基于Matlab的重型数控机床双电机消隙的仿真

基于Ｍａｔｌａｂ的重型数控机床双电机消隙的仿真

邵俊鹏，唐念华

（哈尔滨理工大学机械动力工程学院，哈尔滨１５００８０）

１引言

在高精度的齿轮传动系统中，齿隙严重影响了系统的整体性能［１］。从机械上消除齿隙的方法有薄齿轮错齿调整法和双电机消隙等方法，这些机械方法虽然能够较满意地解决消隙问题［２］，但也带来了一些问题，比如降低了系统的准确性，减小了系统的带宽，使用机械方法价格昂贵、消耗能量并增加了系统的重量［３］。因此研究非基于机械装置的控制补偿方法是很有意义的［４］。

从控制系统出发，通过建立多电机系统的动力学模型，将齿隙视为非线性环节来研究非线性系统的控制方法，探求改进和提高闭环系统性能的控制算法［５］，也可以达到消除齿隙的目的。目前可以借助现代控制理论的方法构造具有自适应、智能机制的控制器，例如基于模型参考的自适应控制、基于ＰＩＤ控制策略的自校正控制、变结构控制、模糊自适应控制、智能自适应控制等［６，７］。这些控制算法能在一定程度上改善非线性系统的性能，并不能完全消除齿隙非线性对系统的影响，在对系统精度要求不高的场合，这些方法仍具有一定的应用价值。

本文采用西门子８４０Ｄ系统控制双伺服电机驱动的传动模式来解决高精度数控机床分度装置消隙传动系统的实现问题是一种较好的、切实可行的方法。

２对双电机驱动系统的建模

２．１双电机联动系统结构

双电机同步联动伺服系统是由两个具有相同参数的交流同步电动机共同驱动一个大齿轮的转动，每个交流同步电动机带动一个小齿

轮，小齿轮同大齿轮啮合转

动。双电机同步联动伺服系

统的结构简图如图１所示，

其中Ｊｃ１、Ｊｃ２是两个小齿轮

的转动惯量，!ｃ１、!ｃ２是两个

小齿轮的角速度，!１、!２是

两个交流电机的角速度，

Ｕ１、Ｕ２是两个电机的电枢电

压，Ｊｍ是大齿轮的转动惯

量，!ｍ是大齿轮的角速度。

两个小齿轮啮合大齿轮，共

同驱动大齿轮的转动，其驱动原理如图２所示。为了建立双电机同步联动伺服系统的动力学模型，需分析大小齿轮的啮合原理。在大小齿轮运动过程中，大齿轮和小齿轮的啮合运动是通过它们之间的弹力和粘性摩擦力的相互作用来完成的，在一般情况下，粘性摩擦力忽略不计，大小齿轮的啮合原理如图３所示，其中Ｃ是粘性摩擦系数，

摘要：为了提高重型数控机床的动态精度和稳态性能，减小齿隙在系统中带来的负面影响，首次对重型数控机床采用双电机控制，利用机理分析法分析了齿轮啮合动力学原理，通过齿隙特性的分析，建立了含齿隙单电机及双电机的伺服驱动系统模型和含齿隙双电机的动力学模型，采用仿真软件Ｍａｔｌａｂ对伺服驱动系统模型进行仿真。比较了含齿隙单、双电机伺服驱动系统的动态特性，得出双电机驱动的性能优于单电机。

关键词：重型数控机床；双电机；消隙；机理分析法

中图分类号：ＴＨ１３２．４１文献标识码：Ａ文章编号：１００２－２３３３（２００８）０４－００６３－０４

ＳｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｆＤｏｕｂｌｅ－ｍｏｔｏｒＡｎｔｉ－ｂａｃｋｌａｓｈｏｆＨｅａｖｙＮＣＭａｃｈｉｎｅＴｏｏｌＤｒｉｖｉｎｇＳｙｓｔｅｍｂａｓｅｄｏｎＭａｔｌａｂ

