静电场的散度和旋度
电动力学 第 0 章 场及其梯度、散度和旋度 第一章 电磁现象的普遍规律第二章 静电场第三章 静磁场(简
Q' Q R0 a
b R02 a
P
R0 r’ r
o bQ’ a
Q
Q (
1
R0 / a
)
40 R2 a2 2Ra cos R2 b2 2Rb cos
接地导体球
R0 a
Q' Q R0 Q a
球面上感应电荷电量 < 点电荷电量 点电荷发出的电场线只有部分终于导体球表面
（见 p.55 图 2-8 ）
电动力学
第 0 章 场及其梯度、散度和旋度 第一章 电磁现象的普遍规律 第二章 静电场 第三章 静磁场（简介）
第四章 电磁波的传播 第五章 电磁波的辐射（简介） 第六章 狭义相对论（简介）
第二章 静电场
§1. 静电场的标势及其微分方程 §2. 唯一性定理（简介） §3. 拉普拉斯方程 分离变量法 §4. 镜像法 §5. 电多极矩（简介）
1 (Q Q' Q") 40 r r' R
F
1
4 0
[
QQ" a2
QQ' (a b)2
]
1
4 0
[
Q(Q0 a
2
Q')
QQ' (a b)2
]
P R
r’ r
Q”b Q’ a
Q
1
4 0
[
QQ0 a2
QQ'[a2 (a b)2 ] a2 (a b)2 ]
1
4 0
[
QQ0 a2
Q
2
R0 a3
中。求电势。
解：球外
1
n0
(an R n
bn R n 1
)Pn (cos
)
静电场的旋度
静电场的旋度嘿，朋友们，今儿咱们来聊聊一个挺有意思的话题——静电场的旋度。
听起来是不是挺高大上的？别担心，咱们用大白话把它说明白，保证让你一听就懂，还能跟朋友们显摆显摆呢！咱们先来说说啥是静电场。
想象一下，冬天你穿着毛衣，一脱下来，“噼里啪啦”一阵响，那就是静电在作怪。
静电场，简单来说，就是电荷周围存在的那种能让其他电荷受到力的场子。
就像你站在人群里，你的气场能让周围的人感受到你的存在一样。
好，现在咱们来聊聊旋度。
旋度啊，听着就像是旋转的度数，但其实它跟那个“度数”没啥直接关系。
咱们可以把它想象成一种“扭转”的力量。
就像你拧毛巾，那股子劲儿就是旋度。
在静电场里，旋度就表示电场线是不是像拧麻花一样在扭转。
一说到静电场的旋度，咱们得从两个方向来看：1.1 首先说说它为啥重要。
你想啊，要是电场线都直愣愣的，那生活得多无聊啊！有了旋度，电场就变得有意思多了。
它能让电荷在电场里转圈圈，玩出各种花样。
这就像咱们玩滑板，直线滑行固然爽，但来点旋转跳跃，不是更刺激吗？1.2 再说说它怎么来的。
静电场的旋度啊，可不是凭空冒出来的。
它得靠电荷分布和电场强度来决定。
电荷分布不均，电场强度就会有差异，这样一来，电场线就得扭着走了。
就像你手里拿着一把筷子，要是把它们一头对齐，另一头就会参差不齐，看起来就像是在旋转一样。
接下来咱们再聊聊旋度的特性：2.1 它可是个矢量。
啥是矢量？就是既有大小又有方向的量。
就像你开车，速度就是个矢量，你得知道开多快，还得知道往哪儿开。
静电场的旋度也一样，它得告诉你电场线扭转得有多厉害，还得告诉你扭转的方向。
2.2 它跟电场强度可不一样。
电场强度是描述电场对电荷作用力的强弱的，而旋度是描述电场线扭转程度的。
就像你吃辣椒，辣度是描述辣椒有多辣的，而辣味在嘴里的扩散程度就是另一种描述了。
2.3 旋度还有个特点，就是它在某些地方可能为零。
就像你拧毛巾，有的地方可能拧得特别紧，有的地方可能根本就没拧。
麦克斯韦方程组在静电场中的散度和旋度
麦克斯韦方程组在静电场中的散度和旋度
麦克斯韦方程组在静电场中的散度和旋度
麦克斯韦方程组是在静电场中最常用的量子力学模型，它根据相对论建立了量
子物理学的基石。
在这个方程组的研究中，有一种特殊的量叫做“散度”和“旋度”。
散度就是一个力学概念，它代表了电场的分布方式，用来描述电场的流动情况，也可以理解为电量在不同方向上的流动情况。
而旋度则是一种场的特性，描述了电场的“旋转”状态，可以理解为某个场向不同方向旋转的距离，也可以用来描述一个场的弯曲程度。
在静电场中，麦克斯韦方程组可以大致描述为：电场分布的流动和旋转总是恒
定的，而散度和旋度的值则取决于当前的静电场的情况。
他们的值取决于场的强度、分布方式和旋转情况，因此这些量可以用来测量电场的实际状态。
另外，由于散度和旋度可以提供关于静电场发展情况的重要信息，因此它们也
可以用于预测未来的静电场状况。
这对工程应用非常实用，比如原子能、核燃料带电问题和太阳活动等学科。
除此之外，它们还可以用于其他微观物质问题的研究，例如飞行器设计和电子设计等。
总的来说，散度和旋度是麦克斯韦方程组的重要量，它们在静电场中可以测量
电场的实际状况，同时也可以用来预测未来的静电场状况，并可用于许多工程实践的科学研究。
静电场的散度与旋度 恒定磁场及其散度与旋度
S
S
1 E ( r ) dS
0
(r ) E (r ) 0
F ( x, y, z ) dl
C
无
0
0
V
( r )dV
S
n
S
F
M
0
高斯定理表明：
C
电磁场与电磁波
第2章 电磁场的基本规律
电磁场与电磁波
第2章 电磁场的基本规律
第一课
2013/3/25
电磁场与电磁波
第2章 电磁场的基本规律
电磁场与电磁波
第2章 电磁场的基本规律
2.2.2 静电场的散度与旋度 1. 静电场散度与高斯定理 回顾1.1 矢量场通量的概念
F ( x, y, z )
1.2 通量的物理意义
en
dS
面积元矢量
