刘鸿文-材料力学(第五版)第七章 应力应变分析 强度理论

Fn 0
dA ( xydAcos ) sin ( xdA cos )cos
( yxdA sin ) cos ( ydA sin ) sin 0
(Analysis of stress-state and strain-state)
1.最大切应力的方位（The direction of maximum shearing stress ）
x y d 2[ cos 2 xy sin 2 ] 0 令 d 2 x y 1 tan 21 90 2 xy 1
1 和 1+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大切应力
1.最大正应力的方位（The direction of maximum normal stress ）
x y d 令 2[ sin 2 xy cos 2 ] 0 d 2 2 xy 0 90 tan2 0 0 x y
所在的平面,另一个是最小正应力所在的平面.
Chapter7 Analysis of Stress and Strain Failure Criteria
(Analysis of stress-state and strain-state)
第七章 应力和应变分析 强度理论 Chapter7 Analysis of Stress and Strain Strength Theories
S平面
5
5 4
4
3 2 1
3 2
1
2 x1
1
3
x1
x2
2
x2
2
3
3
(Analysis of stress-state and strain-state)
§7-2 平面应力状态分析-解析法 （Analysis of plane stress-state）
y
y yx
y
xy
yx x
(Analysis of stress-state and strain-state)
§7-1 应力状态概述 (Introduction of stress-state)
一、应力状态的概念 (Concepts of stresses-state)
请看下面几段动画 1.低碳钢和铸铁的拉伸实验 （A tensile test of low-carbon steel and cast iron） 2.低碳钢和铸铁的扭转实验
三、应力状态的分类 （The classification of stresses-state）
1.空间应力状态（Triaxial stress-state or three-dimensional stress-state ） 三个主应力1 ,2 ,3 均不等于零 2.平面应力状态（Biaxial stress-state or plane stress-state） 三个主应力1 ,2 ,3 中有两个不等于零 3.单向应力状态（Uniaxial stress-state or simple stress-state） 三个主应力 1 ,2 ,3 中只有一个不等于零
(Analysis of stress-state and strain-state)
§7-5 平面应变状态分析 (Analysis of plane strain-state) §7-6 广义胡克定律 (Generalized Hook’s law) §7-7 复杂应力状态的变形比能 (Strain-energy density in general stress-state ) §7-8 强度理论 ( Failure criteria) §7-9 莫尔强度理论 (Mohr’s failure criterion)
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3
2
1 1
1 3 2
1
1
2
1
(Analysis of stress-state and strain-state)
例题 1 画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.
F
5 S平面
4
3
l/2 l/2
2 1
(Analysis of stress-state and strain-state)
(Analysis of stress-state and strain-state) 低碳钢和铸铁的扭转
低碳钢 （low- carbon steel）
铸铁 （cast-iron）
为什么脆性材料扭转时沿45°螺旋面断开？
(Analysis of stress-state and strain-state)
Ft 0
dA ( xydAcos ) cos ( xdA cos )sin
( yxdA sin ) sin ( ydA sin ) cos 0
化简以上两个平衡方程最后得
2 2 x y sin 2 xy cos 2 2 不难看出 90 x y
得到max和min (主应力）
x y 2 2 max x y ( ) xy 2 2 min
下面还必须进一步判断0是x与哪一个主应力间的夹角
(Analysis of stress-state and strain-state)
若约定 | 0 | < 45°即0 取值在±45°范围内 则确定主应力方向的具体规则如下 （1）当x> y 时,0 是x与max之间的夹角 （2）当x<y 时,0 是x与min之间的夹角 （3）当x=y 时,0 =45°,主应力的方向可由单元体上切应 力情况直观判断出来
（A torsional test of low-carbon steel and cast iron）
(Analysis of stress-state and strain-state)
低碳钢和铸铁的拉伸
低碳钢 （low- carbon steel）
铸铁 （cast-iron）
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
所在的平面,另一个是最小切应力所在的平面.
(Analysis of stress-state and strain-state)
2.最大切应力（Maximum shearing stress ） 将1和 1+90°代入公式

