导数选择题之构造函数法解不等式的一类题

恒成立，
则使
成立的实数 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数 定义在数集
.
上的偶函数，当
时恒有
..
w
，且
.
..
..
，则不等式
的解集为( )
A．
B．
C．
D．
5．定义在 上的函数 集为（ ）
满足
，
，则不等式
的解
A．
B．
C．
D．
6．设定义在 上的函数
满足任意都有
，且
时，有
，则
的大小关系是 （ ）
系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值
之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使
问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适
的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根
13．B
【解析】
【分析】
构造函数 【详解】
，将不等式转化为
，再根据 定义域以及单调性化简求解.
令
.
..
w
.
..
..
因为
，
所以
因为 在 所以，选 B.
单调递减，
【点睛】
利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数
常根据导数法则进行：如
构造
，
构造
，
构造
【解析】分析：根据题意，设
，对其求导分析可得 在区间
上递减，利
用 的值可得 的值，进而将原不等式转化为
，结合函数的单调性、定义域，分析可
得答案.
详解：根据题意，设
，
则
，
又由函数 定义在
上，且有
，
则
若
，则
，则
在区间 ，
上递减，
，
.
..
w
.
则，
..
..
即不等式的解集为 . 故选：B.
点睛：本题考查函数的导数与函数的单调性之间的关系，关键是构造函数 其单调性. 6．C 【解析】
D．
10．定义在
上的函数 f(x)满足
，则不等式
的解集为
A．
B．
C．
D．
11．已知定义在
上的函数 满足
，其中 是函数 的导函数．若
，则实数 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数 f(x)是定义在 R 上的可导函数，且对于∀x∈R，均有 f(x)>f′(x)，则有（ ）
A． e2017f(－2017)<f(0)，f(2017)>e2017f(0) B． e2017f(－2017)<f(0)，f(2017)<e2017f(0)
学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变
量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数
是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①
根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
构造函数
..
..
，得到 在
递增，有
，从而得到答案．
.
在
恒成立，
在
上是增函数，
得
，
故选 . 【点睛】 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数 g（x）=x2f（x）-x2 是解题的关键，属中档题． 17．D 【解析】 【分析】
：先构造 由此判断函数值的大小。 【详解】
的原函数
，由此题意，得出原函数
C． e2017f(－2017)>f(0)，f(2017)>e2017f(0) D． e2017f(－2017)>f(0)，f(2017)<e2017f(0)
13 ． 已 知 可 导 函 数
的定义域为
，其导函数
满足
,则不等式
的解集为
.
..
w
.
..
..
A． 14．函数
B． 是定义在区间
C．
D．
上的可导函数，其导函数为 ，且满足
，，转化为
，即
，从而可得
令，
.
，则
..
.
w
.
∵
..
..
∴ ∴函数在
上单调递减
∵
，
∴ ∴且，解得.
，即
.
∴实数 的取值范围为
．
故选 D． 【点睛】 本题考查利用导数研究不等式问题.利用导数研究不等式恒成立问题或不等式的解集问题，往往要根据已知
和所求合理构造函数，再求导进行求解，如本题中的关键是利用“
题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧 和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用 技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 16．C
.
..
w
.
【解析】 【分析】 令 【详解】
，因为
，
所以
因此解集为
，
选 A.
点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅
助函数常根据导数法则进行：如
构造
，
构造
，
构造
，
10．C
【解析】【分析】来自构造等构造函数 价于 【详解】 设
由
.
，可得 ，利用单调性可得结果.
， 可得
，
..
，在
上单调递增，原不等式等
，则不
等式 A．
的解集为（ ） B．
C． 15．已知函数 A． B． C． D．
D． 的导数是
16．已知函数 A．
满足条件：当 B．
C．
D．
，若 时，
，都有
成立，则( )
，则下列不等式正确的是（ ）
17．定义在
上的函数 ，
A．
B．
C． D．
是它的导函数，且恒有
成立.则有（ ）
18．已知函数 A． D．
，
，研究 的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解
设
，
，
则
则
，
在定义域内单调递增
，
， ，
.
..
w
.
..
..
则不等式的解集为 故选 【点睛】 本题主要考查了函数单调性，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键。 9．A
【解析】分析：先构造函数
，再根据函数单调性解不等式.
详解：令
【解析】分析：由题意构造函数
，结合函数的单调性整理计算即可求得最终结果.
详解：令
，
则：，
由
，都有
成立，可得
在区间
内恒成立，
即函数 是区间
内单调递减，
据此可得： 本题选择 D 选项.
，即
，则.
点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表
面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解
据选项的共性归纳构造恰当的函数.
3．A
【解析】
【详解】
.
..
w
.
分析：构造新函数
..
..
