常微分方程基本概念习题及解答
高等数学基础概念解读及例题演练-常微分方程
22
＋
lnx.
习题7.3【答案】 y=-2 x�.1. +-1 .
33
习题7.4【答案】C
习题7.5【答案】 1 习题7.6【答案】 y=[;ex+C2e2x -x(x+2)<f.
’
一 功F dx
＝
一 φp dt
·
一 dt dx
＝
－ 1 e1
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I j. 今 且_ ddx2y2 _-_ ddx
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d I( I圳 ·-I·- dt
dt飞e1 dt J dx
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·－ ddt2一2y ｜J ··e一1' －
［例 13］在下列微分方程中，以y=C1ex +C2 cos2x+C3 sin2x为通解的是一·
m+
’－4 0
m
(A)y y" -4y y =
(B)y +y" +4y’ ＋4y=O
(C)ym -y" -4y’ ＋4y = 0
－ (D)ym -y" +4y’ 4y=O
－ 解：容易看出微分方程的三个特征根分别是1，匀， 2i，对比应当（。是正确的．
～CB) Axe2x+e2x(Bcos2x+Csin衍）
CD) Axe xe2x(Bcos2x +Csin2x)
［答案JC
［例10］以 y=Glf+c;e-2x+xe为通解的微分方程是一一·
(A) y"-y’ －2y=3x<f
常微分方程 习题答案
常微分方程习题答案常微分方程（ODEs）是数学中的一个重要分支，研究方程中的未知函数的导数与自变量之间的关系。
在实际应用中，ODEs广泛用于描述各种自然现象和工程问题，如物理学中的运动学、天体力学、电路理论等。
本文将通过一些常见的ODEs习题，探讨其解答方法和相关概念。
1. 一阶线性常微分方程考虑形如$y'+p(x)y=q(x)$的一阶线性常微分方程，其中$p(x)$和$q(x)$是已知函数。
我们可以使用常数变易法来求解该方程。
首先求出齐次方程$y'+p(x)y=0$的通解$y_h(x)$，然后寻找特解$y_p(x)$，使得$y_p(x)$满足原方程。
最后，将通解$y_h(x)$和特解$y_p(x)$相加，即可得到原方程的通解。
2. 高阶常微分方程高阶常微分方程是指包含未知函数的高阶导数的方程。
考虑形如$y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\ldots+a_ny=f(x)$的齐次线性常微分方程，其中$a_1,\ldots,a_n$是已知常数，$f(x)$是已知函数。
我们可以使用特征方程的方法来求解该方程。
首先求出齐次方程的特征方程$r^n+a_1r^{n-1}+\ldots+a_n=0$的根$r_1,\ldots,r_n$，然后根据根的性质得到齐次方程的通解$y_h(x)$。
接下来，我们需要找到一个特解$y_p(x)$，使得$y_p(x)$满足原方程。
最后，将通解$y_h(x)$和特解$y_p(x)$相加，即可得到原方程的通解。
3. 常见的ODEs应用常微分方程在各个领域都有广泛的应用。
例如，在物理学中，牛顿第二定律$F=ma$可以转化为二阶常微分方程$m\frac{{d^2x}}{{dt^2}}=F(x,t)$，其中$x(t)$表示物体的位置。
在天体力学中，开普勒定律可以通过常微分方程来描述行星的运动。
在电路理论中，基尔霍夫电流定律和电压定律可以转化为常微分方程，用于分析电路中的电流和电压。
常微分方程试题及答案
常微分方程试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪一项不是常微分方程的特点？A. 未知函数是连续的B. 未知函数是可微的C. 未知函数的导数是未知的D. 方程中包含未知函数的导数答案：A2. 常微分方程的解是指满足方程的函数，下列哪一项不是解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 可微性D. 可积性答案：D3. 一阶线性微分方程的一般形式是：A. \( y' + p(x)y = q(x) \)B. \( y' = p(x)y + q(x) \)C. \( y' - p(x)y = q(x) \)D. \( y' + p(x)y = q(x) \) 或 \( y' - p(x)y = q(x) \)答案：A4. 已知微分方程 \( y'' - y = 0 \) 的一个特解是 \( y = e^x \)，那么它的通解是：A. \( y = C_1e^x + C_2e^{-x} \)B. \( y = C_1e^x + C_2 \)C. \( y = C_1e^x + C_2e^x \)D. \( y = C_1 + C_2e^{-x} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 微分方程 \( y'' + y' + y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1e^{-x}+ C_2e^{-\frac{1}{2}x} \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
2. 微分方程 \( y'' - 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
3. 微分方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
（完整版）常微分方程基本概念习题及解答
（完整版）常微分方程基本概念习题及解答§1.2 常微分方程基本概念习题及解答1．dxdy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1时 c=e特解：y=|)1(|ln 1+x c 3．dx dy =yx xy y 321++ 解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为： y y -1dy=-xx 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +- 令xy =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u2+1)x 2=c-2arctgu即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg2x y . 6. x dxdy -y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x1dx arcsin xy =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +ye xy 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 32 e x 3-3e 2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dx dy =x y ln xy 令xy =u ,则dx dy =u+ x dx du u+ x dxdu =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnx y =cy. 10. dxdy =e y x - 解：原方程为：dx dy =e x e y - e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dxdu -1=u 2 211u +du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1212+-+-y x y x解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15:dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy =（x+4y ）2+3 令x+4y=u 则dx dy =41dx du -41 41dx du -41=u 2+3 dxdu =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1). 16:证明方程y x dxdy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程：1）y(1+x 2y 2)dx=xdy2）y x dx dy =2222x -2 y x 2y+ 证明：令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u ，有： u x dx du =f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx 所以原方程可化为变量分离方程。
《常微分方程》东师大第二版习题答案
(4) y′ = 2( y − 2 )2 x + y −1
解：令 u = x + 1, v = y − 2 则原方程变为 dv = 2( v )2 du u + v
再令 z = v ，则方程化为 z + u dz = 2( z )2
u
du 1 + z
分离变量 (1 + z)2 dz = − du (z ≠ 0)
ζ
dζ 1 + u
整理为
u + 1 du = − dζ (u ≠ 1,2)
(u −1)(u − 2)
ζ
积分，得 (u − 2)(u − 2)2 ζ = c u −1
5
代回变量，得通解 ( y − 2x)3 = c( y − x −1)2 , y = x + 1也是方程的解
(2) (2x + y + 1)dx − (4x + 2 y − 3)dy = 0
积分，得 ln ln y = x + c1, ln y = ±ec1 e x = ce x c ≠ 0 ，即 y = ecex (3) dy = e x−y
dx 解： 变形得 e y dy = e x dx 积分，得 e y − e x = c
(4) tan ydx − cot xdy = 0
解：变形得 dy = tan y ， y = 0 为特解，当 y ≠ 0 时， cos y dy = sin x dx .
