第七节多元隐函数求偏导

y
y
y
解得
z y
3y
z 4 xz
5z2
，
将 x y 0 , z 1 ，代入上式得
z
1
y
(0,0)
. 5
6
例3
设x2
y2 z2 4z 0，求
2z x2 .
解 视 z 为 x, y 的二元函数 z z(x, y) ,方程两边
关于 x 求偏导,得
2xx 2zzzz24zz 00 z x ,
4
例2 由方程 yz 3 xz 4 z5 1 确定隐函数 z z( x, y) ，
求 z x
(0,0)
,
z y
(0,0)
.
解 视 z 为 x, y 的二元函数 z z(x, y) ,
方程两边关于x 求偏导数,得
y 3z2 z
x
(z4
x 4z3
z ) x
5z4
z x
0，
解得
z x
3y
z2 4xz
上式两边再次关于x求偏导,
得
2z x2
(2 z) x z x
(2 z)2
(2
z)2 (2 z)3
x2
.
14
2z
例6 设 z3 3 xyz a3 , 求 xy
分析：如果令F ( x, y, z) z3 3xyz a3, 则由方程F ( x, y, z) 0
确定了z是x，y 的函数,求z 用隐函数求导法。但在求二阶混
第七节
第七章
多元隐函数求偏导
一、 一元隐函数求导 二、 二元隐函数求偏导 三、隐函数的求导公式
1
一、 一元隐函数求导
直接求导法！
y f ( x) 形式称为显函数.
定义 由方程所F ( x, y) 0确定的函数 y y( x)称为 （一元）隐函数 .
F(x, y) 0
y f ( x) 隐函数的显化
xx xx
x 2z
上式两边再次关于x求偏导,
两边关于x求导也可以
1 ( z )2 x
2z z x2
2
2z x2
0,
解得
2z x2
1 ( z )2 x
2 z
(2 z)2 x2 (2 z)3 .
7
三、隐函数的求导公式
1. 设方程F ( x, y) 0确定隐函数 y y( x)，若Fy 0
z f ( x, y) 形式称为显函数 .
定义 由方程所F ( x, y, z) 0确定的函数 z f ( x, y) 称为二元隐函数 .
F(x, y, z) 0
z f ( x, y) 隐函数的显化
如果二元隐函数不易显化或不能显化时，方程 两边也可以直接求导，求导的过程中把z视为x、 y的二元函数z=f(x,y).
则： dy Fx .
dx Fy
一元隐函数的求导公式
2. 设方程F ( x, y, z) 0确定隐函数 z z( x, y)，若Fz 0
则： z Fx , z Fy
x Fz y Fz
二元隐函数的求导公式
8
1. 设方程F ( x, y) 0确定隐函数 y y( x)，若Fy 0
13
方程F ( x, y, z) 0确定隐函数 z z( x, y)
z Fx , z Fy x Fz y Fz
例3
设x2
y2 z2 4z 0，求
2z x2 .
法2.设 F ( x, y, z) x2 y2 z2 4z
则 Fx 2 x , Fz 2z 4
z Fx x x Fz 2 z
dy Fx . dx Fy
例5 x y y x ，求隐函数的导数 dy
dx
解 设 F x, y xy yx
则 Fx yx y1 y x ln y
Fy x y ln x xy x1
所以
y Fx Fy
yx y1 y x ln y x y ln x xy x1
以前的做法：先取对数 再求导！
dy Fx . dx Fy
例4
设 x 2 y 2 2 x , 求 dy .
dx
解 令 F(x, y) x2 y2 2x , 则
Fx 2x 2 , Fy 2 y ,
由公式得,
dy 2x 2 1 x .
ຫໍສະໝຸດ Baidudx
2y
y
12
方程F ( x, y) 0确定隐函数
y y( x)，
x Fz y Fz
注：1. 利用公式时，求 Fx, Fy, Fz 都是在对中间变量求导 ，
故求 Fx 时暂时将y, z看成常量，其他类似 . 2. 利用公式时，不要忘记 负号！
3. 利用公式求导只能求一 阶导数,求高阶导数时应
采用直接求导法！
11
方程F ( x, y) 0确定隐函数
y y( x)，
x
合偏导时，应采用直接求导法。
解:令 F ( x, y, z) z3 3xyz a3 ,则
Fx 3 yz, Fy 3xz, Fz 3z2 3xy
则： dy Fx .
dx Fy
F 证：方程两边对 x 求导,由链式法则得
Fx
Fy
dy dx
0
xy x
d y Fx . d x Fy
9
2. 设方程F ( x, y, z) 0确定隐函数 z z( x, y)，若Fz 0 则： z Fx , z Fy
x Fz y Fz
证：方程两边对 x 求导,由链式法则得
回忆:一元隐函数不易显化或不能显化如何求导? 方程两边直接关于x求导.
2
例1 设 sin y e x xy2 0 ,求 dy . dx
解 方程两边关于x求导,得
cos y y ex ( y2 x 2 y y) 0，
解得
y y2 ex . cos y 2xy
3
二、 二元隐函数求偏导
5z2
，
z
1
当 x y 0 时, z 1 ，
x
(0,0)
5
5
例2 由方程 yz 3 xz 4 z5 1 确定隐函数 z z( x, y) ，
求 z x
(0,0)
,
z y
(0,0)
.
解 类似的，视 z 为 x, y 的二元函数 z z( x, y) ,
方程两边关于y求偏导数,得
z3 y 3z2 z x 4z3 z 5z4 z 0，
F
Fx
Fz
z x
0
x yz
解得 z Fx ， x Fz
xy
同样可得
z Fy . y Fz
10
1. 设方程F ( x, y) 0确定隐函数 y y( x)，若Fy 0
则：
dy Fx . dx Fy
2. 设方程F ( x, y, z) 0确定隐函数 z z( x, y)，若Fz 0 则： z Fx , z Fy