ＳＨＡＯＪｕｎ－ｐｅｎｇ，ＴＡＮＧＮｉａｎ－ｈｕａ

（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌａｎｄＰｏｗｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＨａｒｂｉｎＵｎｉｖ．Ｓｃｉ．Ｔｅｃｈ．，Ｈａｒｂｉｎ１５００８０，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｏｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅｄｙｎａｍｉｃａｃｃｕｒａｃｙａｎｄｓｔｅａｄｙ－ｓｔａｔｅｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｏｆｈｅａｖｙＮＣｍａｃｈｉｎｅＴｏｏｌ，ｗｅｆｉｒｓｔａｐｐｌｙｄｏｕｂｌｅ－ｍｏｔｏｒｓｙｓｔｅｍｔｏｈｅａｖｙＮＣｍａｃｈｉｎｅｔｏｏｌ．Ｓｅｔｕｐｔｈｅｍｏｄｅｌｏｆｓｉｎｇｌｅ－ｍｏｔｏｒａｎｄｄｏｕｂｌｅ－ｍｏｔｏｒｓｅｒｖｏｄｒｉｖｉｎｇｓｙｓｔｅｍｗｉｔｈｂａｃｋｌａｓｈａｎｄｄｙｎａｍｉｃｓｍｏｄｅｌｏｆｄｏｕｂｌｅ－ｍｏｔｏｒｄｒｉｖｉｎｇｓｙｓｔｅｍｗｉｔｈｂａｃｋｌａｓｈｂｙａｎａｌｙｚｉｎｇｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｓｐｒｉｎｃｉｐｌｅｏｆｇｅａｒｍｅｓｈａｎｄｕｓｉｎｇｔｈｅｍｅｃｈａｎｉｓｍａｎａｌｙｓｉｓｍｅｔｈｏｄ．ＴｈｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｆｓｅｒｖｏｄｒｉｖｉｎｇｓｙｓｔｅｍｉｓｃａｒｒｉｅｄｏｕｔｂｙｓｏｆｔｗａｒｅＭａｔｌａｂ．Ｃｏｍｐａｒｅｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｓｉｎｇｌｅ－ｍｏｔｏｒａｎｄｄｏｕｂｌｅ－ｍｏｔｏｒｓｅｒｖｏｄｒｉｖｉｎｇｓｙｓｔｅｍａｎｄｍａｋｅｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｔｈａｔｔｈｅｐｅｒｆｏｒｍａｃｅｏｆｄｏｕｂｌｅ－ｍｏｔｏｒｓｅｒｖｏｄｒｉｖｉｎｇｓｙｓｔｅｍｉｓｂｅｔｔｅｒｔｈａｎｓｉｎｇｌｅ－ｍｏｔｏｒ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｈｅａｖｙＮＣｍａｃｈｉｎｅｔｏｏｌ；ｄｏｕｂｌｅ－ｍｏｔｏｒ；ａｎｔｉ－ｂａｃｋｌａｓｈ；ｍｅｃｈａｎｉｓｍａｎａｌｙｓｉｓｍｅｔｈｏｄ

Ｍｍ

!ｍ

Ｊｃ１Ｊｃ２

Ｊｍ

!ｃ１!ｃ２

减速器１减速器２

ｉｉ

!１!２

电机１电机２

Ｕ１Ｕ２

!ｃ１

Ｊｃ１!ｍ!ｃ２

Ｊｃ２

Ｊｍ

图１双电机驱动大齿轮

的原理图

图２双电机驱动大齿轮

结构示意图图３小齿轮和大齿轮

的啮合原理图

Ｋ是弹性系数。由于制造和机械上的误差造成齿轮啮合不够准确，会进一步增大齿隙的影响。下面先不考虑齿隙，建立理想的动力学模型，然后再把齿隙考虑进去，进一步建立含齿隙的系统动力学模型。

