3．双曲线x 26－y 2
3＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r 等于________．
【解析】 双曲线x 26－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±2
2x ，与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相
切，得r ＝
3.
【答案】
3
4．若F 1，F 2是双曲线x 2a 2－
y 2
b 2
＝1(a ＞0，b ＞0)与椭圆x 225＋y 2
9
＝1的共同的左、右焦点，
点P 是两曲线的一个交点，且△PF 1F 2为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是________. 【导学号：09390068】
【解析】 不妨设PF 1＞PF 2，则PF 1＝F 1F 2＝8，由双曲线及椭圆的定义，可知
⎩⎪⎨⎪⎧ PF 1－PF 2＝2a ，PF 1＋PF 2＝10，即⎩
⎪⎨⎪⎧
8－PF 2＝2a ，8＋PF 2＝10，得2a ＝6，a ＝3.
又a 2＋b 2＝16，所以
b 2＝7，故双曲线的渐近线方程为y ＝±
73
x .
【答案】 y ＝±73
x
5．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．
【解析】 易知抛物线y 2＝8x 的准线x ＝－2与x 轴的交点为Q (－2,0)，于是，可设
过点Q (－2,0)的直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)(由题可知k 是存在的)，联立⎩⎪⎨
⎪⎧
y 2＝8x ，
y ＝k x ＋2
⇒k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时，易知符合题意；当k ≠0时，其判别式为Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＝－64k 2＋64≥0，可解得－1≤k ≤1，且k ≠0，综上可知，－1≤k ≤1.
【答案】 －1,1]
6．(2015·天津高考改编)已知双曲线x 2a
2－
y 2b 2
＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，
且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为______________．
【解析】 由双曲线的渐近线y ＝b a
x 过点(2，
3)，可得3＝b a
×2.①
由双曲线的焦点(－a 2＋b 2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上，可得a 2＋b 2
＝
7.②
由①②解得a ＝2，b ＝
3，所以双曲线的方程为x 24－y 2
3
＝1.
【答案】
x 24
－y 2
3
＝1 7．设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 2
3－y 2＝1与C 1的一个交
点，则△PF 1F 2的面积为________．
【解析】 由题意知，|F 1F 2|＝2
6－2＝4，设P 点坐标为(x ，y )．
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x 26＋y 2
2＝1，x
2
3－y 2
＝1，得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝±322
，
y ＝±2
2.
则S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y |＝12×4×2
2＝
2.
【答案】
2
8．已知抛物线y 2＝2px (p >0)与双曲线x 2a
2－
y 2b 2
＝1有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交
点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为________．
【解析】 由抛物线的定义知，AF ＝2c ，∴b 2a
＝2c .
∴c 2－a 2＝2ac ， ∴e 2－2e －1＝0. 又∵e >1， ∴e ＝
2＋1.
【答案】
2＋1
9．直线l 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线方程是________．
【解析】 如图，分别过点A ，B 作抛物线准线的垂线，垂足分别为点M ，N ，由抛物线的定义知，AM ＋BN ＝AF ＋BF ＝AB ＝8.又四边形AMNB 为直角梯形，故AB 中点到准线的距离即为梯形的中位线的长度4，而抛物线的准线方程为x ＝－p 2，所以4＝2＋p
2，即p ＝
4，所以抛物线的方程是y 2＝8x .
【答案】 y 2＝8x
