专题5 第3讲 圆锥曲线的热点问题

第3讲 圆锥曲线的热点问题

(建议用时：60分钟)

一、选择题

1．(2014·金华模拟)若双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝3x 无交点，则离心

率e 的取值范围是

( )．

A ．(1,2)

B ．(1,2]

C ．(1，5)

D ．(1，5] 解析 因为双曲线的渐近线为y ＝±

b

a x ，要使直线y ＝3x 与双曲线无交点，则直线y ＝3x 应在两渐近线之间，所以有b

a ≤3，即

b ≤3a ，所以b 2≤3a 2，

c 2－a 2≤3a 2，即c 2≤4a 2，e 2≤4，所以1

2．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的

中点到直线x ＋1

2＝0的距离等于 ( )．

A.74 B ．2 C ．94

D ．4

解析 直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x －14，即直线4kx －4y －k ＝0过抛物线

y 2＝x 的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫

14，0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋

x 2＝72，则弦AB 的中点横坐标是74，弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是7

4＋12＝94. 答案 C

3．已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次

与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则|AB |·|CD |的值正确的是

( )．

A ．等于1

B ．最小值是1

C ．等于4

D ．最大值是4

解析 设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程， 得y 2－4ty －4＝0. 设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，

根据抛物线定义|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1， 故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2，

所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·

y 224＝()y 1y 2216，

而y 1y 2＝－4，代入上式， 得|AB |·|CD |＝1.故选A. 答案 A

4．已知椭圆x 24＋y 2

b 2＝1(0

则△ABF 面积的最大值为 ( )．

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

解析 不妨设点F 的坐标为(

4－b 2，0)，而|AB |＝2b ，∴S △ABF ＝1

2

×2b ×

4－b 2＝b 4－b 2＝

b 2(4－b 2)≤b 2＋4－b 2

2

＝2(当且仅当b 2

＝4－

b 2，即b 2＝2时取等号)，故△ABF 面积的最大值为2. 答案 B

5．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线分别交于A ，

B 两点，则|AF |

|BF |的值等于 ( )．

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1>x 2，易知直线AB 的方程为y ＝3x －3

2p ，代入抛物线方程y 2

＝2px ，可得x 1＋x 2＝53p ，x 1x 2＝p 24，可得x 1＝3

2p ，x 2＝

p 6，可得|AF |

|BF |＝x 1＋p

2

x 2＋p 2＝3p 2＋p 2p 6＋p 2＝3.

答案 C

6．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F 1、F 2，且

两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是

( )．

A ．(0，＋∞)

B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫

13，＋∞

C.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ D ．⎝ ⎛⎭

⎪⎫19，＋∞

解析

设椭圆与双曲线的半焦距为c ， |PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2. 由题意知r 1＝10，r 2＝2c ， 且r 1>r 2,2r 2>r 1， ∴2c <10,2c ＋2c >10， ∴52

c 2<4， ∴e 2＝

2c

2a 双＝2c r 1－r 2＝2c 10－2c ＝c 5－c ； e 1＝

2c

2a 椭＝2c r 1＋r 2＝2c 10＋2c ＝c 5＋c

. ∴e 1·e 2＝

c 2

25－c

2＝125c 2－1>13. 答案 B

7．(2014·湖北卷)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共

点，且∠F 1PF 2＝π

3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 ( )．

A.433 B ．233 C ．3

D ．2

解析 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2(r 1>r 2)，|F 1F 2|＝2c ，椭圆长半轴长为a 1，双曲线

实半轴长为a 2，椭圆，双曲线的离心率分别为e 1，e 2，由(2c )2＝r 21＋r 2

2－2r 1r 2cos