多元函数偏导数练习题
第五章-多元函数微分学习题参考答案
第五章-多元函数微分学习题参考答案第五章多元函数微分学习题练习5.11.在空间直⾓坐标系下,下列⽅程的图形是什么形状? (1) )(4222椭圆抛物⾯z y x =+ (2)圆锥⾯）(4222z y x =+(3) 椭球⾯）(19164222=++z y x (4) 圆柱⾯）(122=+z x 2.求下列函数的定义域: (1)y x z --=解：??≥-≥0y x y即??≥≥≥y x x y 200 ∴函数的定义域为{}y x y x y x ≥≥≥2,0,0|),((2) z =解：0≥-y x{}0|),(≥-∴y x y x 函数的定义域为3. ()y x f ,对于函数=yx yx +-,证明不存在),(lim 0y x f x →分析：由⼆元函数极限定义，我们只须找到沿不同路径0(0,0)p p →时，所得极限值不同即可。
证明：①(,)0,0)(0,0)p x y x x y p ≠=0当沿轴(此时趋于时，(,)(,0)1,lim (,)1x y f x y f x f x y →→===②当0(,)(0)00p x y y kx k p =≠沿直线趋于（，）时， 0011(,)lim (,)1(0)11x y x kx k kf x y f x y k x kx k k→→---=1.求下列函数的偏导数①;,,33yz x z xy y x z -=求解：23323,3xy x yz y y x x z -=??-=?? ②;,,)ln(yzx z xy z =求解：[]1211ln()2z xy y x xy -?=??=?[]1211ln()2z xy x y xy -== ③222ln(),,z z z x x y x x y=+?求解：1ln()z x y x x x y=+++ 2222)(2)(1))(ln()(y x y x y x x y x y x y x x y x x x z x x z ++=+-+++=+++??==??2221()(ln())()()z z x x yx y x y y x y x y x y x y x y ==++=-=?++++ ④;,3z y x ue u xyz=求解；22,()xyz xyz xyz xyz u u yze ze yzxze z xyz e x x y==+=+? 3222()(())(12)()xyz xyz xyzu u z xyz e xyz e z xyz xye x y z z x y z==+=+++???=)31()21(222222z y x xyz e z y x xyz xyz e xyz xyz ++=+++y x f y xy ?-?+=→?)1,2()1,2(lim,),(02则解：①22(1)200(2,1)(2,1)0lim lim ()0y y y f y f e e y y +??→?→+?--=??未定式22(1)04(1)10lim 1y y e y +??→?+??-= = 42e ②22201(2,1)(2,1)lim(2,1)24xy y x y y f y f f e xye y=?→=+?-'==?=?3．设23ln(1),111x y z ux y z u u u '''=+++++在点（，，）处求解：2311x u x y z '=+++ 2321yyu x y z '=+++ 22331z z u x y z '=+++ (1,1,1) 1233()|4442x y z u u u '''∴++=++= 4．设2,20xy z zz e xy x y=+=求证: 证明：2xy y z e y e x y-?=?=?Q 22331(2)2x xy y z e x xy e y y-?=??-=-?Q22222323122(2)22x x x xy y y y z z x y xy e ye x xy e y xy e x y y---??∴+=+??-=-?+?? = 0证毕练习5.31.求下列函数的全微分(1) 求z xy =在点（2，3）处当时的全增量与全微分与2.01.0-=?=?y x 解：全增量12.068.21.2)3,2()2.03,1.02(-=-?=--+=?f f zx y dz z dx z dy ydx xdy ''=+=+(2,3)0.10.230.12(0.2)0.1dx dy dz==-=?+?-=-（2）求时的全微分当2,1),1ln(22==++=y x y x z解：22222211z z x y dz dx dy dx dy x y x y x y ??=+=+??++++ dy dx dy dx dz323141144112)2,1(+=+++++=（3）,u xy yz zx du =++求解：u u udu dx dy dz x y z=2．计算下列各式的近似值（分析运⽤公式010000000()(,)(,)(,)x y f x x y y f x y f x y x f x y y ''+?+?≈+?+?）（1）03.2)1.10(解：令03.0,2,1.0,10,),(00=?==?==y y x x x y x f y 取2.03(10.1)=00000000(,)(,)(,)(,)x y f x x y y f x y f x y x f x y y ''+?+?≈+?+?01.0ln 1.010)2,10()2,10(12?+?+=-x x yx y y9.10810ln 32100≈++= (2) )198.003.1ln(43-+解:令)1ln(),(43-+=y x y x f 取 02.0,1,03.0,100-=?==?=y y x x 原式(10.03,10.02)f =+-23(1,1)11)|(0.03)x -≈+-+34(1,1)1|(0.02)y -+-= 0+005.002.04103.031=?-(3) 0046tan 29sin解：令y x y x f tan sin ),(= 取 00,,,61804180x x y y ππ==-=?=则原式=)1804,1806(ππππ+-f(,)(,)()(,)646418064180x y f f f ππππππππ''≈+-+ =2(,)(,)646411cos tan |()sin sec |2180180x y x y ππππππ?+-+?= 0.5023练习5.41. 求下列函数的导数或偏导数。
高等数学偏导数部分的知识点及习题
= 。
−
例1、设 = ⅇ , sin
ⅆ
，具有连续导数，求 。
ⅆ
例2、设 = 2 − 2 , sin ，求 ， 。
例3、设 =
例4、设 =
, ⅇ− , 2
+ 3