dy 2x + y + 1
解：方程改写为
=
dx 4x + 2y − 3
令
u = 2x + y ，有
du 5u − 5 =
dx 2u − 3
《常微分方程》答案_习题4.2
习题4.21. 解下列方程（1）045)4(=+''-x x x 解：特征方程1122045432124-==-===+-λλλλλλ，，，有根故通解为x=tt t t e c e c e c e c --+++432221 (2)03332=-'+''-'''x a x a x a x 解：特征方程0333223=-+-a a a λλλ有三重根a =λ故通解为x=at at at e t c te c e c 2321++ （3）04)5(=''-x x解：特征方程0435=-λλ有三重根0=λ，=4λ2，=5λ-2 故通解为54232221c t c t c e c e c x t t ++++=-（4）0102=+'+''x x x解：特征方程01022=++λλ有复数根=1λ-1+3i,=2λ-1-3i故通解为t e c t e c x t t 3sin 3cos 21--+= (5) 0=+'+'x x x解：特征方程012=++λλ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i-- 故通解为t ec t ec x t t 23sin 23cos 212211--+=(6) 12+=-''t s a s 解：特征方程022=-a λ有根=1λa,=2λ-a当0≠a 时，齐线性方程的通解为s=at at e c e c -+21Bt A s +=~代入原方程解得21aB A -== 故通解为s=at at e c e c -+21-)1(12-t a当a=0时,)(~212γγ+=t t s 代入原方程解得21,6121==γγ 故通解为s=t c c 21+-)3(612+t t(7) 32254+=-'+''-'''t x x x x解：特征方程025423=-+-λλλ有根=1λ2,两重根=λ 1 齐线性方程的通解为x=t t t te c e c e c 3221++又因为=λ0不是特征根，故可以取特解行如Bt A x +=~代入原方程解得A=-4，B=-1故通解为x=t t t te c e c e c 3221++-4-t (8) 322)4(-=+''-t x x x解：特征方程121201224-===+-λλλλ重根，重根有 故齐线性方程的通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321取特解行如c Bt At x ++=2~代入原方程解得A=1，B=0,C=1 故通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321+12+t (9)t x x cos =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--取特解行如t B t A x sin cos ~+=代入原方程解得A=21,21-=B 故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--)sin (cos 21t t +-(10) t x x x 2sin 82=-'+''解：特征方程022=-+λλ有根=1λ-2,=2λ 1 故齐线性方程的通解为x=t t e c e c 221-+ 因为+-2i 不是特征根取特解行如t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=56,52-=-B 故通解为x=t t e c e c 221-+t t 2sin 562cos 52-- （11）t e x x =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=-- =λ1是特征方程的根，故t Ate x =~代入原方程解得A=31故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--+t te 31（12）t e s a s a s =+'+''22解：特征方程0222=++a a λλ有2重根=λ-a 当a=-1时，齐线性方程的通解为s=t tte c e c 21+,=λ1是特征方程的2重根，故t e At x 2~=代入原方程解得A=21通解为s=22121t te c e c t t ++,当a ≠-1时，齐线性方程的通解为s=at atte c e c --+21,=λ1不是特征方程的根，故t Ae x =~代入原方程解得A=2)1(1+a故通解为s=at at te c e c --+21+te a 2)1(1+ （13）t e x x x 256=+'+''解：特征方程0562=++λλ有根=1λ-1,=2λ-5 故齐线性方程的通解为x=tte c e c 521--+=λ2不是特征方程的根，故t Ae x 2~=代入原方程解得A=211 故通解为x=t t e c e c 521--++t e 2211 （14）t e x x x t cos 32-=+'-''解：特征方程0322=+-λλ有根=1λ-1+2i,=2λ-1-2i故齐线性方程的通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos21+=i ±-1不是特征方程的根, 取特解行如t e t B t A x -+=)sin cos (~代入原方程解得A=414,415-=B 故通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos21+=+t e t t --)sin 414cos 415((15) t t x x 2cos sin -=+''解：特征方程012=+λ有根=1λi,=2λ- i 故齐线性方程的通解为t c t c x sin cos 21+=t x x sin =+'',=1λi,是方程的解 )sin cos (~t B t A t x +=代入原方程解得 A=21- B=0 故t t x cos 21~-=t x x 2cos -=+'' t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得 A=31B=0 故t x 2cos 31~= 故通解为t c t c x sin cos 21+=t t cos 21-t 2cos 31+习 题 6-11． 求出齐次线性微分方程组y t A dtdy)(=的通解，其中A （t ）分别为：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011)(t A ；（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0110)(t A ；（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010100)(t A 。
常微分方程第四版课后练习题含答案
常微分方程第四版课后练习题含答案第一章：常微分方程基本概念和初值问题1.2 课后练习题1.2.1（1）y′=2y+3，y(0)=1，求解y(t)；（2）y′+ty=1，y(0)=0，求解y(t)。
解答：（1）该微分方程为一阶线性常微分方程，其通解为$$y(t)=Ce^{2t}-\\frac{3}{2}$$代入初始条件y(0)=1，可得$$C=\\frac{5}{2}$$所以$$y(t)=\\frac{5}{2}e^{2t}-\\frac{3}{2}$$（2）首先设$u(t)=e^{\\frac{t^2}{2}}y(t)$，则$u'(t)=e^{\\frac{t^2}{2}}(y'+ty)$。
代入原方程可得$$u'(t)=e^{\\frac{t^2}{2}}$$对其积分得$$u(t)=\\int e^{\\frac{t^2}{2}} dt +C=\\frac{\\sqrt{2\\pi}}{2}erf\\frac{t}{\\sqrt{2}}+C$$其中$erf(x)=\\frac{2}{\\sqrt{\\pi}}\\int_0^x e^{-t^2} dt$称为误差函数。
进一步解得$$y(t)=e^{-\\frac{t^2}{2}}u(t)-ue^{-\\frac{t^2}{2}}=-\\frac{\\sqrt{2\\pi}}{2}erf\\frac{t}{\\sqrt{2}}e^{-\\frac{t^2}{2}}$$ 代入初始条件y(0)=0即可得到最终解答。
第二章：一阶线性微分方程2.2 课后练习题2.2.1求下列方程的通解：（1）(2x+1)y′+y=1；（2）(x−1)y′−y=2x；（3）$(2+\\cos x)y'-y=2-x\\cos x$。
解答：（1）该微分方程为一阶线性常微分方程，设方程的通解为$y=Ce^{-\\int \\frac{1}{2x+1} dx}+\\frac{1}{2x+1}$。
常微分方程课后习题答案
