条件概率公式与全概率公式

0.3623
P ( B2 | A) 0.4058 max P ( B3 | B ) 0.2319
∴最大可能由第2个车间生产。
课上练习
小王忘了朋友家电话号码的最后一位
数, 故只能随意拨最后一个号, 求他至多拨三次 可拨通朋友家的概率。 解 设事件 A 表示“三次拨号至少一次拨通”
其他类似可证.
注意 判断事件的独立性一般有两种方法:
① 由定义判断,是否满足公式; ② 由问题的性质从直观上去判断.
定义 (n个事件的相互独立性） 设有n个事件A1,A2,…,An,若对任何正整数 m(2≤m≤n)以及
1 i1 i2 im n, 都有 P（Ai1 Ai2 Aim ) P（Ai1 ) P( Ai2 ) P( Aim )
例
小王忘了朋友家电话号码的最后一位
数, 他只能随意拨最后一个号, 他连拨三次， 求第三次才拨通的概率.
解一
设 Ai 表示“第 i 次拨通”
i 1, 2 , 3
由乘法公式
P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 A1 A2 )
8 1 0.1 √ 10 9 8 9
解二
P( A3 A1 A2 )
1 8
0.125
从题目叙述看要求的是无条件概率.
产生误解的原因是未能仔细读题， 未能分清条件概率与无条件概率的区别.
本题若改叙为：… 他连拨三次，已
知前两次都未拨通,求第三次拨通的概率. 此时，求的才是条件概率.
例
10件产品中有3 件次品, 从中任取 2 件.
则称这n个事件相互独立. 若上式仅对m=2成立,则称这n个事件两两独立. 注意 从直观上讲,n个事件相互独立就是其中任何一个事 件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否的影响.
性质
若n个事件相互独立，则
①它们积事件的概率等于每个事件概率的积. ②它们中的任意一部分事件换成各自事件的对立事 件后，所得的n个事件也是相互独立的。 加法公式的简化：若事件A1，A2，…，An相互独 立, 则 P(A1A2 … An)＝1－P(A1)P(A2) … P(An)
例2
10个人为两张球票抽签，依次抽取，取后不
放回，若已知第一个人抽到球票，求第2个人也
抽到球票的概率。
解1：设A=“第一个人抽到球票”。 B=“第二个人抽到球票”。
则所求为
1 9
记为
P ( B A)
定义：P( B | A)
P( AB) P( A)
为在事件A已发生的条件下，事件B 发生的条件概率( P( A) 0).
Ai 表示“第 i 次拨通”
i 1, 2 , 3
则 A Ai
i
3
由乘法公式
P( A ) P( A1 A2 A3 ) P( A ) P( A A ) P( A A A ) 1 2 1 3 1 2
8 7 0.7 10 9 8
9
P( A) 1 P( A) 0.3.
Bi：“产品由第 i个车间生产” i 1,2,3
则B1 , B2 , B3为的划分
P( A)
3
P( B
k 1
K
) P( A | BK )
25% 5% 35% 4% 40% 2% 0.0345 ＋ ＋ ＝
若已知取出的一件产品是废品，它最大可能 是哪个车间生产的？

需比较P( Bi | A) i 1,2,3 P ( AB1 ) P( B1 ) P( A | B1 ) 25% 5% P( B1 | A) P ( A) P( A) 0.0345
解：设 Ai：“第 i次取得的是一等品”， i 1,2，则所求为 P( A2 | A1 ).
C7
2
76 10 9 6 . 7 9 10
解法一： P( A2 | A1 )
P ( A1 A2 ) P ( A1 )

