小学奥数 容斥原理之数论问题 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
高斯小学奥数四年级下册含答案第19讲_容斥原理
第十九讲容斥原理这一讲我们主要学习和“包含”与“排除”有关的问题，这样的问题在生活中就有不少，比如吃瓜子．我们说吃掉了一斤瓜子，指的是带壳的瓜子，并非真的吃到肚子里一斤，因为这一斤中还“包含”着瓜子壳．如果要计算到底吃了多少，最简单的方法就是称一称瓜子壳，用原来的一斤“排除”掉瓜子壳的重量．瓜子的例子相对简单，一斤瓜子里一部分是瓜子仁，另一部分就是瓜子壳，两者各不相关．但本讲要学习的包含与排除问题要复杂一些，各部分之间会有重叠．比如一个办公室中每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种，已知有7个人爱喝茶，10个人爱喝咖啡，那能不能就说办公室里有17个人呢？显然不能，因为可能有一些人既爱喝茶也爱喝咖啡，如果直接将喝茶的人数和喝咖啡的人数相加，会把既爱喝茶又爱喝咖啡的人计算2次（如图所示），计算人数的时候要把这一部分减去才行．比如，如果有3个人既爱喝茶又爱喝咖啡，那总的人数就应该是710314+-=人．这就是我们今天要来研究的问题——有重叠的计数问题，即包含与排除问题．研究这种问题通常需要画出示意图（如喝茶与喝咖啡的图），这样的示意图又叫做文氏图，下面我们就用文氏图推导两个对象的容斥原理公式．№1. 简单容斥原理（两个对象）如右图所示，如果要计算三个部分的总数，直接计算A +B 就会算多了，而多算的正好是③部分，只要把多算的减掉就可以了．上述分析总结成公式就是：这个公式就是两个对象．．．．的容斥原理． 既喝茶又喝咖啡的A例题1（1）一群小朋友共有50人，他们都喜欢吃辣椒或芥末中的一种或两种，喜欢吃辣椒的有36人，喜欢吃芥末的有20人，那么两者都喜欢吃的有多少人？（2）暑假里，小高和墨莫一起讨论金陵十八景．他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是两人都去过的．如果小高去过其中的十二景，那么墨莫去过其中的几景？（3）在一群小朋友中，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动画片《大闹天宫》，并且有8人两部动画片都看过．已知每个小朋友至少都看过其中的一部，那么有几个小朋友只看过这两部中的一部动画片？「分析」试着画一下文氏图分析一下吧！注意图中每一部分所代表的含义！练习1四年级同学参加语文、数学考试，每人至少有一门功课的成绩是优秀．其中语文成绩优秀的有42人，数学优秀的有56人，语文、数学都优秀的有15人，请问四年级共多少名同学？例题2渔乡小学举行长跑和游泳比赛，共305人参加．有150名男生和90名女生参加长跑比赛，有120名男生和70名女生参加游泳比赛，有110名男生两项比赛都参加了．请问：只参加游泳而没参加长跑的女生有多少人？「分析」题目中既有参加长跑的，又有参加游泳的，作图时可以画两个圆，分别表示“游泳”和“长跑”．但条件中还有男生、女生，那男生、女生该怎么表示呢？练习2某校参加数学竞赛的有120名男生、80名女生，参加语文竞赛的有120名女生、80名男生．已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生两科竞赛都参加了，请问只参加一科竞赛的女生有多少人？№2. 复杂容斥原理（三个对象）例题3三位基金经理投资若干支股票．张经理买过其中66支，王经理买过其中40支，李经理买过其中23支．张经理和王经理都买过的有17支，王经理和李经理都买过的有13支，李经理和张经理都买过的有9支，三个人都买过的有6支．请问：这三位经理一共买过多少支股票？ 「分析」我们还是画出文氏图来分析，题中的已知条件分别对应图中的哪个部分？怎样来求各个部分的数量呢？一定要记得将求出来的数及时填入图中适当的位置．怎么理解这个公式呢？我们还是利用文氏图来说明． 如图，我们在计算A B C++时，有一些部分被重复计算了：④、⑤、⑥被计算了两次，而⑦被计算了三次．因此我们需要把重复计算的去掉．需要注意的是，去掉A 、B 重叠，B 、C 重叠和A 、C 重叠的部分后，④、⑤、⑥重复计算的一次去掉了，但⑦被去掉了三次，还需要补上一次，这就得到了上面的公式．即把所有圆圈相加，减去两个圆圈重叠部分，再加上三个圆圈重叠的部分得到的就是总数．在使用这个公式时，请同学们一定要清楚公式中每一部分的含义，不能有丝毫的偏差．只有所有条件都和公式完全吻合时我们才能使用这个公式． 练习3卡莉娅用三块长方形桌布相互重叠地铺在一张长方形桌子上，正好将桌子完全覆盖．已知三块桌布的面积分别是40平方分米、36平方分米和27平方分米，其中第一块和第二块桌布重叠的面积为5平方分米，第二块和第三块重叠了7平方分米，而第一块和第三块则重叠了4平方分米．如果三块重叠的部分等于2平方分米，那么这张桌子的面积是多少？B文氏图才是体现条件的最基本最直观的方法，但是我们要灵活选择，不能随便套用公式．我们要先理解图中各部分的含义，再来看相加时每个部分“包含”了几次，然后把算重的部分减去．例题4课间，王老师出了三道脑筋急转弯让学生做，其中只答对第1道题的人有10人，只答对第2道题的人有6人，只答对第3道题的人有4人．至少答对两道题的学生有8人，还有5名同学一道题也没答对．（1）请问王老师的班上有多少名学生？（2）若既答对第1道又答对第2道题的同学有4人，三道题都答对的有1人，那么答对第3道题的同学有多少人？「分析」画出三个对象文氏图，仔细找找题中所描述的条件分别对应图中的哪些部分？这里需要指出的是，我们要留意题中的一些说法，比如“至少答对一道题”对应的是图中的什么区域？“至少答对两道题”对应的是图中的什么区域？“只答对一道题”呢？练习4高思学校有学生1000人，现有《中国少年报》、《少年文艺》和《数学报》三种报刊，其中只订阅一种报刊的有600人，只订阅两种报刊的有200人，三种报刊都订阅的有50人，请问：这个学校有多少人没有订报？例题5四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的4倍，又是3项活动都参加人数的8倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的3倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．