常微分方程课后习题答案常微分方程课后习题答案在学习常微分方程的过程中，课后习题是巩固知识和提高能力的重要环节。
通过解答习题，我们可以更好地理解和应用所学的概念和方法。
下面是一些常见的常微分方程习题及其答案，供大家参考。
一、一阶常微分方程1. 求解方程：dy/dx = 2x。
解：对方程两边同时积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。
2. 求解方程：dy/dx = x^2 - 1。
解：对方程两边同时积分，得到y = (1/3)x^3 - x + C，其中C为常数。
3. 求解方程：dy/dx = 3x^2 + 2。
解：对方程两边同时积分，得到y = x^3 + 2x + C，其中C为常数。
二、二阶常微分方程1. 求解方程：d^2y/dx^2 + 4dy/dx + 4y = 0。
解：首先求解特征方程：r^2 + 4r + 4 = 0，解得r = -2。
因此，方程的通解为y = (C1 + C2x)e^(-2x)，其中C1和C2为常数。
2. 求解方程：d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = x^2。
解：首先求解特征方程：r^2 + 2r + 1 = 0，解得r = -1。
因此，方程的通解为y = (C1 + C2x)e^(-x) + (1/6)x^2 - (1/2)x + (1/2)，其中C1和C2为常数。
3. 求解方程：d^2y/dx^2 + 3dy/dx + 2y = e^(-x)。
解：首先求解特征方程：r^2 + 3r + 2 = 0，解得r = -1和r = -2。
因此，方程的通解为y = (C1e^(-x) + C2e^(-2x)) + (1/3)e^(-x)，其中C1和C2为常数。
三、应用题1. 一个物体在空气中的速度满足以下方程：dv/dt = -9.8 - 0.1v，其中v为速度，t为时间。
求物体的速度随时间的变化情况。
解：这是一个一阶线性常微分方程。
将方程改写为dv/(9.8 + 0.1v) = -dt，再两边同时积分，得到ln|9.8 + 0.1v| = -t + C，其中C为常数。
(完整版)常微分方程习题及解答
常微分方程习题及解答一、问答题：1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义?答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。
常微分方程，自变量的个数只有一个。
偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。
常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。
2．举例阐述常数变易法的基本思想。
答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。
例：求()()dyP x y Q x dx=+的通解。
首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dxy c ⎰=l ，然后将常数c 变易为x 的待定函数()c x ，令()()P x dxy c x ⎰=l ，微分之，得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x c x P x dx dx⎰⎰=+l l ，将上述两式代入方程中，得到 ()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dxdc x c x P x dx c x P x Q x ⎰⎰+⎰=+l l l即()()()P x dx dc x Q x dx-⎰=l 积分后得到()()()P x dxc x Q x dx c -⎰=+⎰%l 进而得到方程的通解()()(())P x dxP x dxy Q x dx c -⎰⎰=+⎰%l l3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答：n 阶线性微分方程的初值问题()(1)11(1)01020()...()()()(),(),....()n n n n n nx a t xa t x a t x f t x t x t x t ηηη---'⎧++++=⎪⎨'===⎪⎩ 其中12()(),...(),()n a t a t a t f t ，是区间a tb ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈，12,,...,n ηηη是已知常数。
(完整word)高等数学：常微分方程的基础知识和典型例题
常微分方程1 .( 05,4 分)微分方程xy 2yxln x 满足y(1)22x y)= x ln x.2 .( 06,4 分) 微分方程 y= y(1 x)的通解为 ———— x分析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得dy( 11)dx.积分得 ln y ln x x C 1，即 y e C1xe x yxy Cxe x, 其中C 为任意常数 .(二)奇次方程与伯努利方程1 .( 97,2,5 分) 求微分方程 (3x2 2xy y 2)dx (x 22xy)dy 0的通解解：所给方程是奇次方程 . 令 y=xu, 则 dy=xdu+udx. 代入原方程得 3 ( 1+u- u 2) dx+x(1-2 u) du=0. 分离变量得1-2u2 du 3dx, 1uu x积分得 ln 1 u u 2 3ln x C 1,即 1 u u 2=Cx 3. 以 u y代入得通解 x 2xy y 2.xx( y x 2y 2)dx xdy 0(x 0),2 .(99,2,7 分 ) 求初值问题 的解 .y x1 0分析：这是一阶线性微分方程原方程变形为 . dy +2y dx x 2 dx lnx, 两边乘 e x=x 得积分得y(1)x 2y=C+ x 2 ln xdx C 1 ln xdx 3 3 1 11 得 C 0 y xln x x.9 39 C 1 x 3 ln x 3 13 x. 9 1 的解解：所给方程是齐次方程 (因 dx, dy 的系数 (y+ x 2 y 2)与 (-x)都是一次齐次函数)令 dy xdu udx,带入得x(u 1 u 2dx x( xdu udx) 0, 化简得 12u 2dx xdu 0.分离变量得dx- du=0. x 1 u 2积分得 ln x ln(u 1 u 2) C 1,即 u 1 u 2Cx. 以 u y代入原方程通解为y+ x 2 y 2 Cx 2.x 再代入初始条件 y x 1 0,得 C=1.故所求解为 y+x 2y2x 2，或写成y 12 (x 2 1).(三)全微分方程 练习题(94,1,9 分)设 f ( x)具有二阶连续导数， f (0) 0, f (0) 1,且 [xy(x+y)- f(x)y]dx+[ f (x)+x 2y]dy=0为一全微分方程，求 f(x)以及全微分方程的通解先用凑微分法求左端微分式的原函数：122 122( y dx x dy ) 2( ydx xdy ) yd (2sin x cos x) (2sin x cos x)dy 0, 22 122d [ x y 2xy y (cos x 2sin x)] 0. 2其通解为 1x 2y 2 2xy y (cos x 2sin x) C.4.( 98,3分) 已知函数y y(x)在任意点x 处的增量 y= y2 x ,当 x0时 ,1x是 x 的高阶无穷小，y(0)= ，则 y(1)等于 ( )解：由全微分方程的条件，有 即 x22xy f (x) f (x)y因而 f (x)是初值问题y x 2[xy(x y) f(x)y] y 2xy, 亦即 f (x) f (x) x 2.2yx的解，从而解得0, y x 0 12.22[ f (x) xy], x 2sin x cosx)dy 0.(A)2 .(B) .(C)e 4 .(D) e 4 .分析：由可微定义，得微分方程 y y. 分离变量得21x1y dx2,两边同时积分得 ln y arctan x C ,即 y Ce arctanx.y1x代入初始条件y(0) ，得 C= ，于是 y(x) earctanx,由此， y(1) e 4.应选 ( D)二、二阶微分方程的可降阶类型5( . 00,3分) 微分方程 x y 3y 0的通解为分析：这是二阶微分方程的一个可降阶类型，令 y =P( x)，则 y =P ，方程可化为一阶线性方程xP 3P 0,标准形式为 P+3P=0，两边乘 x 3得 (Px 3) =0. 通解为 y P C 30 .xx再积分得所求通解为 y C 22C 1.x216 .( 02,3分)微分方程 yy y 2=0满足初始条件y x 01， y x 0 2的特解是分析：这是二阶的可降阶微分方程 .