dS en dS ——
en ——
d F en dS ——
R (r ) 3 dV R
(r ) R
R3
1 E (r )
0
V
(r ) R dV
V
V
1 dV 4 π 0
V
1 1 2.2.10) p43 (r ) dV 4 π 0 V R 1 1 E (r ) (r ) 2 dV 4π 0 V R 2 1 4 π R R 1 E (r ) (r ) R dV 2.2.11) p43
( R r r )
电磁场与电磁波
第2章 电磁场的基本规律
电磁场与电磁波
电磁场基本规律
t
V
dV
0
即整个空间的总电荷是守恒的。
2、积分形式反映的是电荷变化与电流流动的宏观关系，而微分形式则描述空间各点电荷变化与电流流动 的局部关系。
3、恒定（稳恒）电流的连续性方程 所谓恒定（或称为稳恒），是指所有物理量不随时间变化。 不随时间变化电流称为恒定电流（或稳恒电流）。 恒定电流空间中，电荷分布也恒定不变，即对时间的偏导数为零，则电流连续性方程为
(r
/
r
)
0
/
(r r )
/
(r r )
函数性质：
(r/Biblioteka r)dV1
V
0
(r r/点在体积V内) (r r/点不在体积V内)
函数取样特性。
V f(r)(rr/)dV 0 f(r(/r)(rr/点 在 r/点 V外 在 )V内 )
/
/
(rr)(rr) 函数对场点和源点的对称性
（2）点电荷的表示
• 库仑力是平方反比径向力，是保守力。 • 库仑定律只能直接用于静止点电荷间。但若施力电荷静止，受力电荷运动，它们间的作用仍满足库仑定律。
2.2.2、 电场强度
E (r )
电场强度是描述电场的基本物理量。 1）定义：电场强度 = 空间中一点处的单位正电荷受的力。
E(r)F/q0 q 点电荷 的场强
J
JlimI ndI n S0S dS
载流导体内每一点都有一个电流密度，构成一个矢量场，称这一矢量场为电流场。电流场的矢量线叫 做电流线。
S 流过任意面积 的电流强度I
I S J d S S J d S c o s S J d S
2）（ 面）电流密度
JS
当电荷只在一个薄层内流动时，形成的电流为面电流。
散度和旋度
§ 2.4 稳恒磁场的散度和旋度DIVERGENCE AND CURL OF THE STEADY MAGNETIC FIELDS我们已经得到稳恒磁场两个积分方程：磁场“高斯定理”(2.4-1)安培环路定理(2.4-2)由高斯积分变换定理于是从磁场的“高斯定理” (2.4-1)可知，对任意体积V上式右方均为零.将 V缩小成包含着任意一点的无限小邻域，我们便得到磁场的散度方程：▽.B = 0 （2.4-3）（比较：电场的散度方程▽.E = ρ / ε0）再由斯托克斯积分变换定理由面积S的任意性，我们可得到安培环路定理(2.4-2)的微分形式——稳恒磁场的旋度方程：▽×B = μ0J （2.4-4）（比较：静电场的旋度方程▽×E = 0 ）(2.4-3）和（2.4-4）是稳恒磁场的两个基本微分方程,它们反映了稳恒磁场的基本性质.方程（2.4-3）表示稳恒电流的磁场是“无散场”.虽然它是从毕奥—萨伐尔定律导出的，但是由于迄今为止没有发现自由磁荷，人们认为，这方程对于非稳恒磁场也成立.（2.4-4）则表示，，在J≠0处，▽×B ≠ 0，稳恒磁场的B 线在电流分布点周围形成涡旋，而在J = 0的地方，▽×B = 0，涡旋不是在此处形成.5.关于磁单极子 ( Magnetic Monopole)按照狄拉克(Dirac)1931年的理论，磁单极子————或者说自由磁荷应当取值n = 0 , ±1，±2 ···（2.4-5）其中，普郎克常数 h = 6.626196(50) ×10-34焦耳秒，e为基本电荷的绝对值.上式表示，磁荷与电荷一样是量子化的，n =±1给出磁荷的基本值.如果狄拉克的预言最终被证实，那么在有净磁荷存在的地方，就应当有B 线发出或终止.假定磁荷的磁场也如同电荷的电场一样遵从距离平方反比率，即离开q m为 r 处（2.4-6）那么，对于包围着q m的任意闭合曲面S，磁场“高斯定理”（2.4-1）就应当修改成（2.4-7）若以rm表示净磁荷的体密度，则从（2.4-7）可以得到磁场的散度方程（2.4-8）我们看到，如果自然界果真存在自由磁荷，那么磁场的高斯定理与电场的高斯定理就是对称的. 此外，由于狄拉克的磁荷是量子化的，必然导致磁通量也是量子化的.将（2.4-6）代入（2.4-7），我们马上得到（2.4-9）Φ0称为磁通量子，它由两个基本的物理常量e 和h 组成. （2.4-9）式表示：通过包围着净磁荷的任意闭合曲面之磁通量，一定是磁通量子Φ0的整数倍.磁通量子化现象确实是存在的，它已经由B.S.Deaver,Jr. 和 W.M.Fairbenk最先于1961年在超导体内观测到[1]，但这是超导体内自旋相反的电子凝聚成量子态——“库栢对”（Cooper pair）的结果，似乎与磁荷是否存在这个问题无关.1982年，B.Cabrera等曾经报道用超导量子干涉仪观测到一个可能是磁单极子的记录[2,3]，但未能获得普遍认可.[1] B.S.Deaver,Jr.,and W.M..Fairbenk, Phys.Rev.Lett.7 (1961)43.[2] B.Cabrera，Phys.Rev.Lett.48 (1982)1378.[3] B.Cabrera，et,al., Phys.Rev.Lett.51 (1983)1933.