弹性力学小孔应力集中读书报告

工程中的弹塑性力学读书报告
作业：基于ANSYS对孔口应力集中问题进行简单分析**:**
学号：S********
基于ANSYS对孔口应力集中问题进行简单分析
摘要：徐芝纶所著《弹性力学》给出矩形薄板左右受均布拉力的基尔斯解答，本文利用有限元软件ANSYS数值实验，实现应力场、位移场的可视化。

同时定义了应力集中的特征参数来研究应力集中系数与孔径尺度(宽径比、长宽比)、材料所处状态的关系，最后提出一种可应用于工程中减小应力集中的方法。

关键词：圆孔应力集中特征参数应力集中系数孔径尺度材料状态
1引言
孔口的尺寸远小于弹性体的尺寸，并且孔边距弹性体的边界比较远（约大于1.5倍孔口尺寸）被定义为小孔口问题。

由于开孔，孔口附近的应力远大于无孔时的应力，也远大于距孔口较远处的应力，这种现象称为孔口应力集中。

一般来说，集中的程度越高，集中的现象越是局部性的，就是说应力随着与孔的距离增大而越快的趋进于无孔时的应力。

应力集中的程度，首先与孔的形状有关，一般来说，圆孔孔边的集中程度最低。

另外集中系数还与相对孔径尺度有关。

基于ansys 平台，通过数值试验的方法，研究不同孔径时的孔边应力集中问题。

2 力学模型
参考《弹性力学》和书籍[3]我们建立如下模型，如图
1所示。

平面带孔平板，孔位于板正中，假设板为各向同性完全弹性，板两端受均布拉力荷载1000q pa =，长为200mm ，宽为100mm ，厚为0.01mm ，泊松比为0.3，220E Gpa =。

现在我们定义一个描述板宽与孔径的相对尺度的特征参数，
1,2B L R B εε==，定义应力集中系数max
k q δ= ，其中L 为板长，B 为板
宽，R 为孔半径，max δ为孔边最大应力，q 为均布荷载，q 0为平均应力。

图1 力学模型
q
q
3 ANSYS 求解
3.1 模型建立
为了研究不同孔径时的孔边应力集中，我们做一下数值实验。

B=100，R=66.67、50、33.33、25、20、16.67、10、5（单位mm ），利用ANSYS 平台由ε值，计算出相应的k 值。

本模型为轴对称平面应力问题，所以我们只需要取14模型进行求解即可。

具体操作过程这里不用细讲，生成10R mm =的几何模型和变形后模型见图2、3。

图2 生成的几何模型结果显示
图3 变形后的几何形状和未变形轮廓显示
3.2 数据分析
3.2.1 圆孔附近应力场
从10R mm =圆孔的X 方向应力场分布等值线图（图4、5），我们发现圆孔附近应力发生了改变：由平均1000pa 急剧增加到27813137pa ，即发生了明显的应力集中现象；在远离孔边应急急剧减少至1003pa ；孔附近的应力远大于较远处的应力，且最大应力（图中红色区域）
在圆孔的上下边。

而《弹性力学》基尔斯解为242413122r r q ϕδρ
ρ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭，
当,3r q ϕρσ==，并且随着远离孔边应力急剧趋近于q ，比较数值解与解析解，两者基本吻合，所以我们通过ANSYS 来实现解析解的可视化是成功的。

图4 10R mm =和5R mm =圆孔X 方向应力
图5 10R mm =和5R mm =圆孔沿Y 方向环向正应力分布
3.2 圆孔附近的形变场
笔者查阅不少资料，发现文献大多是研究圆孔附近的应力场，而对圆孔附近的形变场阐述很少，下面笔者就用ANSYS 来简单分析圆孔附近形变场。