令 y P(y)(以 y 为自变量 )，则 y dy dP P dP.dx dx dy代入方程得 yP dP +P 2=0，即 y dP+P=0(或 P=0, ，但其不满足初始条件y x 0 1)dy dy2分离变量得 dP dy 0,PyC积分得 ln P +ln y =C ，即 P= 1(P=0对应 C 1=0)； y11由 x 0时 y 1， P=y , 得 C 1 ，于是221 y P ,2 ydy dx, 积分得 y x C 2 2y .又由 y x 0 1 得 C 2. 1，所求特解为 y 1 x.三、二阶线性微分方程(一)二阶线性微分方程解的性质与通解结构7 .( 01,3分)设 y e x(C 1sin xC 2cosx)(C 1,C 2为任意常数 )为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 ___ .r1，r2 1 i，从而得知特征方程为分析一：由通解的形式可得特征方程的两个根是22(r r1 )(r r2) r (r1 r2 )r r1r2 r 2r 2 0.由此，所求微分方程为y 2y 2y 0.分析二：根本不去管它所求的微分方程是什么类型(只要是二阶)，由通解y e x(C1sinx C2 cosx)求得y e x[( C1 C2 )sin x (C1 C2)cos x], y e x( 2C2 sin x 2C1 cos x),从这三个式子消去C1与C2,得y 2y 2y 0.(二)求解二阶线性常系数非齐次方程9.( 07,4分) 二阶常系数非齐次线性微分方程y 4y 3y 2e2x的通解为y=分析：特征方程24 3 ( 1)( 3) 0的根为1, 3.非齐次项 e x, 2不是特征根，非齐次方程有特解y Ae2x.代入方程得(4A 8A 3A)e2x2e2x A 2.因此，通解为y C1e x C2e3x2e2x..10.(10,10分 )求微分方程y 3y 2y 2xe x的通解.分析：这是求二阶线性常系数非齐次方程的通解.1由相应的特征方程2 3 2 0, 得特征根 1 1, 2 2 相应的齐次方程的通解为y C1e x C2e2x.2非齐次项 f ( x) 2xe x , 1是单特征根，故设原方程的特解xy x(ax b)e .代入原方程得ax2 (4a b)x 2a 2b 3[ax2 (2a b)x b] 2(ax2 bx) 2x,即 2ax 2a b 2x, a 1,b 2.3原方程的通解为y C1e x C2e2x x(x 2)e x,其中 C1，C2为两个任意常数.04， 2, 4分)微分方程y y x2 1 sin x的特解形式可设为( )22(A)y ax bx c x(Asin x B cosx).(B)y x(ax bx c Asin x B cos x).22(C)y ax bx c Asin x.(D )y ax bx c Acosx.分析：相应的二阶线性齐次方程的特征方程是2 1 0,特征根为i .y y x2 1L()与 1 y y sin xL( 2)方程 (1) 有特解 y ax2 bx c,方程(2)的非齐次项 f (x) e x sin x sin x( 0, 1，i 是特征根), 它有特解y x(Asin x B cosx).y ax2 bx c x(Asin x Bbcosx).应选 (A).(四)二阶线性变系数方程与欧拉方程12.(04, 4分 )欧拉方程x2 d2y 4x dy 2y 0(x 0)的通解为dx dx分析：建立 y 对 t 的导数与y 对 x 的导数之间的关系 .222dy dy dx dyd y d y 2 dy 2 d y dy( sin x), 2 2 sin t cost (1 x ) 2 x .dt dx dt dx dt dx dx dx dxd 2y于是原方程化为 2 y 0,其通解为 y C 1 cost C 2sint.dt 2 回到 x 为自变量得 y C 1x C 2 1 x 2.x由 y (0) C 2 1 C 2 1.y(0) C 1x 02 C 1 2.1 x 2因此 特解为 y 2x 1 x 2 .四、高于二阶的线性常系数齐次方程13.( 08， 4分)在下列微分方程中，以 y C 1e xC 2cos2x C 3 sin 2x(C 1, C 2, C 3为任意常数)为通 解的是()(A)y y 4y 4y 0.(B)y y 4y 4y 0. (C)y y 4y 4y 0.(D ) y y 4y 4y 0.分析：从通解的结构知，三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是： 1, 2i(i 1)，对 应的特征方程是 ( 1)( 2i)( 2i) ( 1)( 24) 3244 0,因此所求的微分方程是 y y 4y 4y 0，选(D).(00,2,3分 ) 具有特解 y 1 e x , y 2 2xe x ,y 3 3e x的三阶常系数齐次线性微分方程是( )(A)y y y y 0.(B)y y y y 0. (C)y 6y 11y 6y 0.(D)y2y y 2y 0.分析：首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为 r 1 r 21,r 3 1，从而特征方程为(1)求导数 f (x)； (2)证明：当 x 0时 ,成立不等式 e分析：求解欧拉方程的方法是：作自变量22d y dy d y dy 2 (4 1) 2y 0,即 2 3 2y xe t(t l n x)，将它化成常系数的情形： 0.1, 2 2, 通解为 yC 1e t C 2e 2t. y C 1 x C 22,其中C 1,C 2为任意常数(05,2,12分 )用变量代换 xcost (0 t)化简微分方程 (1 x 2)y xy y 0，并求其(r 1)2(r 1) 0,即r3r 2r 1 0,由此，微分方程为y y y y 0.应选(D).五、求解含变限积分的方程00, 2,8分) 函数y=f(x)在0, 上可导，f (0) 1，且满足等式1xf (x) f (x) 1 f (t)dt 0，x10f(x) 1.求解与证明()首先对恒等式变形后两边求导以便消去积分： 1x(x 1)f (x) (x 1)f(x) 0f (t)dt 0,(x 1)f (x)(x 2)f (x)0.在原方程中令变限 x 0得 f (0) f (0) 0,由 f (0) 1,得 f (0) 1.现降阶：令 u f (x),则有 u x 2u 0，解此一阶线性方程得x1x e f (x) u C eu 0x1 x e 由 f (0) 1,得 C 1,于是 f (x) e. x1xe (2)方法 1 用单调性 . 由f (x) e0(x 0), f (x)单调减 , f(x) f(0) 1(x );x1x 又设 (x) f (x) e x ,则 (x) f (x) e x x e x0(x 0), (x)单调增，因此 (x)x1 (0) 0(x 0),即 f(x) e x(x 0) . 综上所述，当 x 0时 ,e x f (x) 1.方法 2 用积分比较定理 . 由 牛顿 -莱布尼茨公式，有六、应用问题 (一)按导数的几何应用列方程 练习题 1 .( 96,1,7分)设对任意 x 0,曲线 y f(x)上点 (x, f(x))处的切线在 y 轴上的截距等于1 xf (t)dt,求 f ( x)的一般表达式 . x 0解：曲线 y f (x)上点 (x, f ( x))处的切线方程为 Y f ( x) f ( x)( X x).令 X 0得 y 轴上的截距 Y f(x) xf (x).由题意 1x1f(t)dt f(x) xf (x) x 0x, 得x 2f(t)dt xf (x) x 2f (x)( ) 恒等式两边求导，得 f (x) f (x) xf (x) 2xf (x) x 2f ( x)，即 xf (x) f (x) 0 在 ( )式中令 x 0得 0 0,自然成立 . 故不必再加附加条件. 就是说f (x)是微分方程 xy y 0的通解 . 令 y P(x),则 y P ,解 xP P 0,得 y P C 1.xf ( x) f (0) x0 f (t)dt, f(x) t 由于 0 e t1从而有 e x e t (t 0),有 0 f (x) 1. 0t e t d t 1 dt . 1 x t e t dt x e (x再积分得 y f ( x) C1 ln x C2.12( . 98,2,8分) 设 y y(x)是一向上凸的连续曲线 ,其上任意一点 (x, y)处的曲率为 1,1 y 2y P tan( x).(二 )按定积分几何应用列方程3.(97,2,8分 )设曲线 L 的极坐标方程为 r r( ), M (r, )为 L 上任一点 ,M 0(2,0)为 L 上一定点 ,若极径 OM 0,OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M 0、 M 两点间弧长值的一半， 求曲线L 的方程 .且此曲线上点 (0,1)处的切线方程为 y x 1, 求该曲线的方程，并求函数 y y( x)的极值 .