北京大学数学科学学院期末试题
完整word版,北京大学高等数学D2012年高数期末试题
2012-2013学年第一学期期末考试试卷（高等数学D 类） 考试时间：2013年 1月15 日 8:30 -10:30 共7大题，满分100分一、判断题（指出下列说法的正确性，如果错误请简述理由或给出反例；3分/题，共计15分）1. 在某一变化过程中，若x 为无穷小量，且0x ≠，则1x是无穷大量。
2. 函数()f x 在[,]a b 上可积的充分必要条件是函数()f x 在[,]a b 上连续。
3. 广义积分()222lim lim lim 0222b b b b b b b b x b xdx xdx +∞-∞-→+∞→+∞→+∞-⎛⎫-===-= ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰。
4. 多元函数在某点各偏导数存在，则该函数在该点可微，反之不成立。
5. 由于对函数求不定积分与求导互为逆运算，因而对函数先积分再求导等于函数本身，对函数先求导再积分也等于函数本身。
二、选择题（2分/题，共计10分）1. 若()f x 是()g x 的一个原函数，则正确的是（ ）（A ）()()f x dx g x C =+⎰ （B ）()()g x dx f x C =+⎰（C ）'()()g x dx f x C =+⎰ （D ）'()()f x dx g x C =+⎰ 2. 设n n n x z y ≤≤，且lim()0n n n y x →∞-=，则lim n n z →∞（ ） （A ）存在且为零 (B) 存在但不一定为零 (c) 不一定存在 (D) 一定不存在3. 下列求极限问题中能够使用洛必达法则的是（ ）（A ）201sinlim sin x x x x → (B) 11lim 1sin x x bx →-- (C) sin lim sin x x x x x →∞- (D) lim (arctan )2x x x π→+∞- 4. (2)xa f t dt '=⎰（ ）（A ）2[()()]f x f a - (B) (2)(2)f x f a -（C ）2[(2)(2)]f x f a - (D) 1[(2)(2)]2f x f a - 5. 若0cos lim 1xkx x e x →-=-，则k 为（ ） （A ）0 (B)1 (C)2 (D)3三、填空题（3分/题，共计15分）1. 设隐函数zz e xy +=，则2z x y ∂∂∂=________ 2. 设x e -是()f x 的原函数，则2(ln )x f x dx =⎰_______ 3. 函数()sin ,xy e x f x y x y=+的全微分是_____________4. 已知2x y =⎰，则(3)y '=__________ 5. 由曲线2y x =和2x y =所围成的平面图形的面积为__________四、计算题（40分）1. 求下列不定积分（4分/题，共计20分）（1）2ln xdx ⎰ （2）2ln(1)x dx +⎰（3）2x x e dx ⎰ （4）53tan sec x xdx⎰（5）211x ⎛- ⎝⎰ 2. 设22(,)z f xy x y =，f 具有二阶连续偏导数，求22z x∂∂、2z x y ∂∂∂及22z y ∂∂（10分） 3. 计算二重积分22y D x e dxdy -⎰⎰其中Ｄ是以（0,0），（1,1），（0,1）为顶点的三角形区域（5分）4. 求极限2222222n lim(...)1232n n n n n n n n→∞++++++（5分）五、证明题（10分）设函数在()f x 在[0,1]上连续且单调递减，证明对任意的[0,1]a ∈，有100()()a f x dx a f x dx ≥⎰⎰. 六、求平面1345x y z ++=和柱面221x y +=的交线上与xoy 平面距离最短的点。
北京大学2010年高数期末考试题试题(含答案)
课程名称：高等数学（D）2010-2011学年第（1）学期期末试卷本试卷共九道大题，满分100分答案请写在答题本上，试卷上答题无效。
考试结束后请将试卷、答题本一起交给监考老师。
一、判断题（给出简单解释，每题3分，共5题）1.对于多元函数，可导必可微，可微必可导。
（错，需要偏导数连续）2.所有的初等函数在其定义域的任意子集上都是可求定积分的。
（错，广义积分）3.若函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处偏导数都为0，则函数在该点处必取得极值。
（错）4.若函数()f x 在[a,b]上可导，则函数在[a,b]上有最大值与最小值。
（对）5.若区间[,][,]c d a b ⊆，则必有()()bda c f x dx f x dx ≥⎰⎰。
（对）二、选择题（不需要写过程，每题3分,共5题）1.当0x +→B ）（A ）1-（B ）ln(1（C 1（D ）1-2.设1D I σ=,222()D I x y d σ=+⎰⎰,2223()DI x y d σ=+⎰⎰,其中}1),{(22≤+=y x y x D ，则（D ）（A ）123I I I >>（B ）213I I I >>（C ）312I I I >>（D ）321I I I >>3.设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数x x f x g )()(=（D ）（A ）在x=0处左极限不存在（B ）有跳跃间断点x=0（C ）在x=0处右极限不存在（D ）有可去间断点x=04.设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续,则()d f x dx ⎡⎤⎣⎦⎰等于(B ).(A)().f x (B)().f x dx (C)().f x C +(D)().f x dx '5.设43()()()d d I f x dx f x dx f x dx dx dx'=++⎰⎰⎰存在,则I =(D ).