，f具有连续导数，求 ， 。
方向导数的计算
= cos + cos ，，分别为与x轴y轴的正向相交的夹角。
例1、求 = ⅇ2 在点 1,0 处从点 1,0 到 2, −1 的方向导数。
推广：在(, , )中，
=
例2、已知两点 1,1,1 ， 5,7,3 ，求 =
量方向的方向导数。
cos 2
1
+
cos
1
2
+
cos
6 2 + 8 2 在P点沿向
五、梯度
定义函数 = , 在点 , 的梯度，记为graⅆ , = ∇ , = Ԧ + Ԧ。
性质：
1、梯度是一个向量。
2、沿梯度方向的导数达到最大。
2、 = , ，其中 = , , ， = , , 。
=
+
=
+
=
+
3、 = f , ，其中 = ， = 。
=
⋅
+
高等数学B(2)第八章-多元函数-练习题
高等数学B （2）第八章-多元函数-练习题一、选择题50.点)1,1,1(关于xy 平面的对称点是 ( ) .A. )1,1,1(-B. )1,1,1(--C. )1,1,1(-D. )1,1,1(--- 51．函数1ln(1)z x y =--的定义域是 （ ）．A. {(,)|0}x y x y +>B. {(,)|0}x y x y +≠C. {(,)|1}x y x y +<D. {(,)|1,0}x y x y x y +<+≠52. 设函数22(,)=f x y x y xy -+，则(,)=f tx ty ( ).A. (,)tf x yB.2(,)t f x yC. 3(,)t f x yD. 以上都不对 53. 设(,)x yf x y xy+=，则(,)f x y x y +-= （ ). A. 222x y x - B. 222x x y - C. 22x x y - D. 222yx y -54．函数(,)f x y =(0,0)的两个偏导数(0,0)x f '和(0,0)y f ' （ ） . A ．都等于0 B ．分别等于0和1C ．分别等于1和0D ．不存在55．设函数),(y x f z =，则00(,)x f x y '＝ （ ）. A ．x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(lim00000B ．x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 00000C ．x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim0000D ．xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim 0056．设函数(,)f x y xy =，则下列结论正确的是 （ ）． A. 点(0,0)不是驻点 B. 点(0,0)极小值点 C. 点(0,0)极大值点D. 点(0,0)是驻点但非极值点57. 点00(,)x y 使0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==成立，则 （ ）.A. 00(,)x y 是(,)f x y 的极值点B.00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点C. 00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点D. 00(,)x y 是(,)f x y 的驻点 58. 若22(,)f x y x y x y +-=-，则(,)(,)x y x y x y∂∂+=∂∂ （ ）. A. 22x y - B. x y + C. 22x y + D. x y -59.二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数存在是在该点连续的 （ ）.A ．既非充分又非必要条件B .充分条件C ．必要条件D .充分必要条件。
多元函数的偏导数与极值问题
z f x , x , zx ,
fx x, y
或
z y
f , y , zy ,
fy x, y
求偏导方法：只需将其它变量视为常数，按一元函数求导则可。
例1 求下列多元函数的偏导数
1 z sin xy cos2 x2 y
解 zx y cos xy 2cos x2 y sin x2 y 2x zy x cos xy 2cos x2 y sin x2 y 1
x
2 z arcsin x e y
解 z 1
1
x
e y arcsin
x
x ey
1
x 1 x 2 x
y
z arcsin y
x
e
x y
x y2
例1 求下列多元函数的偏导数
3 z 1 xyy 解 zx y 1 xy y1 y y2 1 xy y1
ln z y ln1 xy
1 z
求出二阶偏导：A zxx 6x 6, B zxy 0, C zyy 6 y 6
在点 1,0处，AC B2 0, 又 A 0
所以 z 1,0 5 是极小值。
在点 1, 2处，AC B2 0 所以函数在该点没在极值。
在点3,0处，AC B2 0 所以函数在该点没在极值。
在点3, 2处，AC B2 0,又A 0
显然有：z dz
全微分、偏导数、连续性之间的关系
全微分存在
z A x, yx B x, yy o x2 y2
可微
偏导存在
连续
例1（1） z
x yx
求： dz,
dz x1 ,
y2
dz x1
y2 x0.01 y 0.02
解
dz
多元函数求导经典例题 (1)可修改文字
注意 驻点
极值点
定理 2（充分条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内连续，
有一阶及二阶连续偏导数，
又 f x ( x0 , y0 ) 0,
f y ( x0 , y0 ) 0 ， 令
f xx ( x0 , y0 ) A， f xy ( x0 , y0 ) B ， f yy ( x0 , y0 ) C ，
12.复合函数求导法则
定理 如果函数u (t) 及v (t) 都在点t 可
导，函数z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导
数，则复合函数 z f [ (t ), (t )] 在对应点t 可
导，且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
以上公式中的导数 dz 称为全导数.
y
z x
2z xy
fxy ( x, y),
z x y
2z yx
f yx ( x, y).
混合偏导
定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏 导数.