梯度 Gradient 散度 divergence 旋度curl 的物理意义时间与空间是物理最基本的物理量：我们也常想了解物理量随时间变化因此定义如速度＝位移随时间变化率, 加速度=速度随时间变化率,必v=能量随时间变化率等, 因为时间是纯量所以处理起来还算比较简易,我们也经常想了解物理量随空间的变化, 但是空间有方向性因此其变化比较多些,于是有所谓梯度/散度与旋度等数学运算.力做孕i以将能量储存成位能 dU=-Fx*dx-Fy*dy-Fz*dz (或者以向量内积F．d r表示)因此反过来可知 Fx=-dU/dx, Fy=-dU/dy, Fz=-dU/dz因此定义Ｆ＝Fx i + Fy j +Fz k = -▽U其中▽U= du/dx i +dU/dy j + du/dz k 称为位能Ｕ的梯度（有没有联想到梯田的高度差！）以重力场为例水平方向能量都一样因此重力水平方向没有差值因此水平方向没有作用力但是垂直方向升高某高度位能会增加因此作用力向下（因为力是负的梯度）位能随高度增加梯度是正的因此作用力就朝下（负号的意义）若是很短的距离内位能改变很大表示作用力很大（是否想到较陡的山）若是相同距离内位能变化较小则表示作用力也比较小（较平缓的山坡）因此从能量随空间的分布我们可以得知作用力的分布这就是梯度的用途！接下来谈一谈电场的散度与磁场的旋度：电场其实就是单位电荷所受的力（电位就是单位电荷的电能）电场源自于电荷磁场源自于电流电场和磁场最大的不同在于电力方向在两电荷的连心在线或者说电场是径向力而在电流的方向上没有磁场磁场存在于与电流方向垂直的平面方向其实电与磁可说是一体的两面（这留待以后再详述）反正你我都没有人亲眼看过电场或磁场我们都只能观察到力的效应电于电磁作用力在连心线方向的便是电场与连心线方向垂直的便是磁场散度主要是用于类似电场这类连心线方向的场（开放电力线）而旋度则适用于类似磁场这类（封闭磁力线）的场．例如漩涡的水流中任一点其水流方向与中心点联机并非一致例如电场的散度和产生径向场的源（电荷量）成正比▽．Ｅ＝ρ/ε出现ε只是因为单位选择的因素而磁场的旋度则和产生场的漩涡场的源（电流密度）成正比▽×Ｂ=μJ 黄福坤 (研究所)张贴:2006-10-23 22:25:30关键词:|电场:2|电荷:1谈到电场的散度▽．Ｅ＝ρ/ε（▽．Ｅ＝dEx/dx +dEy/dy+dEz/dz 其中Ex,Ey,Ez为电场的各分量）忍不住就和电位Ｖ的梯度连在一起谈已知Ｅ=-▽V将以上两者合并则得到▽2V=-ρ/ε于是得到 d2V/dx2+d2V/dy2+d2V/dz2=-ρ/ε在电荷不存在的区域上式的右边为零于是变成 Laplace's equation （有源则称poission's equation）(当然以上所写类似d/dx 等正确写法是偏微分但是不好输入因此以全微分写法代之)从数值分析的角度可知任何满足Laplace的区域其电位数值恰好是四周电位的平均值哇这样谈下去会愈谈愈多还是先停一下要是网友有兴趣再深入讨论吧！蔡承宸荣誉点数32点 (高中职)张贴:2006-10-27 01:09:17关键词:|强度:1|电流:3|磁场:3Quote:在 2006-10-23 21:32:24, 黄福坤写了:磁场的旋度则和产生场的漩涡场的源（电流密度）成正比▽×Ｂ=μJ我想请问两个问题：(一).上面式子的物理意义是不是「若空间中有磁场分布，则必有若干个面电流密度不为零的点存在」以及「空间中的某一位置点P有面电流密度存在，则使得该点产生一有旋的磁场。
静电场的散度与旋度
静电场的散度与旋度赫母霍兹定理指出,任意矢量场由他的散度,旋度和边界条件唯一的确定,要确定静电场,需要讨论它的散度与旋度.⑴静电场的散度与高斯定理)(4)1()1()(41)(:)1()(41)()(,)1(,,,)(41)(2200330r r R V d R r r E V d Rr r E r E RR R R r r R V d r RR r E V V v '--=∇∴'∇'-=∙∇'∇'-=-=∇-='-=''=⎰⎰⎰πδρπερπερπε两遍取散度写成可将由前面所学可知式中V d r r r E V ''-'=∙∇⎰)()(10δρε0,ερ=∙∇∴E V 内区域我们已假设电荷分布在这是高斯定理的微分形式，它表明空间任意一点电场强度的散度与该处的电荷密度有关，静电荷使静电场的通量源，电荷密度为正，称为发散源；电荷密度为负，汇聚源。
对上式两边求积分⎰⎰=∙∇V V dV dV E 0ερ⎰⎰⎰⎰=∴=∙∇v S SV dV S d E S d E dV E ρε01由于之比。
所包围的总电荷与的通量等于该闭合曲面曲面矢量穿过闭合形式。
它表明电场强度上式为高斯定理的积分0εS 静电场的旋度⑵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡''-∇=∴-'∇'∇'-=⎰⎰V V V d R r r r V d R r r )(41)(E 41)(,)1()(41)(E 00ρπεπερρπε无关及与考虑故梯度再求旋度时恒等于而任何一个标量函数的函数上式括号时一连续标量对上式取旋度,0))(41()(E 0⎰''∇⨯-∇=⨯∇V V d R r r ρπε因此静电场是无旋场0=⨯∇E0,,0=∙∙=⨯∇=⋅⨯∇⎰⎰⎰⎰ d E d E S d E S d E CC S S 利用斯托克斯定理电场力不做功。
电磁场与电磁波中七个矢量的散度、旋度和边界条件分析.