《弹性力学》已经给出矩形薄板左右受均布拉力的基尔斯解（1），我们把该解带入平面问题下的物理方程（2），之后在代入几何方程（3），就得到位移场的通解[1]（4）。

基尔斯解： 222222242422221cos 2113221cos 21322sin 21132q r q r r q r q r q r r ρϕρϕδϕρρρδϕρρτϕρρ⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--⎪
⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪
=+-+⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪
⎪⎛⎫⎛⎫⎪=--+ ⎪⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎭
（1）
平面问题极坐标下的物理方程：
1()1()2(1)E
E E ρρϕϕϕρρϕρϕεδμδεδμδμγτ⎫
=
-⎪⎪
⎪
=-⎬⎪+⎪=⎪
⎭
（2）
平面问题极坐标下的几何方程：
11u u u u u u ρ
ρρϕϕρϕϕρϕερερρϕγρϕρρ∂⎫
=
⎪∂⎪⎪∂⎪
=+⎬∂⎪⎪∂∂=+-⎪
∂∂⎪⎭
（3）
板内位移场通解：
224
324
3[(1)(1)(1)cos 24cos 2(1)cos 2]2[(1)sin 22(1)sin 2(1)sin 2]
2q r r r u E q r r u E ρϕμρμμρϕϕμϕρρρμρϕμϕμϕρρ⎫=-+++++-+⎪
⎪
⎬⎪=-+---+⎪⎭
（4） 当r ρ时,运用坐标转换公式, 即可获得在远离孔边弹性薄板内的位
移分布: q u x E
q y v E μ⎫
=
⎪
⎪⎬⎪=-
⎪⎭
(5)
该结果与无圆孔时单向拉伸的位移解完全一致。

图5为10R mm =圆孔附近的应变场，可见圆孔受拉由圆形变成了椭圆形，位移场成线性条带状分布，远离小孔位移值逐渐变大，在两端处达到最大，这完全符合位移公式（5）的描述。

图5 圆孔附近的应变场
3.3 1ε对应力集中的影响
当孔径变化，应力集中现象会有什么改变呢？通过对比图5不同孔径下等效应力场等值线，我们得出结论：孔径越小应力，应力集中现象越明显，应力突然变大的趋势越迅速。

在图5中的表现为蓝色区域所占弹性体比例越来越大。

图5 10R mm =和5R mm =圆孔等效应力场等值线
这里笔者不禁想讨论孔径的大小对应力集中影响到底有多大，我们统计上面8组试验的相对尺度ε与应力集中系数k ，得到如下结果，如表1。

表1 应力集中系数k 与相对尺度1ε之间的关系 1ε 1.5 2 3 4 5 6 10 20 k
6.340 4.315 3.309 3.094 3.002 3.000 3.000 3.000
将1k ε-之间的关系，我们可以推论: 只要弹性体的边界离开圆孔中心有足够的距离，或者相对尺度14ε>，应力集中系数趋近稳定，也就是当板宽一定时，随着小孔孔径变小，小孔对应力集中的影响较小。

3.4 2ε对应力集中的影响
为了研究长宽比2ε对应力集中系数k 的影响，我们规定小孔R=10mm ，然后利用ANSYS 命令流（见附录）依次改变长宽
/ 1.0 4.0L B =，并记录应力值，计算出应力集中系数，得出2k ε的
关系如图6。

从图可见，当孔径一定时候，长宽比2ε也影响应力集中。

其中当
2 2.0ε>，应力集中系数趋于稳定；当2 1.0 2.0ε=，长宽比2ε越小，应
力集中系数越大。

k
L/B
图6 2k ε
3.5 材料所处的状态对应力集中的影响
笔者参阅相关资料[2],发现目前对孔边应力集中问题的研究大多停留在线弹性领域内，并没有反应材料处于屈服阶段、强化阶段的 孔边应力集中规律，所以笔者通过ANSYS 建模来找出这一规律。

我们假设薄板为各向同性理想的弹塑性材料，泊松比为0.3，弹性模量220E Gpa =,200,100,10L mm B mm R mm ===,材料的屈服极限
240s Mpa δ=，应力集中系数max
k q δ=,max δ为孔边最大应力，q 为均布
荷载,0q 为平均应力。

由于研究材料产生屈服前、后的应集中现象，所以每一个实验采用2中荷载：一种荷载材料未进入屈服状态，另一种荷载进入屈服，实验数据见下表。

q
max δ
q 0
k
80 250.367 88.812 2.819067 100 249.681 89.83 2.779483 120 261.23 94.354 2.768616 140 274.522 100.082 2.742971 160 289.537 105.39 2.747291 180 308.319 112.335 2.744639 200 339.169 121.83 2.783953 210
379.133
134.734
2.813937
220 422.438 149.782 2.820352 230 465.631 172.631 2.697262 240
508.097
200.535 2.533707
60
80
100120140160180200220240260
2.50
2.552.602.652.70
2.752.802.85
k
q
图6 q
k
图7 两端均布荷载80Mpa 、240Mpa 作用下的等效应力图
从上表和图6可见，均布荷载q=80MPa ，材料尚未进入屈服阶段，孔边存在明显的应力集中，且随着荷载逐渐增大，在一定范围内应力集中系数基本上不变（ 2.78k ）；当均布荷载逐渐接近屈服极限，应力集中系数迅速下降，设想如果荷载再继续增大，远离孔边的材料都会相继进入屈服状态，尽管变形在不断增加，应力却停留在屈服极限附近不再增加[5]。