９.偏导数在经济上的应用:交叉弹性
设函数z f x, y在x, y处偏导数
存在,函数对x的相对改变量
xz z
f x x, y f x, y f x, y
多元函数习题课
一 学习要求
(1) 理解多元函数的概念,理解二元函数的 几何意义;
(2) 理解二元函数的极限与连续性的概念, 以及有界闭域上连续函数的性质;
极多 限元 及函 连数 续的
概 念
(3) 理解偏导数和全微分的概念,会求全微
分,了解全微分存在的必要和充分条件,了 解全微分形式不变性;
第一讲 导数偏导数及其应用(2)
第一讲 导数、偏导数及其应用(第二次作业)二、求多元函数的偏导数1．具体函数的偏导数 30．（1）设z =，则 z zxyx y∂∂+∂∂= ． （2）设1(,)sin ln 1xy xf x y e x y -+=++，则(1,0)x f '= ． （3）设(,)arctan1x xyf x y xy+=-，则(1,2)x f '= ． （4）设u =，则222222u u ux y z ∂∂∂++∂∂∂= ． （5）设223d x y t xz e t --=⎰，则2zx y∂∂∂= ． 31．设222,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0).x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩则(0,0)y f '= ( ).(A)4 (B) 2 (C)1 (D) 0 【答】B2．抽象函数的偏导数 32．设 x z xy f y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，其中()f u 为可导函数，求 z zx y x y ∂∂+∂∂． 33．设 22(23,)z f x y x y =-+，其中(,)f u v 具有二阶连续偏导数，求 2zx y∂∂∂．34．设 (,)y z f x xy x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶导数，求 2z x y ∂∂∂．35．设函数()f u 具有二阶连续导数，(sin )xz f e y =满足方程 22222x z ze z x y∂∂+=∂∂，求()f u ． 36．设变换2u x y v x ay=-⎧⎨=+⎩可将方程2222260z z zx x y y ∂∂∂+-=∂∂∂∂简化为20z u v ∂=∂∂,求常数a . 3．一个方程确定的隐函数的（偏）导数 37．设x y z z ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中()u ϕ为可导函数，求 z z xy x y ∂∂+∂∂． 38．设(),0f cx az cy bz --=，求 z zab x y∂∂+∂∂． 39．设()y y x =由方程1yy xe -=确定，求202d d x yx =的值．[92-3]【答】22e ．40．证明由方程,0z z F x y y x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭所确定的函数(,)z z x y =满足z z x y z xy x y ∂∂+=-∂∂．41．设(,)z z x y =是由zz e xy +=确定的二元函数，求2(1,1)zx y∂∂∂.4．由方程组确定的隐函数的（偏）导数42．设(,),(,)z f x y x y z ϕ==，其中,f ϕ都是可微函数，求d d y x． 43．设(,),(,)u u x y v v x y ==是由方程组sin ,cos uux e u v y e u v⎧=+⎪⎨=-⎪⎩确定的函数，求,u v x x ∂∂∂∂. 【答】sin cos ,(sin cos )1[(sin cos )1]uu uu v v v e x e v v x u e v v ∂∂-==∂-+∂-+. 5．函数的全微分44．当2,1x y ==时，函数22ln(1)z x y =++的全微分d z = ． 【答】21d d 33x y + 45．由方程xyz +=所确定的函数(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分d z = ．【答】d x y46．设函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数都存在，则（ ）．（A ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续 （B ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可微 （C ）一元函数0(,)f x y 在点0x 处可导 （D ）以上答案都不对 【答】C47．函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数都存在是函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续的（ ）. （A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要的条件 【答】D48．函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数都存在是函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可微的（ ）. （A ）充分条件 （B ）必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要的条件 【答】B49．设函数22220(,)0,0x y f x y x y +≠=+=⎩，则(,)f x y 在点(0,0)处（ ）.(A)偏导数不存在 (B)偏导数存在但不可微 (C)可微但偏导数不连续 (D)偏导数连续 【答】B50．设函数222222()0,(,)0,0x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩，则(,)f x y 在点(0,0)处（ ）.（A ）,f f x y ∂∂∂∂不存在 （B ）,f fx y∂∂∂∂连续 （C ）可微 （D ）不连续 【答】C6、方向导数与梯度51．已知u 是曲线2226,0x y z x y z ⎧++=⎨-+=⎩在点(1,2,1)处的切线向量，且它与与oz 轴正向夹角为锐角，求函数(,,)f x y z =在点(1,1,0)-处沿方向向量u 的方向导数fu∂∂. 【答】01(1,1,0)(1,1,0)2D f f -=∇-=-u u． 52．设u 为抛物线24y x =在点(1,2)处与x 轴正方向夹角为锐角的单位切向量，则函数ln()z x y =+在点(1,2)处沿u 方向的方向导数为 ．