二阶系统性能指标

0 . 30 ( s )

ln
1
1
1 . 61 ( s )
2
这里取Δ＝0.05。
0 .6 问题：Ts取决于T0，为什么？ 分析K0和T0的影响。
或者 t s
3T

3 0 .3
1 .5 ( s )
例2：讨论速度负反馈 对动态特性的影响。
K 01 160 s T 0 0 . 25 s
取得包络线方程
1
1
e n t s 1 2
1
包络线与误差带 交点是唯一的
e n t s 1 1 2
1
1 ln ( 1 2 ) 1 (ln ln 1 2 ) ts n n
当 0 . 05 其中第一项 ln 3 当 0 . 02 ln 4 其中第二项与 有关，相对第一项在一定范围内可以忽略
1
ts
因1、符合上式答案有多个;2、ts不连续 用包络线近似来简化计算
e 1 1
n s n t s t
e
2 1 1
Sin ( d1s ) t 2
e n t s 1 2
1
Sin ( d t s ) 1
2

N 将 ts 1
n
1
2
t s arctg


ln
n


2
1 1-
2

代入 , 并取整数得 1-
2
N N(
1- 2
解：系统的闭环传递函数为
G B s K k / s s K k ,
2
Kk 4
写成标准形式
由此得 自然振荡角频率 阻尼比 超调量 调节时间
G B (s)
n
s 2
2
2
n
s n
2
n
Kk 2
得
1 2 n 0 . 25
由2
M
p
n
1

ln
1
2
0.2 -0.02
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
-0.087 -0.144 -0.223 -0.337 - 0.51
3~ 4 ts
适用
: 0 ~ 0 .8
0 . 05 ~ 0 . 02

n
ts
ln ln
1
n
2

实际的ωnts—ξ曲线
当ξ由零增大时， ωnts先减小后增大， ∆= 5%，ωnts的最 小值出现在ξ＝ 0.78处； ∆= 2%，ωnts的最 小值出现在ξ＝ 0.69处； 出现最小值后， ωnts随ξ几乎线性 增加。
1 5
0 .2
t s 4 . 75 T1 4 . 75 0 . 2 0 . 95 ( s )
tr
1 1 . 5
2
n

3 .5 5
0 . 70 ( s )
式中 m 为整数 , 为小数 , 因为当 t t s 时 , c(t) 并不一定刚 好等于 c ( ) , 令 N m 2 ,得 1
得到
6 T 0' t 1 s
要使σ%＝10%，由前面计算可知ζ＝0.6
K0 1 4 T0
2

6 4 0 . 36 0 . 5
8 .3 ( s )
1
K 03
K 0 (1 K 01 ) K 01 K 02
1 . 56 ( s )
1
1
| tp 0
d [ e n t p Sin ( d t p )] 0 2 1 dt
n t p
n e
n t p
Sin ( d t p ) d e
Cos ( d t p ) 0
Sin ( d t p )


n
3T


3 0 . 125 0 . 25
1 .5 ( s )
（2）要使σ%＝10%，求ζ。 由
% exp(
解得
0 .6
1
2
) 100 % 10 %
K0
ts T
1 4 T 0
2
2 . 78 ( s
1
)
T
T0 K0

0 . 25 2 . 78

1
2
e
Sin ( d t p ) 100 %


1
2
M
p
e
100 %
最大超调量
M
仅与阻尼比ξ有关， 故可以通过实验 求取最大超调量 然后可求系统阻 尼比。 ξ越大，Mp 越小， 系统的平稳性越好 ξ = .4~0.8 Mp = 25.4%~1.5%。
tr tr
t
2） 欠阻尼二阶系统阶跃响应的特征量的计算： 上升时间
依定义有：
tr
e n t r Sin ( d t r ) 1 C (tr ) 1 2
1
e n t r Sin ( d t r ) 0 2
1
e n t r 0 2
2 nt
过阻尼：>1
c (t )
n
2
2
1
(e
(

2
1 ) n t
e
(

2
1 ) n t
)
二、二阶系统阶跃响应的特征量
第一次进入误差带 不再出来的时间
c(t)
1.0
最大超调量Mp，常用相对量描述 第一次达到稳态值时间 Mp％＝[c(tp)-c(∞)]/c(∞)*100% ±Δ 带 误差
tp

百分比 超调量 Mp%
当t=tp时，c(t)有最大值max(t)=c(tp)， 而阶跃响应的稳态值为1，最大超调量为：
nt 2
c (t ) 1
e
1
sin d t

M P%
C (tP ) C ( ) C ( )
ntp 2
100 %
e
p


1
2
e
100 %
单位脉冲响应
可由阶跃响应求导数得到
调节时间 ts
1
根据调节时间的定 义，当t≥ts时，应有
c (t ) c ( ) c ( )
求解时令
1
1 C (ts )
e n t s Sin ( d t s ) 1 2
' 1
R(s) ＋ －
K 03
＋
－
K 01 T0' s 1
K 02 C(s) s
K 02 0 . 1 s
1