4 减少薄板应力集中的方法
通过上面分析，我们知道孔径越小，应力集中越明显。

而在实际工程中，有时要求孔径不变且使得应力集中较小，这就需要我们探究新的方法来减少中心孔边的应力集中。

通过参阅相关文献[4],笔者设想在中心圆孔两侧开对称小孔，已达到减少中心圆孔应力集中，如图7所示。

图7 圆孔两侧对称开小孔模型
我们设定中心小孔R=10mm，两侧小孔均为R=5mm。

通过ANSYS实验得到等效应力云图如图7所示。

可见最大应力位置依然在圆孔上下端，但最大应力值为2870Pa，较之单孔平板最大应力值3137Pa，降低了8.51%，说明此方法对减少薄板圆孔应力集中是有效的。

至于如何调整两侧小孔的参数（孔径、孔的相对位置），已实现最小应力集中效果。

鉴于笔者初学ANSYS，也不懂复变函数，无法给出相关解析解，这是本报告的遗憾。

4 结论
（1）利用ANSYS求解与弹性力学所给解析解基本吻合，并且可以实现应力场、位移场可视化。

（2）当相对尺度14
ε<时，应力集中系数k急剧增大；当相对尺度ε>时，应力集中系数k趋近稳定。

即当板宽一定时，随着孔
14
径尺寸变小，应力集中系数趋近一个稳定值，小孔对单向受拉薄板应力集中影响较小。

（3）孔径一定，长宽比2ε也影响应力集中。

当2 2.0
ε>，应力集中系数趋于稳定；当2 1.0 2.0
ε=，长宽比2ε越小，应力集中系数越大。

（4）应力集中与材料所处状态有关。

材料应力小于屈服极限，应力集中系数基本上稳定，应力接近屈服极限时，应力集中系数突然下降。

（5）在中心圆孔两侧开对称小孔可以有效减少应力集中。

参考文献
[1] 刘述伦等.应力集中圆孔附近的形变场[J].安徽建筑工业学院，
2011(19):23-24.
[2] 徐芝纶编.弹性力学(上册).[M].第四版.北京.高等教育出版社.2006
[3] 陈章华.工程中的有限元分析方法[M].北京.冶金工业出版社.2013
[4] 朱晓东等.基于ANSYS平台含圆孔薄板的应力集中分析[J].苏州大
学学报，2004(24):51-52.
[5] 银光球等.有限板宽孔边应力集中有限元分析[J].福州工程学院学
报.2009(7):67-68.
附录
小孔应力集中建模所使用的命令流文件
/NOPR ! Suppress printing of UNDO process
/PMACRO ! Echo following commands to log
FINISH ! Make sure we are at BEGIN level
/CLEAR,NOSTART ! Clear model since no SAVE found
! WE SUGGEST YOU REMOVE THIS LINE AND THE FOLLOWING STARTUP LINES
!*
!*
/NOPR
/PMETH,OFF,0
KEYW,PR_SET,1
KEYW,PR_STRUC,1
KEYW,PR_THERM,0
KEYW,PR_FLUID,0
KEYW,PR_ELMAG,0
KEYW,MAGNOD,0
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KEYW,MAGHFE,0
KEYW,MAGELC,0
KEYW,PR_MULTI,0
KEYW,PR_CFD,0
/GO
!*
!*
/PREP7
!*
ET,1,PLANE82
!*
!*
MPTEMP,,,,,,,,
MPTEMP,1,0
MPDATA,EX,1,,2.2e11
MPDATA,PRXY,1,,0.3
RECTNG,0,0.125,0,0.05,
/DIST,1,1.08222638492,1
/REP,FAST
/DIST,1,1.08222638492,1
/REP,FAST
PCIRC,0.01,0,0,90,
ASBA, 1, 2
NUMCMP,ALL
/DIST,1,0.924021086472,1
/REP,FAST
/DIST,1,0.924021086472,1
/REP,FAST
/DIST,1,1.08222638492,1
/REP,FAST
/DIST,1,1.08222638492,1
/REP,FAST
FINISH
/SOL
!*
ANTYPE,0
FINISH
/PREP7
ESIZE,0.002,0,
!*
AMAP,1,1,4,5,3
!*
!*
ANTYPE,0
FLST,2,1,4,ORDE,1
FITEM,2,4
!*
/GO
DL,P51X, ,UY,0
FLST,2,1,4,ORDE,1
FITEM,2,5
!*
/GO
DL,P51X, ,UX,0
FLST,2,1,4,ORDE,1
FITEM,2,1
/GO
!*
SFL,P51X,PRES,-1000,
FINISH
/SOL
!*
OUTPR,BASIC,ALL,
)/GOP ! Resume printing after UNDO process )! We suggest a save at this point。