【答】353．已知u 是空间曲线Γ：22,,4x t y t z t t ===- 在点(1,1,3)P -处的切线向量，且它与Oz 轴正向夹角为锐角，求函数2(,,)f x y z x y z =+在点P 处沿方向向量u 的方向导数f u∂∂. 【答】{}012,3,1,233322f f u ∂⎧⎫==---=⎨⎬∂⎩⎭grad u ，． 54．求函数22(,)f x y x y =-在点P 处沿曲线22221x y a b +=在该点的外法线方向的方向导数. 【答】00fgrad f n∂==∂n ． 55．函数()222ln u x y z =++在点(1,1,1)处的最大方向导数是 .三、一元函数导数的应用 1． 求曲线的切线与法线56．（1）求曲线3y x =在点(1,1)处的切线与法线的方程．（2）过点(2,0)作曲线3y x =的切线，求此切线方程．57．已知曲线2y ax =（a 为常数）与ln y x =在点x b =处有公共切线，求,a b 的值．58．求极坐标方程(1cos )a ρθ=+的图形对应3πθ=处的切线方程．59．若曲线2y x ax b =++和321y xy =-+在点(1,1)-处相切，其中,a b 是常数，则（ ）. （A ） 0,2a b ==- （B ）1,3a b ==- （C ） 3,1a b =-= （D ）1,1a b =-=- 60．设)(x f 为可导函数，它在0=x 的某邻域内满足)(3)1(2)1(x o x x f x f +=--+，其中)(x o 是当0→x 时比x 高阶的无穷小量，则曲线)(x f y =在点())1(,1f 处的切线方程为（ ）.(A)2+=x y (B)1+=x y (C)1-=x y (D)2-=x y61．设函数n x x f )(ln )(=的图形在点)1,(e 处的切线与x 轴的交点坐标为)0,(n a ，试求)(lim n n a f ∞→.2． 一元函数的单调性与极值62．讨论函数1233()(1)(2)f x x x =--的单调区间与极值．63．设2()()lim1()x a f x f a x a →-=--，则在点x a =处（ ）. （A ） ()f x 的导数存在，且()0f a '≠ （B ）()f x 取得极大值（C ） ()f x 取得极小值 （D ）()f x 的导数不存在64．已知常数0a >，问方程xe ax =有几个实数根？3． 一元函数图形的凹凸性65．求曲线x y xe -=的凹凸区间与拐点． 66．用导数知识画出函数1(6)xy x e =+的图形．67．如果()()f x f x -=，且在(0,)+∞内，()0,()0f x f x '''>>，则在(,0)-∞内，（ ）． （A ）()0,()0f x f x '''>> （B ） ()0,()0f x f x '''>< （C ）()0,()0f x f x '''<> （D ）()0,()0f x f x '''<<68．设函数()f x 在(,)a b 内连续，其导函数的图形如右，记p 为函数()f x 的极值点个数，q 为()f x 图形的拐点个数，则（ ）．（A ）4,1p q == （B ）4,2p q == （C ） 3,2p q == （D ）2,3p q == 69．设()t ϕ是正值连续函数，()||()d a af x x t t t ϕ-=-⎰，(0)a x a a -≤≤>，证明函数()f x 在区间[,]a a -上的图形是向上凹的．70．先将函数)1ln()(2x x x f +=展开成带佩亚诺余项的7阶麦克劳林公式，再求)0()7(f ，并问点(0,0)是否为该函数图形的拐点？4． 函数的最大值与最小值71．用输油管把离岸12公里的一座油井和沿岸往下20公里处的炼油厂连接起来（如图5.1.8），如果水下输油管的铺设成本为每公里50万元，陆地输油管的铺设成本为每公里30万元.问应如何铺设水下和陆地输油管，使总的连接费用最小？【答】最小的连接成本为1080万元，最优的连接方案为：从炼油厂沿岸在陆地上铺设11公里到D 点，然后在水下铺设15公里的管道AD . 72．某种疾病的传播模型为()1tPf t ce -=+，其中P 是总人口数，c 是固定常数，)(t f 是到t 时刻感染该病的总人数，求（1）该种疾病的传播速率；（2）当传播速率最大时，感染该病的总人数．第68题图73．三角形由0,230,3=-==y x y x y 围成，在三角形内作矩形ABCD ，其一边AD 与x 轴重合，另两顶点B 、C 分别在x y x y 230,3-==上，求此长方形面积的最大值．5． 用洛必达法则及泰勒公式求不定型极限74．设()f x 在0x 处二阶可导，求极限00020()2()()lim h f x h f x f x h h →+-+-．75．计算下列极限 （1）30sin limx x x x →- （2）0x → （3）2011lim tan x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭（4）()21lim 1tan 2x xx π→- （5）0lim xx x+→ （6）()12lim 2xxx x →∞+（7）2112lim sin cos x x x x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （8）sin lim sin x x x x x →∞-+ （9）x x dt e x xt x sin lim 002-⎰--→76．计算极限 2230cos limln(1)x x x ex x -→-+．77．设()f x 在点0x =的某邻域内可导，且320sin 3()lim 0x x f x xx →⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求（1）(0),(0),(0)f f f '''；（2）2203()lim 0x f x x x →⎛⎫+=⎪⎝⎭．78．设 20ln(1)()lim 2x x ax b x →+-+=，则（ ）．（A ） 51,2a b ==- （B ）0,2a b ==-（C ） 50,2a b ==- （D ）0,2a b ==-【答】（A ）6． 变化率与相关变化率79．一容器的侧面和底面分别由曲线段)21(12≤≤-=x x y 和直线段)10(0≤≤=x y 绕y 轴旋转而成（坐标单位长度为1米），若以每分钟1立方米的速度向容器内注水，求当水面高度达到容器深度一半时，水平面上升的速度． 【答】π52(米/分) ８０．现有甲乙两条正在航行的船只，甲船向正南航行，乙船向正东直线航行．开始时甲船恰在乙船正北 40 km 处，后来在某一时刻测得甲船向南航行了 20 km ，此时速度为 15 km/h ；乙船向东航行了15 km ，此时速度为 25 km/h ．问这时两船是在分离还是在接近 ，速度是多少 ？ 