施瓦茨不等式的证明资料讲解
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2柯西－施瓦茨不等式的证明
2.1 柯西－施瓦茨不等式
定理（柯西－施瓦茨不等式）若a1，a2，⋯，a n和b1, b2, ⋯,b n是任意实数，则
(∑a k
n
k=1b k)
2
≤(∑a k2
n
k=1
)(∑b k2
n
k=1
)
当且仅当存在一个实数x，使得b k=xa k（k=1,2,…,）时，等号成立。
2.2 用数学归纳法证明柯西施瓦茨不等式
当n=1时，左式=(a1b1)2=a12b12，右式=a12b12
显然左式=右式
当n=2时，左式=(a1b1+a2b2)2=a12b12+2a1b1a2b2+a22b22≤(a12+a22)(b12+b22)=a12b12+a22b22+a22b12+a12b22=右式
故有(a1b1+a2b2)2≤(a12+a22)(b12+b22) ,即
(∑a k
2
k=1b k)
2
≤(∑a k2
2
k=1
)(∑b k2
2
k=1
)
当且仅当a1b2=a2b1时等号成立。
故n=1,2时不等式成立。
假设当n=i时，不等式成立，即
(∑a k
i
k=1b k)
2
≤(∑a k2
i
k=1
)(∑b k2
i
k=1
)
当且仅当a k b j=a j b k(k,j=1,2，⋯，i)时成立。那么当n=i+1时，
(∑a k2 i+1
k=1)(∑b k2
i+1
k=1
)=(∑a k2+a i+1
2
i
k=1
)(∑b k2
i
k=1
+b k+1
2)
=(∑a k2
i
k=1)(∑b k2
i
k=1
)+a i+1
2∑b
k
2+
i
k=1
b i+12∑a k2+a i+1
2b
i+1
2
i
k=1
≥(∑a k2
i
k=1)(∑b k2
i
k=1
)+2a i+1b i+1√(∑a k2
i
k=1
)(∑b k2
i
k=1
)+a i+12b i+12
≥(∑a k
i
k=1b k)
2
+2a i+1b i+1∑a k b k+
i
k=1
a i+1
2b
i+1
2
=(∑a k
i+1
k=1b k)
2
当且仅当当且仅当
a k
k =
a j
j
(k,j=1,2,⋯,i)且
(∑a k2
i
k=1
)
(∑b k
i
k=1
)
=
a i+1
2
i+1
2
时成立。
因为a k
b k =a j
k j
，
故
a k2
k
2
=
a j2
j
2
=
(∑a k2
i
k=1
)
(∑b k
i
k=1
)
(k,j=1,2,⋯,i)
所以
a k2
b k2
=
a j2
b j2
=
a i+1
2
b i+12
（k,j=1,2,⋯,i）
所以
a k
b k
=
a j
k j（k,j=1,2,⋯,i+1）
综上所述，不等式(∑a k
n
k=1
b k)
2
≤(∑a k2
n
k=1
)(∑b k2
n
k=1
)成立。
2.3 用向量法证明柯西－施瓦茨不等式
设a⃗=(a1,a2,⋯,a n),b⃗⃗=(b1,b2,⋯,b n)是两个n维向量，
则 a⃗∙b⃗⃗=∑a k b k
n
k=1
|a⃗|=(a∙a)12=(∑a k2
n
k=1) 1 2
|b⃗⃗|=(b∙b)1
2=(∑b k2
n
k=1
)
1
2
因为 a⃗∙b⃗⃗=|a⃗||b⃗⃗|cosθ≤|a⃗||b⃗⃗|
所以∑a k b k
n
k=1=(∑a k2
n
k=1
)
1
2
(∑b k2
n
k=1
)
1
2
整理后得到(∑a k b k
n
k=1)
2
≤(∑a k2
n
k=1
)(∑b k2
n
k=1
)
由上可知，不等式(∑a k
n
k=1b k)
2
≤(∑a k2
n
k=1
)(∑b k2
n
k=1
)成立。
2.4运用基本不等式证明柯西－施瓦茨不等式
基本不等式：a∙b≤1
2
(a2+b2)
柯西－施瓦茨不等式：(∑a k
n
k=1b k)
2
≤(∑a k2
n
k=1
)(∑b k2
n
k=1
)，
为简洁我们记A2=(∑a k2
n
k=1)，B2=(∑b k2
n
k=1
)，S k=a k b k(k=1,2⋯,n)
则柯西－施瓦茨不等式变为 A2B2≥(∑S k
n
k=1) 2
两边开平方再移向得|S1+S2+⋯+S n
|≤1
证明：|S1
|=|
a1b1
|≤
(
a1
A)
2
+(
b1
B)
2
,
当且仅当a1
A
=
b1
B
,即
a1
b1
=
A
B时等号成立；
|S2
|=|
a2b2
|≤
(
a2
A)
2
+(
b2
B)
2
,
当且仅当a2
A
=
b2
B
,即
a2
b2
=
A
B时等号成立；
⋯⋯⋯⋯⋯⋯