请问参加文艺小组的人数是多少？「分析」图中每一部分分别代表什么呢？题目给了几个倍数关系，我们不妨设份数计算一下．№3. 容斥原理中的最值问题例题6某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？「分析」题目要我们求至少有多少人三项都会，那么也就是要会只两项的尽量多，此时文氏图很难进行分析，不妨画一下线段图试试吧！课堂内外文氏图文氏图，也叫“维恩图”，是由英国著名数学家Venn发明的．维恩（John Venn，公元1834年8月4日─公元1923年4月4日）十九世纪英国著名的数学家和哲学家，生于英国赫尔．他1883年获得理学博士学位，同年被选为英国皇家学会会员．维恩最主要的成就是系统解释并发展了几何表示的方法，也就是发明了文氏图．他作出一系列简单闭曲线（圆或更复杂的图形），将平面分为许多间隔．利用这种图表，维恩阐明了演绎推理的基本原理．为了进一步明确起见，他还引入了一些数学难题作为实例．虽然在维恩之前，莱布尼茨（Leibniz）已系统地运用过这类逻辑图，但今天这种逻辑图仍称作“维恩图”（Venn Diagram）．另外，维恩在概率论和逻辑学方面也有很大贡献，他的著作——《机会逻辑》和《符号逻辑》，在19世纪末20世纪初曾享有很高的声誉．除了数学以外，维恩还有一较特别的技能——制作机器．他曾制作过一部板球发球机，当澳洲板球队在1909年到访剑桥大学时，维恩的机器依然运作正常，并使他们其中一位成员打空四次．作业1. 一个班有50个小学生，统计借课外书的情况是：全班学生都借有语文或数学课外书．借语文课外书的有39人，借数学课外书的有32人．请问：语文、数学两种课外书都借的有多少人？2. 六一班有学生46人，其中会骑自行车的17人，会游泳的14人，既会骑车又会游泳的4人，请问两样都不会的有多少人？3. 许、王、原三位老师走进一家蛋糕店，发现这里的每一种糕点至少被她们中的一个人吃过．她们分别数了一下，许老师吃过其中的15种，王老师吃过其中的10种，原老师吃过其中的6种，有8种糕点许、王两老师都吃过，有5种糕点许、原两老师都吃过，有3种糕点王、原两老师都吃过，有2种糕点这三位老师都吃过．那么这个面包店有多少种糕点？4. 五年级共有110人，其中92人参加了语文小组，51人参加了英语小组，58人参加了数学小组，至少参加2个小组的有80人，参加了三个小组的有20人．那么五年级有多少人没有参加小组？5．五年级共有150人，其中92人参加了语文小组，51人参加了英语小组，30人只．参加了数学小组，既参加语文也参加英语小组的人有35人．那么五年级有多少人没有参加小组？第十九讲 容斥原理1. 例题1答案：6；11；17 详解：画出两个对象的文氏图，找到相应的数字表示的区域． （1）3620506+-=人．（2）小高去过其中的12景，那么只有墨莫一个去过的景有18126-=景，墨莫共去过6511+=景．（3）这里要把重复的区域去掉两次才是只看过一部的，共有12218217+-⨯=人．2. 例题2答案：55详解：画出文氏图，游泳和长跑这两项比赛会有重叠，要区别游泳的男生和游泳女生，且这两部分不会重叠，这时我们用一条直线把一个区域分成两部分，这两部分没有重叠．如果不考虑性别，参加长跑比赛的人有15090240+=人，参加游泳比赛的人有12070190+=人．总人数是305人，那么游泳和长跑都参加的人有240190305125+-=人，其中男生有110人，那么两样都参加的女生有12511015-=人．那么只参加游泳的女生有701555-=人．此题的方法不唯一，也可以看图算出男生有120150110160+-=人，那么女生有305160145-=人．只参加游泳的人有1459055-=人．3. 例题3答案：96详解：首先画出文氏图，找到相应的数字所表示的区域．计算股票之和把张、王、李股票数相加664023129++=，其中129支股票中G 、E 、F 算了两次，H 算了三次．去掉这些重复计算的区域（G 、E 、F 去掉一次，H 去掉两次），1291713990---=，发现G 、E 、F 去掉了一次，但H 去掉了三次，最后还要把H 加上一次．90696+=90+6=96支．游泳长跑男生 女生 15090120 70110 305张66王40李231713 9 6 A B C E FGH4. 例题4答案：33人；9人详解：（1）难点是至少答对二道题的学生指的是哪个区域．至少答对二道题的区域是指这些重叠的区域A 、B 、C 、D ，那么王老师班上有10648533++++=人．（2）通过画文氏图，D =1，A =3， 835++=-=B D C ，答对第3道题的同学有549+=人．5. 例题5答案：24人详解：遇到倍数关系时，一般情况下设最小的为“1”，有倍数关系的就好办了．这里面设3项活动都参加的人数为“1”，那么文艺小组人数为“8”，既参加数学也参加文艺的人数为“2”，既参加文艺又参加语文小组人数为“3”．方法一：根据文氏图可求出总人数为2420"8""2""3"10"1"34"4"46++---+=+=，那么"1"3=人，文艺小组有"8"24=人．方法二：数学有24人参加，语文有20人参加，既参加数学又参加语文的有10人，所以参加语文和数学至少一门的人有24201034+-=人，那么只参加文艺的人有463412-=人，这部分人有"4"12=，"1"3=人，文艺小组有"8"24=人．6. 例题6答案：6根详解：要想三项都会的人尽量少，那么要让会游泳、骑自行车、乒乓球的人尽量分散开来．画图如下，最后可得至少有4名学生三项都会．第3道 第2道 10 64 BCA D第1道 数24语20文“8”“3”“2” “1”10 2748用直线长度表示会游泳的人数 ①7. 练习1答案：83简答：画出两个对象的文氏图，找到相应的数字表示的区域．42561583+-=人．8. 练习2答案：70简答：如果不考虑性别，参加数学竞赛的人有12080200+=人，参加语文竞赛的人有80120200+=人．总人数是260人，那么数学和语文都参加的人有200200260140+-=人，其中男生有75人，那么两样都参加的女生有1407565-=人．那么只参加一科竞赛的女生有()()80651206570-+-=人．