证明角相等的方法(黄冈中学)
中考数学证明角相等
例2：已知如图，在ABC中, AB=AC,M为AC的中点，AD⊥BM。 求证:∠AMB=∠DMC
A
提示
过点C作CF⊥AC交AD
B
的延长线于F.
证:
E
M
D
C
边的一半,则这条直角边所对的角是 30°.
8.角平分线的性质定理的逆定理:到一个角两边距离相等的 点在这个角的平分 线上.
9.平行四边形的性质:平行四边形的对角 相等.
10.菱形的性质:菱形的对角线互相垂直平 分,并且每一条对 角线平分一组对角.
11.等腰梯形的性质定理:等腰梯形同一底上 的两个角相等.
角都等于它的内对角. 16.弦切角定理:弦切角等于所夹弧所对的圆周角 17:两个弦切角所夹的弧相等,这两个弦切角相等. 18.三角形的内心的性质:三角形的内心与角顶点的连线平分这个角.
19.正多边形的性质:正多边形的外角ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ于它的中心角.
例1：已知 I 为ABC的内心，延长AI 交BC于D，作IE ⊥BC. 求证：∠BID=∠CIE
初中平面几何证法
一.证明角相等
1.余角、补角的性质:同角(或等角)的余角 (补角)相等.
2
1
3
∠1+∠2=90º ∠1+∠3=90º
∠2 =∠3
1.余角、补角的性质:同角(或等角)的余角 (补角)相等. 2.对顶角相等. 3.平行线的性质:两直线平行同位角(内错角)相等. 4.三角形外角定理:三角形外角等于和它 不相邻的内角之和. 5.全等三角形的性质:全等三角形对应角相等. 6.等腰三角形的性质:等边对等角;三线合一. 7.直角三角形的性质:在直角三角形中,如果一条直角边是斜
12.相似三角形的性质:相似三角形对应角相等.
专题18 “手拉手”模型(解析版)
中考常考几何模型专题18 “手拉手”模型如图，△ABC 是等腰三角形、△ADE 是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α。
结论：△BAD≌△CAE。
1．（2020•黄冈中学自主招生）如图，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE（∠ACE＜120°），点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则△CPM是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．非等腰三角形【点睛】首先根据等边三角形的性质，得出AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，则∠BCE＝∠ACD，从而根据SAS证明△BCE≌△ACD，得∠CBE＝∠CAD，BE＝AD；再由点P与点M分别是线段BE和AD的中点，得BP＝AM，根据SAS证明△BCP≌△ACM，得PC＝MC，∠BCP＝∠ACM，则∠PCM ＝∠ACB＝60°，从而证明该三角形是等边三角形．【解析】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°．∴∠BCE＝∠ACD．∴△BCE≌△ACD．∴∠CBE＝∠CAD，BE＝AD．又点P与点M分别是线段BE和AD的中点，∴BP＝AM．∴△BCP≌△ACM．∴PC＝MC，∠BCP＝∠ACM．∴∠PCM＝∠ACB＝60°．∴△CPM是等边三角形．故选：C．2．（2019•雨花区校级期末）如图，直线AC上取点B，在其同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE，CD与GF，下列结论正确的有（）①AE＝DC；②∠AHC＝120°；③△AGB≌△DFB；④BH平分∠AHC；⑤GF∥AC．A．①②④B．①③⑤C．①③④⑤D．①②③④⑤【点睛】根据等边三角形的性质得到BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，则可根据”SAS“判定△ABE≌△DBC，所以AE＝DC，于是可对①进行判断；根据全等三角形的性质得到∠BAE＝∠BDC，则可得到∠BAH+∠BCH＝60°，从而根据三角形内角和得到∠AHC＝120°，则可对②进行判断；利用”ASA”可证明△AGB≌△DFB，从而可对③进行判断；利用△ABE≌△DBC得到AE和DC边上的高相等，则根据角平分线的性质定理逆定理可对④进行判断；证明△BGF为等边三角形得到∠BGF＝60°，则∠ABG＝∠BGF，所以GF∥AC，从而可对⑤进行判断．【解析】解：∵△ABD和△BCE都是等边三角形，∴BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，∵∠DBE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠ABE＝∠DBC＝120°，∵BA＝BD，∠ABD＝∠DBC，BE＝BC，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE＝DC，所以①正确；∠BAE＝∠BDC，∵∠BDC+∠BCD＝∠ABD＝60°，∴∠BAE+∠BCD＝60°，∴∠AHC＝180°﹣（∠BAH+∠BCH）＝180°﹣60°＝120°，所以②正确；∵∠BAG＝∠BDF，BA＝BD，∠ABG＝∠DBF＝60°，∴△AGB≌△DFB（ASA）；所以③正确；∵△ABE≌△DBC，∴AE和DC边上的高相等，即B点到AE和DC的距离相等，∴BH平分∠AHC，所以④正确；∵△AGB≌△DFB，∴BG＝BF，∵∠GBF＝60°，∴△BGF为等边三角形，∴∠BGF＝60°，∴∠ABG＝∠BGF，∴GF∥AC，所以⑤正确．故选：D．3．如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H问：（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？（如果你知道勾股定理的话，请问线段AC、GE、AE、CG有什么数量关系？）【点睛】（1）由四边形ABCD与DEFG是正方形，可得AD＝CD，∠ADC＝∠GDE＝90°，进而得出∠ADG＝∠CDE，DG＝DE，然后由SAS即可判定△ADG≌△CDE；（2）根据全等三角形的性质则可证得AG＝CE；（3）根据全等三角形的性质和角的关系即可得出夹角是90°；（4）根据全等三角形的性质和三角形的面积解答即可．【解析】解：（1）∵ABCD和DEFG是正方形，∴AD ＝CD ，DG ＝DE ，且∠ADC ＝∠GDE ＝90°，∴∠ADG ＝∠CDE ，在△ADG 与△CDE 中，{AD =CD ∠ADG =∠CDE DG =DE，∴△ADG ≌△CDE （SAS ），（2）∵△ADG ≌△CDE ，∴AG ＝CE ；（3）CE 与DG 交点为O ，∵△ADG ≌△CDE ，∴∠DEC ＝∠AGD ，∵∠DEC +∠DOE ＝90°，∴∠AGD +∠DOE ＝90°＝∠AGD +∠GOH ，∴∠GHE ＝90°；（4）过点D 作MD ⊥AG ，DN ⊥CE ，∵△ADG ≌△CDE ，∴S △DCE ＝S △ADG ，∴12×CE ×DN =12×AG ×DM ，∴DM ＝DN ，且MD ⊥AG ，DN ⊥CE ，∴DH 平分∠AHE ，由勾股定理可得：AC 2+GE 2＝AE 2+CG 2．4．