解：由题设和曲率公式有y( x)向上凸 , y 0, y令 y P(x)，则 y P ,方程化为 y) ,化简得 y 12. yP1 P 21， dP 分离变量得 2 dx,积分得C 1.y (0) 1即 P(0) 1,代入可得 C 1，故再积分得 y ln cos( x) C 2 又由题设可知y(0)1,代入确定 C 2 11ln 2，1y ln cos( x) 1 ln 2x , 即当 4 2,3时 ,cos( x) 0, 而3 或 时, 44cos( x)y ln cos( 40,ln cos( x)1 x) 12 ln2( 4 x34 )显然，当 x 时 ,ln cos( x) 4410, y 取最大值 1 1ln 2,显然 y 在 (3)，没有极小值解：由已知条件得r 2d r 2 r 2d ， 2020 两边对 求导 ,，得 r 2 r 2 r (隐式微分方程)2 ,解出 r r r 2 1，从而， L 的直角坐标方程为 x m 3y 2.1 arccos r 分离变量，得 dr r r 2 dr r r 2 1 d 1 1 d( )1 r (r 1)2 arccos 1 , 或 r dr r r 2 1d tarccos 1(r sect ) 两边积分，得 代入初始条件 r(0) 2，得 1arccos 2 1arccos r3L 的极坐标方程为 1 r cos( ) 31 co s 3si。
常微分方程期末考试练习题及答案
一，常微分方程的基本概念常微分方程：含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。
一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0).1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。
如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。
2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。
3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。
如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。
4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。
5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。
（方程线性与否与自变量无关）。
如：xy（2）-5y，+3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。
注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。
余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。
另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。
b.教材28页第八题不妨做做。
二.可分离变量的方程A.变量分离方程1.定义：形如dxdy=f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。
这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。
2.解法：分离变量法⎰⎰+=c dx x f y dy)()(ϕ. （*） 说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。
需视情况补上φ（y ）=0的特解。
（有时候特解也可以和通解统一于一式中）b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。
例1.0)4(2=-+dy x x ydx解：由题意分离变量得：042=+-ydy x dx即：0)141(41=+--ydydx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 41故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特 解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。
常微分方程典型习题
第八章 常微分方程第一节 常微分方程的基本概念与分离变量法思考题：1. 微分方程通解中的任意常数C 最终可表为2sin ,e 1C C（21,C C 为任意实数），)0,(ln 333>C C C 为实数等形式吗？答：不能表示为2sin ,e 1C C ，能表示为3ln C ，因为1e C只能取到),0(+∞内的所有实数，2sin C 只能取到]1,1[-内的实数，均不能取到所有实数，而),(ln 3+∞-∞∈C .2. 微分方程的特解的图形是一条曲线（积分曲线），通解的图形是一族积分曲线，问通解中的积分曲线是否相互平行(注：两曲线平行是指两曲线在横坐标相等的点处切线斜率相同)？答：不一定. 若通解的一阶导数中含有任意常数, 则积分曲线不相互平行.习作题:1. 验证x x C C x C y --+=e e 21为微分方程0'2''=++y y y 的解，并说明是该方程的通解. 证明： x x C C x C y --+=e e 21,x x C x C C C y ----=∴e e )('121,x x C x C C C y --+-=e e )2(''112,于是0'2''=++C C C y y y ，故C y 是0'2''=++y y y 的解.x x -e 与x -e 线性无关，∴0'2''=++y y y 中的1C 与2C 相互独立，即C y 中含有与方程0'2''=++y y y 阶数相同（个数均为2）的独立任意常数，故C y 是该方程的通解.2. 用分离变量法求解下列微分方程:（1）22d d y x x y =, （2）21d d x y x y -=, （3）y x x x y )1(d d 2++=，且e )0(=y . 解：（1）分离变量得x x yy d d 22=,两边积分得 ⎰⎰=x x y yd d 122 , 求积分得 3313C x y +=-, 从而通解为Cx y +-=33及y=0. （2）分离变量得 21d d xx y y -=, 两边积分得 ⎰⎰-=x x y y d 11d 12,求积分得 1arcsin ||ln C x y +=,即 )e (e e e 11arcsin arcsin C x x C C C y ±==±=,从而通解为 x C y arcsin e =.（3）分离变量得 x x x yy d )1(d 2++=, 两边积分得⎰⎰++=x x x y y d )1(d 12求积分得 13232||ln C x x x y +++=, 即 )e (ee e 1332232132C x x x C C C y x x x ±==±=++++, 从而通解为3232e x x x C y ++=.由e )0(=y ，得e =C ， 故特解为32132ex x x y +++=.第二节 一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程思考题:1. 是否可以通过给一阶线性微分方程的通解中的任意常数指定一个适当的值而得到该方程的任一解？答：可以.2. 可降阶的高阶微分方程有哪几种类型？各自的求解方法怎样？答：有三种类型：(1) )()(x f y n =型的微分方程，直接积分n 次即可得通解.(2) )',(''y x f y =型的微分方程，先令)('x p y =将方程变为一阶微分方程))(,()('x p x f x p =，求得通解后再解)('x p y =，即得原方程的通解.(3) )',(''y y f y =型的微分方程，先令)('y p y =将方程变为一阶微分方程),(d d p y f yp p =，求得通解后再解)('y p y =，即得原方程的通解.习作题：1. 求解下列一阶线性微分方程（1）x b ay y sin '=+（其中b a ,为常数）, (2)21d d y x x y +=. 解：(1)因a x P =)(， x b x Q sin )(=， 故通解为⎰⎰⋅+⎰=-]d e sin [e d d x x b C y x a x a⎰⋅+=-)d e sin (e x x b C ax ax)]cos sin (e 1[e 2x x a a b C ax ax -++=-. (2)方程变形为2d d y x yx =-, 这是x 关于y 的一阶线性微分方程，其中2)(,1)(y y Q y P =-=,通解为：⎰⋅⎰⋅+⎰=---]d e [e d )1(2d )1(y y C x y y ⎰-⋅+=]d e [e 2y y C y y)22(e 2++-=y y C y .2. 