人教版高一数学必修一知识点与习题讲解

必修1第一章集合与函数基础知识点整理

第1讲 §1.1.1 集合的含义与表示

¤知识要点：

1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.

2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，

即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集.

3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ⋅⋅⋅表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .

4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号∈、∉表示，例如3N ∈，2N -∉.

¤例题精讲：

【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：

（1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合；

（2）大于2且小于7的整数.

解：（1）用描述法表示为：2

{|(23)0}

x R x x x

∈--=；

用列举法表示为{0,1,3}

-.

（2）用描述法表示为：{|27}

x Z x

∈<<；

用列举法表示为{3,4,5,6}.

【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}

A x x k k Z

==+∈，{|61,}

B x x m m Z

==-∈，则有： 17 A；－5 A； 17 B.

解：由3217

k+=，解得5

k Z

=∈，所以17A

∈；

由325

k+=-，解得

7

3

k Z

=∉，所以5A

-∉；

由6117

m-=，解得3

m Z

=∈，所以17B

∈.

【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P6练习题2，P13A组题4）（1）一次函数3

y x

=+与26

y x

=-+的图象的交点组成的集合；

（2）二次函数24

y x

=-的函数值组成的集合；

（3）反比例函数2

y

x

=的自变量的值组成的集合.

解：（1）

3

{(,)|}{(1,4)}

26

y x

x y

y x

=+

⎧

=

⎨

=-+

⎩

.

（2）2

{|4}{|4}

y y x y y

=-=≥-.

（3）2

{|}{|0}x y x x x

==≠. 点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4}，也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.

*【例4】已知集合2{|1}2

x a A a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ． 解：化方程212

x a x +=-为：2(2)0x x a --+=．应分以下三种情况：

⑴方程有等根且不是 △=0，得9

4a =-，此时的解为12

x =，合．

，而另一解不是将x =代入得a =此时另一解1x =合．

⑶方程有一解为，而另一解不是：将x =代入得a =，此时另一解为

1x =，合．

综上可知，9

{,4

A =-． 点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现象.

第2讲 §1.1.2 集合间的基本关系

¤知识要点：

1. 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A是集合B的子集（subset），记作A B

⊇），

⊆（或B A

读作“A含于B”（或“B包含A”）.

2. 如果集合A是集合B的子集（A B

⊇），即集合

⊆），且集合B是集合A的子集（B A

A与集合B的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作A B

=.

3. 如果集合A B

⊆，但存在元素x B

∉，则称集合A是集合B的真子集（proper

∈，且x A

subset），记作A≠⊂B（或B≠⊃A）.

4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set），记作∅，并规定空集是任何集合的子集.

5. 性质：A A

⊆；若A B

⊆；

⊆，则A C

⊆，B C

若A B A

=，则B A

⊆.

=，则A B

⊆；若A B A

¤例题精讲：

【例1】用适当的符号填空：

（1）{菱形} {平行四边形}； {等腰三角形} {等边三角形}.

（2）∅2

{|20}

∈+=； 0 {0}；∅ {0}；N {0}.

x R x

解：（1），；

（2）=，∈，，.