一元一次方程应用题(培优班)

一元一次方程的应用

1、列方程解应用题的基本步骤和方法：

注意：

（1）初中列方程解应用题时，怎么列简单就怎么列（即所列的每一个方程都直接的表示题意），不用担心未知数过多，简化审题和列方程的步骤，把难度转移到解方程的步骤上．

（2）解方程的步骤不用写出，直接写结果即可．

（3）设未知数时，要标明单位，在列方程时，如果题中数据的单位不统一，必须把单位换算成统一单位，尤其是行程问题里需要注意这个问题．

2、设未知数的方法：

设未知数的方法一般来讲，有以下几种：

（1）“直接设元”：题目里要求的未知量是什么，就把它设为未知数，多适用于要求的未知数只有一个的情况；

（2）“间接设元”：有些应用题，若直接设未知数很难列出方程，或者所列的方程比较复杂，可以选择间接设未知数，而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用．

（3）“辅助设元”：有些应用题不仅要直接设未知数，而且要增加辅助未知数，但这些辅助未知数本身并不需要求出，它们的作用只是为了帮助列方程，同时为了求出真正的未知量，可以在解题时消去．（4）“部分设元”与“整体设元”转换：当整体设元有困难时，可以考虑设其一部分为未知数，反之亦然，如：数字问题．

模块一：数字问题

（1）多位数字的表示方法：

一个两位数的十位数字、个位数字分别为a 、b ，（其中a 、b 均为整数，19a ≤≤，09b ≤≤）则这个两位数可以表示为10a b +．

一个三位数的百位数字为a ，十位数字为b ，个位数字为c ，（其中均为整数，且19a ≤≤，09b ≤≤，09c ≤≤）则这个三位数表示为：10010a b c ++．

（2）奇数与偶数的表示方法：偶数可表示为2k ，奇数可表示为21k +（其中k 表示整数）．

（3）三个相邻的整数的表示方法：可设中间一个整数为a ，则这三个相邻的整数可表示为1,,1a a a -+．

【例1】 一次数学测验中，小明认为自己可以得满分，不料卷子发下来一看得了96分，原来是由于粗心把

一个题目的答案十位与个位数字写颠倒了，结果自己的答案比正确答案大了36，而正确答案的个位数字是十位数字的2倍．正确答案是多少?

【解析】此题中数据96与列方程无关．与列方程有关的量就是小明粗心后所涉及的量．

设正确答案的十位数字为x ，则个位数字为2x ， 依题意，得(102)(102)36x x x x ⨯+-+=，解之得4x =． 于是28x =．所以正确答案应为48．

【答案】48

【例2】 某年份的号码是一个四位数，它的千位数字是2，如果把2移到个位上去，那么所得的新四位数比

原四位数的2倍少6，求这个年份．

【解析】设这个年份的百位数字、十位数字、个位数字组成的三位数为x ，则这个四位数字可以表示为

21000x ⨯+，根据题意可列方程：()1022210006x x +=⨯+-，解得499x =

【答案】2499年

【例3】 有一个四位数，它的个位数字是8，如果将个位数字8调到千位上，则这个数就增加117，求这个

四位数．

【解析】设由原数中的千位数字、百位数字和十位数字组成的三位数为x ，则这个四位数可以表示为108x +，

则调换后的新数可以表示为8000x +，根据题意可列方程1088000117x x +=+-，解得875x =，所以这个四位数为8758

【答案】8758

【例4】 五一放假，小明的爸爸开车带着小明和妈妈去郊游，他们在公路上匀速行驶，下表是小明每隔1

小时看到的路边里程碑上数的信息．你能确定小明在7:00时看到的里程碑上的数是多少吗？

【解析】设小明在7:00时看到的两位数的十位数字是x ，则个位数字是7x -，根据题意可列方程：

()()()()10071071071007x x x x x x x x +---+=-+-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得1x =，所以76x -=．

【答案】小明在7:00时看到的两位数是16．

模块二：日历问题

（1）、在日历问题中，横行相邻两数相差1，竖列相邻两数相差7．

（2）、日历中一个竖列上相邻3个数的和的最小值时24，最大值时72，且这个和一定是3的倍数． （3）、一年中，每月的天数是有规律的，一、三、五、七、八、十、十二这七个月每月都是31天，四、六、九、十一这四个月每月都是30天，二月平年28天，闰年29天，所以，日历表中日期的取值是有范围的．

【例5】 下表是2011年12月的日历表，请解答问题：在表中用形如下图的平行四边形框框出4个数，

（1）若框出的4个数的和为74，请你通过列方程的办法，求出它分别是哪4天？ （2）框出的4个数的和可能是26吗？为什么？

【解析】（1）设第一个数是x ，则根据平行四边形框框出4个数得其他3天可分别表示为1x +，6x +，7x +．

根据题意可列方程：()()()16774x x x x ++++++=，解得15x =； 所以它分别是：15，16，21，22；

（2）设第一个数为x ，则41426x +=，3x =，本月3号是周六，由平行四边形框框出4个数， 得出结论：无法构成平行四边形．

【答案】（1）15，16，21，22；（2）无法构成平行四边形．

【例6】 如图，框内的四个数字的和为28，请通过平移长方形框的方法，使框内的数字之和为68，这样的

长方形的位置有几个？能否使框内的四个数字之和为49？若能，请找出这样的位置；若不能，请说明理由．

【解析】（1）设四个数字是a ，1a +，7a +，8a +，根据题意可列方程：

17868a a a a ++++++=，解得13a =．则平移后的四个数是13、14、20、21．

（2）设四个数字是x ，1x +，7x +，8x +，则41649x +=，33

4

x =

．不合题意，舍去． 【答案】平移后的四个数是13、14、20、21，这样的长方形的位置只有1个；不存在能使四个数字的和为

49的长方形．

【例7】 把2012个正整数1，2，3，4，…，2012按如图方式排列成一个表．

（1）用如图方式框住表中任意4个数，记左上角的一个数为x ，则另三个数用含x 的式子表示出来，从小到大依次是________________．

（2）由（1）中能否框住这样的4个数，它们的和会等于244吗？若能，则求出x 的值；若不能，则说明理由．

【解析】（1）∵记左上角的一个数为x ，∴另三个数用含x 的式子表示为：8x +，16x +，24x +．

（2）不能．假设能够框住这样的4个数，则：()()()81624244x x x x ++++++=，解得49x =． ∵49是第七行最后一个数，∴不可以用如图方式框住．

【答案】（1）8x +，16x +，24x +；（2）不能．

模块三：和差倍分问题

和、差、倍问题关键要分清是几倍多几和几倍少几．

（1）当较大量是较小量的几倍多几时，=⨯较大量较小量倍数+多余量； （2）当较大量是较小量的几倍少几时，=⨯较大量较小量倍数-所少量．