高考数学二轮复习 专题5 第3讲 空间向量及其应用(理)同步练习 新人教A

2012年高考数学二轮复习同步练习：专题5 立体几何 第3讲 空间

向量及其应用（理）

一、选择题

1．以下命题中，不正确的命题个数为( )

①已知A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则A B →＋B C →＋C D →＋D A →

＝0

②若{a ，b ，c }为空间一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底；

③对空间任意一点O 和不共线三点A 、B 、C ，若O P →＝xOA →＋yOB →＋zOC →

(其中x ，y ，z ∈R )，

则P 、A 、B 、C 四点共面．

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

[答案] B

[解析] 由向量的加法运算知①正确． ∵a ，b ，c 为空间一个基底，

则a ，b ，c 为两两不共线的非零向量． 不妨假设a ＋b ＝x (b ＋c )＋y (c ＋a )， 即(1－y )a ＋(1－x )b －(x ＋y )c ＝0. ∵a 、b 、c 不共面，∴⎩⎪⎨⎪

⎧

1－x ＝01－y ＝0

x ＋y ＝0

，

不存在实数x 、y 使假设成立，故②正确． ③中若加入x ＋y ＋z ＝1则结论正确，故③错误． 2．如图ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝

A 1

B 1

4

，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是( )

A.15

17 B.12 C.

817

D.32

[答案] A

[解析] 取D 为空间直角坐标系原点，DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间

直角坐标系，设AD ＝4，则B (4,4,0)，E 1(4,3,4)，F 1(0,1,4)，

∴BE 1→＝(0，－1,4)，DF 1→

＝(0,1,4)， |BE 1→|＝|DF 1→|＝17，BE 1→·DF 1→

＝15，

∴cos

>＝1517.即异面直线BE 1与DF 1所成角的余弦值为1517

.故选A.

3．在90°的二面角的棱上有A 、B 两点，AC ，BD 分别在这个二面角的两个面内，且都垂直于棱AB ，已知AB ＝5，AC ＝3，BD ＝4，则CD ＝( )

A ．5 2

B ．5 3

C ．6

D ．7

[答案] A

[解析] 由条件知AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC ⊥BD ， 又C D →＝C A →＋A B →＋B D →

，

∴CD →2＝(C A →＋A B →＋B D →)2＝|C A →|2＋|A B →|2＋|B D →|2

＝32

＋52

＋42

＝50.

∴|C D →

|＝52，∴CD ＝5 2.

4．如图所示，已知在直三棱柱ABO －A 1B 1O 1中，∠AOB ＝

π

2

，AO ＝2，BO ＝6，D 为A 1B 1的中点，且异面直线OD 与A 1B 垂直，则三棱柱ABO －A 1B 1O 1的高是( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

[答案] B

[解析] 以OA →、OB →、OO 1→

为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立直角坐标系O －xyz ，设直三棱柱的高为h ，

则A 1(2,0，h )，B (0,6,0)，D (1,3，h )， ∴A 1B →＝(－2,6，－h )，OD →

＝(1,3，h )，

又A 1B →⊥OD →，∴(－2)×1＋6×3－h 2

＝0，h ＝4或h ＝－4(舍)，故选B.

5．(2011·山东济南)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于( )

A.

1

3

B.

2

3

C.

3

3

D.

2

3

[答案] B

[解析]如图，设A1在面ABC内的射影为O，

以O为坐标原点，OA、OA1分别为x轴、z轴建立空间直角坐标系．设△ABC边长为1，则A(

3

3

，0,0)，B1(－

3

2

，

1

2

，

6

3

)，

∴AB1

→

＝(－

53

6

，

1

2

，

6

3

)．

面ABC的法向量n＝(0,0,1)，则AB1与底面ABC所成角α的正弦值为sinα＝|cos〈AB1

→

，n〉|＝

6

3

75

36

＋

1

4

＋

6

9

＝

2

3

.

6．如图所示，在四面体P－ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B－AP －C的余弦值为( )

A.

2

2

B.

3

3

C.

7

7

D.

5

7

[答案] C

[解析]如图，作BD⊥AP于D，作CE⊥AP于E，