第十五章 第5讲 正态分布

1 (4)曲线与 x 轴之间的面积为____. (5)当σ一定时，曲线随μ的变化沿 x 轴平移． 大 (6)当μ一定时，曲线形状由σ确定：σ越___，曲线越“矮胖”， 小 表示总体分布越分散；σ越____，曲线越“高瘦”，表示总体分布
越集中．
3．3σ原则 (1) P(μ－σ<x≤μ＋σ)＝0.682 6. (2) P(μ－2σ<x≤μ＋2σ)＝0.954 4. (3)P(μ－3σ<x≤μ＋3σ)＝0.997 4.
考点3 正态分布密度函数的性质
1 例 3：已知某正态分布的概率密度曲线 f(x)＝ · e 2πσ ( x ) 2
wenku.baidu.com2 2
，
x∈(－∞，＋∞)的图象如图 15－5－1，则函数的解析式为 f(x)＝ ________.
图 15－5－1
1 1 解析： 由图象关于直线 x＝0 对称， μ＝0， 则 f(0)＝ ＝ ， 2πσ 4 2π
( x3) 2
2
，x∈R 的图象
1 1．熟悉 f(x)＝ · e 2πσ
( x ) 2
2
2
，x∈(－∞，＋∞)的结构特点，以
及μ，σ的实际意义． 2．正态曲线的形状特征——对称性，顶点变化趋势． 3．正态分布中 P(a≤x≤b)几何意义是正态密度函数图象与 x 轴及直线 x＝a，x＝b 围成的图形的面积．
解析：由其形式知平均数和标准差分别为0 和2.
考点2 正态分布的相关计算 例2：已知随机变量ξ服从正态分布 N(2，σ2)，P(ξ≤4) ＝0.84，则 P(ξ≤0)＝( A．0.16 C．0.68 ) A B．0.32
D．0.84
解析：∵P(ξ≤4)＝0.84，∴P(ξ>4)＝1－0.84＝0.16，
σ ＝20，μ－σ＝480，μ＋σ＝520，所以月均收入在(480,520)
范围内的概率为0.682 6. 即P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝P(480<ξ≤520)＝0.6 826.
所以由图象的对称性可知，月收入在(480,500)和(500,520)的概
率相等，因此，此县农民月均收入在500 到520 元间人数的百分 比为34.13%.
若 μ ＝ 4 ， σ ＝ 1, 则
P(5<X<6)＝( B )
A．0.135 8 C．0.271 6 B．0.135 9 D．0.271 8
1 解析： 依据正态分布的特点及题意， P(5<X<6)＝2[P(2<X<6) 则 1 －P(3<X<5)]＝2×[0.9544－0.6826]＝0.135 9.
A．0.6 C．0.3
C )
B．0.4
D．0.2
4．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布 N(1，σ2)(σ>0)． 0.8 若ξ在(0,1)内取值的概率为 0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为_____.
5．某县农民月均收入服从 N(500,202)的正态分布，则此县农
34.13% 民月均收入在 500 元在 520 元间人数的百分比为______. 解析：因为月收入服从正态分布N(500,202)，所以μ＝500，
1．正态曲线是( C ) A．递增函数 B．递减函数
C．从左到右先增后减的函数
D．从左到右先减后增的函数
2．标准正态分布的均值与标准差分别为( A )
A．0 与 1 C．0 与 0 B．1 与 0
D．1 与 1
3．(2011 年湖北)已知随机变量ξ服从正态分布 N(2，a2)，且
P(ξ<4)＝0.8，则 P(0<ξ<2)＝(
考点1 正态分布密度函数形式 例1：下列函数是正态分布密度函数的是(
1 A．f(x)＝ e 2πσ C．f(x)＝ 2 1 2π
( xr ) 2
2
)
x
2
2π B．f(x)＝ 2π e
2
2
( x 1)
e
4
1 D．f(x)＝ e 2π

x
2
2
1 解析： 根据正态分布密度函数的形式 f(x)＝ e 2πσ 上述选项是否符合． 对于 B，μ＝0，σ＝1，故选 B.
( x ) 2
2
2
， 对照
答案：B
1 明确正态密度函数 f(x)＝ e 2πσ
( x ) 2
2 2
.
【互动探究】
1 8 1．正态总体的概率密度函数为 f(x)＝ e (x∈R)，则总体 8πσ
x
2
的平均数和标准差分别是( C ) A．0 和 8
C．0 和 2
B．0 和 4
D．0 和 0
又∵此正态曲线的图象关于直线 x＝2 对称， 故 P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.16. 利用正态曲线的对称性来求相关概率问题．
【互动探究】
2． (2011 年广东广州调研)已知随机变量 X 服从正态分布 N(μ， σ
2
Pμ－2σ<X≤μ＋2σ＝0.954 4， )，且 Pμ－σ<X≤μ＋σ＝0.682 6，
4．在实际问题进行概率、百分比计算时，关键把正态分布的
两个重要参数μ，σ求出，然后确定三个区间(μ－σ，μ＋σ)，
(μ－2σ， μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)，由 3σ原则进行联 系求解．
1．利用正态密度函数的图象的对称性处理正态分布概率的计 算问题． 2．了解正态密度函数的图象特征对应参数的变化．
第5讲
正态分布
考纲要求
考纲研读
利用实际问题的直方图，了解 1.明确正态分布密度函数的形式．
正态分布曲线的特点及曲线所 2．根据正态曲线的对称性来处理
表示的意义. 相关的计算问题.
1．正态分布
(1)我们称 f(x)＝
1 e 2πσ
x
2

2
(x∈R)[其中μ，σ(σ>0)分别
为参数]的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
1 故 σ＝4.所以 f(x)＝ · 32 . e 4 2π x
2
1 答案： · 32 e 4 2π
x
2
这个题与常见的正态分布的概率的相关计算 从形式上有所不同，但同样是考查了正态曲线的特点，对称性与 最值等问题．
【互动探究】
1 e 3．正态总体的概率密度函数 f(x)＝ 2π 1 x＝3 2π 关于直线______对称；f(x)的最大值为_____.
(2)一般地，如果对于任何实数a<b，随机变量X满足P(a<X≤b)
a f (x)d(X) ＝_________，则称 X 的分布为正态分布，正态分布完全由参数μ
和σ确定，因此正态分布常记作 N(μ，σ2)．
b
X～N(μ,σ2) 如果随机变量 X 服从正态分布，记作___________．μ，σ分
总体的平均数(期望值) 标准差 别表示_____________________与______． 0 1 (3)当μ＝__，σ＝__时的正态分布叫做标准正态分布，记作
X～N(0,1) _________．
2．正态曲线的特点
x (1)曲线位于____轴上方，与 x 轴不相交． x＝μ (2)曲线是单峰的，关于直线_____对称． 1 2πσ (3)曲线在 x＝μ处达到峰值_____.