证明角相等的方法(黄冈中学)

证明两角相等的方法

黄冈中学初三数学备课组

【重点解读】

证明两角相等是中考命题中常见的一种题型，此类证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在中考有限的两个小时中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。在教学中总结了一些定理（或常见结论）以及几种处理方法，仅供参考。

【相关定理或常见结论】

1、相交线、平行线：

（1）对顶角相等；

（2）等角的余角（或补角）相等；

（3）两直线平行，同位角相等、内错角相等；

（4）凡直角都相等；

（5）角的平分线分得的两个角相等.

2、三角形

（1）等腰三角形的两个底角相等；

（2）等腰三角形底边上的高（或中线）平分顶角（三线合一）；（3）三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相邻的内角之和（4）全等三角形的对应角相等；

（5）相似三角形的对应角相等.

3、四边形

（1）平行四边形的对角相等；

（2）菱形的每一条对角线平分一组对角；

（3）等腰梯形在同一底上的两个角相等.

4、圆

（1）在同圆或等圆中，若有两条弧相等或有两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等；

（2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. ，圆心角相等.

（3）圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

（4）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的内对角.

O

A

E C

D

B （5）三角形的内心的性质：三角形的内心与角顶点的连线平分这个角.

（6）正多边形的性质：正多边形的外角等于它的中心角.

（7）从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角；

5、利用等量代换、等式性质 证明两角相等.

6、利用三角函数计算出角的度数相等

【典题精析】

（一） 利用全等相关知识证明角相等

例1 已知：如图，CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，

BE 与CD 交于点O ，且BD CE =．

求证：AO 平分BAC ∠．

分析：要证AO 平分BAC ∠，因为CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，所以只要证明OD=OE ；若能证明若能证△OBD ≌△OCE 即可，因为可证 ∠ODB=∠OEC=90°,∠BOD=∠COE ，而BD=CE ，故问题得到解决． 证明：∵CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E

∴∠ODB=∠OEC=90°

在△O BD 和△OCE 中

∠ODB=∠OEC ∠BOD=∠COE BD=CE

∴△OBD ≌△OCE ∴OD=OE

∵CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ∴AO 平分BAC ．

说明：本例的证明运用了对顶角相等，角的平分线

性质的逆定理

例2 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是梯形内一

点，ED ⊥AD ，BE=DC ，∠ECB=45 o ．

求证：∠EBC ＝∠EDC

分析：要证明∠EBC ＝∠EDC ，容易想到证全等，而图中没有全等的三角形，如果能构造出两个全等的三角形即可。延长DE 与BC 交于点于点F ， 这样就很容易证△BEF ≌△DCF ，从而问题得到解决。

证明：延长DE 与BC 交于点于点F AD ∥BC ，ED ⊥AD

∴DF⊥BC

∴∠BFE=∠DFC=90°

∵∠ECB=45 o

∴∠ECB=∠CEB=45 o

∴CF=EF

在Rt△BEF和Rt△DCF中

EF=CF ，BE=DC

∴Rt△BEF≌Rt△DCF

∴∠EBC＝∠EDC

说明：本例运用全等三角形的对应角相等，来证明两角相等

例3如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，CD∥BA，四边形AEBC是平行四边形．

求证：∠ABD＝∠ABE．

分析：要证∠ABD＝∠ABE，若能证△ABD≌△ABE

即可．因为可证BE＝AC＝BD，AE＝BC＝AD，而AB

为公共边，故问题得到解决．

证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AD＝BC，AC＝B D．

∵四边形AEBC是平行四边形，∴BC＝AE，AC＝BE．

∴AD＝AE，BD＝BE．

又∵AB＝AB，∴△ABD≌△ABE．

∴∠ABD＝∠ABE．

说明：本例通过运用等腰梯形的性质来证明三角形全等从而证

明两角相等．

总结：这类题主要考查全等三角形、特殊四边形的性质，在中考中也是常考的题型，在证明过程中，特别要抓住一些基本图形，同时还要注意常用辅助线的作法。

（二）利用平行、三角形的内角和、外角关系证明角之间的关

系

例4．已知：△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE，G是垂足，

求证：⑴G是CE的中点；⑵∠B=2∠

可联想直角三角形斜边上的中线性质；

要证明G是CE的中点，结合已知条件DG⊥CE，

符合等腰三角形三线合一中的两个条件，

故连结DE，证明△DCE是等腰三角形，由DG⊥CE，

可得G是CE的中点.

⑵由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，BE=DE，∠B转化为∠EDB.

证明：⑴连结DE，

∵∠ADB=90°，E是AB的中点，

∴DE=AE=BE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），

又∵DC=BE，∴DC=DE，

又∵DG⊥CE，

∴G是CE中点（等腰三角形底边上的高平分底边）.

⑵∵DE=DC，∴∠DCE=∠DEC（等边对等角），

∴∠EDB=∠DEC+∠DCE=2∠BCE（三角形的外角等于两不相邻

内角的和），

又∵DE=BE，∴∠B=∠EDB，∴∠B=2∠BCE

直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，其特殊性质有：直角三