(A)0.(B)().f x (C)2().f x (D)2().f x C +三、填空题（（不需要写过程，每题3分,共5题））1.设a>0，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=D dxdy x y g x f I )()(=a 22.设()f x =在[1,4]上使Lagrange(拉格朗日)中值定理成立的ξ=___9/4__.3.二元函数222arcsin(2)ln()z x y x y =--+-的定义域为：{}222(,)|13,D x y x y x y =≤+≤>4.函数22(,)2()f x y x y x y =-+-的驻点为：（-1，-1）5.()()1ln cos 1lim 1sin 2x x x π→-=-24π-四、计算下列不定积分（每题4分，共20分）1.()3cos x x dx -⎰=C x x x x d x xdx ++-=--⎰⎰322sin 31sin 2sin )sin 1(2.⎰C x x x dx +-=--⎰2222111)1(213.=2222sec cos sin 1tan sec sin sin sin tdt t d t dt C C t t t t t x ===-+=-+⎰⎰⎰4.32sin 1cos x x dxx ++⎰2234sin cos 322sec 2tan 2222cos 23(tan 2tan 3tan 3tan 2tan 22222sin 23tan 23tan ln cos 2222cos 2x x x x x dx x dx dx x x x x x x xd dx x dx dx x x x x x x d x C x +==+=+=-+=-=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5.3sin 2cos sin cos x x x x e dx x--⎰=C x e xe dx e x e dx e xe dx e xe xde x d e x xd e xx x x x x x xx xx +--=--+-=---=------------⎰⎰⎰⎰⎰⎰cos cos cos cos 1sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 五、求抛物线22y px =及其在点(,)2p p 处的法线所围成的图形的面积。
高代 I_2021 期末答案
北京大学数学科学学院期末试题2016 -2017学年第 1 学期考试科目 高等代数I 考试时间 2017 年 1 月 3 日一．（20分）设 A : X A X – X A T 是矩阵空间M 2 ( Q ) 上的线性变换 ,这里记A = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1011. 1) 求 Im A 的维数 r 与一组基Y 1 , … , Y r , 并求X 1 , … , X r ∈ M 2 ( Q ) ,使得 A X 1 = Y 1 , … , A X r = Y r ; 2) 求 Ker A 的一组基Z 1 , … , Z s ;3) 证明: X 1 , … , X r , Z 1 , … , Z s 构成M 2 ( Q )的基底 ; 4) 求所有X ∈ M 2 ( Q ) , 使得 A X – X A T = A – A T .解：1) 由 A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1011⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a –⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1101 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++d d c b b a d c d b c a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0d d b c = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0001)(b c +⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0110d 知 dim Im A = 2, Im A 的一组基为Y 1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001, Y 2 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0110. 令 X 1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡0100, X 2 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1000, 则有A X 1 = Y 1 , A X 2 = Y 2 . 2) 由1) 知 A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0000当且仅当b = c , 且d = 0 . 于是 Ker A 的一组基为Z 1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001, Z 2 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110.3) 若有系数k 1, k 2, k 3, k 4 使得 k 1 X 1 + k 2 X 2 + k 3 Z 1 + k 4 Z 2 = 0 , 则 k 1 A X 1 + k 2 A X 2 + k 3 A Z 1 + k 4 A Z 2 = k 1 Y 1 + k 2 Y 2 = 0 . 由Y 1 , Y 2线性无关 , 得 k 1 = k 2 = 0 . 于是 k 3 Z 1 + k 4 Z 2 = 0 . 再由Z 1 , Z 2线性无关 , 推得 k 3 = k 4 = 0 . 故X 1 , X 2 , Z 1 , Z 2线性无关. 最后, 由于X 1 , X 2 , Z 1 , Z 2的向量个数恰好等于 dim Im A + dim Ker A = dim M 2 ( Q ) , 向量组X 1 , X 2 , Z 1 , Z 2构成M 2 ( Q )的基底 .注: 此问也可通过矩阵的直接计算证得。
