柱面锥面二次曲线

绕 z轴
C
o
y
曲线 C
f ( y, z) 0
x
0
绕z轴
.
z
C o
y
x
曲线 C
f ( y, z)
x
0
0
绕 z轴
z
旋转一周得旋转曲面 S
P
M
M(x,y,z) S
f (y1, z1)=0
z1 z
| y1 | MP x 2 y 2
Sz
o
N (0, y1 , z1 ) .
z1 C
y1
球
面 绕z 轴旋转
y x
z
x2 a2
y2
z2 c2
1
x
y
（2）xOz
面上双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕
x轴和
z 轴；
x
x
绕x 轴旋转
x2 y2 z2 a2 c2 1
oz
o
z
旋转双叶双曲面 y
y
（1）xOz
面上双曲线
x a
2 2
z2 c2
1分别绕x
轴和 z 轴；
绕z 轴旋转
x2 a2
唯一，和一切母线
顶点 0
y
都相交的每一条曲
x
线都可以作为它的
母线.
x2 y2 z2 0
a2 b2 c2
椭圆锥面
请同学们自己用截痕法 研究其形状.
例 1 直线L绕另一条与 L相交的直线旋转一周，
所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面
的顶点，两直线的夹角
0
2
叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z
y x
只含 x, y 而缺 z 的方程F ( x, y) 0，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy 面上曲线 C :F ( x, y) 0.
（其他类推）
从柱面方程看柱面的特征：
实 例
y2 z2
b2 c2 1 椭圆柱面， 母线// x轴
x2 a2
y2 b2
1
双曲柱面 ，母线// z轴
x
建立旋转曲面的方程：
如图 设 M ( x, y, z),
(1) z z1
（2）点M 到z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1, y1 x2 y2 代入 f ( y1, z1 ) 0
得方程 f x2 y2 , z 0,
z
绕 x 轴一周
x
0
y
1 双叶旋转双曲面
双
曲
线
x a
y b
z
绕 x 轴一周
.
x
z
0
y
1 双叶旋转双曲面
双
曲
线
x a
y b
z
绕 x 轴一周
得双叶旋转双曲面
.
x2 a2
y2 z2 b2
1
x
z
0
y
.
2 单叶旋转双曲面
x2 y2
上题双曲线
a
2
b2
1
z 0
绕 y 轴一周
y
o
a
x
2 单叶旋转双曲面
标轴旋转，求此旋转曲面的方程，只需将Γ在 此坐标面里的方程改变即得，改变的方法是： 保留与旋转轴同名的坐标，而以其他两个 坐标的平方和的平方根代替方程中的另一坐标。
y2 z2
（1）yOz 面上椭圆 a 2 c 2 1
z
绕 y 轴和 z轴；
绕 y 轴旋转
旋 转 椭
y2 x2 z2 a2 c2 1
x2 2 pz 抛物柱面， 母线// y 轴
1. 椭圆柱面
x2 a2
y2 b2
1
z
2. 双曲柱面
x2 y2 a2 b2 1
z
o
y
O
y
x
x
§4.2 锥面
定义4.2.1 通过一定点且与定曲线相交的一 族直线所产生的曲面叫做锥面.
这些直线都叫做锥面的母线. 那个定点叫做锥面的顶点. 锥面的方程是一个三元方程.
定义0
在空间，一条曲线 绕着定直线 l旋 转一周所产生的曲面叫旋转曲面.其中 称 为旋转轴，称 l 为母线.
纬圆，经线
图4-3
方程
例1
求直线
x2 0
y 1 0
z 1
绕直线
x 0
y 0
z 1
旋转一周所得旋转曲面的方程。
解
下面特殊 的旋转曲 面
f ( y, z) 0
z
曲线 C
x
0
轴，半顶角为 的圆锥面方程．
z
解 yoz面上直线方程为
z y cot
圆锥面方程 z x2 y2 cot
o
y
或 z2 a2 x2 y2
x
§4－3 旋转曲面
目标：通过本节的学习，掌握
旋转曲面的有关概念，熟练掌握旋 转曲面方程的求法，了解几个常见 的旋转曲面.
重点难点：旋转曲面方程的
求法.
特别当顶点在坐标原点时：
方程 F(x,y,z)= 0是 n次齐次方程：若 F (tx, ty, tz) t nF ( x, y, z).
n次齐次方程 F(x,y,z)= 0 的图形是以原点为顶点的锥面；
反之，以原
z
点为顶点的锥面
的方程是n次齐次
方程 F(x,y,z)= 0.
准线
锥面是直纹面
锥面的准线不
上题双曲线
x2 y2
a
2
b2
1
z 0
绕 y 轴一周
.
z
y
o
a
x
2 单叶旋转双曲面
上题双曲线
x2 y2
a
2
b2
1
z 0
绕 y 轴一周
得单叶旋转双曲面 . .
x2 z2 y2
1
a2
b2
z
y
o
a
x
.
3 旋转锥面
两条相交直线
x 2 y 2 = 0 a2 b2 z = 0
绕 x 轴一周
y2
z2 c2
1
旋转单叶双曲面
z
z
y
y
o
x
o
x
（3）yOz 面上抛物线 y2 2 pz 绕 z 轴；
x2 y2 2 pz 旋转抛物面
z
z
xo
y
xo
y
p0
几种 特殊旋转曲面
1 双叶旋转曲面 2 单叶旋转曲面 3 旋转锥面 4 旋转抛物面 5 环面
1 双叶旋转双曲面
双
曲
源自文库
线
x a
y b
§4.1 柱面
定义4.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动 的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线叫
柱面的准线，
母线
动直线叫柱面
的母线.
观察柱面的形
成过程:
准
线
柱面举例：
z
M(x, y, z)
M1( x, y,0)
z
•
•
x2 2y
平面
o
y
o
y
x
抛物柱面 x
y x
抛物柱面方程：
x2 2y
平面方程：
y
.
x
曲线 C
f ( y, z) 0
x
0
绕 z轴
z
旋转一周得旋转曲面 S M(x,y,z) S
P M
N (0, y1 , z1 ) .
ff (y11,,zz11))==00 .
z1 z
| y1 | MP x 2 y 2
Sz
z1 C
o
y1
y
.
S：f ( x 2 y 2 , z) 0.
方程 f x2 y2 , z 0,
yoz坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕 z 轴
旋转一周的旋转曲面方程.
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f y, x2 z2 0.
结论（规律）： 当坐标面上的曲线Γ绕此坐标面上的一个坐
x
o
y
3 旋转锥面
两条相交直线
x 2 y 2 = 0 a2 b2 z = 0