求方程0)'(''2=-y yy 的通解.解：方程不显含自变量x , 令)('y p y =原方程可变为0d d 2=-⋅⋅p yp p y ,即0=p 或p yp y =d d , 由0'==p y 得C y =. 由p y p y =d d 分离变量，得yy p p d d =, 两边积分得⎰⎰=y y p p d d , 求积分得 1ln ln ln C y p +=, 即y C p 1=,解y C y 1'= 得x C C y 1e2=, 因C y =包含于x C C y 1e2=中, 故原方程通解为 x C C y 1e 2=.第三节 二阶常系数线性微分方程思考题:1. 齐次线性常微分方程有何共性？答：共性在于任一齐次线性常微分方程的任意多个解的叠加函数仍是这个方程的解.2. 写出以0526235=++-+r r r r 为特征方程的常微分方程.解：对应的微分方程为05'''26)3()5(=++-+y y y y y. 3. 写出以3231e e x xx C C y +=为通解的微分方程. 解：此微分方程的特征方程应具有二重根3121==r r , 故特征方程为091322=+-r r ,从而微分方程为091'32''=+-y y y .习作题:1. 写出下列微分方程的通解：（1）0'2''=+-y y y , （2）08'=+y y .解：（1）特征方程0122=+-r r , 特征根121==r r ,通解为x x C C y e )(21+=.（2）特征方程08=+r , 特征根8-=r ,通解为x C y 81e -=.2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:（1）x y y y 3e 6'2''-=-+, 1)0(',1)0(==y y ,（2） x y y sin 2''=+，1)0(',1)0(==y y .解：（1）先解06'2''=-+y y y ,其特征方程为0622=-+r r , 特征根为711+-=r , 712--=r ,故通解 x x C C y )71(2)71(1e e --+-+=. 因x 3e -中3-=λ不是特征方程的根，且1)(=x P m , 故设原方程特解x p A y 3e -=，代入原方程化简，得31-=A ，从而原方程通解为x x C C y )71(2)71(1e e --+-+=x 3e 31--. 由0)0(=y ，得03121=-+C C , 由0)0('=y ，得11)71()71(21=++-+-C C , 解得42771+=C , 42772-=C , 故所求特解x x x p y 3)71()71(e 31e 4277e 4277---+---++=. （2）先解02=+''y y ，其特征方程为022=+r ，特征根为i 2,i 221-==r r ， 故通解x C x C y C 2sin 2cos 21+=.设原方程特解x b x a y sin cos *+=，代入原方程，化简得1,0==b a ，故原方程通解x x C x C y sin 2sin 2cos 21++=,由00)0(1==C y 得，由1)0(='y ，得02=C ，故所求特解为x y sin =.。
常微分方程_习题集(含答案)
《常微分方程》课程习题集一、单选题1. 设函数(,),(,)M x y N x y 连续可微, 则方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += 是全微分方程的充分必要条件是 . (A) M N y x ∂∂=∂∂， (B) ,M N x y ∂∂=∂∂ (C) ,M N y x ∂∂≠∂∂ (D) .M N x y ∂∂≠∂∂2. 下面的方程是全微分方程的是 . (A) 0ydx xdy x y-=+， (B) 220y dx x dy +=， (C) 220xy dx x ydy -=， (D)220ydx xdy x y -=-. 3. 设一阶方程2()()(),(()()0)dy p x y q x y r x p x r x dx=++≠，则它是 。
（A ）线性非齐次方程； （B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。
4. 设一阶方程()(),(0,1)n dy p x y q x y n dx=+≠，则它是 。
（A ）线性非齐次方程； （B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。
5. 形如'(')y xy y ϕ=+的一阶隐式方程称为 。
（A ）线性非齐次方程； （B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。
6. 二阶微分方程2100x x x '''++=的通解是 。
（A ）12[cos3sin 3]t x e C t C t -=+,（B ）312[cos sin ]t x e C t C t -=+,（C ）12[cos sin ]t x e C t C t -=+,(D) 312[cos3sin 3]t x e C t C t -=+.7. 二阶微分方程250x x x '''++=的通解是 。
（A ）12[cos sin ]t x e C t C t -=+,（B ）212[cos sin ]t x e C t C t -=+,（C ）12[cos 2sin 2]t x e C t C t -=+,(D) 212[cos 2sin 2]t x e C t C t -=+.8. 二阶微分方程440x x x '''-+=的通解是 。
(完整版)常微分方程试题及答案
第十二章 常微分方程(A)一、是非题1．任意微分方程都有通解。
( X )2．微分方程的通解中包含了它所有的解。
( X )3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。
( O )4．函数x e x y ⋅=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。
( X )5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y +=2ln 21(C 为任意常数)。
(O ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。
( X )7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。
( O )8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。
( O )9．221xy y x dx dy+++=是可分离变量的微分方程。
( O )二、填空题1．在横线上填上方程的名称①()0ln 3=-⋅-xdy xdx y 是可分离变量微分方程。
②()()022=-++dy y x y dx x xy 是可分离变量微分方程。
③x yy dx dyx ln ⋅=是齐次方程。
④x x y y x sin 2+='是一阶线性微分方程。
⑤02=-'+''y y y 是二阶常系数齐次线性微分方程。
2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 3 个独立常数。
3．x e y 2-=''的通解是21241C x C e x ++-。
4．x x y cos 2sin -=''的通解是21cos 2sin 41C x C x x +++-。
5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 3 阶微分方程。
6．微分方程()06='-''⋅y y y 是 2 阶微分方程。
《常微分方程》习题解答
《常微分方程》习题解答习题1.21求下列可分离变量微分方程的通解：(1)ydy某d某解：积分，得(2) 1212y某c1即某2y2c22dyylnyd某解：y0,y1为特解，当y0,y1时，dyd某，ylny积分，得lnlny某c1,(3)lnyec1e某ce某c0，即yece某dye某yd某y某解：变形得eydye某d某积分，得eec(4)tanyd某cot某dy0解：变形得dytanycoyin某dyd某.，y0为特解，当y0时，d某cot某inyco某积分，得lninylnco某c1,即inyco某e1c,clninyco某c1,c02．求下列方程满足给定初值条件的解：(1)dyy(y1),y(0)1d某解：y0,y1为特解，当y0,y1时，(11)dyd某，y1y积分，得lny1某c1,yy1ec1e某ce某,c0y将y(0)1代入，得c0，即y1为所求的解。
(2)(某1)y2某y0,y(0)122dy2某y22,解：d某某1积分，得y0为特解，当y0时，dy2某d某，22y某11ln某21cy1ln某112将y(0)1代入，得c1，即y为所求的解。