数学语文男生 女生80120120 8075 260 48272112②骑自行车的人数尽量不和游泳的人重复，故接着游泳的后面画2721481236 4 同理，会乒乓球的人可再接着骑自行车的人后面画 ③9. 练习3答案：89平方分米简答：三个对象容斥原理：403627574289++---+=平方分米．10. 练习4答案：150人简答：如图，只订阅一种报刊的是E 、F 、G 三部分，共600人；只订阅两种报刊的是A 、B 、C 三部分，共200分，三种报刊都订阅的是D ，有50人，所以订报刊的人一共有60020050850++=人，学校有一共有1000人，所以没有订报的人有1000850150-=人．11. 作业1答案：21简答：利用容斥原理，32395021+-=人．12. 作业2答案：19简答：先求出至少会一样的人数，再求两样都不会的人数．()461417419-+-=人．13. 作业3答案：17简答：利用三个对象之间的容斥原理，共()151********++-+++=种糕点．14. 作业4答案：9简答：根据容斥原理，共有()11092515880209-++--=人．15. 作业5答案：12人简答：画出文氏图，先求出至少参加一个小组的人数．至少参加一个小组的人有92513035138++-=人．一个小组都没参加的有15013812-=人．数学报 文艺 E F G B C A D 少年报。
小学四年级奥数第35讲 容斥原理(含答案分析)
第35讲容斥原理一、专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b 分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=N a＋N b－N ab。
Nab NbNa二、精讲精练：例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
练习一1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？2、四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？练习二1、五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。
那么，有多少人两个小组都没有参加？2、一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人。
两种报纸都没有订阅的有多少人？例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？练习三1、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。
两样都会的有多少人？2、一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。
小学奥数之容斥原理(二)
容斥原理（二）【例题分析】例1. 有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。
第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。
只有两次达到优秀的有多少人？例2. 在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的没有，例3. 有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。
已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。
问：只参加跑和投掷两项的有多少人？分析与解：“每人至少参加两项比赛”说明没有不参加的，也没有参加一项比赛的，我们可以在下图中参加一项的区域用0表示。
人参加，3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只。
答：既参加英语又参加数学小组的为2人或7人。
例5. 某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人，数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。
问这个班最多多少人？最少多少人？整理后：全班人数＝39＋x39+x 表示全班人数，当x 取最大值时，全班人数就最多，当x 取最小值时，全班人数就最少。
x 是数学、语文、英语三科都得满分的同学，因而x 中的人数一定不超过两科得满分的人数，即x x ≤≤78，且x ≤9，由此我们得到x ≤7。
另一方面x 最小可能是0，即没有三科都得满分的。
当x 取最大值7时，全班有()39746+=人，当x 取最小值0时，全班有()390+=39人。
答：这个班最多有46人，最少有39人。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有23的人订《少年报》，有12的人订《数学报》，两种刊物都订的有多少人？2. 小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两家他们住的一套房子共有多少平方米？3. 某班45名同学参加体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，又知百米、跳远都得优者7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。
2021-2022学年五年级上册奥数培训专题——容斥原理(附答案)