对于各向同性的磁介质来说，。因为，所以有： 。 的旋度：
由于，根据上边磁感应强度矢量的旋度表达式得：。表明磁介质中 某点的磁场强度的旋度等于该点的传导电流。
存在时变的电磁场时，，表明表明磁场的旋度源是传导电流和时变 的位移电流之和。 的边界条件：
由磁通连续性原理得到恒定磁场的散度：，结果表明磁感应强度的 散度恒为零，自然界中无孤立磁荷存在。 的旋度：
由安培环路定理可得到真空中磁感应强度的旋度为：，结果表明恒 定磁场是有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的漩涡源。
当有磁介质存在时，上式变为，为传导电流密度，为磁化电流密 度，既考虑磁化电流也是产生磁场的漩涡源。 的边界条件：
电磁场与电磁波中七个矢量的散度、旋度和边界
条件分析
《电磁场与电磁波》中共涉及到了七个矢量，它们是电场强度矢 量，电位移矢量，磁感应强度矢量，磁场强度矢量，极化强度，磁化强 度和电流密度矢量。亥姆霍兹定理指出，任一矢量场由它的散度、旋度 和边界条件唯一地确定，分析总结它们的散度、旋度和边界条件将有助 于我们加深对电磁场与电磁波的基本矢量的认识。
磁介质表面上的磁化电流面密度表达式为：，为磁介质表面法向 的单位矢量。则通过上面的表达式可推导出的边界条件是：。这表明磁 化强度在分界面切线方向不连续。 7. 电流密度矢量 的散度：
根据电荷守恒定律，单位时间内从闭合面内流出的电荷量应等于 闭合面所限定的体积内的电荷减少量，即，设定闭合面所限定的体积不 随时间变化，将全导数写成偏导数，变为：，应用散度定理。得到，从 而得到：。 的旋度：
对于各向同性介质，有，因此电位移矢量的旋度为 的边界条件：
电磁学讲义04-散度、环路、旋度定理
思考：如果已经知道电场分布，如何求电荷分布？•如图以P(x,y,z)点为中心，∆x ，∆y 和∆z 为边长，取小立方体。
先考虑与x 轴垂直的两个面贡献的通量，则只考虑A的x 分量即可：同理有：zy z y xx A z y z y x x A x x x ΔΔ•Δ−−ΔΔ•Δ+=),,2(),,2(φz y x yA yy ΔΔΔ∂∂=φz y x z A zz ΔΔΔ∂∂=φ则有散度：A A A A zy x z y x ∂+∂+∂=++=•∇φφφK )2(),,(),,2(x x A z y x A z y x x A x x x Δ±⋅∂∂+≈Δ±zy x x A z y x x A x x A x x x x ΔΔΔ∂∂=ΔΔ•⎥⎦⎤⎢⎣⎡Δ−∂∂−Δ∂∂≈)2(2φ利用全微分概念，有：则：电场的散度－讨论•电场某处的单位体积内的电通量正比于此处单位体积内的电荷量。
•电场的散度定理说明，在电荷体密度不是无穷大的点，场强矢量在该点连续，在各方向可求导。
•只适用于电荷体密度–而不能用于点电荷、线电荷、面电荷所在的位置，那些位置没法定义电荷的体密度。
同时这些位置的电场强度值无意义。
•可用于计算电荷分布。
•计算场强一般采用高斯定理积分形式，不必采用微分形式，即散度定理。
–教材P54例题4用散度定理求电场的方法少见。
§2.4静电场的高斯定理和环路定理－－静电场的矢量场理论(二)•静电场环路定理•静电场旋度定理# 旋度的定义•如前所述，在矢量场空间任意点，取任意一个方向，则存在一个围绕此方向的环量面密度。
在这一点，有无数个方向可以选择，也因此相应的存在无数个环路面密度。
这些环量面密度之间存在确定的关系。
•旋度：是一个矢量，取矢量场某一点的环量面密度的最大值为模，并取相应的曲面法线方向。
称为矢量场在该点的旋度，记为：–旋度是矢量!•绕任一方向的环量面密度等于旋度在这一方向的投影（证明略）A K ×∇n ˆn ˆA KA K静电场矢量场原理的总结•静电场：有源、无旋场。
静电场的散度和旋度
静电场的散度和旋度§1.7 静电场的散度和旋度现在，让我们来考虑静电场两个基本的微分方程--散度方程和旋度方程.1.矢量场的散度和高斯定理（参见教材P848）在连续可微的矢量场A中，对于包含某一点(x,y,z)的小体积△V，其闭合曲面为S，定义矢量场A通过S的净通量与△V之比的极限(1.7-1)为矢量场A在该点的散度（divergence of A）它是一个标量.显然若则该点散度▽·A ≠0，该点就是矢量场A的一个源点若则该点散度▽·A = 0，该点不是矢量场A的源点若所有点上均有▽·A = 0，A就称为无散场.在直角坐标系中(1.7-2)▽·A在球坐标和柱坐标系的表达式，见教材P850.高斯定理（Gauss, Theorem）对任意闭合曲面S及其包围的体积V，下述积分变换成立：(1.7-3)即，矢量场A通过任意闭合曲面S的净通量，等于它在S所包围的体积V内各点散度的积分.由此可知，若A场通过任何闭合曲面的净通量均为零，它就是无散场，即处处有▽·A = 0. 这意味着，无散场的场线必定是连续而闭合的曲线.2.电场的散度方程大家已经知道，电场的高斯定理是个积分方程(1.7-4)其中r表示电荷密度分布函数.由高斯积分变换定理(1.7-3) )，(1.7-4)的左边可化为V内E 的散度之体积分，因此有设想体积V缩小成包含某点P（x,y,z）的无限小体积元dV，便得(1.7-5)这就是电场高斯定理的微分形式--电场的散度方程.它表示电荷分布点，即r ≠0 的点上▽·E ≠0, 这些点就是电场的源点.3.