【答】 它们正以3 km/h 的速度彼此远离 ．四、多元函数偏导数的应用1. 空间曲线的切线和法平面81．空间曲线23,2,1x t y t t z t ==-=-在对应于1t =的点处的切线方程是 ．【答】11103x y z-+== 82．设函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数都存在，则下列结论正确的是（ ）.（A ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可微 （B ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续 （C ）曲线0(,),z f x y x x =⎧⎨=⎩在点0000(,,(,))x y f x y 的切线方向向量为00{0,1,(,)}x f x y '（D ）曲线0(,),z f x y y y =⎧⎨=⎩在点0000(,,(,))x y f x y 的切线方向向量为00{1,0,(,)}x f x y '【答】D83．证明：圆柱螺旋线Γ：cos ,sin ,x a t y a t z bt ===在任意一点处的切线都与某定直线交成相等的夹角.【证明】曲线Γ上任意一点的切向量为：{(),(),()}{sin ,cos ,}x t y t z t a t a t b '''==-T .因为cos γ=为常数，所以T 与k 交成相等的夹角，即圆柱螺旋线上任意一点处的切线都与z 轴交成相等的夹角.84．曲线23,,x t y t z t ===的所有切线中，与平面24x y z ++=平行的切线（ ）. (A)只有1条 (B)只有2条 (C)至少有3条 (D)不存在 【答】B2. 曲面的切平面和法线85．求曲面22823z x y =--在点(1,1,3)-处的切平面方程与法线方程. 【答】46130x y z -+-=．113461x y z -+-==--． 86．已知曲面222z x y z =++上点P 处的切平面与平面220x y z -+=平行，求点P 的坐标以及曲面在该点的切平面方程. 【答】 12202x y z -++= 以及 52202x y z -+-=． 87．曲面 222x y z +=在点(1,1,1)-处的法线方程为 ． 【答】111111x y z -+-==-- 88．曲面2221z x y =++在点(1,1,4)M -处的切平面方程为 . 【答】4220x y z ---= 3. 多元函数的极值与条件极值89．求函数3322(,)33f x y x y x y =+--的极值.【答】(0,0)0f =为函数的极大值；(2,2)8f =-为函数的极小值．90．设4422(,)2,(1,1)f x y x y x xy y A =+---和(1,1)B --是函数的驻点，则（ ）. (A)A 是极大点，B 是极小点 (B)A 及B 都是极大点 (C)A 是极小点，B 是极大点 (D)A 及B 都是极小点 【答】D91．某工厂生产甲、乙两种产品，其销售价格分别为每台12万元与每台18万元，总成本C 是两种产品产量x 和y （单位：台）的函数22(,)224C x y x xy y =+++（单位：万元），问：当两种产品的产量各为多少台时，可获最大利润？最大利润是多少？【答】生产甲产品2台，乙产品4台时，利润最大，对应的最大利润为44万元．92．在已给的椭球面2222221x y z a b c++=内的所有内接长方体（各边平行于坐标轴）中，求其体积之最大者.【答】(,,)x y z =时，V . 93．平面0x y z ++=交圆柱面221x y +=成一个椭圆，求这个椭圆上离原点最近和最远的点．【答】1。
高等数学偏导数第一节题库
【试题答案及评分标准】 x 0 为该函数的定义域。
10 分【090102 】【计算题】【较易】【多元函数的观点】 【多元函数的定义域】【试题内容】求函数 ux 2y 2arcsin的定义域。
zx 2 y 2 10 分【试题答案及评分标准】 11z【090103 】【计算题】【较易】【多元函数的观点】 【多元函数的定义域】【试题内容】设 z xf ( y) ，此中 x 0 ，假如当 x 1 时， z 1y 2 ，试确立 f ( x)x及 z 。
【试题答案及评分标准】时， zf ( y)1 y2 ，因此 f ( x)1 x 25 分x 12z x 1y x x 2 y 210 分xx【 090104 】【计算题】【较易】【多元函数的观点】 【多元函数的定义域】【试题内容】设 zx yf ( x y) ，已知 y0 时， z x 2 ，求 f ( x) 和 z 。
【试题答案及评分标准】 y0 时， z x 2 ，得 xf ( x)x 2因此 f (x) x 2 x5 分 因此 z xy ( x y) 2( x y) ( x y) 22 y10 分【090105 】【计算题】【中等】【多元函数的观点】 【多元函数的定义域】 【试题内容】设 z y f ( x 1) ，此中 x 0, y 0 ，假如 y 1时 z x ，试确立函数 f ( x) 和 z 。
【试题答案及评分标准】y 时， z 1 f (x 1) x 因此 f ( x 1)x 13分1令x 1 t x (t 1 2, ) 因此f (t )(t 1) 21 t2 2t , f ( x)x 22x7 分因此 z y ( x1)2 2( x 1)y x 1 x 0, y 010 分【090106 】【计算题】【较易】【多元函数的极限】 【极限的计算】【试题内容】求极限limy sin 2 x。
x 0xy 11y【试题答案及评分标准】解： limy sin 2 xx 0 xy 11yy sin 2x ( xy 11)6 分limxyx 0y 0= 410 分【090107 】【计算题】【较易】【多元函数的极限】 【极限的计算】1x 2y 1 ) 【试题内容】求极限。
《微积分(下)》第2章多元函数微分学练习题--参考答案
第2章 多元函数微分学一、二元函数的极限专题练习：1.求下列二元函数的极限: (1)()11(,)2,2lim2;y xy x y xy +⎛⎫→- ⎪⎝⎭+ (2)()()2222(,),3limsin;x y x y x y →∞∞++(3) ()(,)0,1sin lim;x y xyx →(4)((,)0,0limx y →解: (1) 当1(,)2,2x y ⎛⎫→- ⎪⎝⎭时，10xy +→，因此()[]1112(1)11(,)2,(,)2,22lim2lim1(1)e yxy y xy x y x y xy xy -++⎛⎫⎛⎫→-→- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎧⎫+=++=⎨⎬⎩⎭。
(2) 当()(,),x y →-∞+∞时，2230x y →+，因此222233sin ~x y x y++， ()()()()22222222(,),(,),33limsinlim 3x y x y x y x y x y x y →∞∞→∞∞+=+⋅=++。