2021-2022学年五年级上册奥数培训专题——容斥原理姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．一个班有小学生55人，订阅小学生数学报的有12人，订阅少年报的有9人，两种报纸都订的有5人，（1）订阅报纸的总人数是多少？（2）两种报纸都不订的有多少人？2．一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，这两种语言都不会的有4人，这两种语言都会的有多少人？3．求在1～100的自然数中不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？4．艺术节那天，学校画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有23幅不是五年级的，有21幅不是六年级的，五六年级参展的共有8幅，其他年级参展的有多少幅？5．将边长为4厘米和5厘米的正方形纸片部分重叠，盖在桌面上，已知重叠的部分为9平方厘米，两块正方形纸片盖住桌面的总面积是多少？6．二（2）班有50人，下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文作业的有35人，做完数学作业的有40人，两种作业都做完的有多少人？7．某艺术中心有62名学生，其中会弹钢琴的有11名，会吹长笛的有56名，两样都不会的有4名。
两样都会的有多少名?8．某校选出50名学生参加作文比赛和数学比赛，作文比赛获奖的有14人，数学比赛获奖的有12人，有3人两项比赛都获奖，两项比赛都没获奖的有多少人？9．四（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加航模小组，有19个人两个小组都参加了，那么有多少人两个小组都没参加？10．在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2题，其中答对第一题的有35人，答对第2题的有28人，这两题都答对的有20人，没有人两题都打错。
问参加这次测验的有多少人？11．一个俱乐部里，会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，两种都不会下的有12人，都会下的有30人这个俱乐部里有多少人？12．某班上体育课，全班排成4列（每列人数相等），从前往后数小芳第6个，从后往前数在第7个，这个班共有多少人？13．在1到200之间的全部自然数中，既不是8的倍数也不是5的倍数的数有几个？14．科技节那天，学校的科技室例展出了每个年级学生的作品，其中有114件不是一年级的，有96件不是二年级的，一二年级参展的作品共32件，其他年级参展的作品有多少件？试题答案1．16人；39人【分析】可将这55人分成4类，即只订阅小学生数学报，只订阅少年报，两种报纸都订阅，两种报纸都没有订阅，分别求出每一类的人数，再求出题目所求。
六年下册奥数试题- 容斥原理(二) 全国通用(含答案)
第10讲容斥原理（二）上一讲我们已经初步研究了简单的容斥原理，今天我们继续研究较复杂的容斥问题。
例1五年级一班有45名同学，每人都积极报名参加暑假体育训练班，其中报足球班的有25人，报篮球班的有20人，报游泳班的有30人，足球、篮球都报者有10人，足球、游泳都报者有10人，足球、篮球都报者有12人。
请问：三项都报的有多少人？分析：由于问题比较复杂，我们把它简化成下图.要计算阴影部分的面积，我们记A∩B 为圆A与圆B公共部分的面积，B∩C为圆B与圆C公共部分的面积，A∩C表示圆A与圆C 的公共部分的面积，x为阴影部分的面积则图形盖住的面积为：A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+X。
请同学们注意：阴影部分的面积先加了3次，然后又被减了3次，最后又加了1次。
解答：设三项都报的有x人，由容斥原理有30+25+20-10-10-12+x=45解得x=2。
答：三项都报名的有2人。
说明：在“A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+X”式中，A，B，C，A∩B，B∩C，A∩C，x和总量这8个数中，只要知道了7个数，就可通过列方程求出第8个数。
例2从1至1000这1000个自然数中，不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？分析：第一步先求出：能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？第二步再求出：不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？能被3整除的自然数的个数+能被5整除的自然数的个数+能被7整除的自然数的个数－（既能被3整除又能被5整除的自然数的个数+既能被3整除又能被7整除的自然数的个数+既能被5整除又能被7整除的自然数的个数）+能同时被3、5、7整除的自然数的个数=能被3、5、7中任何一个自然数整除的数的个数。
解答：能被3整除的自然数有多少个？1000÷3=333……1 有333个。
能被5整除的自然数有多少个？1000÷5=200 有200个。
能被7整除的自然数有多少个？1000÷7=142……6 有142个。
四年级下奥数试题——第六讲包容与排斥(含答案)沪教版
精讲精练四年级思维数学 第六讲包容与排斥原理思维目标：根据题意，合理解决重叠部分的问题即包容与排斥原理。
数学目标：看谁算的巧思维： 两个图形分别用A 、B 表示，重叠部分用AB 表示，盖住的面积用N 表示，那么： N=A+B －AB ； AB= A+B －N ；A= N －B+AB ；B= N －A+AB 数学：先观察式子中的数字，然后进行合理巧算。
【例1】一个长为8厘米、宽为6厘米的长方形与一个边长为4厘米的正方形(如右图)，放在桌子上。
它们盖住桌面的面积有多少平方厘米？金钥匙：A 面积：8×6=48（平方厘米）B 面积：4×4=16（平方厘米） AB 面积：3×3=9（平方厘米） N=A+B －AB = 48+16－9 =64－9=55（平方厘米）答：它们盖住桌面的面积有55平方厘米. 试金石：1、 四⑴班的每位学生都至少喜欢体育或文艺活动中的一种。
其中喜欢体育活动的有41人，喜欢文艺活动的有38人，两种活动都喜欢的有25人。
这个班共有学生多少人？学习目标 知识梳理AB2、某班从图书馆借来一批图书分给班上50位同学。
有30人各借到一本自然科学类书籍，有25人各借到一本文艺类书籍，既借了一本自然科学类书籍又借了一本文艺类书籍的学生有几人？【例2】某班40名学生在一次期中考试中每人至少有一门得优秀，语文得优秀的有14人，数学得优秀的有34人。
只有一门得优秀的各有多少人？金钥匙：根据题意，我们可以知道有些同学两门功课都得了优秀，在语文学科被算了一次，在数学学科也被算了一次，把两门学科得优秀的总人数去掉班级人数，多出的就是两门都得优秀的人数。