如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：（1）AE 与DC 的夹角为60°；（2）AE 与DC 的交点设为H ，BH 平分∠AHC ．【点睛】（1）根据等边三角形性质得出AB ＝BD ，BC ＝BE ，∠ABD ＝∠CBE ＝60°，求出∠ABE ＝∠DBC ．根据SAS 证△ABE ≌△DBC ，则∠BDC ＝∠BAE ，根据三角形的内角和定理可求出∠AHD ＝60°；（2）过点B 分别作BM ⊥CD ，BN ⊥AE ，垂足为点M ，N ．根据三角形的面积公式求出AN ＝AM ，根据角平分线性质求出即可．【解析】证明：（1）∵△ABD 和△BCE 是等边三角形，∴AB ＝BD ，BC ＝BE ，∠ABD ＝∠CBE ＝60°，∴∠ABE ＝∠DBC ，在△ABE 和△DBC 中，{AB =BD ∠ABE =∠DBC BC =BE，∴△ABE ≌△DBC ，∴AE ＝DC ，∠BDC ＝∠BAE ，∵∠BDC +∠ADC ＝∠BAE +∠ADC ＝∠BDA ＝60°，∴在△ADH 中，∠AHD ＝180°﹣∠ADC ﹣∠DAB ﹣∠BAE＝180°﹣∠ADC ﹣（∠DAB +∠BAE ）＝180°﹣60°﹣60°＝60°；（2）过点B 分别作BM ⊥CD ，BN ⊥AE ，垂足为点M ，N ．∵由（1）知：△ABE ≌△DBC ，∴S △ABE ＝S △DBC∴12×CD ×BM =12×AE ×BN∴BM ＝BN∴点B 在∠DHE 的平分线上，∴BH 平分∠AHC ．5．（2019•崇川区校级月考）如图，在△ABC 中，AB ＝CB ，∠BAC ＝∠BCA ，∠ABC ＝90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE ＝CF ．（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）求证：AE⊥CF；（3）若∠CAE＝30°，求∠ACF度数．【点睛】（1）由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）根据Rt△ABE≌Rt△CBF，可以得到∠BCF＝∠BAE，由直角三角形的性质可得结论；（3）由三角形内角和定理可以得到∠ACF的度数．【解析】证明：（1）∵∠ABC＝90°，∴∠ABE＝∠CBF＝90°，在Rt△ABE和Rt△CBF中，{AB=BCAE=CF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；（2）如图，∵Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF＝∠BAE，∵∠BCF+∠F＝90°，∴∠BAE+∠F＝90°，∴∠AHF＝90°，∴AF⊥CF；（3）∵∠AHF＝90°，∠EAC＝30°，∴∠ACF＝60°．6．（2019•永春校级月考）判定一个三角形是不是等腰三角形，我们经常利用以下的判定方法：“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”，请你利用以上判定方法解决下列问题如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为β（0°＜β＜180°），得到△A′B′C（1）当旋转角为β＝20°，∠A′B′C＝30°；（2）当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D，求证：D是A′B′的中点；（3）如图2，E是AC边上的点，且AE=13AC，P是A′B′边上的点，且∠A′PC＝60°，连接EP，已知AC＝α，当β＝120°时，EP长度最大，最大值为53a．【点睛】（1）根据旋转的性质，旋转前后两个图形全等，则∠A'B'C＝∠B，据此求解；（2）根据平行的性质证明∠BCB'＝∠B'，然后证明∠A'DC＝∠A'，根据等角对等边即可证得；（3）∠A′PC＝60°时易证△A'CP是等边三角形，当A、C、P在一条直线上时，EP的长度最大，据此即可求解．【解析】解：（1）∠A 'B 'C ＝∠B ＝30°；（2）∵AB ∥CB ′，∴∠BCB '＝∠B ＝30°，又∵∠B '＝30°，∴∠BCB '＝∠B '＝30°，∠A 'DC ＝∠BCB '+∠B '＝60°，∴CD ＝B 'D ，∵∠CA 'D ＝∠A 'DC ＝60°，∴A 'D ＝CD ，∴A 'D ＝B 'D ，即D 是A 'B '的中点；（3）∵∠A ′PC ＝60°，∠A '＝∠A ＝60°，∴△A 'CP 是等边三角形．∴CP ＝CA '＝a ，∠A 'CP ＝60°，∴当β＝180°﹣60°＝120°时，EP 长度最大，最大值为23a +a =53a ．故答案是：120，53a ．7．等边△ABD 和等边△BCE 如图所示，连接AE 与CD ，证明：（1）AE ＝DC ；（2）AE 与DC 的夹角为60°；（3）AE 延长线与DC 的交点设为H ，求证：BH 平分∠AHC ．【点睛】（1）根据△ABD 和△BCE 都是等边三角形，即可得到△ABE ≌△DBC （SAS ），进而得出AE ＝DC ；（2）根据全等三角形的性质以及三角形内角和定理，即可得到△ADH 中，∠AHD ＝60°，进而得到AE 与DC 的夹角为60°；（3）过B 作BF ⊥DC 于F ，BG ⊥AH 于G ，根据全等三角形的面积相等，即可得到BG ＝BF ，再根据BF ⊥DC 于F ，BG ⊥AH 于G ，可得BH 平分∠AHC ．【解析】证明：（1）∵△ABD 和△BCE 都是等边三角形，∴AB ＝DB ，EB ＝CB ，∠ABD ＝∠EBC ，∴∠ABE ＝∠DBC ，在△ABE 和△DBC 中，{AB =DB ∠ABE =∠DBC EB =CB，∴△ABE ≌△DBC （SAS ），∴AE ＝DC ；（2）∵△ABE ≌△DBC ，∴∠BAE ＝∠BDC ，又∵∠BAE +∠HAD +∠ADB ＝120°，∴∠BDC +∠HAD +∠ADB ＝120°，∴△ADH 中，∠AHD ＝180°﹣120°＝60°，即AE 与DC 的夹角为60°；（3）如图，过B 作BF ⊥DC 于F ，BG ⊥AH 于G ，∵△ABE ≌△DBC ，∴S △ABE ＝S △DBC ，即12AE ×BG =12DC ×BF ，又∵AE ＝DC ，∴BG ＝BF ，又∵BF ⊥DC 于F ，BG ⊥AH 于G ，∴BH 平分∠AHC ．8．（2020•房山区校级月考）将等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE 按图1方式放置，∠A ＝90°，AD 边与AB边重合，AB ＝2AD ＝4．将△ADE 绕点A 逆时针方向旋转一个角度α（0°≤α≤180°），BD 的延长线交直线CE 于点P ．（1）如图1，BD 与CE 的数量关系是 BD ＝EC ，位置关系是 BD ⊥CE ；（2）在旋转的过程中，当AD ⊥BD 时，求出CP 的长；（3）在此旋转过程中，求点P 运动的路线长．【点睛】（1）利用三角形中位线性质以及等腰直角三角形的性质得出即可；（2）首先得出△ABD ≌△ACE （SAS ），进而求出四边形ADPE 为正方形，即可得出CP 的长；（3）由（2）知，当α＝60°时，∠PBA 最大，且∠PBA ＝30°，此时∠AOP ＝60°，得出点P 运动的路线是以O 为圆心，OA 长为半径的AP̂+PA ̂，进而利用弧长公式求出即可． 