矢量场的旋度和斯托克斯定理（参见教材P853）在连续可微的矢量场A中，我们设想将A绕着某个很小的闭合路径L积分，△S=△S 是L 围成的面积元矢量, 并且约定：面积元△S 的法向，与路径积分绕行方向符合右旋规则.当△S缩小成某点P（x,y,z）的无限小邻域，定义如下极限(1.7-6)为矢量场A的旋度▽×A (curl of A , rotation of A )在方向的投影按上述约定若（▽×A）n为正值，则A的场线在该点周围形成右手涡旋若（▽×A）n为负值，则A的场线在该点周围形成左手涡旋若（▽×A）n =0，A线在该点不形成涡旋如果在所有点上均有▽×A =0，则A场就称为无旋场在直角坐标系中，A的旋度为(1.7-7)▽×A在球坐标和柱坐标系中的表达式，见教材P855.斯托克斯定理（Stokes, Theorem）对任意闭合路径L及其围成的曲面S，下述积分变换成立：(1.7-8)即，矢量场A沿任意闭合路径L的环量，等于它在L所围的任意曲面S上各点旋度的面积分. 由此可知，若矢量场A沿任意闭合路径L 的环量恒为零--保守场，它就是无旋场，即处处有▽×A = 0.4.静电场的旋度方程我们知道，静电场是一个保守场，即对任意闭合路径L ，E 的环量均为零(1.7-9)据斯托克斯定理（1.7-8)，我们可得到(1.7-9)的微分形式▽×E = 0 (1.7-10)这表示，静电场是无旋场.如大家所知，静电场的E 线始发于正电荷，终止于负电荷，E线无涡旋状的结构磁场线（B线）则是围绕电流构成闭合的、涡旋状的结构. (1.7-5)和(1.7-10) 是静电场两个基本的微分方程.静电场的两个基本的微分方程至此，我们已经得到静电场的两个基本的微分方程：(1.7-5)▽×E = 0 (1.7-10)（1）这两个方程分别是静电场的高斯定理和环路定理的微分形式（2）这两个方程描述了静电场的有源无旋性质：电荷分布点是电场的源点静电场的场线无涡旋状结构。
静电场散度和旋度1
其中，劈形算符
i
j
k
x y z
静电场 Ex、Ey 、 Ez的六个空
间变化率之间相互制约的关系
斯托克斯公式
小正方形 环流
A(1) x x+ A(2) y y -A(3) x x - A(4) y y
A(3)
x=A(1)
x+
∂A x ∂y
y
A(4)
x=A(2)
绕大闭合环路的环流，等于其内部所有面元的环流之和。
因为内部的小环流彼此抵消，只剩下未能抵消的紧贴边 界的面元上的部分线段的贡献，这些部分串起来，正是 宏观闭合环路 的环流，
斯托克斯 公式
闭合曲面 S 以 闭合环路L为边界
—费曼物理学讲义
∂Ax
∂x
x
出自面元 1、2 的通量 出自面元 3、4 的通量
∂A x
∂x
x
y
z
∂A y
∂y
x
y
z
出自面元 5、6 的通量
∂A z
∂z
x
y
z
出自小立方 体的通量
（ ∂A x ∂x
+∂∂Ayy
+∂A z）x y z ∂z
A→
(x,y+y,z)
4
y →
1
A(1)
→n
A(1)x
6
(x,y,z)
z
x
(x,y,z+z)
3
5
→A(2)
2
→n
(x+x,y,z)
V
出自一无限小立方体表 面的通量等于该处散度 乘以立方体体积
A lim A dS
静电场4
例 若真空中电荷q均匀分布在半径为a的球体内，计算电场能量。
解： 用高斯定理可以得到电场为
E E
qr 4 0 a q 4 0 r 3
3
(r<a)
(r<a)
所以
1 We 0 E 2 dV 2 V 1 q 0 4 2 0 3q 2 20 0a
–微分形式说明：
• 静电场具有散度源，即自由电荷的体密度。
旋度方程：
E 0
E dl 0
C
微分形式 积分形式
• 物理意义：
– 它们说明静电场是一种保守场。 – 积分形式说明：电场力做功的大小与路径无关。 – 微分形式说明：静电场没有旋度源；
高斯定理
积分形式 微分形式
内、外导体间的电压为
U E dr E1 dr E2 dr
a a r0
b
r0
b
l 2
1 b 1 r0 1n 1n r0 1 a 2
因此，单位长度的电容为
C
l
U
2
b 1 r0 1n 1n 2 r0 1 b
Q E dS
D dS q
s
S
E
D
利用物质特征方程
D E
1 4 0 9 109
1 0 8.85 1012 ( F / m) 4 9 109
例1 ：已知场求源，书例2.3（球坐标系） 解：真空中高斯定理的微分形式 E ， 得电荷密度为
l E e (V / m) 2
则两导体间的电位差
a b U
电磁学讲义04-散度、环路、旋度定理
思考：如果已经知道电场分布，如何求电荷分布？•如图以P(x,y,z)点为中心，∆x ，∆y 和∆z 为边长，取小立方体。
先考虑与x 轴垂直的两个面贡献的通量，则只考虑A的x 分量即可：同理有：zy z y xx A z y z y x x A x x x ΔΔ•Δ−−ΔΔ•Δ+=),,2(),,2(φz y x yA yy ΔΔΔ∂∂=φz y x z A zz ΔΔΔ∂∂=φ则有散度：A A A A zy x z y x ∂+∂+∂=++=•∇φφφK )2(),,(),,2(x x A z y x A z y x x A x x x Δ±⋅∂∂+≈Δ±zy x x A z y x x A x x A x x x x ΔΔΔ∂∂=ΔΔ•⎥⎦⎤⎢⎣⎡Δ−∂∂−Δ∂∂≈)2(2φ利用全微分概念，有：则：电场的散度－讨论•电场某处的单位体积内的电通量正比于此处单位体积内的电荷量。
•电场的散度定理说明，在电荷体密度不是无穷大的点，场强矢量在该点连续，在各方向可求导。