北京大学2010-2011高数D期末试卷答案
课程名称：高等数学（D ）2010 -2011 学年第（1）学期期末 试卷 本试卷共 九 道大题，满分 100 分 答案请写在答题本上，试卷上答题无效。
考试结束后请将试卷、答题本一起交给监考老师。
一、 判断题（给出简单解释，每题3分，共5题）1. 对于多元函数，可导必可微，可微必可导。
（错，需要偏导数连续）2. 所有的初等函数在其定义域的任意子集上都是可求定积分的。
（错，广义积分）3. 若函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处偏导数都为0，则函数在该点处必取得极值。
（错）4. 若函数()f x 在 [a,b]上可导，则函数在[a,b]上有最大值与最小值。
（对）5. 若区间[,][,]c d a b ⊆，则必有()()bda c f x dx f x dx ≥⎰⎰。
（对）二、选择题（不需要写过程，每题3分,共5题）1. 当0x +→ B ）（A ） 1- （B ）ln(1 （C 1 （D ）1-2.设1D I σ=,222()D I x y d σ=+⎰⎰,2223()D I x y d σ=+⎰⎰,其中}1),{(22≤+=y x y x D ，则（D ）（A ） 123I I I >> （B ）213I I I >>（C ）312I I I >> （D ）321I I I >>3. 设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(= （D ） （A ）在x=0处左极限不存在 （B ）有跳跃间断点x=0（C ）在x=0处右极限不存在 （D ）有可去间断点x=04. 设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续, 则()d f x dx ⎡⎤⎣⎦⎰等于( B ). (A) ().f x (B) ().f x dx (C) ().f x C + (D) ().f x dx '5. 设43()()()d d I f x dx f x dx f x dx dx dx '=++⎰⎰⎰存在, 则I =( D ). (A) 0. (B) ().f x (C) 2().f x (D) 2().f x C +三、填空题（（不需要写过程，每题3分,共5题））1. 设a>0，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=D dxdy x y g x f I )()(= a 2 2.设()f x =在[1, 4]上使Lagrange(拉格朗日)中值定理成立的ξ=___9/4__.3. 二元函数22a r c s i n (2)l n ()z x y x y =--+-的定义域为：{}222(,)|13,D x y x y x y =≤+≤>4. 函数22(,)2()f x y x y x y =-+-的驻点为： （-1，-1）5. ()()1ln cos 1lim1sin 2x x x π→-=- 24π- 四、计算下列不定积分（每题4分，共20分）1. ()3cos x x dx -⎰=C x x x x d x xdx ++-=--⎰⎰322sin 31sin 2sin )sin 1( 2.⎰C x x x dx +-=--⎰2222111)1(213.dx=2222sec cos sin 1tan sec sin sin sin tdt t d t dt C C t t t t t ===-+=+⎰⎰⎰ 4. 32sin 1cos x x dx x ++⎰2234sin cos 322sec 2tan 2222cos 23(tan )2tan 3tan 3tan 2tan 22222sin 23tan 23tan ln cos 2222cos 2x x x x x dx x dx dx x x x x x x xd dx x dx dx x x x x x x d x C x +==+=+=-+=-=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 5. 3sin 2cos sin cos x x x x e dx x--⎰=C xe xe dx e x e dx e xe dx e x e xde x d e x xd ex x x x x x x x x x x +--=--+-=---=------------⎰⎰⎰⎰⎰⎰cos cos cos cos 1sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 五、求抛物线22y px =及其在点(,)2p p 处的法线所围成的图形的面积。
北京大学高等代数高代II_2014期末2（1）