2(3)y33y,y(2)0解：y0为特解，当y0时，dy3y23d某，积分，得y某c,13y(某c)3将y(2)0代入，得c2，即y(某2)3和y0均为所求的解。
(4)(y2某y2)d某(某2y某2)dy0,y(1)1解：某0,y0为特解，当某0,y0时，1某1yd某dy0，22某y某c1某y某yeece,c0y111111积分，得ln某lnyc1,某y某22某y将y(1)1代入，得ce，即ee为所求的解。
y11224．求解方程某1yd某y1某dy0解：某1(1y1),y1(1某1)为特解，当某1,y1时，某1某2d某y1y2dy0积分，得1某21y2c(c0)6．求一曲线，使其具有以下性质：曲线上各点处的切线与切点到原点的向径及某轴可围成一个等腰三角形(以某轴为底)，且通过点(1,2).解：设所求曲线为yy(某)对其上任一点(某,y)的切线方程：Yyy'(某某)于某轴上的截距为a某yy'由题意建立方程：某y某某0y'即y'y,某y(1)2再由2ec得c=ln2,得所求曲线为求得方程的通解为某yec,为某y2c07．人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比（1）如果4小时的细菌数为原细菌数的2倍，那么经过12小时应有多少？（2）如果在3小时时的细菌数为得10个，在5小时时的细菌数为得410个，那么在开始时有多少个细菌？解：设t时刻的细菌数为q(t),由题意建立微分方程kt44dqkqdtk0求解方程得qce再设t=0时，细菌数为q0,求得方程的解为qq0ekt （1）由q(4)2q0即q0e4k2q0得kln24q(12)q0e12kq0e12ln248q0（2）由条件q(3)q0e3k104,q(5)q0e5k4104ln423ln4比较两式得k，再由q(3)q0e3kq0e28q0104得q01.25103习题1.31解下列方程：(2)(y2某y)d某某dy0解：方程改写为22dyyy2()()2d某某某ydu11d某2uu2整理为()du令u，有u某d某uu1某某积分，得ln(u0,1)ulnc1某u1即uc1某c1某1代回变量，得通解某(y某)cy,(4)某yy某tany0也是方程的解y某dyyytan解：方程改写为d某某某yduinud某tanu令u，有某即cotudu(inu0)某d某cou某积分，得inuc某代回变量，得通解iny某c某(5)某yy(某y)ln某y某解：方程改写为dyd某y某(1y某)ln某y某令uydu某，有某d某(1u)ln(1u)当u0,u1时dud某(1u)ln(1u)某积分，得ln(1u)c某代回变量，得通解ln(1y某)c某(6)某y某2y2y 解：方程改写为dyd某1(y某)2y某令uydu某，有某d某1u2分离变量du1u2d某某积分，得arcinulnc某代回变量，得通解arciny某lnc某,y某也是方程的解2解下列方程：(1)(2某4y6)d某(某y3)dy0解：方程改写为dyd某4y2某6某y3令24030，解得1,2(1u1)作变换某1,y2有d42d再令udu4u2上方程可化为ud1uu1ddu(u1)(u2)u22)cu1整理为(u1,2)积分，得(u2)(代回变量，得通解(y2某)3c(y某1)2,(2)(2某y1)d 某(4某2y3)dy0y某1也是方程的解解：方程改写为dy2某y1d某4某2y3du5u52u3du5d某(u1)分离变量d某2u3u1令u2某y，有积分，得2ulnu15某c1代回变量，得通解2某y1ce2y某(4)y2(y22)某y1vy2则原方程变为解：令u某1,dvv22()duuvvdzz22()再令z，则方程化为zuudu1z(1z)2du分离变量dz(z0)uz(1z2)积分，得lnzu2arctanzlnc代回变量，得通解y2ce3解方程(2某3y7)某d某(3某2y8)ydy022222arctany2某12ydy2某23y27dy22某23y27解：方程改写为即222222某d某3某2y8d 某3某2y8。
常微分习题解答1
u
'
=
−
2y x3
+
y' x2
=
f (u) − 2u 。 x
（4） f (xy) y + g(xy)xy ' = 0 ， f (u) ≠ g(u) ， f , g 连续。
解： u
=
xy
，u'
=
y
+
xy
'
，
f
(u)
u x
+
g (u )
⎛ ⎜⎝
u
'−
u x
⎞ ⎟⎠
=
0，
( f (u) − g(u)) u + g(u)u ' = 0 。
7．人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比。 1）如果过 4 小时的细菌数既为原细菌数的 2 倍，那么经过 12
小时应有多少？
2）如在 3 小时的时候，有细菌 104 个，那么在开始时有多少个
细菌？
解：1）
dy dx
=
kx
，
y
=
y0ekx
y(4) = 2 y0 ⇔ e4k = 2 ⇒ y(12) = y0e12k = 8 y0
2xy = c2 − x2 ， 2xdy + 2 ydx = −2xdx ，是。 （4） y′′ = x2 + y2 ， y = 1 。否。
x
3
1.2 变量可分离方程 方程 dy = f (x)g( y) 有特解和通解：
dx A） g( y) = 0 ；
B）
g( y)
≠
0 时， ∫
dy g( y)
解 dy = 2x, y(3) = 4 ， y = x2 − 5 dx
常微分方程练习题及答案
一、 填空题。
1. 方程23210d xx dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程()x dyf xy y dx=经变换_______，可以化为变量分离方程 .3. 微分方程3230d yy x dx--=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x xy x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= .5. 朗斯基行列式()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的条件.6. 方程22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 .7. 已知()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = .8. 方程组20'05⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x x 的基解矩阵为 ．9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程.10 .是满足方程251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解.11.方程 的待定特解可取 的形式:12. 三阶常系数齐线性方程20y y y '''''-+=的特征根是二、 计算题1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.2．求解方程13dy x y dx x y +-=-+.3. 求解方程222()0d x dxx dt dt+= 。
4．用比较系数法解方程. .5．求方程 sin y y x'=+的通解.6．验证微分方程22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.7．设3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11η ，试求方程组X A dt dX =的一个基解基解矩阵)(t Φ，求X A dtdX=满足初始条件η=)0(x 的解.8. 求方程2213dyx y dx=-- 通过点(1,0) 的第二次近似解.9.求 的通解10.若 试求方程组的解(),t ϕ 12(0),ηϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt三、证明题1. 若(),()t t Φψ是()X A t X '=的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C ，使得()()t t C ψ=Φ.2. 设),()(0βαϕ≤≤x x x 是积分方程],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y xx的皮卡逐步逼近函数序列)}({x n ϕ在],[βα上一致收敛所得的解，而)(x ψ是这积分方程在],[βα上的连续解，试用逐步逼近法证明：在],[βα上)()(x x ϕψ≡.3. 设 都是区间 上的连续函数, 且 是二阶线性方程的一个基本解组. 试证明:(i) 和 都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零);(ii) 和 没有共同的零点;(iii) 和 没有共同的零点.4.试证：如果)(t ϕ是AX dtdX=满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么ηϕ)(ex p )(0t t A t -=.答案一.填空题。