【解析】解：（1）BD ＝EC ，BD ⊥CE ；理由：∵等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE 按图1方式放置，∠A ＝90°，AD 边与AB 边重合，AB ＝2AD ＝4，∴D ，E 分别是AB 和AC 的中点，故BD ＝EC ＝AD ＝AE ，BD ⊥CE ；故答案为：BD ＝EC ，BD ⊥CE ；（2）如图3所示：∵△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，{AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠1＝∠2，∴BP⊥CE，∵AD⊥BP，∠DAE＝90°，AD＝AE，∴四边形ADPE为正方形，∴AD＝PE＝2，∵∠ADB＝90°，AD＝2，AB＝4，∴∠ABD＝30°，∴BD＝CE＝2√3，∴CP＝CE﹣PE＝2√3−2；（3）如图4，取BC的中点O，连接OP、OA，∵∠BPC＝∠BAC＝90°，∴OP＝OA=12BC＝2√2，在此旋转过程中（0°≤α≤180°），由（2）知，当α＝60°时，AD⊥PB，由AD的长度为定值2，则此时∠PBA最大，且∠PBA＝30°，此时∠AOP＝60°，∴点P运动的路线是以O为圆心，OA长为半径的AP̂+PÂ，∴点P运动的路线长为：l =AP ̂+PA ̂=2AP ̂=60×π×2√2180×2=4√23π．9．（2019•裕华区校级期末）阅读情境：在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题如图1，△ABC ≌△ADE ，其中∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝AD ＝DE ＝2，此时，点C 与点E 重合，操作探究1（1）小凡将图1中的两个全等的△ABC 和△ADE 按图2方式摆放，点B 落在AE 上，CB 所在直线交DE 所在直线于点M ，连结AM ，求证：BM ＝DM ．操作探究2（2）小彬将图1中的△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转角度a （0°＜a ＜90°），然后，分别延长BC ，DE ，它们相交于点F ．如图3，在操作中，小彬提出如下问题，请你解答：①a ＝30°时，求证：△CEF 为等边三角形；②当a ＝ 45° 时，AC ∥FE ．（直接回答即可）操作探究3（3）小颖将图1中的△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转角度β（0°＜β＜90°），线段BC 和DE 相交于点F ，在操作中，小颖提出如下问题，请你解答：①如图4，当β＝60°时，直接写出线段CE的长为2√2；②如图5，当旋转到点F是边DE的中点时，直接写出线段CE的长为4√55．【点睛】（1）根据HL证明Rt△AMB≌Rt△AMD即可解决问题．（2）①想办法证明∠FCE＝∠FEC＝60°即可解决问题．②根据平行线的判定定理即可解决问题．（3）①连接EC，证明△AEC是等边三角形，利用勾股定理求出AE即可解决问题．②如图5中，连接AF，BD交于点O．首先证明EC＝BD，再证明OB＝OD，利用面积法求出OB即可解决问题．【解析】（1）证明：如图2中，∵∠ABM＝∠D＝90°，AM＝AM，AB＝AD，∴Rt△AMB≌Rt△AMD（HL），∴BM＝DM．（2）①证明：如图3中，∵CA＝AE，∠CAE＝30°，∴∠ACE＝∠AEC＝75°，∵AB＝BC＝AD＝DE，∠B＝∠D＝90°∴∠ACB＝∠AED＝45°，∴∠BCE＝∠CDE＝120°，∴∠FCE＝∠FEC＝60°，∴△EFC是等边三角形．②解：∵AC∥EF，∴∠CAE＝∠AED＝45°，∴当α＝45°时，AC∥EF．故答案为45°．（3）①解：如图4中，连接EC．∵∠EAC＝β＝60°，AE＝AC，∴△AEC是等边三角形，∵AD＝DE＝2，∠ADE＝90°，∴AE=√AD2+DE2=√22+22=2√2，∴EC＝AE＝2√2．故答案为2√2．②解：如图5中，连接AF，BD交于点O．∵∠ABF＝∠ADF＝90°，AF＝AF，AB＝AD，∴Rt△ABF≌Rt△ADF（HL），∴BF＝DF，∵DF＝EF＝1，∴BF＝DF＝1，∵BC＝2，∴BF＝CF＝1，∵BF＝CF＝DF＝EF，∠BFD＝∠CFE，∴△BFD≌△CFE（SAS），∴EC＝BD．∵AB＝AD，FB＝FD，∴AF 垂直平分线段BD ，∴OB ＝OD ，在Rt △ABF 中，∵∠ABF ＝90°，AB ＝2，BF ＝1， ∴AF =√AB 2+BF 2=√22+12=√5，∵S △ABF =12•AB •BF =12•OB •AF ，∴OB =AB⋅BF AF =2√55，∴BD ＝2OB =4√55，∴EC ＝BD =4√55．故答案为4√55．。
初中几何证明线段和角相等的方法
初中几何证明线段和角相等的方法大全一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。
12.两圆的内（外）公切线的长相等。
13.等于同一线段的两条线段相等。
二、证明两角相等1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等下面有好几种可以证明线段相等的方法，你自己选吧。
（一）常用轨迹中：①两平行线间的距离处处相等。
②线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等。
③角平分线上任一点到角两边的距离相等。
④若一组平行线在一条直线上截得的线段相等，则在其它直线上截得的线段也相等(图1）。
（二）三角形中：①同一三角形中，等角对等边。
（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等）②任意三角形的外心到三顶点的距离相等。
③任意三角形的内心到三边的距离相等。
④等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边。
(完整)《证明线段相等,角相等,线段垂直》的方法总结,推荐文档
《线段相等，角相等，线段垂直》方法总结一.证明线段相等的方法：1.中点2.等式的性质性质1：等式两边同时加上相等的数或式子，两边依然相等。
若a=b那么有a+c=b+c性质2：等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，两边依然相等若a=b那么有a·c=b·c或a÷c=b÷c （a,b≠0 或a=b ，c≠0）3.全等三角形4借助中介线段（要证a=b，只需要证明a=c，c=b即可）二.证明角相等的方法1.对顶角相等2.等式的性质3.角平分线4垂直的定义5.两直线平行（同位角，内错角）6.全等三角形7.同角的余角相等8等角的余角相等9.同角的补角相等10等角的补角相等11.三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和三．证明垂直的方法1.证明两直线夹角=90°2.证明邻补角相等3.证明邻补角的平分线互相垂直4证明三角形两内角之和=90°5.垂直于平行线中的一条直线，必定垂直于另一条6.证明此角所在的三角形与已知的直角三角形全等《线段相等，角相等，线段垂直》经典例题1.利用角平分线的定义例题1.如图，已知AB=AC，AD//BC，求证2、基本图形“双垂直”本节常用辅助线是围绕角平分线性质构造双垂直（需对其对称性形成感觉）。