北京大学高等代数高代II_2014期末2（1）北京大学数学学院期末试题2013－2014学年第二学期考试科目高等代数II 考试时间 2014年6月12日姓名学号一.（20分）设α 1 , α 2 , α 3是矩阵A =100210101的列向量, 设P 是沿< α 1 > 向< α 2 , α 3 > 所作的投影变换, Q 是欧氏空间R 3向< α 2 , α 3 > 所作的正交投影变换. 求 P , Q 在R 3标准基下的矩阵. 二（18分）已知R 3上的双线性函数f ( α , β ) 在基底α 1 , α 2 , α 3 下的度量矩阵为310121011.1) 证明: f ( α , β ) 是R 3上的一个内积;2) 求内积 f 下的一组标准正交基β1 , β2 , β3 , 使得β1 = α 1 ;3) 求内积 f 下的正交变换A , 使得W = < α 1 > 是A 不变子空间,且A 在商空间 R 3 / W 上的诱导变换α + W A α + W 将α 2 + W 变到k α 3 + W , k > 0 . (写出A 在β1 , β2 , β3下的矩阵).三（12分）设A 是酉空间V 上的线性变换, 满足条件( A α , β ) = ( α , A β ), ? α , β ∈ V (A 称为Hermite 变换).1) 证明: A 在复数域上的特征值都是实数;2) 证明: 若W 是A-子空间, 则W ⊥也是A-子空间.四（20分）设 A 是Q-线性空间V 上的线性变换, 且A 在基底α 1 , α 2 , α 3 , α 4 下的矩阵为 A = .1) 求A 的特征多项式与最小多项式 ;2) 求V 的根子空间分解, 写出各个根子空间W i 的基底以及限制变换 A | W i 在此基底下的矩阵;3) 证明: 若线性变换B 与A 可交换, 则每个W i 也都是B -子空间.五（20分）设 A 是实线性空间V 上的线性变换, 且A 在基底α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 下的矩阵为 A = .1) 求A 的最小多项式;2) 求A 的特征子空间(写出基底);3) 求V 的一组基, 使得A 在此基下的矩阵为Jordan 标准型.六 ( 10分) 判断对错. 正确的命题请给出证明, 错误的请举出反例.1) 设 A 是n 阶正交矩阵, α , β ∈ R n . 若α + i β是A 的复特征向量, 且α + i β的特征值不等于± 1, 则一定有( α , β ) = 0 ;2) 如果A , B 是正定矩阵, 则A B + BA 一定也是正定矩阵. -100031122020103110000010001010001010101 01。
北京大学高等代数 I_2011 期末答案
北京大学数学学院期末试题2011－2012学年第一学期考试科目 高等代数I 考试时间 2012年1月3日姓 名 学 号一. （10分）已知n 阶方阵A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡111011001 , B =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡n 321332122211111 . 求矩阵X , 使得 A X = B .解: 对矩阵 [ A | B ] 作初等行变换⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1n 2101110022101101110001011110001n 3211111033211112221001111110001⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→100010000110010011100010111100012n 1001100011001001110001011110001故 X =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡100110111 .二.（15分）设 A : X A X 是R 3上的线性变换, 其中A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200211011.(1) 求线性变换 A 像空间的维数和一组基;(2) 求矩阵A 的特征值与特征向量;(3) 判断矩阵A 能否对角化并说明理由.解: (1) 在标准基下, A 像空间就是矩阵A 的列空间, 它的一组基为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡220011,, 维数是2 .(2)A 的特征值为λ = 2 (代数二重), 0 .对λ = 2解齐次方程组 ( A - 2 I ) X = 0 :⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000100011000211011通解为x 1 = x 2 , x 3 = 0 , x 2 为自由变量. 写成向量形式⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0110222321x x x x x x α1 = [ 1 1 0 ] T 构成λ = 2特征子空间的一组基.22)2λ(λ)λ2λ()2λ(1λ111λ)2λ(2λ0021λ1011λλ-=--=-----=------=-|A I |对λ = 0解齐次方程组 A X = 0 :⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000100011200211011通解为x 1 = - x 2 , x 3 = 0 , x 2 为自由变量. 写成向量形式⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0110222321x x x x x xα1 = [ -1 1 0 ] T 构成λ = 0特征子空间的一组基.(3) 由于特征值 λ = 2特征子空间的维数1小于其代数重数2,A 不能否对角化.三．（35分）填空题 (多选) .1．已知3阶矩阵A 的特征值为 1, 1/2 , 0 , 相应的特征向量为[ 1 0 1 ] T , [ 0 1 0 ] T , [ 1 2 0 ] T , 则 2 A 3 – 3 A 2 = .⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101121010100121010100002100010012101011// 2. 设A = . 当t 取 不等于1的值 时, 存在矩阵B ,使得 AB = I . 当t 取 1 时, 存在非零矩阵C , 使得 C A = 0 .3. 当 -4/5 < t < 0 时, 三元二次型x 2 + y 2 + 5 z 2 + 2 t x y – 2 x z + 4 y z 正定.4. 设α是n 维欧氏空间里的单位列向量 , 则 | I – 5 α αT | = - 4 . 注: 可计算行列式或利用 | I m –A B | = | I n –B A | .5. 在实数域上，以下诸矩阵的相抵分类是 {A,B,D},{C},⎥⎦⎤⎢⎣⎡+421211t t相似分类是 {A,D},{B},{C} , 合同分类是 {A},{B},{C},{D}.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000010212D 103010001C 010131010B 101010101A ,,,6. 以下说法正确的有 (a)(b)(c)(d) (多选).a) 如果两个实对称矩阵相似, 它们也一定合同;b) 实方阵都能写成P Q 的形式, 其中P 是实对称矩阵, Q 是正交矩阵 c) 每个矩阵都能写成P J 的形式, P 是可逆矩阵, J 是行简化阶梯矩阵 d) 实方阵都能写成Q R 的形式, Q 是正交矩阵, R 是上三角矩阵四.（12分）判断对错, 正确的请给出证明, 错误的举出反例.1) 在包含n (n>1)个向量的向量组中, 若任意n - 1 个向量都线性 无关, 则整个向量组也线性无关.解: 此命题错误. 例如, 考察向量组 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡0201,, 其中由任意一个 向量构成的部分组都线性无关, 但整个向量组线性相关.2) 设A 是m ⨯ n 矩阵. 若存在矩阵B 与C, 使得 BA = I n , AC = I m , 则必有m = n , 且 B = C .解: 此命题正确. 由矩阵乘法的结合律, 有C = ( BA ) C = B ( AC ) = B , 于是 m = n.五.（20分）设 f = 2 x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 + 2 x 2 x 3 是三元二次型.(1) 将 f 写成 X T A X 的形式, 并求A 的特征值与特征向量;(2) 求正交矩阵P 及对角矩阵D, 使得A = P D P T ;(3) 求二次齐次函数 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 在单位球面 x 12 + x 22 + x 32 = 1上的最大、最小值, 并确定在何处取到.解: (1) []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==321321T AX X f x x x x x x 011101110A 的特征值为λ = - 1 (代数二重), 2 .对λ = - 1解齐次方程组 ( A + I ) X = 0 :⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000111111111111通解为x 1 = - x 2 - x 3 , x 2 、x 3为自由变量. 写成向量形式⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101011323232321x x x x x x x x xα1 = [ -1 1 0 ] T , α2 = [ -1 0 1 ] T 构成λ = -1特征子空间的一组基. 对λ = 2解齐次方程组 ( A - 2 I ) X = 0 :⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---000110101000112121211121112通解为 x 1 = x 3 , x 2 = x 3 , x 3为自由变量. 向量形式:)2λ()1λ()2λλ()1λ(1λ0011λ112λ1λλ101λ111λλ111λ111λλ22-+=--+=+-----=+------=------=-|A I |⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1113333321x x x x x x x 于是α3 = [ 1 1 1 ] T 构成λ = 2特征子空间的一组基.(2) 将α1 = [ -1 1 0 ] T , α2 = [ -1 0 1 ] T 正交化:令β1 = α1 ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-=2112101121101β)β,β()β,α(αβ1111222 再单位化:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==21161β||β||1γ,01121β||β||1γ222111 将α3 = [ 1 1 1 ] T 也单位化: .⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11131γ3 γ1 , γ2 , γ3 构成R 3 的标准正交基, P = [ γ1 γ2 γ3 ] 为正交矩阵, 且.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==T 3T 2T 1321γγγ211]γγγ[T P D P A (3) 做正交替换X = P Y ,f = X T A X = Y T P T A P Y = Y T D Y = - y 12 - y 22 + 2 y 32 . 