常微分方程习题5
利用 y x 0 1 , 得 C2 1, 因此所求特解为
y x3 3x 1
第八章 常微分方程
22/28
典型例题分析
4
例5 求通解 xy 2 y 3x3 y 3 .
预备
知识
解
目的 要求
原式可化为
y
2
y
3x2
4
y3,
伯努利方程
x
即
4
y3
y
2
1
y3
3x2,
重点 难点
x
复习 指导
令
1
z y 3,
目的 要求
2、非齐次线性方程的通解
非齐次线性方程yP(x)yQ(x)的通解为
重点
难点
y eP(x)dx[ Q(x)eP(x)dxdxC]
复习 指导
注非齐次线性方程的通解也可为
课堂
y CeP(x)dx eP(x)dx Q(x)eP(x)dxdx
练习
对应齐次 非齐次方程特解 方程通解
第八章 常微分方程
预备 知识
目的 要求
主要知识总结
重点 难点
典型例题分析
复习 指导
课堂 练习
第八章 常微分方程
1/28
主要知识总结
一阶方程
预备 知识
基本概念
高阶方程
目的
可分离变量方程 分离变量法
要求
常数变易法
可降阶方程
重点
难点
一阶线性非齐次
公式法
齐
复习 指导
特征方程的根 次 二阶线性
作
及其对应项
方程解的
课堂
代
练习
非
难点 右端是只含x的函数f(x)与只含y的函数g(y)的乘积．
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§1.2 常微分方程基本概念习题及解答
1．dx
dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y
dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0
原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1
特解为y= e 2
x .
2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y
1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e
特解：y=|
)1(|ln 1+x c 3．dx dy =y
x xy y 32
1++ 解：原方程为：dx
dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=3
1x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2
4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0
解：原方程为： y y -1dy=-x
x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c
另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0
解：原方程为：
dx dy =-y
x y x +- 令
x
y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu
即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg
2x y . 6. x dx
dy -y+22y x -=0 解：原方程为：
dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令
x y =u dx dy =u+ x dx du 211
u - du=sgnx x
1dx arcsin x
y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0
解:原方程为：tgy dy =ctgx
dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x
c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y
e x
y 32
+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3
2 e x 3-3e 2y -=c.
9.x(lnx-lny)dy-ydx=0
解：原方程为：dx dy =x y ln x
y 令x
y =u ,则dx dy =u+ x dx du u+ x dx
du =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln
x y =cy. 10. dx
dy =e y x - 解：原方程为：
dx dy =e x e y - e y =ce x 11 dx
dy =(x+y)2 解：令x+y=u,则
dx dy =dx du -1 dx
du -1=u 2 2
11u +du=dx arctgu=x+c
arctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2)
(1y x + 解：令x+y=u,则
dx dy =dx du -1 dx du -1=21u
u-arctgu=x+c
y-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1
212+-+-y x y x
解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx
xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0
dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=c
xy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =2
5--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx
xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0
dxy-d(21y 2+2y)-d(2
1x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15:
dx
dy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dx
dy =（x+4y ）2+3 令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4
1 41dx du -4
1=u 2+3 dx
du =4 u 2+13 u=2
3tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1). 16:证明方程y x dx
dy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1）y(1+x 2y 2)dx=xdy
2）y x dx dy =2222x -2 y x 2y
+ 证明： 令xy=u,则x
dx dy +y=dx
du 则dx dy =x 1dx du -2
x u ，有： u x dx du =f(u)+1
)1)((1+u f u du=x
1dx 所以原方程可化为变量分离方程。
1）令xy=u 则dx dy =x 1dx du -2x
u (1) 原方程可化为：dx dy =x
y [1+（xy ）2] (2) 将1代入2式有：x 1dx du -2x u =x
u (1+u 2) u=22+u +cx
17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。
解：设（x +y ）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y ’(x- x )+ y 则与x 轴，y 轴交点分别为：
x= x 0 - '
0y y y= y 0 - x 0 y’ 则 x=2 x 0 = x 0 -
'0y y 所以 xy=c 18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中α =4
π 。
解：由题意得：y ’=
x y y 1dy=x 1 dx ln|y|=ln|xc| y=cx. α =4
π 则y=tg αx 所以 c=1 y=x. 19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。
证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y ’=kx
则：y=kx 2 +c 即为所求。