这样就能得出结果：34+14－40 数学一门：34－8=26（人）=48－40 语文一门：14－8=6（人）=8（人）答：数学一门得优秀的有26人，语文6人。
试金石：1、一次老师给全班同学做两道“动脑筋”的数学题，结果全班每人至少做对一题。
(小学奥数)容斥原理之数论问题
1. 瞭解容斥原理二量重疊和三量重疊的內容；2. 掌握容斥原理的在組合計數等各個方面的應用．一、兩量重疊問題 在一些計數問題中，經常遇到有關集合元素個數的計算．求兩個集合並集的元素的個數，不能簡單地把兩個集合的元素個數相加，而要從兩個集合個數之和中減去重複計算的元素個數，即減去交集的元素個數，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符號“”讀作“並”，相當於中文“和”或者“或”的意思；符號“”讀作“交”，相當於中文“且”的意思．)則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理．圖示如下:A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積．圖示如下:A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積．包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合A B 、的並集AB 的元素的個數，可分以下兩步進行：教學目標知識要點1．先包含——A B +重疊部分A B 計算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重疊部分A B 減去．7-7-4 容斥原理之數論問題第一步：分別計算集合A B 、的元素個數，然後加起來，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”進來，加在一起)；第二步：從上面的和中減去交集的元素個數，即減去C AB =(意思是“排除”了重複計算的元素個數)．二、三量重疊問題A 類、B 類與C 類元素個數的總和A =類元素的個數B +類元素個數C +類元素個數-既是A 類又是B 類的元素個數-既是B 類又是C 類的元素個數-既是A 類又是C 類的元素個數+同時是A 類、B 類、C 類的元素個數．用符號表示為：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．圖示如下：在解答有關包含排除問題時，我們常常利用圓圈圖(韋恩圖)來幫助分析思考．【例 1】 在1~100的全部自然數中，不是3的倍數也不是5的倍數的數有多少個？A B【考點】容斥原理之數論問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 如圖，用長方形表示1~100的全部自然數，A 圓表示1~100中3的倍數，B 圓表示1~100中5的倍數，長方形內兩圓外的部分表示既不是3的倍數也不是5的倍數的數．由1003331÷=可知，1~100中3的倍數有33個；由100520÷=可知，1~100中5的倍數有20個；由10035610÷⨯=（）可知，1~100既是3的倍數又是5的倍數的數有6個．例題精講圖中小圓表示A 的元素的個數，中圓表示B 的元素的個數，大圓表示C 的元素的個數． 1．先包含：A B C ++ 重疊部分A B 、B C 、C A 重疊了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重疊部分A B C 重疊了3次，但是在進行A B C ++- A B B C A C --計算時都被減掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．由包含排除法，3或5的倍數有：3320647+-=(個)．從而不是3的倍數也不是5的倍數的數有1004753-=(個)．【答案】53【巩固】 在自然數1100~中，能被3或5中任一個整除的數有多少個？【考點】容斥原理之數論問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 1003331÷=，100520÷=，10035610÷⨯=（）．根據包含排除法，能被3或5中任一個整除的數有3320647+-=(個)．【答案】47【巩固】 在前100個自然數中，能被2或3整除的數有多少個？【考點】容斥原理之數論問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 如圖所示，A 圓內是前100個自然數中所有能被2整除的數，B 圓內是前100個自然數中所有能被3整除的數，C 為前100個自然數中既能被2整除也能被3整除的數．前100個自然數中能被2整除的數有：100250÷=(個)．由1003331÷=知，前100個自然數中能被3整除的數有：33個．由10023164÷⨯=（）知，前100個自然數中既能被2整除也能被3整除的數有16個．所以A 中有50個數，B 中有33個數，C 中有16個數．因為A ，B 都包含C ，根據包含排除法得到，能被2或3整除的數有：50331667+-=(個)．【答案】67【例 2】 在從1至1000的自然數中，既不能被5除盡，又不能被7除盡的數有多少個?【考點】容斥原理之數論問題 【難度】2星 【題型】解答【解析】 1～1000之間，5的倍數有10005⎡⎤⎢⎥⎣⎦=200個，7的倍數有10007⎡⎤⎢⎥⎣⎦=142個，因為既是5的倍數，又是7的倍數的數一定是35的倍數，所以這樣的數有100035⎡⎤⎢⎥⎣⎦=28個．所以既不能被5除盡，又不能被7除盡的數有1000-200-142+-28=686個．【答案】686【巩固】 求在1至100的自然數中能被3或7整除的數的個數．【考點】容斥原理之數論問題【難度】2星【題型】解答【解析】記A：1～100中3的倍數，1003331÷=，有33個；B：1～100中7的倍數，1007142÷=，有14個；A B：1～100中3和7的公倍數，即21的倍數，10021416÷=，有4個．依據公式，1～100中3的倍數或7的倍數共有3314443+-=個，則能被3或7整除的數的個數為43個.【答案】43【例 3】以105為分母的最簡真分數共有多少個？