电路第五版课件第十五章电路方程的矩阵形式

0 支路 k 与结点 j 无关。
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ajk：背离1，指向1，无关0。
例1：
按行列写
123456
① -1 -1 +1 0 0 0
Aa=
② ③
0 +1
0 -1 -1 0 +1 0 0 +1 +1 0
④ 0 +1 0 0 -1 -1
②
① i3 3
i2 2
i6 4 i4 ③ 6 i5
5
④ i1 1
注意其特点
注意：同一个图，有许多 不同的树，因此能选出许多 不同的基本割集组。
Q4 (5,6,7,8)
4
Q4 8
Q1 1
5
7 3
Q3
6 2 Q2
9
注意：
①连支集合不能构成割集。 这是为什么呢？
剩下的树支是连通的，不能分离成二个部分
②属于同一割集的所有支路的电流应满足KCL。
KCL适用于任一闭合面 这又是为什么呢？
①每一列只有两个非零元素，一个是1，一个
是1，Aa的每一列元素之和为零；？
②矩阵中任一行可以从其他 n1行中导出，即
只有n1行是独立的。
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(2)降阶关联矩阵A —表征独立结点与支路的关联性质
②
123456
① -1 -1 +1 0 0 0
A a=
② ③
0 +1
0 -1 -1 0 +1 0 0 +1 +1 0
a
b
e
Q1 a
b e
Q2
a
b
e
d
c
d
c
d
c
f
f
f
a
b Q3 a
b
e
e
d
c
f
d
c
Q4
f
结论：汇集于 同一结点的支 路都是G的一个 割集。
特点：①全移，G一分为二 ②少移一条，G连通。
3
例：判断下图中各支路集合是否是图G的割集？
Q5
a
b
e
d
c
f
(b, d, e, f )是
Q6
a
b
e
d
c
f
(a, b, c, d ) 也是
④ 0 +1 0 0 -1 -1
① i3 3
i2 2
i6 4 i4 ③ 6 i5
5
④ i1 1
划去Aa中任意一行，得到一个 (n1)×b 阶新矩阵。
这就是降阶关联矩阵，用A表示。(今后主要用A， 简称关联矩阵)
特点: A的某些列只具有一个1或一个1。
被划去的行对应的结点可以当作参考结点。
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(3)关联矩阵A的作用 ①表示矩阵形式的KCL方程； 设：支路电流列向量
③割集是有方向的。
4
割集的方向可任意设为 ①
②
③
从封闭面由里指向外，或 者由外指向里。如果是基 本割集组，一般选取树支
5
6
3
Q1 Q2
Q3
1
2
的方向为对应割集的方向。
10
§15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 研究系统化建立方程的方法，且方程用矩阵 形式表示。 图的矩阵表示：指用矩阵描述图的拓扑性质， 即KCL和KVL的矩阵形式。 有三种矩
一个树支加相应的连支构成的割集。
1
如图所示连通图G，选取支
路2，3，5为树，则Q1(1，2，6)、 Q2 (1，3，4)、Q3 (4，5，6)为对 应的基本割集
2
3
5
6
4
对于具有 n个结点 b条支 路的连通图，树支数为 (n-1) 条。因此有(n-1)个单树支割 集，称为基本割集组。
Q7
a
b
e
d
c
f
(a, e, f ) 也是
特点：①全移，G一分为二 ②少移一条，G连通。
4
例：判断下图中各支路集合是否是图G的割集？
Q8 a d
b e
c
f
Q9 a d
b e
c
f
少移去e，G仍为两部分， 全移，G被分为三部分，
(a, d, e, f )不是G的割集。 (a, b, c, d ,e )不是G的割集
结点 支路 关联矩阵 回路 支路 回路矩阵 割集 支路 割集矩阵
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1. 关联矩阵A ——描述结点与支路的关联性质
n个结点b条支路的图用 nb 的矩阵Aa描述：
支路b
结 每一行对应一个结点，
nb Aa=
点 n
每一列对应一条支路。
(1) 元素定义
1 支路 k 与结点 j 关联，方向背离结点；
ajk 1 支路 k 与结点 j 关联，方向指向结点；
面相切割的支路的集合Q，若同时
满足以下两个条件，称该支路的集
Qa d
b e
c
合为图G的割集：
f
①把 Q 中全部支路移去，原图被分离成二个部分；
②少移去其中任一支路时，原图依然连通。
(a, d, f )这个支路集合就是 G的一个割集。 割集不唯一，一个连通图有许多不同的割集。
2
例：判断下图中各支路集合是否是图G的割集？
特点：①全移，G一分为二 ②少移一条，G连通。
5
通常对于一定的电路，可以选择许多不同的割集。 但在用割集电压求解时，只有一组独立的割集电压方 程才有意义。因此，与选择独立回路相类似，实际应 用中往往要选择一组独立割集。
KCL适用于任何一个闭合面，属于同一割集的所 有支路的电流满足KCL，若一个割集的所有支路都连 接在同一个结点上，割集的KCL方程即为结点上的 KCL方程。与一组线性独立的KCL方程相对应的割 集，称为独立割集。对较大规模的电路，用观察法选 择一组独立割集是困难的，借助于树，就比较方便。
但独立割集不一定是单树支割集 ( 就象独立回路不 一定是单连支回路一样 )。
8
同一图，能选出若干基本割集组
树支为2,3,4,6时的基本割集组
4
1
5
8
6
7 3
2 Q1
4
1
5 8
Q2
6
7
3
2
Q3 (1,4,5)
Q3
4
1
5
8
6
3 7 Q4 2
Q1 (1,2,5,7,8)
Q2 (1,3,5,8)
树支为5,6,7,8时的基本割集组
Q1
1
Q2
2
3
5
6
4
Q3
7
基本割集的性质
割集1：i1 i2 i6 0 割集2：i1 i4 i3 0
Q1
1
Q2
2
3
5
6
4
割集3：i4 i5 i6 0
Q3
这三个方程是相互独立的，因为每个方程中含有
一个不同的树支电流，其中任一个方程不可能通过其
他方程的线性组合求得。
因此称基本割集是一组独立割集。如果对全部基本 割集列写KCL方程，则它们是独立的KCL方程。
i [i1 , i2 , i3 , i4 , i5 , i6 ]T 以结点④为参考结点
②
① i3 3
i2 2
i6 4 i4 ③ 6 i5
5
④ i1 1
1 1 1 0 0 0 Ai 0 0 1 1 0 1
1 0 0 1 1 0
第十五章 电路方程的矩阵形式
15.1 15.2 15.3* 15.4 15.5 15.6 15.7*
割集 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 矩阵A、Bf 、Qf 之间的关系 回路电流方程的矩阵形式 结点电压方程的矩阵形式 割集电压方程的矩阵形式 列表法
§15-1 割集
1. 割集 Q 的定义 在图G中做一个闭合面，与闭合