例题2.如图，，与的面积相等．求证：OP平分．例题3、如图，，E是BC的中点，DE平分．求证：AE是的平分线．3.利用等腰三角形三线合一例题4.正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AE=DC+CE，求证：AF平分∠DAE。
4.利用定理定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
例5.如图，已知ΔABC的两个外角∠MAC、∠NCA的平分线相交于点P，求证点P在∠B的平分线上。
5..和平行线结合使用，容易得到相等的线段。
基本图形：P是∠CAB的平分线上一点，PD∥AB，则有∠1=∠2=∠3，所以AD=DP。
初中数学中考必考：证明两角相等的十种方法（解几何题的神器）
初中数学中考必考：证明两角相等的十种方法（解几何题的神
器）
•很少有几何题的证明过程会用不到等量代换，而要用等量代换首先得找到等量关系。
而两个角相等便是最基础、最常用、最重要的等量关系
•今天我们来研究，如何证明两个角相等。
•下面是精心挑选的题目（用对号勾住的），请认真思考该题目是如何构造两个角相等的。
2题不难，但非常的经典。
它能够让我们感受等量代换以及两角相等是多么重要。
直接给的全等（方式四）
看到平角和多个直角了吗？赤裸裸的提示啊！（方式十）
最后，再次强调一遍，做题反思真的很重要。
对于考试，我们只能尽力去掌握那些规律性的东西。
尤其是常考的规律要务必熟练掌握。
关注我，下期我们将继续寻找规律，去研究如何证明角之间的倍数关系。
中考数学证明角相等
一.证明角相等
1.余角、补角的性质:同角(或等角)的余角 (补角)相等.
2
1
3
∠1+∠2=90º ∠1+∠3=90º
∠2 =∠3
1.余角、补角的性质:同角(或等角)的余角 (补角)相等. 2.对顶角相等. 3.平行线的性质:两直线平行同位角(内错角)相等. 4.三角形外角定理:三角形外角等于和它 不相邻的内角之和. 5.全等三角形的性质:全等三角形对应角相等. 6.等腰三角形的性质:等边对等角;三线合一. 7.直角三角形的性质:在直角三角形中,如果一条直角边是斜
角都等于它的内对角. 16.弦切角定理:弦切角等于所夹弧所对的圆周角 17:两个弦切角所夹的弧相等,这两个弦切角相等. 18.三角形的内心的性质:三角形的内心与角顶点的连线平分这个角.
19.正多边形的性质:正多边形的外角等于它的中心角.
例1：已知 I 为ABC的内心，延长AI 交BC于D，作IE ⊥BC. 求证：∠BID=∠CIE
边的一半,则这条直角边所对的角是 30°.
8.角平分线的性质定理的逆定理:到一个角两边距离相等的 点在这个角的平分 线上.
9.平行四边形的性质:平行四边形的对角 相等.
10.菱形的性质:菱形的对角线互相垂直平 分,并且每一条对 角线平分一组对角.
11.等腰梯形的性质定理:等腰梯形同一底上 的两个角相等.
例4：AB是 ⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，M是上任意 一点。延长AM与DC的延长线交于F。求证： ∠FMC=∠AMD
分析：
已知条件有直径与弦互相垂直， 可考虑用垂径定理。
要证∠FMC=∠AMD 而∠FMC 是圆内接四边形ABCM的外角， 所以∠FMC=∠ABC
∠AMD与∠ABC所对的弧
如何证明角的相等
证明角的相等
1.对顶角相等。
2.角（或同角）的补角相等或余角相等。
3.两直线平行，同位角相等、内错角相等。
4.凡直角都相等。
5.角平分线分得的两个角相等。
6.同一个三角形中，等边对等角。
7.等腰三角形中，底边上的高（或中线）平分顶角。
8.平行四边形的对角相等。
9.菱形的每一条对角线平分一组对角。
10.等腰梯形同一底上的两个角相等。
11.关系定理：同圆或等圆中，若有两条弧（或弦、或弦心距）相等，则它们所对的圆心角相等。
12.圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角。
13.同弧或等弧所对的圆周角相等。
14.弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
15.同圆或等圆中，如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
16.全等三角形的对应角相等。
17.相似三角形的对应角相等。
18.利用等量代换。
19.利用代数或三角计算出角的度数相等
20.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
证明两个角相等的方法
证明两个角相等的方法
证明两个角相等可以使用以下几种方法：
1. 直接证明法：通过已知条件或性质，直接推导出两个角相等。
例如，如果已知两条边相等且夹角相等，则可以直接推导出两个角相等。
2. 反证法：假设两个角不相等，然后推导出矛盾。
例如，假设两个角不相等，然后利用已知条件或几何定理推导出不可能的结论，从而得出两个角必须相等。
3. 辅助角法：将两个角分解为可以通过已知条件得到的角，然后通过角的性质证明这些角相等。
例如，对于一个三角形，可以利用三角形内角和为180度的性质，将一个角分解为两个已知角的和，然后通过比较得到这两个角相等。
4. 共有边法：如果两个角有一条边是共有的，并且已知另外一条边相等或角度相等，那么可以通过边和角的性质证明两个角相等。
例如，如果已知两个角有一条边是共有的，并且另外一条边相等，那么可以利用三角形的边对应角相等的性质，推导出两个角相等。
无论使用哪种方法，都要根据具体的情况选择合适的几何定理或性质进行推导和证明。
不用四点共圆证明角度相等的方法
不用四点共圆证明角度相等的方法
证明角度相等是几何学中一个关键概念，也是衡量角度相等程度与否的标准。
经常使用的方法是四点共圆。
但是，四点共圆只是最根本的证明角度相等的方法，在某些情况下并不是首选的。
这时，就要使用其他方式来证明角度相等，比如说，对角线分割法。
当任意角
形内有两条相互垂直的对角线时，可以将其分成四块，每块之间的两个角一定相等。
按照这种原理，只要证明某个角为锐角或者钝角，即可证明该角的每一个锐角或反锐角的角度大小都是相等的。
另外，如果只需要证明两角相等，还可以使用分离证明法。
只要将两个角分开，找出一条连接两个角的线段，将两个角的度数相加，如果结果为360，则证明两角
相等。
此外，也可以采用双边相等法来证明角度相等。
首先，将待证明的角度分别乘
以2，最后将两个角度和相比较，如果相等，则原有的角度也一定相等。
有时，在
特定的场合还可以使用角平分线分解法，该方法能够将大角分解成多个角，然后证明每个小角的大小是相等的。
总而言之，以上是证明角度相等的多种方式，它们在解决九章算术中的证明角
度相等问题时均有突出表现，可以有效提高数学建模的效率。
因此，各类建模从业人员在其工作中也可以结合实际情况，有选择地运用不同的方法来证明角度相等。
初中几何证明线段和角相等的方法大全
初中几何证明线段和角相等的方法大全一、证明两线段相等1。
两全等三角形中对应边相等.2.同一三角形中等角对等边.3。
等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4。