(3) 当()(,)0,1x y →时，0xy →，因此sin ~xy xy ，()()(,)0,1(,)0,1sin limlim 1x y x y xy xyx x →→==。
(4) 当()(,)0,0x y →10,0xy →→，因此，(())())(,)0,0(,)0,0(,)0,01limlimlim12x y x y x y xy xy→→→===。
2．证明：当()(,)0,0x y →时，()44344(,)x y f x y xy=+的极限不存在。
证明: 取2(0)y kx k =≠，则()()()()()()()444484433334444444(,)0,0(,)0,0(,)0,0limlimlim11x y x y x y x y k x x k k xyxk xk k →→→===++++显然此极限值与k 的取值相关，因此当()(,)0,0x y →时，()44344(,)x y f x y xy=+的极限不存在。
多元函数微分学练习题
（2）
xy ； （3） lim x x 2 y 2 y 3．问下列函数在 (0, 0) 点是否连续？
1 （4） lim 1 x x y 4
。
x3 y , x 2 y 2 0, 6 2 （1） f ( x, y ) x y 0, x 2 y 2 0; x3 y3 , x 2 y 2 0, sin （2） f ( x, y ) x 2 y 2 0, x 2 y 2 0. 4． 设 D 是 Oxy 平面中的有界闭区域，M 0 为 D 外的一点。 证明在 D 中必存在点 P0
8．设 z arcsin
x x2 y2
，求
2z 2z z ， 2， 。 x yx x
4 a 2t
9．证明：函数 u
1 2a t
e
( x b ) 2
（ a, b 为常数）当 t 0 时满足方程
u 2u a2 2 。 t x
x y 10．设 u ( x, y ) yf y xg x ，其中函数 f ， g 具有二阶连续导数。证明 2u 2u x 2 y 0。 xy x 2 f 2u 2u 11．设二元函数 f 具有二阶连续导数，且满足 2 y ， x y ， 2 x， xy x y 求f。 12．有一边长分别为 x 6m 与 y 8m 的矩形，如果 x 边增加 5cm ，而 y 边减少 10cm ，问这个矩形的对角线的长度的变化情况？
(1, 1, 1)
。
1 2 2 , x 2 y 2 0, ( x y ) sin 2 2 x y 2．设 f ( x, y ) 0, x 2 y 2 0.
多元函数的偏导数
多元函数的偏导数以二元函数为例。
二元函数的偏导数存在、函数连续、可微是二元函数微分学的三个重要概念。
.对于学习数学分析的人来说，必须弄清三者之间的关系，才能学好、掌握与之相关的理论知识。
定义1 设f(x,y)为定义在点集D⊂R2上的二元函数，P0∈D（P0或者是D的聚点，或者是D的孤立点），对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要P∈U(P0,δ)∩D，就有f P−f(P0)<ε，则称f(x,y)关于集合D在点P0连续。
定义2 设函数z=f x,y,(x,y)∈D，若(x0,y0∈D且f x,y0在x0的某一邻域内有定义，则当极限limΔx→0∆x f(x0,y0)∆x =limΔx→0f x0+∆x,y0−f(x0,y0)∆x存在时，则称这个极限为函数f x,y在点x0,y0关于x的偏导数，记作ðfðx(x0,y0)。
定义3 设函数z=f x,y在点P0x0,y0某邻域U(P0,δ)内有定义，对于U(P0,δ)中的点P x,y=(x0+∆x,y0+∆y)，若函数f x,y在点P0x0,y0处的全增量可表示为∆z=f x0+∆x,y0+∆y−f x0,y0=A∆x+B∆y+O(ρ)，其中A、B是仅与点P0x0,y0有关的常数，ρ= ∆x2+∆y2，O(ρ)是较ρ高阶的无穷小量，则称函数f x,y在点P0x0,y0处可微。
二元函数连续与偏导数存在不等价，偏导数存在不一定连续，连续不一定偏导数存在.这与一元函数不同.一元函数中，可导一定连续，连续不一定可导。
定理1：若z=f x,y在点x,y可微，则z=f x,y在点x,y一定连续。
定理2：若二元函数z=f x,y在其定义域内一点P0x0,y0处可微，则f x,y在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且A=f x x0,y0,B=f y x0,y0。
定理3：若二元函数z=f x,y的偏导数在点P0x0,y0的某邻域内存在，且f x x 0,y 0 与f y x 0,y 0 在点 x 0,y 0 处连续，则函数f x ,y 在点 x 0,y 0 处可微。
第五讲：极限、连续、偏导数(24题)
0,
x2 y2 0
讨论 f (x , y) 在 (0 , 0) 点处的可微性
解 只需验证
lim f (0 x,0 y) f (0,0) f x (0,0)x f y (0,0)y 0
x0 y0
(x)2 (y)2
f (x,0) f (0,0)
0
f
x
(0,0)
lim
x0
x
lim 0 x0 x
f y (0,0)
lim
y0
f (0,y) y
f (0,0)
0 lim x0 y
0
lim f (0 x,0 y) f (0,0) f x (0,0)x f y (0,0)y
lim
l
0
lim 2 cos2 2 cos2 lim 1
0
0
例11 求函数 u ln(x y2 z2 ) 在点(1,0,1) 处的最大 方向导数
解 在点(1,0,1) 处方向导数最大的方向
l u(1,0,1) {ux , uy , uz }(1,0,1)
h0
h
lim f ( x0 h, y0 ) f ( x0 , y0 ) ( f ( x0 h, y0 ) f ( x0 , y0 ))
h0
h
lim{ f ( x0 h, y0 ) f ( x0 , y0 ) f ( x0 h, y0 ) f ( x0 , y0 )}
(y
)2
]sin
(x
)2
1
(y)2
x0 y0
(x)2 (y)2
多元函数微分学练习题及答案
六、设 z (u, x, y), u xe y,其中 f 具有连续的二阶偏导 数,求 2 z . xy
练习题答案
一、1、C(C 为常数)； 2、（A）1 x 2 y 2 4； 3、 x (1 y)2 y
4、1； 5、必要条件,但不是充分条件； 6、可微；
7、 2 f (v )2 f 2v ； v 2 y v y 2
则 ab3c27abc5 a0,b0,c0
5
四、1、
zx(lyn )xln y1,
zy
ln x y
xln y
2、u x f 1 y 2 . f ( y x zx ) y f 3 ,z u yx2 f(x z xy y )f3 z
.