它們的和為多少？【考點】容斥原理之數論問題【難度】4星【題型】解答【解析】以105為分母的最簡真分數的分子與105互質，105=3×5×7，所以也是求1到105不是3、5、7倍數的數有多少個，3的倍數有35個，5的倍數有21個，7的倍數有15個，15的倍數有7個，21的倍數有5個，35的倍數有3個，105的倍數有1個，所以105以內與105互質的數有105-35-21-15+7+5+3-1=48個，顯然如果n與105互質，那麼（105-n）與n互質，所以以105為分母的48個最簡真分數可兩個兩個湊成1，所以它們的和為24.【答案】48個，和24【巩固】分母是385的最簡真分數有多少個？並求這些真分數的和.【考點】容斥原理之數論問題【難度】4星【題型】解答【解析】385=5×7×11，不超過385的正整數中被5整除的數有77個；被7整除的數有55個；被11整除的數有35個；被77整除的數有5個；被35整除的數有11個；被55整除的數有7個；被385整除的數有1個；最簡真分數的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240.對於某個分數a/385如果是最簡真分數的話，那麼（385-a）/385也是最簡真分數，所以最簡真分數可以每兩個湊成整數1，所以這些真分數的和為120.【答案】240個，120個【例 4】在1至2008這2008個自然數中，恰好是3、5、7中兩個數的倍數的數共有 個．【考點】容斥原理之數論問題 【難度】3星 【題型】填空【關鍵字】西城實驗【解析】 1到2008這2008個自然數中，3和5的倍數有200813315⎡⎤=⎢⎥⎣⎦個，3和7的倍數有20089521⎡⎤=⎢⎥⎣⎦個，5和7的倍數有20085735⎡⎤=⎢⎥⎣⎦個，3、5和7的倍數有200819105⎡⎤=⎢⎥⎣⎦個．所以，恰好是3、5、7中兩個數的倍數的共有1331995195719228-+-+-=個．【答案】228個【例 5】 求1到100內有____個數不能被2、3、7中的任何一個整除。
五年级下册数学试题 - 奥数第04讲：容斥定理 人教版(含答案)
第4讲 容斥定理内容概念：有重叠部分的若干对象的计数问题，能利用文氏图进行辅助分析，弄清文氏图中每部分的含义；结合文氏图理解两个对象和三个对象的容斥原理；灵活处理具有一些不确定性的计数问题，以及其他形式的重复计数问题。
典型问题：兴趣篇：1. 暑假里，小悦和冬冬一起讨论“金陵十八景”。
他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是两人都去过的。
如果小悦去过其中的十二景，那么冬冬去过其中的几景？【分析】“十八景”剩余了18126-=景，所以冬冬去过其中的6+5=11景。
2.在一群小朋友中，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动画片《大闹天宫》，并且有8人两部动画片都看过。
请问：至少看过其中一部的小朋友有多少人？【分析】至少看过一部的小朋友有：1221825+-=（人）3、 五年级一班45个学生参加期末考试。
成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人。
请问：语文成绩得满分的有多少人？【分析】两科至少有一科得满分的有：452916-=（人），只有数学得满分的有：1037-=人，语文得满分的有：1679-=（人）。
4.某餐馆有27道招牌菜。
小悦吃过其中的13道，冬冬吃过其中的7道，而且有2道菜是两人都吃过的。
请问：有多少道招牌菜是两人都没有吃过的？【分析】两人都吃过的菜有：137218+-=道理，两人都没有吃过的有：27189-=（道）。
5.如图4-1，已知甲、乙、丙三个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6、8、5，同时被这三个圆覆盖的部分的面积为2。
请问：（1）只被甲或乙覆盖，却不被丙覆盖的部分的面积是多少？（2）只被这3个圆中某一个圆覆盖的部分的面积是多少？【分析】（1）根据题意，有：6D G +=，则2G =,624D =-=;8F G +=,则有：826F =-=;5E G +=,则有：523E =-=;所以：()306321A =-+=;()308319B =-+=所以只被甲或者乙覆盖，却不被丙覆盖的是：2119343++=；（2）()306618C =-+=所以只被这3个圆中的某一个圆覆盖的部分的面积是：21191858++=。
(精品)小学奥数7-7-5 容斥原理之最值问题.专项练习及答案解析
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：教学目标知识要点7-7-5.容斥原理之最值问题1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去．在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．【例 1】 “走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。
小学奥数7-7-5 容斥原理之最值问题.专项练习及答案解析
1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．教学目标知识要点7-7-5.容斥原理之最值问题1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去． 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．【例 1】 “走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。
小学奥数 容斥原理 知识点+例题+练习 (分类全面)
5、在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？不是6的倍数或不是5的倍数的数有几个？
6、某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人;语文得90分以上的有21人;两科中至少有一科在90分以上的有38人。问两科都在90分以上的有多少人?