带速度负反馈的系统
K 01 K 02 K 03 1 K 01
T0
'
性能指标要求为： 内部反馈部分的传递函数为：
K 01 T0 s 1
'
% 10 %，t s 0 . 5 s 时， 、 K 03 应如何取值？
r(t)
上升时间tr
峰值时间tp
0
5% c( ) or 2% c( )
调节时间ts
t
tr tp
ts
当（>=1）时阶跃响应没有超调，此时， 上升时间的定义修改如下：
C(t)
1.0 0.9 0.5 0.1 0
t ( 0 .1 0 .9 ) t ( 0 0 .9 )
1
2
2
Cos ( d t p ) 0
tg (
d p
t )
1

tan d t

d n
1
2

tan
dtp k
！第一个峰值
dtp
tp d
d n 1
2
峰值时间等于阻尼 振荡周期的一半 ξ一定时，ωn越 大， tp越小； ωn一定时，ξ越大， tp越大。
图3-4-5角度随动系统
G (s)
K
s s K
2

2
K / s s 1 K
D (s) s s 0
2
1
K
0 .1 , n
2
2
n

1

10 , 1 ,
n 5 ( rad / s )
K 2 .5
K

10 s 10
2
=0
无阻尼
10 t
R (s )
1 s
c ( t ) 1 cos
等幅不衰减振荡
工作不正常
R (s ) -
10 s
2
C (s )
s
C (s ) R (s )

10 s 10 s 10
2
0 . 707
2

n
n
10
10
nห้องสมุดไป่ตู้
2 10
K0
K 01 K 01 T s 1 K 01
' 0
1
K 01 T s 1
' 0

1 K 01 T
' 0
T0
1 K 01
s 1
1 K 01
由
t s 6T0
6T0
'
1 K 01
6 0 . 25 K 01 1 160 0 . 0125 ( s ) 0 .5
结论：
当ξ增加到0.69或0.78时，调整时间ts为 最小。设计二阶系统，一般选ξ=0.707,为最 佳阻尼比,此时不但调整时间ts为最小,而且 超调量也不大。
系统的瞬态响应指标
试分析：1）该系统能否正常工作？ 2）若要求=0.707，系统应作如何改进？
R (s) -
10 s
2
C (s)
C (s ) R (s )
1
2
e
100 % 47 %
t s ( 5 %)
3

6 s
n
当要求 0 . 707
n
1 2
时,
K k n 0 .5
2
所以必须降低开环放大系数值，才能满足二阶工程最 佳参数的要求。但应注意到，降低开环放大系数将使 系 统稳态误差增大。
例3-4-3 角度随动系统如图3-4-5所示，设 K 为开环 增益，T=0.1 (s)为伺服电动机的时间常数。若要求： 单位阶跃响应无超调，而且 t s 1 ( s ) ，求K的取值、系 统的上升时间 解：因为考虑系统尽 量快的无超调响应， 则可选阻尼比为临界 阻尼 1 t s 4 . 75 T1

10 K
, 10 K 25 ,
1 1 1 1 1 1 2 2 s s s s , n T TT T1 T2 T1T 2 1 2 1 T2
1 T1 T 2
1
Sin ( d t r ) 0
tr d
dtr
第 一 次 到 达
ξ一定时，ωn越大，tr越小； ωn一定时，ξ越大，tr越大。
峰值时间 tp
令：dC ( t )
dt
e n t Sin ( d t ) C(t) 1 2
1 2 1 K 0T0
K 01 T0 s 1
K 02 C(s) s

1 2
1 16 0 . 25
0 . 25
% exp(
ts 1 ln
n
1
2
) 100 % 44 %
1

1
1 .5 ( s )
2
这里取Δ＝0.05。
或者按近似算法：
ts
3
0 . 444 ( s )
例1：已知:K0＝K01K02＝16s-1, R(s)
＋ T0=0.25s。 － （1）求系统的超调量和调整时间ts。 （2）若使系统的超调量为10%，T0保 持不变的情况下，K0应是多少？
解（1） T
T0 K0 0 . 25 16 0 . 125 ( s )
三、二阶系统的单位脉冲响应
C (s) R (s)
n
2
2 2 n
R (s) 1
s 2 n s
(t0)
欠阻尼：0< <1
c (t )
n
1
2
e

nt
sin d t
无阻尼：=0
c ( t ) n sin n t
临界阻尼：=1
c ( t ) n te
思考：τ和K03对性能的影响，请你给出结论。
图3-4-4 位置随动系统
例3-4-2 有一位置随动系统，其结构图如图 3-4-4所示，其中Kk = 4。求该系统的 （1）自然振荡角频率； （2）系统的阻尼比； （3）超调量和调节时间； 0 . 707 （4）如果要求 ， 应怎样改变系统参数Kk值。
1
Sin ( d t p ) 100 %
tp
d
d n
1
2
n tp
1
2
2
Sin ( d t p ) Sin ( ) Sin
1
e M P%

ntp 2
1
Sin ( d t p ) 100 %