平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等.6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
9.同圆（或等圆)中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项(或两前项）相等。
12。
两圆的内（外)公切线的长相等.13。
等于同一线段的两条线段相等。
二、证明两角相等1。
两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3。
等腰三角形中，底边上的中线(或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
6。
同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等,圆周角相等,弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
7。
圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.8。
相似三角形的对应角相等。
9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10。
等于同一角的两个角相等。
证明角相等的方法
添辅助线的规律（一）添辅助线的目的：解证几何问题的基本思路就是要利用已知几何条件求得所求几何关系。
这往往需要将已知条件与所求条件集中到一个或两个几何关系十分明确的简单的几何图形之中。
如一个三角形（特别是直角三角形、等腰三角形），一个平行四边形（特别是矩形、菱形、正方形），一个圆，或两个全等三角形，两个相似三角形之中。
这种思路可称为条件集中法。
为了达到条件集中的目标，我们需要将远离的、分散的已知条件和所求条件，通过连线、作线、平移、翻转、旋转等方法来补全或构造一个三角形、一个平行四边形、一个圆、或两个全等三角形、两个相似三角形。
以便于运用这些图形的几何关系（性质定理）解题，这就需要添加辅助线。
添加什么样的辅助线，总由以下三方面决定：⑴由所求决定：问什么，先要作什么。
⑵由已知决定：已知什么，作出什么，并为充分运用已知条件提供的性质定理添加辅助线。
⑶由条件集中的需要决定：为补全或构造几何关系十分明确的一个三角形、一个平行四边形、一个圆，或两个全等三角形、两个相似三角形而添加辅助线。
（二）添辅助线的规律：（1）三角形中：①等腰Δ：常连底边上的中线或高或顶角的平分线（构造两个全等的直角Δ，或便于运用等腰Δ三线合一的性质。
如图1）②直角Δ斜边上有中点：连中线（构造两个等腰Δ，或便于运用直角Δ斜边上的中线的特殊性质。
如图2）③斜Δ有中点或中线：连中线(构造两个等底同高的等积Δ。
如图3）；或自左右两顶点分别作中线的垂线（构造两个全等直角三角形。
如图4）；或连中位线、或过一中点作另一边的平行线（构造两个相似比为1：2的相似Δ，或便于运用Δ中位线定理。
如图5、6）；或延长中位线或中线的一倍（构造两个全等Δ或补全为一个平行四边形。
如图7、8）。
或延长中线的1/3（构造两个全等Δ或补全为一个平行四边形。
如图9）。
④有角平分线：过其上某一交点作角两边的垂线（构造两全等的直角Δ。
如图10）或一边或两边的平行线（构造一个或两个等腰Δ或一菱形。
初中几何证明线段和角相等的方法
初中几何证明线段和角相等的方法第一篇：初中几何证明线段和角相等的方法初中几何证明线段和角相等的方法大全一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。
12.两圆的内（外）公切线的长相等。
13.等于同一线段的两条线段相等。
二、证明两角相等1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等下面有好几种可以证明线段相等的方法，你自己选吧。
（一）常用轨迹中：①两平行线间的距离处处相等。
②线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等。
③角平分线上任一点到角两边的距离相等。
④若一组平行线在一条直线上截得的线段相等，则在其它直线上截得的线段也相等(图1）。
（二）三角形中：①同一三角形中，等角对等边。
（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等）②任意三角形的外心到三顶点的距离相等。
③任意三角形的内心到三边的距离相等。
证明角相等的方法 (黄冈中学)
OAECDB证明两角相等的方法黄冈中学 初三数学备课组【重点解读】证明两角相等是中考命题中常见的一种题型，此类证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦,特别是在中考有限的两个小时中。
恰当选用正确的方法,可取得事半功倍的效果.在教学中总结了一些定理（或常见结论）以及几种处理方法，仅供参考。
【相关定理或常见结论】 1、相交线、平行线： (1）对顶角相等；（2）等角的余角（或补角）相等；（3)两直线平行，同位角相等、内错角相等; （4)凡直角都相等；（5）角的平分线分得的两个角相等。
2、三角形（1）等腰三角形的两个底角相等;(2)等腰三角形底边上的高（或中线)平分顶角（三线合一)；（3）三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相邻的内角之和 （4)全等三角形的对应角相等； (5）相似三角形的对应角相等。
3、四边形（1）平行四边形的对角相等;（2）菱形的每一条对角线平分一组对角； （3）等腰梯形在同一底上的两个角相等。
4、圆（1)在同圆或等圆中，若有两条弧相等或有两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等； （2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. ，圆心角相等。
（3)圆周角定理：在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（4）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；并且每一个外角都等于它的内对角. （5）三角形的内心的性质：三角形的内心与角顶点的连线平分这个角。
（6）正多边形的性质：正多边形的外角等于它的中心角。
（7）从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角； 5、利用等量代换、等式性质 证明两角相等。