巩固：刘老师、夏老师和胡老师共有书90本，其中刘老师和夏老师一共有70本，夏老师和胡老师共有50本，三位老师各有书多少本？
例5、在1至10000中不能被5或7整除的数共有多少个？既不能被5整除又不能被7整除的有多少个？
巩固：在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？不是5的倍数或不是8的倍数的数有几个？
巩固：某校的每个学生至少爱好体育和文娱中的一种活动，已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好。这个学校共有学生多少人？
例3、学校开展课外活动，共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？
课后作业
1、五年级有112人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优，其中，语文得优的有65人，数学得优的有87人，问语文、数学都得优的有多少人？
2、某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语、数双优的有12人，另外还有8人语、数均未获优，这个班共有多少个学生？
3、五（1）班有学生50人，在一次测试中，语文90分以上的有30人，数学90分以上的35人，语文和数学都在90分以上的有20人，90分以下的有多少人？
四年级奥数题第35讲容斥原理
第 35 讲 容斥原理一、专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理 , 也叫容斥原理。
即当两 个计数部分有重复包含时 , 为了不重复计数 , 应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对 n 个事物, 如果采用不同的分类标准 , 按性质 a 分类与性质 b 分类（如图） , 那么具有性质 a 或性质 b 的事物的个数 =N a ＋ N b －N ab 。
例 1：一个班有 48 人, 班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有 37 人举手。
又问： “谁做完数学作业？请举手！”有 42 人举手。
最后问：“谁 语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成 的人数。
练习一1、五年级有 122 名学生参加语文、数学考试 , 每人至少有一门功课取得优秀成 绩。
其中语文成绩优秀的有 65人,数学优秀的有 87 人。
语文、数学都优秀的有 多少人？2、四年级一班有 54 人 , 订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的 有 13人, 订《小学生优秀作文》的有 45人, 每人至少订一种读物 ,订《数学大世 界》的有多少人？精讲精练：例2：某班有36 个同学在一项测试中, 答对第一题的有25 人, 答对第二题的有23 人, 两题都答对的有15 人。
问多少个同学两题都答得不对？练习二1、五（1）班有40 个学生, 其中25 人参加数学小组,23 人参加科技小组, 有19 人两个小组都参加了。
那么, 有多少人两个小组都没有参加？2、一个班有55 名学生, 订阅《小学生数学报》的有32 人, 订阅《中国少年报》的有29人, 两种报纸都订阅的有25人。
两种报纸都没有订阅的有多少人？例3：某班有56人, 参加语文竞赛的有28人, 参加数学竞赛的有27人, 如果两科都没有参加的有25人, 那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？练习三1、一个旅行社有36人,其中会英语的有24人, 会法语的有18人, 两样都不会的有4 人。
(奥数典型题)容斥原理--2024年六年级下册小升初数学思维拓展含答案
(奥数典型题)容斥原理--2024年六年级下册小升初数学思维拓展容斥原理【知识点归纳】在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题．一般方法：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考．容斥原理1：两量重叠问题A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数用符号可表示成：A∪B＝A+B﹣A∩B（其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）．容斥原理2：三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数﹣既是B类又是C类的元素个数﹣既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：A∪B∪C＝A+B+C﹣A∩B﹣B∩C﹣A∩C+A∩B∩C1．三年级共有80名同学参加书法兴趣小组和美术兴趣小组，其中参加书法组的有52人，参加美术组的有48人．那么，既参加书法组又参加美术组的有多少人？2．我们班参入调查了饭后吃水果情况：30人喜欢吃苹果，27人喜欢吃梨，10人两种都喜欢，问我们班有多少人？3．同学们收集图片．张明、李红、蔡正明、王丹、熊威、高伟、梅芳7个人收集了名山图片，吴凤、李红、王丹、戴月红、高伟这5人收集了河流图片，吴心怡、张冬、李可这3人收集了奥运图片．（1）收集名山图片和奥运图片的共有多少人？（2）收集名山图片和河流图片的共有多少人？4．在校运动会上，共有30人参加跳远和跳高。
参加跳远的有18人，参加跳高的有22人，既参加跳远又参加跳高的有多少人？5．三（1）班有48人，其中订《少年报》的有32人，订《数学报》的有38人，有25人两份报都订。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：教学目标知识要点1．先包含——A B +重叠部分AB 计算了2次，多加了1次； A B A B +-1A B7-7-4 容斥原理之数论问题在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．【例 1】 在1~100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？A B【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如图，用长方形表示1~100的全部自然数，A 圆表示1~100中3的倍数，B 圆表示1~100中5的倍数，长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数．由1003331÷=可知，1~100中3的倍数有33个；由100520÷=可知，1~100中5的倍数有20个；由10035610÷⨯=（）可知，1~100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个．由包含排除法，3或5的倍数有：3320647+-=(个)．从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有1004753-=(个)．【答案】53【巩固】 在自然数1100~中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 1003331÷=，100520÷=，10035610÷⨯=（）．根据包含排除法，能被3或5中任一个整除的数有3320647+-=(个)．【答案】47【巩固】 在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 如图所示，A 圆内是前100个自然数中所有能被2整除的数，B 圆内是前100个自然数中所有能被3整除的数，C 为前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数．前100个自然数中能被2整除的数有：100250÷=(个)．由1003331÷=知，前100个自然数中能被3整除的数有：33个．