3、fx(x,y)(x22xyy32)2,x2
练习题 一. 填空:
1、设在区域D上函数 f 存在偏导数，且 fx fy 0
则在D上，f（ x,y） （ ）
2 、 二 元 函 数 z ln 4 arcsin 1 的 定 义 域 是
x2 y2
x2 y2
( ).
3、设 f ( xy, x ) ( x y)2,则 f ( x, y) ( ). y
4、lim( x 2 y )2 x2 y2 ( ). x0 y0
5、函数 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处连续,且两个偏导数 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 )存在是 f ( x, y)在该点可微
的( ).
6、设
f
( x,
y)
( x 2
8、
9 2
a
3
；
9、(1,2)；10、 1 ； 8
多元隐函数求偏导
x, y 的函数,求dy . dx
八、设z z( x, y)由方程F ( x x , y z ) =0 所确定, yx
证明: x z y z z xy. x y
26
练习题答案
一、1、 x y ； x y
2、 z x ln z ； xz x1 y z ln y
3、
zy z1
.
xz x1 y z ln y
回忆:一元隐函数不易显化或不能显化如何求导? 方程两边直接关于x求导.
2
例1 设 sin y e x xy2 0 ,求 dy . dx
解 方程两边关于x求导,得
cos y y ex ( y2 x 2 y y) 0，
解得
y y2 ex . cos y 2xy
3
二、 二元隐函数求偏导
则： dy Fx .
dx Fy
一元隐函数的求导公式
2. 设方程F ( x, y, z) 0确定隐函数 z z( x, y)，若Fz 0
则： z Fx , z Fy
x Fz y Fz
二元隐函数的求导公式
8
1. 设方程F ( x, y) 0确定隐函数 y y( x)，若Fy 0 则： dy Fx .
y
y
y
解得
z y
3y
z 4 xz
5z2
，
将 x y 0 , z 1 ，代入上式得
z
1
y
(0,0)
. 5
6
例3
设 x2
y2
z2
4z
0，求
2z x 2
.
解 视 z 为 x, y 的二元函数z z(x, y) ,方程两边
关于 x 求偏导,得
2xx 2z zzz24zz 00 z x ,
多元函数中的偏导数
多元函数中的偏导数当然可以！以下是根据“多元函数中的偏导数”标题出的20道试题，包括选择题和填空题，并且每道题目前都有详细的序号介绍：1. 选择题1.1. 偏导数的概念指的是：A. 函数在某一点的斜率B. 函数在某一点的导数C. 函数在某一点的值D. 函数在某一点的曲率1.2. 若函数 \( f(x, y) \) 的偏导数 \( \frac{\partial f}{\partial x} \) 存在，则表明：A. 函数在点 \( (x, y) \) 可导B. 函数在点 \( (x, y) \) 连续C. 函数在点 \( (x, y) \) 可微分D. 函数在点 \( (x, y) \) 处处存在1.3. 偏导数 \( \frac{\partial z}{\partial x} \) 表示：A. 函数 \( z \) 相对于 \( x \) 的变化率B. 函数 \( z \) 相对于 \( y \) 的变化率C. 函数 \( z \) 的导数D. 函数 \( z \) 的值1.4. 偏导数不存在的情况通常发生在：A. 驻点处B. 拐点处C. 连续点处D. 开放点处1.5. 若函数 \( f(x, y) \) 的所有一阶偏导数连续，则\( f(x, y) \) 在该区域内是：A. 可导的B. 连续的C. 可微分的D. 全局最大的2. 填空题2.1. 设 \( f(x, y) = 3x^2 + 2xy - 5y \)，则\( \frac{\partial f}{\partial x} \) = \_\_\_\_\_\_\_。
2.2. 函数 \( f(x, y) = e^{xy} \) 的偏导数\( \frac{\partial f}{\partial y} \) = \_\_\_\_\_\_\_。
2.3. 计算函数 \( f(x, y, z) = x^2 + 2y - 3z \) 关于\( z \) 的偏导数 \( \frac{\partial f}{\partial z} \) = \_\_\_\_\_\_\_。
高等数学基础概念解读及例题演练-偏导数及多元复合函数的求导法则
存在，那么称极限为函数z= J(x,y） 在点（布，Yo ） 处对于x的偏导数，记作
一｜。＇ZI
δ!X lx=xo
;:ll'I ，斗ax lx=xo
,z;lx＝句或兀（xo ,Yo ). )I＝均
类似的，函数 z =f(x,y） 在点（x。. ，Yo ） 对y的偏导数定义为
lim ／（布，Yo +11y)-f（句，Yo )
dt
［答案J e' (cost-sint)+cost
第三节全微分及全微分形式不变性 设函数Z = f(x,y） 在点。，y） 的某邻域内有定义，如果函数在点（x,y） 的全增量
&=f(x＋缸， y+6y)-f(x,y)
可以表示为 ＆＝AAt+B6y+o(p),
其中 A,B 不依赖于 llx和6y ，而仅与 x和y 有关， p=o（」（At)2+(6y）勺，那么称函数
az , az 例13设
z=f(lnx
＋
一），其中函数
y
f(u
）
可微，贝tlx
一
ax
＋
Y'�
一
命
＝
［答案JO
(2012年，数学二）
f 例14设 z = f(x+ y,x-y，圳，其中 具有二阶连续偏导数， 求dz 与£ axay 乙
λ（
［答案］飞
’＋J;’＋yj3' I)dx＋飞（刀’＋儿’＋乓f；＇ I）命；
【解题步骤】理清函数与变元之间的关系z (1）画出函数结构图，理清函数间复合关系，注意到哪些变元是自变量，中间变量，因变量． (2）注意函数映射是多元函数，还是一元函数， 注意导数符号的不同． (3）先对中间变量求偏导，再乘以中间变量对自变量的偏导数．
高等数学偏导数第一节题库
【090101】【计算题】【较易0.3】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】【试题内容】设z y x yx y =++arctan 122，求该函数的定义域。