6、利用三角函数计算出角的度数相等【典题精析】（一） 利用全等相关知识证明角相等例1 已知：如图，CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，BE 与CD 交于点O ,且BD CE =． 求证:AO 平分BAC ∠．分析：要证AO 平分BAC ∠，因为CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，所以只要证明OD=OE ；若能证明若能证△OBD ≌△OCE 即可，因为可证∠ODB=∠OEC=90°,∠BOD=∠COE ，而BD=CE ，故问题得到解决． 证明:∵CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E∴∠ODB=∠OEC=90° 在△O BD 和△OCE 中∠ODB=∠OEC ∠BOD=∠COE BD=CE∴△OBD ≌△OCE ∴OD=OE∵CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ∴AO 平分BAC ．说明：本例的证明运用了对顶角相等，角的平分线性质的逆定理 例2 如图，在梯形ABCD 中,AD ∥BC,E 是梯形内一点,ED ⊥AD ，BE=DC ，∠ECB=45 o ． 求证:∠EBC ＝∠EDC 分析：要证明∠EBC ＝∠EDC ，容易想到证全等，而图中没有全等的三角形,如果能构造出两个全等的三角形即可.延长DE 与BC 交于点于点F ， 这样就很容易证△BEF ≌△DCF ，从而问题得到解决。
湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析三角证明与计算的综合考查
湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析10：三角证明与计算的综合考查【考点聚焦】考点1：同角的三角函数关系式； 考点2：诱导公式；考点3：和、差、倍角公式 考点4：正弦定理、余弦定理、面积公式。
【考题形式】与倍角公式有关的计算与证明。
【考点小测】°cos77°+sin43°cos167°的值为解析：cos43°cos77°+sin43°cos167°=cos43cos77sin 43sin77cos120︒︒-︒︒=︒=－21． 2．已知f (cos x )=cos3x ，则f (sin30o )的值为 －13.如果αcos ＝51，且α是第四象限的角，那么)2cos(πα+＝解：已知cos()sin (2παα⇒+=-=-；4.已知α∈(2π,π)，sin α=53,则tan(4πα+)= 解：由3(,),sin ,25παπα∈=则3tan 4α=-，tan()4πα+=1tan 11tan 7αα+=-，。
5 已知sin α=53，α∈(2π，π)，tan(π－β)= 21，则tan(α－2β)=_____ _6 设α∈(43,4ππ)，β∈(0，4π)，cos(α－4π)=53，sin(43π+β)=135，则sin(α+β)=______65567. 已知tan2α=2，则tan()4πα+= ；；6sin cos 3sin 2cos αααα+-= 。
解：（I ）∵ tan 2α=2, ∴ 22tan2242tan 1431tan 2ααα⨯===---;所以tan tantan 14tan()41tan 1tan tan 4παπααπαα+++==--=41134713-+=-+；（II ）由(I), tan α=－34, 所以6sin cos 3sin 2cos αααα+-=6tan 13tan 2αα+-=46()173463()23-+=--. 8.（江苏卷）︒-︒︒+︒︒40cos 270tan 10sin 310cos 20cot ＝ 【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值 解： 【典型考例】【问题1】“拆项”与“添项”巧凑“和角、差角”公式★例1★（1）οοοοοο8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin ++=32-；（2）οοο20cos 20sin 10cos 2-=3 ★例2★已知：41)2tan(,52)tan(=-=+πββα，求：)4tan(απ+的值.223点评：进行三角变换的技巧常常是变角――注意角的和、差、倍、半、互余、互补关系，根据实际情况，对角进行“拆”或“添”变形，这样可以大大减少运算量. 【问题2】弦切互化★ 例3★ P 44例1 ★例4★ P 44例2P 46T 5（安徽卷）已知40,sin 25παα<<= （Ⅰ）求22sin sin 2cos cos 2αααα++的值；（Ⅱ）求5tan()4πα-的值。
证明角相等的方法
添辅助线的规律（一）添辅助线的目的：解证几何问题的基本思路就是要利用已知几何条件求得所求几何关系。
这往往需要将已知条件与所求条件集中到一个或两个几何关系十分明确的简单的几何图形之中。
如一个三角形（特别是直角三角形、等腰三角形），一个平行四边形（特别是矩形、菱形、正方形），一个圆，或两个全等三角形，两个相似三角形之中。
这种思路可称为条件集中法。
为了达到条件集中的目标，我们需要将远离的、分散的已知条件和所求条件，通过连线、作线、平移、翻转、旋转等方法来补全或构造一个三角形、一个平行四边形、一个圆、或两个全等三角形、两个相似三角形。
以便于运用这些图形的几何关系（性质定理）解题，这就需要添加辅助线。
添加什么样的辅助线，总由以下三方面决定：⑴由所求决定：问什么，先要作什么。
⑵由已知决定：已知什么，作出什么，并为充分运用已知条件提供的性质定理添加辅助线。
⑶由条件集中的需要决定：为补全或构造几何关系十分明确的一个三角形、一个平行四边形、一个圆，或两个全等三角形、两个相似三角形而添加辅助线。
（二）添辅助线的规律：（1）三角形中：①等腰Δ：常连底边上的中线或高或顶角的平分线（构造两个全等的直角Δ，或便于运用等腰Δ三线合一的性质。
如图1）②直角Δ斜边上有中点：连中线（构造两个等腰Δ，或便于运用直角Δ斜边上的中线的特殊性质。
如图2）③斜Δ有中点或中线：连中线(构造两个等底同高的等积Δ。
如图3）；或自左右两顶点分别作中线的垂线（构造两个全等直角三角形。
如图4）；或连中位线、或过一中点作另一边的平行线（构造两个相似比为1：2的相似Δ，或便于运用Δ中位线定理。
如图5、6）；或延长中位线或中线的一倍（构造两个全等Δ或补全为一个平行四边形。
如图7、8）。
或延长中线的1/3（构造两个全等Δ或补全为一个平行四边形。
如图9）。
④有角平分线：过其上某一交点作角两边的垂线（构造两全等的直角Δ。
如图10）或一边或两边的平行线（构造一个或两个等腰Δ或一菱形。
初中数学 如何判断两个角是否相等
初中数学如何判断两个角是否相等
在初中数学中，判断两个角是否相等是一个基本的概念。
下面是一些关于判断两个角是否相等的方法和步骤：
1. 了解相等角的定义：相等角是指两个角的度数相等。
在一个平面内，如果两个角的度数相等，那么它们是相等角。
2. 观察两个角的度数：观察两个角的度数，看它们是否相等。
如果两个角的度数相等，那么它们是相等角。
3. 利用相等角的性质：利用相等角的性质来判断两个角是否相等。
相等角的度数是相等的。
如果两个角的度数相等，那么它们是相等角。
4. 比较两个角的度数：比较两个角的度数，看它们是否相等。
可以使用量角器或者其他工具来测量角的度数，然后比较它们的数值。
如果两个角的度数相等，那么它们是相等角。
通过以上步骤，我们可以判断两个角是否相等。
如果它们的度数相等，或者它们的度数相等，那么它们是相等角。
总结起来，判断两个角是否相等需要观察它们的度数，比较它们的度数，以及利用相等角的性质。
如果两个角的度数相等，或者它们的度数相等，那么它们是相等角。
理解和应用这些方法，可以帮助我们准确地判断两个角是否相等。
中考数学证明角相等
例1：已知 I 为ABC的内心，延长AI 交BC于D，作IE ⊥BC. 求证：∠BID=∠CIE
证明：点I是的内心
例2：已知如图，在ABC中, AB=AC,M为AC的中点，AD⊥BM。 求证:∠AMB=∠DMC
A
提示
过点C作CF⊥AC交AD
B
的延长线于F.