由10023164÷⨯=（）知，前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数有16个． 例题精讲 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，C1．先包含：A B C ++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- A B C 3A B C ++-A B B C A C--A B C A B B C A C A B C ++---+所以A 中有50个数，B 中有33个数，C 中有16个数．因为A ，B 都包含C ，根据包含排除法得到，能被2或3整除的数有：50331667+-=(个)．【答案】67【例 2】 在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 1～1000之间，5的倍数有10005⎡⎤⎢⎥⎣⎦=200个，7的倍数有10007⎡⎤⎢⎥⎣⎦=142个，因为既是5的倍数，又是7的倍数的数一定是35的倍数，所以这样的数有100035⎡⎤⎢⎥⎣⎦=28个． 所以既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有1000-200-142+-28=686个．【答案】686【巩固】 求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数．【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 记 A ：1～100中3的倍数，1003331÷=，有33个； B ：1～100中7的倍数，1007142÷=，有14个；A B ：1～100中3和7的公倍数，即21的倍数，10021416÷=，有4个． 依据公式，1～100中3的倍数或7的倍数共有3314443+-=个，则能被3或7整除的数的个数为43个. 【答案】43【例 3】 以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 以105为分母的最简真分数的分子与105互质，105=3×5×7，所以也是求1到105不是3、5、7倍数的数有多少个，3的倍数有35个，5的倍数有21个，7的倍数有15个，15的倍数有7个，21的倍数有5个，35的倍数有3个，105的倍数有1个，所以105以内与105互质的数有105-35-21-15+7+5+3-1=48个，显然如果n 与105互质，那么（105-n ）与n 互质，所以以105为分母的48个最简真分数可两个两个凑成1，所以它们的和为24.【答案】48个，和24【巩固】 分母是385的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和.【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 385=5×7×11，不超过385的正整数中被5整除的数有77个；被7整除的数有55个；被11整除的数有35个；被77整除的数有5个；被35整除的数有11个；被55整除的数有7个；被385整除的数有1个；最简真分数的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240.对于某个分数a/385如果是最简真分数的话，那么（385-a ）/385也是最简真分数，所以最简真分数可以每两个凑成整数1，所以这些真分数的和为120.【答案】240个，120个【例 4】 在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有 个．【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】西城实验【解析】 1到2008这2008个自然数中，3和5的倍数有200813315⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，3和7的倍数有20089521⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，5和7的倍数有20085735⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，3、5和7的倍数有200819105⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个．所以，恰好是3、5、7中两个数的倍数的共有1331995195719228-+-+-=个．【答案】228个【例 5】 求1到100内有____个数不能被2、3、7中的任何一个整除。
【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级，第12题【解析】 被2整除的有50个，被3整除的有33个，被7整除的有14个同时被2和3整除的有16个，同时被2和7整除的有7个，同时被3和7整除的有4个同时被2和3和7整除的有2个，()100503314167421007228-++---+=-=个【答案】28个。
【例 6】 在从1到1998的自然数中，能被2整除，但不能被3或7整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示取商的整数部分．例如，732⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．要注意的是，符号[]与+、-、⨯、÷符号一样，也是一种运算，叫取整运算．本题中，先求出能被2整除的数有多少个，再分别求出能被2和3、能被2和7分别整除的数的个数，那么用能被2整除的数的个数减去能被2和3整除的数的个数，再减去能被2和7整除的数的个数，所得的差是不是所求的得数呢？仔细想想你会发现不是的，因为它多减了能同时被2、3、7整除的数．故能被2整除的有：19982999÷=(个)．能被2和3同时整除的有：[199823]333÷⨯=（）(个)．能被2和7同时整除的有：[199827]142÷⨯=（）．能被2、3、7同时整除的有：[1998237]47÷⨯⨯=（）(个)．所以，能被2整除，但不能被3或7整除的数有99933314247571--+=(个)．【答案】571个【例 7】 50名同学面向老师站成一行．老师先让大家从左至右按1，2，3，…，49，50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转．问：现在面向老师的同学还有多少名?【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】华杯赛，初赛，第13题【解析】 在转过两次后，面向老师的同学分成两类：第一类是标号既不是4的倍数，又不是6的倍数；第二类是标号既是4的倍数又是6的倍数．1～50之间，4的倍数有504⎡⎤⎢⎥⎣⎦=12,6的倍数有506⎡⎤⎢⎥⎣⎦=8，即是4的倍数又是6的倍数的数一定是12的倍数，所以有5012⎡⎤⎢⎥⎣⎦=4．于是，第一类同学有50-12-8+4=34人，第二类同学有4人，所以现在共有34+4=38名同学面向老师．【答案】38名【例 8】 体育课上，60名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：1，2，3，…，60，然后，老师让所报的数是4的倍数的同学向后转，接着又让 所报的数是5的倍数的同学向后转，最后让所报的数是6的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有________人。
【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，六年级，二试，第15题，4分【解析】 可知其中4的倍数有15个，5的倍数有12个，6的倍数有10个，同时是4和5的倍数的有3个，同时是5和6的倍数的有2个，同时是4和6的倍数的有5个，同时是4、5、6的倍数的数有1个，现在背向老师的有15+12+10-3-2-5+1=28个，面向老师的学生有60-28=32人。