第五章-平面向量

第四章 平面向量

一．向量有关概念：

1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如：

（1）已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 向左平移3个单位平移后得到的向量是_____

2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； 3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是

||

AB AB ±

)； 4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。 提醒：

①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！（因为有0)；

④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； 6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。如

（2）下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。（5）若,a b b c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______

（答：（4）（5））

二．向量的表示方法：

1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；

3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，

为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，＝(),x y 叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

三．平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面

内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。如

（1）若(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-，则c =______

（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. 12(0,0),(1,2)e e ==- B. 12(1,2),(5,7)e e =-= C. 12(3,5),(6,10)e e == D.1213(2,3),(,)24

e e =-=-

（3）已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为_____

（4）已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→−−→−=DB CD 2，−→

−−→−−→−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___

四．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定

如下：()()1,2a a λλ=当λ>0时，λ的方向与的方向相同，当λ<0时，λ的方向与的方向相反，当λ＝0时，0a λ=，注意：λ≠0。 五．平面向量的数量积：

1．两个向量的夹角：对于非零向量，，作,OA a OB b ==，AOB θ∠=

()0θπ≤≤称为向量，的夹角，当θ＝0

时，，同向，当θ＝π时，，反向，

当θ＝

2

π

时，，垂直。 2．平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a •b ，即a •b ＝cos a b θ。

规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如

（1）△ABC 中，3||=−→

−AB ，4||=−→

−AC ，5||=−→

−BC ，则=⋅BC AB _________

（答：－9）； （2）已知11

(1,),(0,),,2

2

a b c a kb d a b ==-=+=-，c 与d 的夹角为4

π，则k 等于____

（答：1）；

（3）已知2,5,3a b a b ===-，则a b +等于____

）；

（4）已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则与a a b +的夹角为____

（答：30）

3．在上的投影为||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0。如 已知3||=→

a ，5||=→

b ，且12=⋅→→b a ，则向量→a 在向量→

b 上的投影为______

（答：

5

12） 4．•的几何意义：数量积•等于的模||a 与在上的投影的积。 5．向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为θ，则：

①0a b a b ⊥⇔•=；

②当，同向时，•＝a b ，特别地，2

2

2

,a a a a a a =•==；当与反向

时，•＝－a b ；当θ为锐角时，•＞0，且 a b 、

不同向，0a b ⋅>是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，•＜0，且 a b 、

不反向，0a b ⋅<是θ为钝角的必要非充分条件；

③非零向量，夹角θ的计算公式：cos a b

a b

θ•=；④||||||a b a b •≤。如

（1）已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→

b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是