•只适用于电荷体密度–而不能用于点电荷、线电荷、面电荷所在的位置，那些位置没法定义电荷的体密度。
同时这些位置的电场强度值无意义。
•可用于计算电荷分布。
•计算场强一般采用高斯定理积分形式，不必采用微分形式，即散度定理。
–教材P54例题4用散度定理求电场的方法少见。
§2.4静电场的高斯定理和环路定理－－静电场的矢量场理论(二)•静电场环路定理•静电场旋度定理# 旋度的定义•如前所述，在矢量场空间任意点，取任意一个方向，则存在一个围绕此方向的环量面密度。
在这一点，有无数个方向可以选择，也因此相应的存在无数个环路面密度。
这些环量面密度之间存在确定的关系。
•旋度：是一个矢量，取矢量场某一点的环量面密度的最大值为模，并取相应的曲面法线方向。
称为矢量场在该点的旋度，记为：–旋度是矢量!•绕任一方向的环量面密度等于旋度在这一方向的投影（证明略）A K ×∇n ˆn ˆA KA K静电场矢量场原理的总结•静电场：有源、无旋场。
运用狄拉克函数求静电场的散度和旋度
运用狄拉克函数求静电场的散度和旋度
运用狄拉克函数求静电场的散度和旋度是物理学上一个重要的计算方法。
由狄拉克函数计算得出的结果是可以静电场的散度和旋度。
散度是指向量与点引力场或磁力场的交叉积，而旋度则是向量在某个体积内的流出。
狄拉克函数（Delft Function）是一个积分形式表示，它能够将一般形式的静电场表示为两个标量量：其散度和旋度。
狄拉克函数通常用来计算静电场，这是由于它在求解散度和旋度等问题时具有极高的效率和简洁性。
狄拉克函数的基本思想是通过对电位场的拆分对其进行离散化，从而可以根据它的分量计算出系统的散度和旋度，因为各个分量之间具有单调性，从而可以进行有效的求解。
以下是狄拉克函数的惯用公式：
散度：4π * ∫x * y * dV
旋度：4π * ∫y * z * dV
其中x, y, z分别表示静电场的三维空间矢量， dV表示某一点的体积大小。
从上述公式可知，我们可以通过计算两个积分结果得出静电场的散度和旋度。
由于狄拉克函数可以将复杂的静电场表示为两个标量量，因此它广泛被用于物理学的各种研究和应用，例如电力系统的设计等。
总的来说，运用狄拉克函数求静电场的散度和旋度是物理学中一项非常重要的计算方法，它可以将静电场用散度和旋度来表达，从而可以以积分形式表达各类电位场的散度，这项研究在物理学上也扮演着重要的角色。
电动力学第0章场及其梯度、散度和旋度第一
电动力学第0章场及其梯度、散度和旋度第一CONTENTS•场的基本概念与性质•梯度、散度和旋度的定义与性质•梯度、散度和旋度的计算方法•梯度、散度和旋度在电磁学中的应用•梯度、散度和旋度在其他领域的应用场的基本概念与性质01场的定义及分类场的定义场是一种物理量在空间中的分布，它可以描述物理量随空间位置和时间的变化。
场可以是标量场、矢量场或张量场，分别对应于物理量的标量、矢量和张量性质。
场的分类根据物理量的性质和场的数学描述，场可以分为不同类型，如标量场、矢量场、张量场等。
其中，标量场描述物理量的数值大小，矢量场描述物理量的方向和大小，而张量场则描述更复杂的物理量结构和性质。
场的基本性质连续性场在空间中是连续的，即物理量在空间中的变化是连续的，没有突变或跳跃。
可微性场在空间中是可微的，即物理量的变化率（梯度）在空间中是连续的。
对称性场可能具有某些对称性，如空间对称性、时间对称性等，这些对称性反映了物理定律的内在结构。
场与物理量的关系场是物理量的空间分布场描述了物理量在空间中的分布和变化，因此场与物理量密切相关。
例如，电场描述了电荷在空间中的分布和相互作用，磁场描述了电流和磁体在空间中的分布和相互作用。
场与物理量的相互作用场不仅描述了物理量的空间分布，还描述了物理量之间的相互作用。
例如，在电场中，电荷之间的相互作用是通过电场力来实现的，而在磁场中，电流和磁体之间的相互作用是通过磁场力来实现的。
场与物理定律的关系场是物理定律的空间表现形式。
物理定律通常可以表示为场方程的形式，这些方程描述了场的性质和行为。
例如，麦克斯韦方程组描述了电磁场的性质和行为，而牛顿第二定律则描述了质点在力场中的运动行为。
梯度、散度和旋度的定义与性质02梯度的定义梯度是一个向量，其方向指向标量场增长最快的方向，大小等于该方向上的最大增长率。
梯度的物理意义在物理学中，梯度通常用来描述空间中场的变化情况。
例如，在电场中，电势的梯度即为电场强度；在重力场中，重力势的梯度即为重力加速度。
旋度、散度、电场强度
1
4 0
q0qi ri2
rˆi
库仑定律
电力叠加原理
是静止电荷相互作用的基本实验定律。 有限大小的带电体间相互作用力的计算？
在带电体上取电荷元
库仑定律
点电荷系 点电荷
积分
二、电场强度矢量——从力的强弱侧面反映电场强弱
1. 电场强度的定义
电场强度（Electric Field Intensity ) E 表示单位正电荷在电场
电磁感应定律 磁通连续性原理
高斯定律
麦克斯韦方程组 积分形式
Ñl H
gdl
S
(J
D )gdS t
Ñl E
dl
S
B t
dS
ÑS B dS 0 ÑS D dS V dV
麦克斯韦方程组 微分形式
H J D t
E B t
B 0
D
辅助方程： D E B H
电磁能流方程： S E H
由n个点电荷q1, q2, … qn 产生的电场，可利用点电荷场强公式， 直接由叠加原理，求得
E(r)
1
4π 0
N k 1
qk Rk2
ek
1
4π 0
N qk (r rk) k 1 r rk 3