hg0088 hg0088
14..圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论:同弧或等弧所对的圆周角相等,直径所 对的圆周角是直角. 15.圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补;并且每一个外
角都等于它的内对角. 16.弦切角定理:弦切角等于所夹弧所对的圆周角 17:两个弦切角所夹的弧相等,这两个弦切角相等. 18.三角形的内心的性质:三角形的内心与角顶点的连线平分这个角.
证:
E
M
D
C
思考：
1.在△ABC中，EF⊥ AB，CD⊥ AB，G在AC边上 并且 ∠GDC=∠EFB，求证: ∠AGD=∠ACB
2.已知，如图，在 △ABC中，AC 2=AD · AB。 求证：∠ACD=∠ABC。
3.如图，在 △ABC中，∠B=90，点G、E在BC 边上，且AB=BG=GE=GC。 求证:∠AGB=∠AEB+∠ACB
边的一半,则这条直角边所对的角是 30°.
8.角平分线的性质定理的逆定理:到一个角两边距离相等的 点在这个角的平分 线上.
9.平行四边形的性质:平行四边形的对角 相等.
10.菱形的性质:菱形的对角线互相垂直平 分,并且每一条对 角线平分一组对角.
11.等腰梯形的性质定理:等腰梯形同一底上 的两个角相等.
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证明两角相等的方法黄冈中学初三数学备课组【重点解读】证明两角相等是中考命题中常见的一种题型，此类证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在中考有限的两个小时中。
恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。
在教学中总结了一些定理（或常见结论）以及几种处理方法，仅供参考。
【相关定理或常见结论】1、相交线、平行线：（1）对顶角相等；（2）等角的余角（或补角）相等；（3）两直线平行，同位角相等、内错角相等；（4）凡直角都相等；（5）角的平分线分得的两个角相等.2、三角形（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形底边上的高（或中线）平分顶角（三线合一）；（3）三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相邻的内角之和（4）全等三角形的对应角相等；（5）相似三角形的对应角相等.3、四边形（1）平行四边形的对角相等；（2）菱形的每一条对角线平分一组对角；（3）等腰梯形在同一底上的两个角相等.4、圆（1）在同圆或等圆中，若有两条弧相等或有两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等；（2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. ，圆心角相等.（3）圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（4）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的内对角.OAE CDB （5）三角形的内心的性质：三角形的内心与角顶点的连线平分这个角.（6）正多边形的性质：正多边形的外角等于它的中心角.（7）从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角；5、利用等量代换、等式性质 证明两角相等.6、利用三角函数计算出角的度数相等【典题精析】（一） 利用全等相关知识证明角相等例1 已知：如图，CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，BE 与CD 交于点O ，且BD CE =．求证：AO 平分BAC ∠．分析：要证AO 平分BAC ∠，因为CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，所以只要证明OD=OE ；若能证明若能证△OBD ≌△OCE 即可，因为可证 ∠ODB=∠OEC=90°,∠BOD=∠COE ，而BD=CE ，故问题得到解决． 证明：∵CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E∴∠ODB=∠OEC=90°在△O BD 和△OCE 中∠ODB=∠OEC ∠BOD=∠COE BD=CE∴△OBD ≌△OCE ∴OD=OE∵CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ∴AO 平分BAC ．说明：本例的证明运用了对顶角相等，角的平分线性质的逆定理例2 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是梯形内一点，ED ⊥AD ，BE=DC ，∠ECB=45 o ．求证：∠EBC ＝∠EDC分析：要证明∠EBC ＝∠EDC ，容易想到证全等，而图中没有全等的三角形，如果能构造出两个全等的三角形即可。
延长DE 与BC 交于点于点F ， 这样就很容易证△BEF ≌△DCF ，从而问题得到解决。
证明：延长DE 与BC 交于点于点F AD ∥BC ，ED ⊥AD∴DF⊥BC∴∠BFE=∠DFC=90°∵∠ECB=45 o∴∠ECB=∠CEB=45 o∴CF=EF在Rt△BEF和Rt△DCF中EF=CF ，BE=DC∴Rt△BEF≌Rt△DCF∴∠EBC＝∠EDC说明：本例运用全等三角形的对应角相等，来证明两角相等例3如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，CD∥BA，四边形AEBC是平行四边形．求证：∠ABD＝∠ABE．分析：要证∠ABD＝∠ABE，若能证△ABD≌△ABE即可．因为可证BE＝AC＝BD，AE＝BC＝AD，而AB为公共边，故问题得到解决．证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AD＝BC，AC＝B D．∵四边形AEBC是平行四边形，∴BC＝AE，AC＝BE．∴AD＝AE，BD＝BE．又∵AB＝AB，∴△ABD≌△ABE．∴∠ABD＝∠ABE．说明：本例通过运用等腰梯形的性质来证明三角形全等从而证明两角相等．总结：这类题主要考查全等三角形、特殊四边形的性质，在中考中也是常考的题型，在证明过程中，特别要抓住一些基本图形，同时还要注意常用辅助线的作法。