，利用导数确定它的单调性，从而可得题中不等式的解．
详解：设 由已知当 数，∴
时，
，则 也是偶函数，
，∴ 在 ，
上是减函数，又∵
， 是偶函
不等式
即为
，即
，
∴
，∴
，即
．
故选 A． 点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，然后解函数不等式．解题关键是构造新函数．新函数的结构可
根据题意，函数
满足任意都有
，则有
周期为 的函数，则有
，设
，并分析
，则 是 ，则导数
为
，又由
时，
，则有
，则有
，则函数 在 上为减函
数，则有
，即
，又由
，则有
，变形可得，故选 C.
【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助
函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函
A． B． C． D．
7．已知偶函数 A． B． C． D．
满足
8．定义在 R 上的函数 满足： 自然对数的底数）的解集为( )
，且
，则
的解集为
是 的导函数，则不等式（其中 e 为
.
..
w
.
..
..
A．
B．
9．已知定义在 上的函数
的解集为（ ）
C． 的导函数为
，满足
D． ，且
，则不等式
A．
B．
C．
是偶函数， ，且当时其导函数 B．
满足
，若，则（ ） C．
.
..
w
.
..
..
19．设函数 是（ ）
是奇函数
的导函数，当
时，，则使得
成立的 的取值范围
A．
B．
C．
D．
.
..
w
.
1．B 【解析】【分析】
..
参考答案
构造函数
，则得 的单调性，再根据
，最后根据单调性性质解不等式.
【详解】
..
为奇函数得 ，转化不等式为
详解：
可判断
时函数
设
，
则 的导数为
，
因为
时，
，
.
..
w
.
..
..
即
成立，
所以当
时，
恒大于零，
当
时，函数
为增函数，
又
，
函数 为定义域上的偶函数，
当
时，函数
为减函数，
又 函数
的图象性质类似如图，
数形结合可得，不等式
，
或，
可得或
，
使得
成立的 的取值范围是
，故选 A.
点睛：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题. 联
，
14．C
构造
等
【解析】分析：由题意构造函数
求导可知函数是区间
上的增函数，把原不等式转化
为
，结合
求得 x 的范围.
详解：
.
..
w
.
..
..
则函数
是区间
上的增函数.
由不等式 又由
，解得 ， ，得 ，即
，得
. 故选 C. 点睛：该题考查的是有关解不等式的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点应用导数研究函数的单调性， 构造新函数，结合题意求得对应的不等式的解集. 15．D
构造函数
，则
，所以 在 上单独递减，
因为
为奇函数，所以
.
因此不等式 【点睛】
等价于
，即
，选 B.
利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数
常根据导数法则进行：如
构造
，
构造
，
构造
，
2．A
构造
等
【解析】分析：构造函数
，首先判断函数的奇偶性，利用
的单调性，结合函数图象列不等式组可得结果.
单增函数，
：先构造 等
的原函数，因为，则
w
.
..
..
所以 在 又因为 不等式
因此
，，
上单调递增， ，
等价于 ，
即等式
的解集为
，故选 C.
【点睛】
利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数 学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变
量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数
数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符
合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两
方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的 函数. 7．C
.
..
w
.
【解析】 【分析】
..
..
构造函数 原不等式为 【详解】
，由 从而可得结果.
由 令
， 时，
得
，
，
递增，
又 不等式
时， 等价于
可得 在
递增，结合奇偶性转化
是偶函数，
可得
或
也是偶函数， ，
所以 【点睛】
的解集为
或
，故选 C.
本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，
w
.
..
..
所以 在
上递增，因为
当
时，
等价于
，所以 ，所以
，
，所以
，
当
时，
等价于
，所以 ，所以
，
所以原不等式的解集为
，故选 B.
点睛：该题考查的是有关函数的问题，结合题中所给的条件，结合商函数求导法则构造新函数，结合函数
的单调性与导数的符号的关系，得到相应的结果，在求 偶函数求得结果. 5．B
时的情况的时候，可以直接根据函数 是
”和
“ 12．D 【解析】 【分析】
构造函数
.
”的联系构造函数.
，由
可得函数
..
在 上单调递减，利用单调性可得结果.
w
.
..
【详解】
构
造
函
数
因为
，均有
，并且
，
..
，
则
，
故函数
在 上单调递减，
，
即
，
即 【点睛】
，故选 D.
利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数
结合已知导数的不等式和待解的不等式的形式构造．如
，
，
，
4．B
等等．
【解析】分析：设
，结合求导法则，以及题中的条件，可以断定函数在相应区间上的单调性，
根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可.
详解：设
，所以
，
因为当 所以当
时，有 时
恒成立，
，所以 在
上递增，
因为
.
，所以
..
，所以 是奇函数，
.
..
..
一、单选题
导数选择题之构造函数法解不等式的一类题
1．定义在 上的函数 的导函数为