c) 连续分布电荷产生的电场强度
对电荷连续分布的带电体,可划分为无限多个电荷元 dq , 用点电荷
电力相互作用
说明：A.适用条件：静电荷的点电荷模型。
B.矢量性、独立性——大小、方向、运算法则、叠加原理。
电力叠加原理
实验证明：多个点电荷存在时，任意一个点电荷受的静电力等于
其它各个点电荷对它的作用力的矢量和。
q2
q1
q3
q0
2.1 静电场的散度和旋度
库仑定律
F
=
qQr
4πε 0r 3
ε0
=
8.85 ×10−12
C2 N im2
F
q
r
Q
ε0
在真空中，两个静止的点电荷q,Q之间相互作用力
的大小与它们的带电量乘积成正比，和它们之间距 离r的平方成反比，作用力的方向沿着它们的连线， 同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。
电场
E ⋅ dS =
S
i =1
Ei ⋅ dS
=
n i =1
⎛1
⎜ ⎝
ε
0
qi
⎞ ⎟ ⎠
静电场的高斯定理
真空中，静电场的高斯定理：
∫ ∫ ΦE =
E ⋅ dS = 1 ρdV
S
ε0 V
应用高斯公式：
∫ ∫ ∇ ⋅EdV = 1 ρdV
V
ε0 V
由于V的取值是任意的，得到：
∇⋅E = ρ ε0
静电场散度的意义
E(x)Βιβλιοθήκη =14πε 0
V
ρ ( x′)
r3
rdV ′
对上式两边取散度
∫ ∇
⋅
E(x)
=
1
4πε 0
V
∇
⋅
ρ ( x′)r
r3
dV
′
∫ = 1 ρ(x′)∇ ⋅ r dV ′
δ ( x − x′) = − 1 ∇2 1 4πε0 V
r3
∫ 4π
r
=−
1
ρ(x′)∇2 1 dV ′
4πε0 V
r
=
−
1
4πε 0
∫
V
ρ ( x′) [ −4πδ
散度,旋度,涡度
散度,旋度,涡度假设有一个三维空间，显然空间的每一个点都能用坐标(x, y, z)唯一地标识出来。
假如给空间的每一个点都赋予一个数字，那么整个空间就充满了数字。
此时，这个充满数字的三维空间在数学上就叫做“场”。
上述的场叫做标量场，因为单纯的一个数字叫做“标量(scalar)”。
如果我们给空间的每一个点都赋予一个矢量(vector)，即一个既有大小，又有方向的东西，那么整个空间就变成充满了矢量，这个空间就叫做矢量场。
矢量场中的每一点都对应于一个矢量，而矢量能够根据规则进行各种运算，例如加、减和乘等(数学上没有矢量的除法)。
显然，我们可以对整个矢量场中的每一个矢量同时进行某种运算，例如同时将它们乘以一个数，或加上一个数等。
但是我们可以对整个矢量场进行一些更复杂的运算，其中散度就是其中一种。
三维空间中的一个矢量可以沿x、y和z方向分解，现假设空间的某一点被赋予的矢量能够沿着这3个方向分解为大小为P、Q和R的三个分量，表示为(P，Q，R)。
注意，由于空间中每个点被赋予的矢量一般来说是不同的，所以P、Q和R的大小在空间的不同的点一般有不同的值，也就是说P、Q和R中每一个都是x、y和z的函数。
对三维矢量场来说，我们可以对其中一个点的矢量，假设为(P，Q，R)进行以下操作: 1、求出dP/dx，dQ/dy，dR/dz的值，其中dP/dx表示求P对x的一阶偏导数，其余雷同; 2、将这个值赋予这个点对整个矢量场的每个点均进行以上运算，就等于给整个三维空间的每个点都赋予了一个值，于是我们就得出了一个新的标量场，这个标量场就叫做原来的矢量场的散度(divergence)，这种运算就叫做“对矢量场取散度”。
除了散度运算以外，我们还可以对矢量场进行其它的运算，例如旋度运算(curl)。
跟散度运算不同，旋度运算的结果不是标量场，而是另一个矢量场。
旋度运算的规则比较繁复，但是网上很多地方都有解释，这里就不讲了。
而涡度就是一个速度场的旋度，显然涡度是一个矢量场，而散度是一个标量场，这就是两者的本质区别了。
旋度和散度计算公式
旋度和散度计算公式旋度和散度是向量分析中的两个重要概念，它们可以帮助我们更好地理解和描述物理现象。
本文将介绍旋度和散度的计算公式及其应用。
一、旋度旋度是一个向量场的旋转程度，它描述了向量场在某一点的旋转强度和旋转方向。
旋度的计算公式如下：旋度 = ∇ × F其中，∇表示向量微分算子，F表示向量场。
旋度的结果是一个向量，它的大小表示旋转强度，方向表示旋转方向。
旋度在物理学中有广泛的应用，例如在电磁学中，旋度可以用来描述电场和磁场的相互作用。
在流体力学中，旋度可以用来描述流体的旋转和涡旋。
二、散度散度是一个向量场的发散程度，它描述了向量场在某一点的扩散强度和扩散方向。
散度的计算公式如下：散度 = ∇ · F其中，∇表示向量微分算子，F表示向量场。
散度的结果是一个标量，它的大小表示扩散强度，正负号表示扩散方向。
散度在物理学中也有广泛的应用，例如在流体力学中，散度可以用来描述流体的流量和流速。
在电磁学中，散度可以用来描述电场和磁场的源和汇。
三、应用举例1. 电场和磁场的相互作用在电磁学中，电场和磁场的相互作用可以用旋度来描述。
电场和磁场的旋度分别为：旋度(E) = -∂B/∂t旋度(B) = μ0J + ε0μ0∂E/∂t其中，E表示电场，B表示磁场，J表示电流密度，μ0表示真空磁导率，ε0表示真空电容率。
2. 流体的流量和流速在流体力学中，散度可以用来描述流体的流量和流速。
流体的速度场为：v = (u, v, w)其中，u、v、w分别表示流体在x、y、z方向上的速度分量。