C10 7 10
2
解法二： P( A2 | A1 )
6 9
.
条件概率的一个重要应用便是下面的乘法公式.
解：记
A：“第三次取出的是白球”
B1：“前两次取出的全为 黑球” A2：“前两次取出的全为 白球” B3：“前两次取出的为一 黑球一白球” 则(1) B1 B2 B3 ；2) B1、B2、B3两两互不相容 (
A A A( B1 B2 B3 ) AB1 AB2 AB3 且AB1、AB2、AB3两两互不相容
证明：A.B独立<=>P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) <=>P(B|A)=P(B)
推论2 在 A 与 B, A与 B,A 与 B， A与 B这四对事件中,若 有一对独立,则另外三对也相互独立。
证明 不妨设A.B独立,则
P ( A B ) P ( A B ) P ( A ) P ( AB ) P ( A ) P ( A ) P ( B ) P ( A )( 1 P ( B )) P ( A ) P ( B )
1 P( A1 )P( A2 )P( A3 )
=1-0.168=0.832
练习
1。P(A)=0.6,P(A+B)=0.84,P( B |A)=0.4,则P(B)=(
).
三
、全概率公式和贝叶斯(Bayes)公式
例4
设袋中有3个白球、2个黑球，不放回抽取， 每次到一个，求第三次取出的是白球的概率。
定义
若事件A与B满足 P(AB)=P(A)P(B), 则称A与B相互独立，简称A与B独立。
注意 从直观上讲,A与B独立就是其中任何一个事件出 现的概率不受另一个事件出现与否的影响.
推论1 A.B为两个事件,若P(A)>0, 则A与B独立等价于P(B|A)=P(B). 若P(B)>0, 则A与B独立等价于P(A|B)=P(A).
P( A | C ) 1 P( A | C )
但是，需要注意，一般地
P ( A | B) P( A | B ) 1
P [ A | ( B C )] P( A | B) P( A | C )
例3
设在10个统一型号的元件中有7个一等品， 从这些元件中不放回地连续取两次，每次取一个元 件，求在第一次取得一等品的条件下，第二次取得 的也是一等品的概率。
——贝叶斯(Bayes)公式
B1 ,, Bn
— —“原因”
全概率公式
A
Bayes公式
— —“结果”
例5
某工厂由三个车间生产同一种产品，它们的 产品占全厂产品的比例分别为25%、35%、40%；并 且它们的废品率分别是5%、4%、2%，今从该厂产 品中任取一件，求是废品的概率是多少？
解：设A：“任取一件为废品”
二、乘法公式
P( AB) P( A)P(B | A) P(B)P( A | B)
P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 ) P( A3 | A1 A2 )
P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )

P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) P ( An | A1 An1 ).
条件概率公式与全概率公式
郑永冰
数学与数量经济学院

一、条件概率
简单地说，条件概率就是在一定附加条件之下
的事件概率.
从广义上看，任何概率都是条件概率，因为任
何事件都产生于一定条件下的试验或观察。
但我们这里所说的“附加条件”是指除试验条件之
外的附加信息，这种附加信息通常表现为“已知某某 事件发生了” 。
1

2 3

1 10 3 5 .

4 10

1 10
一般：设 B1 ,, Bn 为的一个划分， A为一事件， P( Bi | A)
P( ABi ) P( A) P( Fra Baidu biblioteki ) P( A | Bi ) P( A)
P( Bi ) P( A | Bi )
P( B
k 1
n
K
) P ( A | BK )
类似有P ( A | B )
P ( AB) P( B)
, ( P ( B ) 0).
把作为条件的事件 固定，可证 ( B | A)也是概率， A P 因此它具备概率的一切 性质。
如P( A B | C ) P( A | C ) P( B | C ) P( AB | C )
P( A | B ) 1 P( A | B ).
例1.2.3 三个元件串联的电路中,每个元件发生断电的 概率依次为0.3,0.4,0.6,且各元件是否断电相互独立,求 电路断电的概率是多少? 解 设A1,A2,A3分别表示第1,2,3个元件断电 , A表示电路断电, 则A1,A2,A3相互独立,A= A1+A2+A3, P(A)=P(A1+A2+A3)= 1 P( A1 A2 A3 )
在所取 2 件中有一件是次品的条件下, 求
另一件也是次品的概率. 解1 设事件 A 表示“所取 2 件中有一件次品” 事件 B 表示“ 另一件也是次品”. 则
P( B A) P( AB ) P( A)
2 3 2 10 2 10

C /C
1 3 1 7

1 7
C C /C
解2
A
B
“所取 2 件中至少有一件次品”
P( A) P( AB1 ) P( AB2 ) P( AB3 ) P( B1 ) P( A | B1 ) P( B2 ) P( A | B2 ) P( B3 ) P( A | B3 )
C2 C5
2 2

3 3

C3 C5
2 2

1 3

C3 C 2 C5
2
1
事件的独立性
例如 箱中装有10件产品:7件正品,3件次品,甲买走1件
正品,乙要求另开一箱,也买走1件正品.
记甲取到正品为事件A,乙取到正品为事件B,则
P ( B | A) P ( B) 7 10
由乘法公式即得
P(AB)=P(A)P(B)
从问题的实际意义理解，就是说事件A和事件B出现 的概率彼此不受影响.
“ 2 件都是次品”
P( AB ) P( A)
P( B ) P ( A)
P( B A)

C /C
2 3 1 3
2 3
2 10 2 10
(C C C / C )
1 7

1 8
.