２．２无齿隙双电机同步驱动系统理想动力学建模（１）电枢回路电压平衡方程式

若不考虑齿隙的影响，由电动机的工作原理可推出第ｎ个电机电枢回路的电压平衡方程为

Ｃｅｎ!ｎ＋ＩｎＲｎ＋ＬｎｄＩｎ

ｄｔ

＝Ｕｎｎ＝１，２（１）式中，Ｃｅｎ、!ｎ分别为第ｎ个电动机的反电势系数和转角；Ｒｎ、Ｌｎ、Ｉｎ、Ｕｎ分别为第ｎ个电动机电枢回路的电阻、电感、电流和电枢电压。

（２）电磁转矩

根据电机的电磁力矩和电流成正比，第ｎ个电机的电磁转矩为

Ｍｄｎ＝ＫｄｎＩｎｎ＝１，２（２）式中，Ｋｄｎ为第ｎ个电动机力矩系数；Ｍｄｎ为第ｎ个电机的电磁转矩。

（３）转矩平衡方程式

电机的转矩平衡方程可以表示为

Ｍｄｎ＝Ｊｄｎ!%ｎ＋ｂｄｎ!&ｎ＋Ｍｎ

ｉ

ｎ＝１，２（３）式中，Ｍｎ为第ｎ个小齿轮和电机轴之间的弹性力矩；Ｊｄｎ、ｂｄｎ为第ｎ个电机的转动惯量和等效粘性摩擦系数。

（４）小齿轮和大齿轮动力学方程

第ｎ个小齿轮的转角!ｃｎ和电机轴转角!ｎ的关系为

!ｎ＝ｉ!ｃｎｎ＝１，２（４）

根据小齿轮的受力分析，可得小齿轮的动力学方程为

Ｍｎ＝Ｊｃｎ!%ｃｎ＋ｂｃｎ!&ｃｎ＋Ｍｃｎｎ＝１，２（５）式中，ｂｃｎ为第ｎ个小齿轮的等效粘性摩擦系数；Ｍｃｎ为第ｎ个小齿轮和大齿轮间的弹性力矩。

根据大小齿轮啮合原理图，忽略粘性摩擦系数，则大齿轮和第ｎ个小齿轮间的弹性力矩为

Ｍｃｎ＝Ｋｔｎ（!ｃｎ－ｉｍ!ｍ）ｎ＝１，２（６）式中，Ｋｔｎ为第ｎ个小齿轮和大齿轮间的弹性系数。

（５）大齿轮动力学方程

根据大齿轮的受力分析，可以得到大齿轮的动力学方程为

Ｍｍ＝Ｊｍ!%＋ｂｍ!&ｍ（７）

Ｍｍ＝ｉｍ（Ｍｃ１＋Ｍｃ２）（８）式中，ｂｍ为大齿轮的粘性摩擦系数；Ｍｍ为大齿轮的弹性力矩。

（６）多电机联动系统动力学方程

将式（２）、式（４）、式（５）和式（６）代入式（３）有

［ｉＪｄｎ＋Ｊｃｎ

ｉ］!%ｃｎ＋［ｉｂｄｎ＋ｂｃｎ

ｉ

］!&ｃｎ＋Ｋｔｎ!ｃｎ－ｉｍ!ｍ

ｉ

＝ＫｄｎＩｎｎ＝１，２

两边同乘以传动比ｉ可得

（ｉ２Ｊｄｎ＋Ｊｃｎ）!%ｃｎ＋（ｉ２ｂｄｎ＋ｂｃｎ）!&＋Ｋｔｎ（!ｃｎ－ｉｍ!ｍ）＝ｉＫｄｎＩｎｎ＝１，２（９）

令Ｊｎ＝ｉ２Ｊｄｎ＋Ｊｃｎ，ｂｎ＝ｉ２ｂｄｎ＋ｂｃｎ，Ｋｎ＝ｉＫｄｎ，则式（９）变为

Ｊｎ!%ｃｎ＋ｂｎ!&ｃｎ＋Ｋｔｎ（!ｃｎ－ｉｍ!ｍ）＝ＫｎＩｎｎ＝１，２（１０）由式（４）可将式（１）所示电机的电枢回路方程变换为

ｉＣｅｎ!&ｃｎ＋ＩｎＲｎ＋ＬｎｄＩｎ

ｄｔ

＝Ｕｎｎ＝１，２

令Ｋｃｎ＝ｉＣｅｎ，则

Ｋｅｎ!&ｃｎ＋ＩｎＲｎ＋ＬｎｄＩｎ

ｄｔ