x y
2
sin 2 xy cos 2
得到max和min
y n
e
yx x xy
f
e

x
x
x
xy
α
α
n α
α
f
a
a
yx
y
(Analysis of stress-state and strain-state)
y n
e
yx
x
f

x
e
x
x
xy
α
α
n α
xy
a
α
f
a
yx
y
t
2.符号的确定（Sign convention）
（1）由x轴转到外法线n,逆时针转向时为正
(Analysis of stress-state and strain-state) 例题4 简支梁如图所示.已知 m-m 截面上A点的弯曲正应力和 切应力分别为 =-70MPa, =50MPa.确定A点的主应力及主平面 的方位.
(Analysis of stress-state and strain-state)
二、最大切应力及方位 (Maximum shearing stress and it’s direction) x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 x y sin 2 xy cos 2 2
§7-1 应力状态概述 (Concepts of stress-state) §7-2 平面应力状态分析-解析法 (Analysis of plane stress-state) §7-3 平面应力状态分析-图解法 (Analysis of plane stress-state) §7-4 三向应力状态分析
1. 单元体（Element body） 2. 单元体特征 （Element characteristic） （1）单元体的尺寸无限小,每个面上应力均匀分布 （2）任意一对平行平面上的应力相等 3.主单元体（Principal body） 各侧面上切应力均为零的单元体
2
3 1
1
3 2
(Analysis of stress-state and strain-state) 4.主平面（Principal plane）
0 和 0+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大正应力
(Analysis of stress-state and strain-state)
2.最大正应力（Maximum normal stress） 将 0和 0+90°代入公式

x y
2

x y
2
cos 2 xy sin 2
态（state of stresses of a given point）,亦指该点的应力
全貌.
(Analysis of stress-state and strain-state)
二、应力状态的研究方法 （The method for investigating the state of stress）
3.重要结论（Important conclusions）
（1）拉中有剪,剪中有拉;
（2）不仅横截面上存在应力,斜截面上也存在应力; （3）同一面上不同点的应力各不相同; （4） 同一点不同方向面上的应力也是各不相同
应 力
哪一个面上？ 哪一点？ 哪一点？ 哪个方向面？
4.一点的应力状态（state of stresses of a given point） 过一点不同方向面上应力的情况,称之为这一点的应力状
x
x
xy
z
平面应力状态的普遍形式如图所示 .单元体上有x ,xy 和 y , yx
(Analysis of stress-state and strain-state)
一、斜截面上的应力（Stresses on an oblique section）
1.截面法（Section method） 假想地沿斜截面 e-f 将单元体截开,留下左边部分的单体元 eaf 作为研究对象
（2）正应力仍规定拉应力为正
（3）切应力对单元体内任一点取矩,顺时针转为正
(Analysis of stress-state and strain-state)
e
x
xy
α
α
n α
e dAcos α a dA
α
f
a
yx
y
t
dAsin
f
3.任意斜截面上的应力(The stress acting on any inclined plane) 设斜截面的面积为dA , a-e的面积为dAcos, a-f 的面积为 dAsin 对研究对象列 n和 t 方向的平衡方程得
切应力为零的截面 5.主应力（Principal stress）
主面上的正应力
说明:一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直的面 均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为1 ,2 , 3 且规定按 代数值大小的顺序来排列, 即
1 2 3
(Analysis of stress-state and strain-state)
x y 2 2 max ( ) xy 2 min
2 xy x y 和 tan 2 1 比较 tan 2 0 x y 2 xy
1 可见 tan 2 0 tan 21
π π 21 2 0 , 1 0 2 4

x y

x y
cos 2 xy sin 2
即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数
(Analysis of stress-state and strain-state)
二、最大正应力及方位 （Maximum normal stress and it’s direction） x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 x y sin 2 xy cos 2 2