-多元函数的偏导数

偏导数存在 连续. 反之成立吗？
例如： z x2 y2 在（0,0）连x0
x
在（0,0）处对 x 不可导。
同理在(0,0)点对 y 的偏导数也不存在.
4、偏导数的几何意义 设 M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面z f ( x, y) 上一点, fx ( x0, y0 ), f y ( x0, y0 )在几何上表示
偏导函数在点 ( x0, y0 ) 处的函数值。
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 u f ( x, y, z)在 ( x, y, z)处
fx(x, y, z)
lim
x0
f ( x x,
y,z) x
f (x, y,z),
f
y
(
x,
y,
z
)
lim
y0
f ( x, y y, z) y
f (x, y,z),
f ( x, y, z) lim f ( x, y, z z) f ( x, y, z) .
z
z0
z
例 1 求 z x2 3xy y2在点(1,1) 处的偏导 数．
解 z 2x 3y ; z 3x 2 y .
x
y
z x
x1
y1
21 31 5 ,
z y
x1 y1
31 21 5 .
有关偏导数的几点说明： １、偏导数u 是一个整体记号，不能拆分;
x
* ２、求分界点处的偏导数要用定义求；
例
5
设
f
( x,
y)
xy x2 y2
0
求 f ( x, y)的偏导数.
( x, y) (0,0) ( x, y) (0,0)
解 当( x, y) (0,0)时,
f x ( x,
y)
如果 lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
x0
x
存在，则称此极限值为函数 z f ( x, y)
在点 ( x , y )处对 x 的偏导数，记为 00
z x ， x x0
y y0
f x x x0
y y0
z ，
x
x x0 y y0
或
f x ( x0 , y0 )
同理可定义函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )
例2
设z x y ( x 0, x 1)， 求证 x z 1 z 2z.
y x ln x y
证 z yx y1, x
z x y ln x, y
x z 1 z x yx y1 1 x y ln x
y x ln x y y
ln x
x y x y 2z. 原结论成立．
例 3 设z arcsin x ，求z ，z . x2 y2 x y
x( x2 y2 ) ( x2 y2 )2
0
( x, y) (0,0). ( x, y) (0,0)
以上求导运算都可以推广到三元及以上 的函数。
例如，已知 u x3 y sin( x z) ln(z2 y2 1)
则
u x
3x2
y
cos(
x
z)
； u
y
x3
z2
2y y2
1
u z
什么呢?
几何意义: 偏 导 数 fx ( x0 , y0 ) 就 是 曲 面 被 平 面
第二节 偏导数
一、偏导数的定义及其计算方法 二、 高阶偏导数 三、 小结 习题课
一、偏导数的定义及其计算法
定义 : 设函数 z f ( x, y)在点 ( x0 , y0 )
的某一邻域内有定义，当 y 固定在 y0, 而 x 在 x0 处有增量x 时，相应地函数 值有增量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
解
z x
1 x2
1
x x2 y2 x
x2 y2
x2 y2
y2
( y2 | y |)
| y|
( x2 y2 )3
| y| . x2 y2
z y
1
1 x2
x2 y2
x x2 y2 y
x2 y2 ( xy)
| y|
( x2 y2 )3
x sgn 1 x2 y2 y
lim
x0
f (x,0) x
f (0,0)
lim 0 x x0
0,
f
y
(0,0)
lim
y0
f (0, y) y
f (0,0)
0 lim y y0
0,
f
x
(
x,
y)
y( (x
y2 x2) 2 y2 )2
0
( x, y) (0,0), ( x, y) (0,0)
f y ( x,
y)
y( x2 y2 ) 2x ( x2 y2 )2
xy
y( y2 x2 ), ( x2 y2 )2
x( x2 y2 ) 2 y xy x( x2 y2 )
fy(x, y)
( x2 y2 )2
,
( x2 y2 )2
当( x, y) (0,0)时, 按定义可知：
f
x
(0,0)
z 不存在． y x0
y0
( y 0)
例 4 已知理想气体的状态方程 pV RT
（R为常数），求证： p V T 1. V T p
证 p RT p RT ; V V V 2
V
RT p
V T
R; p
T
pV R
T p
V; R
p V T RT R V RT 1. V T p V 2 p R pV
cos(
x
z)
z2
2z y2
1
３、偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导 函数在该点连续，
多元函数中在某点偏导数存在 函数
在该点连续
例如,函数
f
(
x,
y)
x2
xy
y2
,
x2 y2 0 ,
0,
x2 y2 0
依定义知在(0,0)处，f x (0,0) f y (0,0) 0.
但函数在该点处并不连续.
偏导数就是 x 、y 的函数，它就称为函
数z f ( x, y)对自变量 x 的偏导函数，
记作
f x ( x,
y)
，f x
z , x ,
zx
同理可以定义函数z f ( x, y)对自变量y
的偏导数，记作z ，f y y
，z y
或
f y ( x,
y).
由上述讨论可知 fx ( x0, y0 ), f y( x0, y0 ) 就是
处对y 的偏导数
lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
y0
y
记为
z , y x x0
y y0
f y xx0 ,
y y0
zy
x x0 y y0
或 f y ( x0 , y0 )
说明：由偏导数定义知，对变量x 求
偏导数，就是将其它变量看成常数，
对 x 求导数。
如果函数 z f ( x, y)在区域 D内任一 点处对 x 的偏导数都存在，那么这个