＝Ｕｎｎ＝１，２（１１）由式（１１）、式（１０），并联立式（６）￣（８）可得双电机驱动系统的动力学模型为

Ｋｅ１!&ｃ１＋Ｉ１Ｒ１＋Ｌ１ｄＩ１

ｄｔ

＝Ｕ１

Ｋｅ２!&ｃ２＋Ｉ２Ｒ２＋Ｌ２ｄＩ２

ｄｔ

＝Ｕ２

Ｊ１!%ｃ１＋ｂ１!&ｃ１＋Ｋｔ１（!ｃ１－ｉｍ!ｍ）＝Ｋ１Ｉ１（１２）

Ｊ２!%ｃ２＋ｂ２!&ｃ２＋Ｋｔ２（!ｃ２－ｉｍ!ｍ）＝Ｋ２Ｉ２

Ｊｍ!ｍ＋ｂｍ!&ｍ＝ｉｍＫｔ１（!ｃ１－ｉｍ!ｍ）＋ｉｍＫｔ２（!ｃ２－ｉｍ!ｍ）

因为"１、"２分别为两电机的角速度，故有"１＝!&１，"２＝!&２；而

"ｃ１、"ｃ２分别为２个小齿轮的角速度，故有"ｃ１＝!&ｃ１，"ｃ２＝!&ｃ２，

同理，有"ｍ＝!&ｍ，则式（１２）可用状态方程表示为

Ｋｅ１ｓ!ｃ１（ｓ）＋（Ｒ１＋Ｌ１ｓ）Ｉ１（ｓ）＝Ｕ１（ｓ）

Ｋｅ２ｓ!ｃ２（ｓ）＋（Ｒ２＋Ｌ２ｓ）Ｉ２（ｓ）＝Ｕ２（ｓ）

（Ｊ１ｓ２＋ｂ１ｓ）!ｃ１（ｓ）＋Ｋｔ１［!ｃ１（ｓ）－ｉｍ!ｍ（ｓ）］＝Ｋ１Ｉ１（ｓ）

（Ｊ２ｓ２＋ｂ２ｓ）!ｃ２（ｓ）＋Ｋｔ２［!ｃ２（ｓ）－ｉｍ!ｍ（ｓ）］＝Ｋ２Ｉ２（ｓ）

（Ｊｍｓ２＋ｂｍｓ）!ｍ（ｓ）＝ｉｍＫｔ１［!ｃ１（ｓ）－ｉｍ!ｍ（ｓ）］＋ｉｍＫｔ２［!ｃ２（ｓ）－ｉｍ!ｍ（ｓ）］

（１３）２．３含齿隙的双电机驱动系统动力学建模

由于受到齿轮精密制造、安

装以及啮合要求的限制，齿隙是

不可避免的。因此，研究齿隙的

影响，建立齿隙模型极为重要［８］。

在以上双电机建模的基础上，进

一步考虑齿隙对系统的影响，齿

隙的模型如图４所示。

由齿轮动力学分析可知，式（１２）中代表大小齿轮弹性力的项Ｋｔｎ（!ｃｎ－ｉｍ!ｍ）与两齿轮的相对位置有关。当｜!ｃｎ－ｉｍ!ｍ｜≥#时，两齿轮间存在弹性接触力，其值与齿轮的运动方向有关；当｜!ｃｎ－ｉｍ!ｍ｜＜#时，大小齿轮之间不存在弹性接触力，即Ｋｔｎ（!ｃｎ－ｉｍ!ｍ）＝０。

若用$１（·）表示齿隙非线性函数，!ｃｎ（ｔ）－ｉｍ!ｍ表示２个齿轮的位置差，利用齿隙模型，可以得到小齿轮和大齿轮间隙非线性函数表达式为

$ｎ（!ｃｎ－ｉｍ!ｍ）＝

!ｃｎ－ｉｍ!ｍ－%!ｃｎ－ｉｍ!ｍ≥#

０

!ｃｎ－ｉｍ!ｍ＋#!ｃｎ－ｉｍ!ｍ≤－

#

%

%

%

$

%

%

%

&#

ｎ＝１，２

令&ｎ（!ｃｎ－ｉｍ!ｍ）＝’ｎ（!ｃｎ－ｉｍ!ｍ＋(ｎ）ｎ＝１，２（１４）其中描述齿隙非线性的参数$ｎ、(ｎ可以表示为

｝

｝

图４齿轮的传动间隙

（!是齿隙宽度的一半）

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