流体的流量为：流量= ∫∫S v· n dS其中，S表示流体的流过的面积，n表示面积法向量。
流体的流速为：流速 = ∇ · v其中，∇表示向量微分算子。
旋度和散度是向量分析中的两个重要概念，它们可以帮助我们更好地理解和描述物理现象。
旋度和散度的计算公式可以应用于各种物理学领域，例如电磁学、流体力学等。
《电磁场理论》2.2 真空中静电场的基本方程
2）解为球坐标系下的表达形式。
Q ( 4 r 2 er ) (r a) 0 (r a) 0 1 2 Qr E ( Qr e ) (r a) r 2 r (r 4 a3 ) (r a) r 0 3 4 a 0 0 E 3Q 4 a3 0 0
S
E (r ) dS
1
(r )dV
Q
球对称分布：
8
a
ρ0 O
9
轴对称分布
无限大平面电荷
例1 求电荷密度为 S 的无限大面电荷在空间中产生的 电场。 分析：电场方向垂直表面。在 S n 平行电荷面的面上大小相等。 解：取如图所示高斯面。 由高斯定律，有
s S E1 (r ) ez S E2 (r ) (ez ) S 0 s ez ( z 0) s 2 0 E 2 0 E s ez ( z 0) 2 0 10
E (r )
1 4 0
V'
(r ')
R dV ' 3 R
(r ') R E 3 dV ' V ' 4 R 0
R 3 0 R
E 0 ——静电场是无旋场，或保守场。 5
2．静电场的环路定理 对静电场取任意闭合回路L作路径积分： 由Stokes定理得： E d l ( E ) d S 0
对高斯定理的讨论 物理意义：静电场 E 穿过闭合面S的通量只与闭合面内
所围电荷量有关
静电场是有源场，静电荷是其散度源。
4
二、真空中静电场的旋度
1．静电场的旋度：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§1.7 静电场的散度和旋度
现在，让我们来考虑静电场两个基本的微分方程--散度方程和旋度方程.
1.矢量场的散度和高斯定理（参见教材P848）
在连续可微的矢量场A中，对于包含某一点(x,y,z)的小体积△V，其闭合曲面为S，定义矢量场A通过S的净通量与△V之比
的极限
(1.7-1)
为矢量场A在该点的散度（divergence of A）
它是一个标量.显然
若则该点散度▽·A ≠0，该点就是矢量场A的一个源点
若则该点散度▽·A = 0，该点不是矢量场A的源点
若所有点上均有▽·A = 0，A就称为无散场.
在直角坐标系中
(1.7-2)
▽·A在球坐标和柱坐标系的表达式，见教材P850.
高斯定理（Gauss, Theorem）
对任意闭合曲面S及其包围的体积V，下述积分变换成立：
(1.7-3)
即，矢量场A通过任意闭合曲面S的净通量，等于它在S所包围的体积V内各点散度的积分.
由此可知，若A场通过任何闭合曲面的净通量均为零，它就是无散场，即处处有▽·A = 0. 这意味着，无散场的场线必定是连续而闭合的曲线.
2.电场的散度方程
大家已经知道，电场的高斯定理是个积分方程
(1.7-4)
其中r表示电荷密度分布函数.由高斯积分变换定理(1.7-3) )，(1.7-4)的左边可化为V内E 的散度之体积分，因此有
设想体积V缩小成包含某点P（x,y,z）的无限小体积元dV，便得
(1.7-5)
这就是电场高斯定理的微分形式--电场的散度方程.它表示电荷分布点，即r ≠0 的点上▽·E ≠0, 这些点就是电场的源点.
3.矢量场的旋度和斯托克斯定理（参见教材P853）
在连续可微的矢量场A中，我们设想将A绕着某个很小的闭合路径L积分，△S=△S 是L 围成的面积元矢量, 并且约定：
面积元△S 的法向，与路径积分绕行方向符合右旋规则.当△S缩小成某点P（x,y,z）的无限小邻域，定义如下极限
(1.7-6)
为矢量场A的旋度▽×A (curl of A , rotation of A )
在方向的投影
按上述约定
若（▽×A）n为正值，则A的场线在该点周围形成右手涡旋
若（▽×A）n为负值，则A的场线在该点周围形成左手涡旋
若（▽×A）n =0，A线在该点不形成涡旋
如果在所有点上均有▽×A =0，则A场就称为无旋场
在直角坐标系中，A的旋度为
(1.7-7)
▽×A在球坐标和柱坐标系中的表达式，见教材P855.
斯托克斯定理（Stokes, Theorem）
对任意闭合路径L及其围成的曲面S，下述积分变换成立：
(1.7-8)
即，矢量场A沿任意闭合路径L的环量，等于它在L所围的任意曲面S上各点旋度的面积分. 由此可知，若矢量场A沿任意闭合路径L的环量恒为零--保守场，它就是无旋场，即处处有▽×A = 0.
4.静电场的旋度方程
我们知道，静电场是一个保守场，即对任意闭合路径L ，E 的环量均为零
(1.7-9)
据斯托克斯定理（1.7-8)，我们可得到(1.7-9)的微分形式
▽×E = 0 (1.7-10)
这表示，静电场是无旋场.如大家所知，静电场的E 线始发于正电荷，终止于负电荷，E线无涡旋状的结构磁场线（B线）则是围绕电流构成闭合的、涡旋状的结构. (1.7-5)和(1.7-10) 是静电场两个基本的微分方程.
静电场的两个基本的微分方程
至此，我们已经得到静电场的两个基本的微分方程：
(1.7-5)
▽×E = 0 (1.7-10)
（1）这两个方程分别是静电场的高斯定理
和环路定理
的微分形式
（2）这两个方程描述了静电场的有源无旋性质：
电荷分布点是电场的源点
静电场的场线无涡旋状结构。