的宽度。
时，该方向应出现的那一级明纹主极大发生缺级。
由上述条件得：
sin k k'
ab a
得满足下式的 k 将缺级：
k a b k' (k' 1, 2, 3, ) (13-59) a
例： a b 3 , k 3k' (k' 1, 2, 3, ) a
则 k 3, 6, 9, 缺级
缺
缺
光的直线传播的性质。几何光学是波动光学在 a 时的
极限情况。
五、注意
1. 单缝衍射中央明纹范围： a sin
明纹公式 a sin 2k 1 中 k 0
2 （ k = 0，a sin 已包含在中央明纹之中）
2
2. 单缝与双缝明暗纹公式的区别
双缝： D x
a
k
2k 1
2
明纹 暗纹
k
暗纹
单缝： asin 2k 1 明 纹
2
例题 已知单缝的宽度为 a = 0.6mm,透镜的焦距 f = 0.4 m,以
平行光垂直照射狭缝，在屏上形成衍射条纹，若离o点为 x =
1.4 mm的p点处，看到的是明纹极大，如图所示，试求（1）
入射波的波长，（2）p点条纹的衍射级数，（3）缝面所能分
距离为有限远。
2. 夫琅和费衍射
光源
障碍物 接收屏
距离为无限远。
光源 障碍物
光源
障碍物
接收屏 接收屏
§13-5 单缝和圆孔的夫琅禾费衍射
一 单缝的夫琅禾费衍射
1.单缝衍射实验装置
K
L1
S
*
L2
E
用 菲涅耳半波带法 解释单缝衍射现象。
2. 菲涅耳半波带法
a — 单缝宽
AC
— 衍射角 a
B
AB 间各子波到达P 点
ⅱ) 半波带的个数及每个半波带的面积由衍射角 决定。 愈大，单缝被分成半波带的个数愈多，每个半波带
的面积愈小。
A2
C
B
A
2
C
B
ⅲ) 任意两相邻的半波带上各对应点的子波到屏上会聚点
的光程差皆为λ/ 2 ，可以相互叠加产生相消干涉。
2）. 明暗条纹成因
★ 三个半波带 AC a sin 3
2
0.86 I0
I0
··
能分辨
··
恰能分辨
··
不能分辨
2).最小分辨角 — 恰能分辨两物象时两物点对透镜光心的张角0
0
1
·· S1
S2
··
爱里斑
第一级暗环衍射角为 1 0 1
最小分辨角为：
0
1.22
D
其中： — 入射光波长， D — 透镜直径。
3). 光学仪器分辨率 e = 最小分辨角的倒数 e 1 D
解：
（1）
f
x1暗 a
x0
2 x1暗
2 0.5 510-7 0.1 10-3
5mm
（2）
第一级明纹的宽度 x1 ，等于第一级暗纹和第二级暗纹
之间的距离
f
x1暗 a
2 f
x2暗 a
x1
x2暗
x1暗
f
a
2.5mm
二、圆孔的夫琅禾费衍射
1. 实验装置
障碍物
爱里斑
光源
D
2. 爱里斑 — 第一级暗环包围的中央亮斑
f
接收屏
第一级暗环对应的衍射角 1称为爱里斑的半角宽。
理论计算得：
1
1.22
D
(13-52) D
1
式中 D 为圆孔的直径。
3、光学仪器分辨率 (课本 p 502 )
点光源经过光学仪器的小圆孔透镜后，由于衍射的 影响，所成的象是明暗相间的圆形光斑。
爱里斑
0
0
S1 S2
··
· ··
1）. 瑞利判据一：个物点的衍射图象的爱里斑中心刚好与另一个 物点的衍射图象的爱里斑边缘相重合，这两个物 象恰好能为这一光学仪器所分辨。
100
第 1 缝和第 51 缝光线的光程差为λ/ 2 ，产生相消干涉； 第 2 缝和第 52 缝光线的光程差为λ/ 2 ，产生相消干涉； …… 结果：屏上会聚处形成第1个暗纹。
⑵ m 2,
(a b)sin ,
相邻缝光线的光程差为 。
50
50
第 1 缝和第 26 缝光线的光程差为λ/ 2 ，产生相消干涉；
（透射光栅）
a — 缝宽
a
b — 相邻缝的间距（不透光部分的宽度）
2. 光栅常数 d a b
b
规格：光栅常数（a+b）； 总缝数 N 。
在可见光范围内：
a+b
(a b) 105 ~ 106 m
二、衍射光栅条纹
1. 单缝衍射图样与缝的位置
衍射角相同的光线，
会聚在接收屏的相同位置。