由于P 正交, x 12 + x 22 + x 32 = 1 当且仅当 y 12 + y 22 + y 32 = 1.当 y 12 + y 22 + y 32 = 1时,f = - y 12 - y 22 + 2 y 32 ≤ 2( y 12 + y 22 + y 32 ) = 2,等号成立当且仅当 y 3 = ±1, y 1 = y 2= 0, 即X 取λ = 2特征子空间中的单位向量 ± γ3时成立.类似地, 当 y 12 + y 22 + y 32 = 1时,f = - y 12 - y 22 + 2 y 32 ≥ - ( y 12 + y 22 + y 32 ) = -1,等号成立当且仅当X 取λ = -1特征子空间中的单位向量时成立.六.（8分）设 A 是一个n 阶正定矩阵, 其 ( i , j ) 元记为a i j .证明: a 11 a 22 . . . a nn ≥ | A | .证法1. 对 n 应用数学归纳法.当 n = 1 时, A = a 11 = | A | , 命题成立.以下设命题对n -1成立, 考察A 是n 阶矩阵的情况.记A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-nn αT αα1n A , 其中A n-1是n - 1阶正定矩阵, α是 n - 1 维列向量. 对 A 做成对的行,列分块运算, 得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----αααααα1-1-n 1n 1-1-n 1n 1n 1-1-n 1n A 00A 1A 0I A 1A 0I T T T T nn T nn αα 于是 | A | = | A n-1 | ( a nn - αT A n-1-1 α ) .由归纳假设, | A n-1 | ≤ a 11 a 22 . . . a n-1n-1 . 又由A n-1 正定知A n-1 的特征值都 > 0, 于是实对称矩阵A n-1-1的特征值也都大于0, 故A n-1-1 也正定. 特别地, 有αT A n-1-1 α ≥ 0 .综上所述, | A | = | A n-1 | ( a nn - αT A n-1-1 α )≤ a 11 a 22 . . . a n-1n-1 a nn .故命题对所有n ≥成立.证法2. 利用Cholesky 分解: 每个正定矩阵A都可写成A = L T L,其中L是对角元都> 0的实上三角矩阵.设L 的( i , j ) 元为b i j , 则有a j j = b1 j2+ b2 j2 + … +b j j2 ≥b j j2 .故 a 11 a22 . . . a nn ≥b112 b222. . . b nn2 = | L T L | =| A |.。
北京大学数学分析期末试题
1. 讨论下列函数序列或函数项级数在指定区间的一致收敛性:
+∞ 1
(1)
, x ∈ (−∞, +∞);
n2 + x2n源自1+∞ sin x sin nx
(2)
√
, x ∈ [0, +∞);
n=1 n + x2
(3) fn(x) = nαx(1 − x)n, α ∈ R, x ∈ [0, 1].
x
8. p(x)是周期为2π的连续函数, ω是实数但不是整数, 求证: p(x) sin ωxdx有界.
0
2. 求下列幂级数的收敛半径和收敛域:
(1)
+∞
n! n2n
xn;
n=1
+∞
(2)
2nxn2 .
n=1
3. 求下列函数的Fourier级数:
(1) f (x) = x cos x, −π ≤ x < pi; (2) f (x) = sin4 x.
1
2
4. 设函数fn(x)(n = 1, 2, · · · )在[0, 1]上具有连续导函数, 并且{fn(x)}在[0, 1]上一致有 界. 证明: 如果{fn(x)}在区间[a, b]上点点收敛到f (x), 则{fn(x)}在[a, b]上必定一致 收敛到f (x).
5. 设函数f (x)和g(x)以2π为周期, 且在[−π, π]上可积. 证明: f (x)与g(x)的Fourier级数
π
相等的充分必要条件是 |f (x) − g(x)|dx = 0.
−π
b
6. 设f (x)是[a, b]上的连续函数, 满足: f (x)x3ndx = 0, n = 0, 1, 2, · · · . 证明在[a, b]上
北京大学《高等数学D》期末考题及答案.pdf
2011年期末试题
掌握函数的和、差、商、积的求导法则、 复合函数求导法则、反函数求导法则
考察多元函数定义： 1.多元（两元）函数的极限 ，注意：所谓二重极限，指P(x,y)以任何方式区域P0 时， f(x,y)都无限接近同一值。
2.多元（两元）函数的连续性 3. （用定义）证明偏导存在 4.多元函数可微的定义，注意书中提高的“必要条件”、“充分条件”。
换元
两曲线交点: (0,0)、(1,1)
三.计算题
通过将两部分J积分区域D1,D2 合成整体D （阴影部分），改变积分顺序简化问题。
I
1
8 1
dy
16
1 4
y
sin
ydx x
1
4 1
dy
8
y
sin
2y
ydx x
1
2 1
dx
ห้องสมุดไป่ตู้
4
x
2 sin
x2
ydy x
1
2 1
4
x[cos
1 2
cos
x]dx
cos
1 2
x2 2
1
2 1
4
1
2 1
x
cos
xdx
4
3 cos 1 32 2
x sin x
1
2 1
cos
x
4
1
2 1
4
29 cos 1 cos 1 1 sin 1 1 sin 1 32 2 4 2 2 4 4
四、证明题
0/0，洛必达
考察函数连续定义 1）求极限 2）复合函数求导 3）用定义证明连
续性
X→0，分子的积分趋于零。使用洛必达法则： (arcsinx2 *2x)/(3x2) = 2x3/(3x2) →0 答案：A