（二）利用平行、三角形的内角和、外角关系证明角之间的关系例4．已知：△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE，G是垂足，求证：⑴G是CE的中点；⑵∠B=2∠可联想直角三角形斜边上的中线性质；要证明G是CE的中点，结合已知条件DG⊥CE，符合等腰三角形三线合一中的两个条件，故连结DE，证明△DCE是等腰三角形，由DG⊥CE，可得G是CE的中点.⑵由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，BE=DE，∠B转化为∠EDB.证明：⑴连结DE，∵∠ADB=90°，E是AB的中点，∴DE=AE=BE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），又∵DC=BE，∴DC=DE，又∵DG⊥CE，∴G是CE中点（等腰三角形底边上的高平分底边）.⑵∵DE=DC，∴∠DCE=∠DEC（等边对等角），∴∠EDB=∠DEC+∠DCE=2∠BCE（三角形的外角等于两不相邻内角的和），又∵DE=BE，∴∠B=∠EDB，∴∠B=2∠BCE直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，其特殊性质有：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；等腰三角形三线合一的性质通常有以下变形形式：已知等腰和高、已知顶角平分线和高、已知等腰和底边中线. 特殊三角形与线段和角的相等、线段和角的倍半关系有着密切关系.例5 如图，直线AC BD ∥，连结AB ，直线AC BD ，及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P 落在某个部分时，连结PA PB ，，构成PAC ∠，APB ∠，PBD ∠三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0角．） （1）当动点P 落在第①部分时，求证：APB PAC PBD ∠=∠+∠； （2）当动点P 落在第②部分时，APB PAC PBD ∠=∠+∠是否成立（直接回答成立或不成立）（3）当动点P 在第③部分时，全面探究PAC ∠，APB ∠，PBD ∠之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．分析：本题主要考查平行线的性质及三角形内角和定理和外角性AB C D①②③A B C DP ①②③④A B C D ①②③④④质（1）解法一：如图1延长BP交直线AC于点E∵ AC∥BD , ∴∠PEA = ∠PBD .∵∠APB = ∠PAE + ∠PEA ,∴∠APB = ∠PAC + ∠PBD .解法二：如图2过点P作FP∥AC ,∴∠PAC = ∠APF .∵ AC∥BD , ∴FP∥BD .∴∠FPB =∠PBD .∴∠APB =∠APF +∠FPB =∠PAC + ∠PBD .解法三：如图3，∵ AC∥BD , ∴∠CAB +∠ABD = 180°即∠PAC +∠PAB +∠PBA +∠PBD = 180°.又∠APB +∠PBA +∠PAB = 180°,∴∠APB =∠PAC +∠PBD .（2）不成立.（3）(a)当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB .(b)当动点P在射线BA上，结论是∠PBD =∠PAC +∠APB .或∠PAC =∠PBD +∠APB 或∠APB = 0°，∠PAC =∠PBD（任写一个即可）.(c) 当动点P在射线BA的左侧时，结论是∠PAC =∠APB +∠PBD .选择(a) 证明：如图4，连接PA，连接PB交AC于M∵ AC∥BD ,∴∠PMC =∠PBD .又∵∠PMC =∠PAM +∠APM ,∴∠PBD =∠PAC +∠APB .选择(b) 证明：如图5∵点P在射线BA上，∴∠APB = 0°.∵ AC∥BD , ∴∠PBD =∠PAC .∴∠PBD =∠PAC +∠APB或∠PAC =∠PBD+∠APB或∠APB = 0°，∠PAC =∠PBD.选择(c) 证明：如图6，连接PA，连接PB交AC于F∵ AC∥BD , ∴∠PFA =∠PBD .∵∠PAC =∠APF +∠PFA ,∴∠PAC =∠APB +∠PBD总结：这类题主要考查平行线的性质，三角形的内角和，外角性质及其应用，在求解角的度数时，一般运用三角形的角及外角的关系，把所求的角集中在同一个三角形中，然后利用内角和求角度，在证明角之间的关系时，常考虑利用三角形的内角和定理和外角性质，若题中没有三角形，常通过作辅助线构造三角形。
（三）利用四边形的相关知识证明角的有关问题例6已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使，连结FC．求证：∠F＝∠A．分析：要证明∠F＝∠A，由图知只要证明四边形AEFC是平行四边形即可。
证明：∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∵EB=ED∴∠EBD=∠EDB∴∠EDB=∠ACB∴EF∥ACE是AB的中点∴AE=EB∵DF＝DE，EB=ED∴AE=EB= DF＝DE∴AE+EB= DF+DE即AB=EF∵AB=AC∴EF=AC又∵EF∥AC∴四边形AEFC是平行四边形∴∠F＝∠A说明：本例的证明用到了等腰三角形的两底角相等，平行四边形的对角相等。
（四）利用圆的相关知识例7如图，已知BC是直径，AB AG，AD⊥BC.求证：（1）∠EAF=∠AFE（2）BE=AE=EF分析：由BC是直径，得到∠BAC是直角，再利用AB AG=，得到∠ABE=∠BAE；再证∠EAF=∠FAE。
证明：（1）∵BC是直径∴∠BAC=90 o∴∠ABE+∠EFA=90 o ，∠BAE+∠EAF=90 o∵AB AG=∴∠ABE=∠BAE∴∠EAF=∠AFE（2）略说明：本例的证明用到了等弧所对的圆周角相等，等角的余角相等例8已知：如图，AD为锐角△ABC外接圆的直径，AE⊥BC于E，交⊙O于F。
求证：∠1=∠2分析：∠1和∠2分别是BD和CF所对的两个圆周角，故只需证BD=CF，但不易证明，由于∠2+∠C=90o ，Array联想到把∠1放到直角三角形中，连结BD，可得∠FABD=90 o ，从而问题得证。
证明：连结BD ∵AD 为直径 ∴∠ABD=90 o ∴∠1+∠D=90 o ∵AE ⊥BC 于E ∴∠2+∠C=90 o ∵∠C=∠D ∴∠1=∠2总结：此题关键是见直径构造90 o 的圆周角例9 已知：如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，CD ⊥AB 于D ，若AE ＝AC ，BE 交⊙O 于点F ，连结EF 、DE ．求证：（1）AE 2＝AD ·AB ；（2）∠ACF ＝∠AED ．分析：（1）因为AE=AC ，要证AE 2＝AD ·AB ，实际上证AC 2＝AD ·AB ，BE可转化成比例式，放入三角形中用相似三角形来证明。