实数知识点与典型例题

（4）《实数》知识点总结及典型例题练习题

第一节、平方根

1. 平方根与算数平方根的含义

平方根：如果一个数的平方等于a ，那么数x 就叫做a 的平方根。即a x =2，记作x=a ± 算数平方根:如果一个正数x 的平方等于a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根，即x 2=a ，记作x=a 。 ２.平方根的性质与表示

⑴表示：正数a 的平方根用a ±表示，a 叫做正平方根，也称为算术平方根，a -叫做a 的负平方根。

⑵一个正数有两个平方根：a ±（根指数２省略） ０有一个平方根，为０，记作00= 负数没有平方根

⑶平方与开平方互为逆运算

开平方：求一个数a 的平方根的运算。

a a =2==⎩⎨⎧-a a

0<≥a a

()a a =2

（0≥a ）

⑷a 的双重非负性：0≥a 且0≥a （应用较广） 例：y x x =-+-44 得知0,4==y x

⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。

区分：４的平方根为____ 4的平方根为____ ____4=４开平方后，得____

(6)若0>>b a ，则b a > (7)()

)

0,0(0,0>≥=≥≥=⨯b a b a b a b a ab b a 典型习题：

（1）求算数平方根与平方根 1:求下列数的平方根

36 0.09 （-4）² 0 1

（2）解简单的二次方程

3:281250x -= 4 :4(x+1)2

=8

（3）被开方数的意义

5:若为实数,下列代数式中,一定是负数的是( ) A. －

2

B. －( +1)2

C.－

D.－(+1)

6:实数在数轴上的位置如图所示, 化简:2)2(1-+-a a

（4）:有关x 的取值范围目前中考的所有考点 例题：求使得下列各式成立的x 的取值范围 7:53-x

8: 当______m 时，m -3有意义；当______m 时，3

3-m 有意义

9:

x

-11

10.等式1112-=+⋅-x x x 成立的条件是（ ）. A 、1≥x B 、1-≥x C 、11≤≤-x D 、11≥-≤或x

(5)非负性

知识点：总结：若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．

10．已知b a ,是实数，且有0)2(132=+++-b a ，求b a ,的值.

11: ．已知实数a 、b 、c 满足，2b c +2)2

1

(-c =0,,求a+b+c 的值.

13.若111--+-=x x y ，求x ，y 的值。

14．522y 2++-+-=x x x ，求x y 的平方根和算术平方根。

15. 若0|2|1=-++y x ，求x+y 的值。

16.若312-a 和331b -互为相反数，求b

a

的值。

17．若054=-++-y x x ，求xy 的值.

18．若10m +=，求20004m n -的值。

其它问题

19．已知b a ,为有理数，且3)323(2b a +=-，求b a +的平方根

20．设a 、b 是有理数，且满足(2

1a +=-，求b a 的值

21．已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 、y 满足04422=+++-y y x ，求

2008220092()()()a b x cd y a b cd y +-+++的值．

22. 已知实数a 满足1992a a -=，则21992a -的值是（ ） Ａ．1991

Ｂ．1992

Ｃ．1993

Ｄ．1994

23 .已知x 、y 互为倒数，c 、d 互为相反数，a 的绝对值为3，z 的算术平方根是5，求22c d xy a

-++的值

24．请你估算11的大小（ ）

A.1﹤11﹤2

B. 2﹤11﹤3

C. 3﹤11﹤4

D. 4﹤11﹤5 25．若数轴上表示数a 的点在原点的左边，则化简22a a +的结果是（ ） 26、

21++a 的最小值是________，此时a 的取值是________．

27、当ｘ＝－8时，则

3

2

x 的值是（ ）

A ，－8

B ，－4

C ，4

D ，±4 28、若a=2

3-

,b=-∣－2∣，c=33

)2(--,则a 、b 、c 的大小关系是（ ）.

A.a ＞b ＞c

B.c ＞a ＞b

C.b ＞a ＞c

D.c ＞b ＞a

第二节：立方根和开立方

１．立方根的定义

如果一个数的立方等于a ，呢么这个数叫做a 的立方根，记作3a ２. 立方根的性质

任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。０的立方根是０. ３. 开立方与立方

开立方：求一个数的立方根的运算。

()a a =3

3

a a =3

3 33a a -=- （a 取任何数）

这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 *０的平方根和立方根都是０本身。 三、推广： n 次方根

１. 如果一个数的n 次方（n 是大于１的整数）等于a ，这个数就叫做a 的n 次方根。 当n 为奇数时，这个数叫做a 的奇次方根。当n 为偶数时，这个数叫做a 的偶次方根。 ２. 正数的偶次方根有两个。 n a ± ０的偶次方根为０。00=n 负数没有偶次方根。 正数的奇次方根为正。０的奇次方根为０。负数的奇次方根为负。

实战演练：

1、36的平方根是 ；16的算术平方根是 ；

2、8的立方根是 ；327-＝ ；