【试题答案及评分标准】x ≠0为该函数的定义域。
10分【090102】【计算题】【较易0.3】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】求函数的定义域。
【试题答案及评分标准】10分【090103】【计算题】【较易0.3】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】设，其中x ≠0，假如当 x =1时，z y =+12，试确定f x ()及z 。
【试题答案及评分标准】x =1时，z f y y ==+()12，所以f x x ()=+125分 z x y x x xx y =+⎛⎝ ⎫⎭⎪=+122210分【090104】【计算题】【较易0.3】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】设z x y f x y =++-()，已知y =0时， z x =2，求f x ()和z 。
【试题答案及评分标准】y =0时，z x =2，得x f x x +=()2 所以f x x x ()=-25分 所以z x y x y x y x y y =++---=-+()()()22210分【090105】【计算题】【中等0.5】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】设z y f x =+-()1，其中x y ≥≥00,，假如y =1时z x =，试确定函数f x ()和z 。
【试题答案及评分标准】y =1时，z f x x =+-=11() 所以f x x ()-=-113分令x t x t -==+112,()所以f t t t t f x x x ()(),()=+-=+=+11222227分所以()z y x x y x x y =+-+-=+-≥≥()(),1211002 10分【090106】【计算题】【较易0.3】【多元函数的极限】【极限的计算】 【试题内容】求极限 。
多元函数 习题
则 z f du f v x u dx v x
ux zv
z f v f
y
y v y y
注意： z 与 f 是不同的.
y y
2．隐函数求导法：
方法1 对方程两端求(偏)导数，然后解出 所求(偏)导数.
方法2 隐函数的求导公式：
设z z( x, y)是由方程F( x, y, z) 0
曲线在点 M0 处的法平面方程为
x(t0 )( x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )(z z0 ) 0
r T
x
t0
,
y
t0
z
t0
,
若曲线的方程表示为
y y x
z
z
x
F(x, y, z) 0 G( x, y, z) 0
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.
（二）偏导数与全微分
1．偏导数 （1）定义：偏导数是函数的偏增量与自变量 增量之比的极限.
z lim x z lim f ( x x, y) f ( x, y)
x x0 x x0
x
z lim y z lim f ( x, y y) f ( x, y)
z
x
(
y )
y
x
4. z f ( x, x ), f 二阶偏导连续，求 z , z , 2z .
y
x y xy
z x
f1
1 y
f
2
,
z y
考研专题复习—多元函数自测题及其答案
考研数学专题—多元函数自测题（1）一、 选择题 (单选或多选) 1．设()22,,,xyy x f x y f x y x y =则⎛⎫= ⎪-⎝⎭（ ）。
42xyAy x- 2244x y B y x- 2244x y C y x+- 2244y x D y x-- 2．若函数),(y x f 在区域D 内具有二阶偏导数，则结论正确的是（ ）。
A 必有22f f x y y x∂∂=∂∂∂∂ B (,)f x y D 在内必可微 C (,)f x y D 在内必连续 D A ，B ，C 都不对3．二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数''x 00y 00f(x ,y ),f(x ,y )存在是 00函数f(x,y)在点(x ,y )连续的（ ）。
A 必要而非充分条件； B 充分而非必要条件； C 充分必要条件； D 既非充分又非必要条件。
4．''x 00y0000f(x ,y )=0,f(x ,y )=0是函数f(x,y)在点(x ,y ) 取得极值的（ ）。
A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分又非必要条件 5．设323(,)(1)(1)tan (1,0)y f x y x y x f =-+-=则（ ）。
A 1- B 1 C 2 D 06．设区域{}222(,),0,(a D x y x y a y =+≤≥>0).则xydxdy =⎰⎰D（ ）.A.0aa-⎰B.0aaxydy -+⎰⎰C 30(cos sin )ad r dr πθθθ-⎰⎰ D.23302cos sin cos sin a ad r dr d r dr πππθθθθθθ-⎰⎰⎰⎰7．222{(,),0}D x y x y R y =+≤≥，下列积分值（ ）为零.A. 2Dyx d σ⎰⎰ B. 2Dxy d σ⎰⎰C. 22()Dx y d +σ⎰⎰ D. ()Dx y d +σ⎰⎰二、 填空题1．函数arcsin y z x =+的定义域为 ___. 2．若1),1z f z x f x z z x y ===如果当y 时，，则（）和（，）的表达式分别为 ___.3．设由(1,1,1)(1,1,1)(,,)0(,),1,2,F F F x y z z f x y xy∂∂===-=∂∂确定了二元函数且已知(1,1,1)(1,1,1)1,zz yx∂∂==∂∂则___.4．设22(),z f x y f =+且可微，则zx∂∂= ___. 5．交换积分顺序⎰⎰-122),(y ydx y x f dy= ___,6．累次积分211y xdx e dy -⎰⎰= ___.三、计算题1．求函数 )]ln(ln[x y x z -= 的定义域并画出定义域草图。