专题五 第3讲 机械能守恒定律

A、B 系统来说，只有动能与重力势能的转化，机械能守恒.
杆方向，这是造成错解的直接原因．杆施力的方向并不总指向 沿杆的方向，本题中就是如此．杆对A、B 球既有沿杆的法向 力，也有与杆垂直的切向力，所以杆对A、B 球施的力都做功，
A 球、B 球的机械能都不守恒．
正确解析：B 球从水平位置下摆到最低位置的过程中，受 重力和杆的作用力，杆的作用力方向待定．下摆过程中重力势
重力加速度 g＝10 m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6.
(1)求选手摆到最低点时对绳拉力的大小 F；
(2)若绳长 l＝2 m，选手摆到最高点时松手落入水中．设水 对选手的平均浮力 f1＝800 N，平均阻力 f2＝700 N，求选手落入
水中的深度 d；
(3)若选手摆到最低点时松手， 小明认为绳越长，在浮台 上的落点距岸边越远；小阳认为绳越短，落点距岸边越远．请 通过推算说明你的观点．
重力 弹力 (1)内容：在只有_____或______做功的物体系统内，动能
与势能相互转化，而总的机械能保持不变． (2)判断机械能是否守恒的方法． ①根据力做功判断，系统内只有重力做功或弹力做功，机
械能守恒．
②根据能的转化判断，只发生系统内势能与动能的转化， 机械能守恒．
考点2
机械能守恒定律的应用
答案：C
2．(双选，2011 年执信、深外、中山一中联考)如图 5－3 －1 所示，小球自 a 点由静止自由下落，到 b 点时与弹簧接触， 到 c 点时弹簧被压缩到最短，若不计弹簧质量和空气阻力，在 小球由 a→b→c 的运动过程中( A．小球的机械能守恒 B．小球和弹簧总机械能守恒 )
C．小球在 b 点时动能最大
水面．持续投放足够长时间后，鱼饵能够落到
水面的最大面积S 是多少？
图 5－3－4
[答题规律]解：(1)质量为 m 的鱼饵到达管口 C 时做圆周运 动的向心力完全由重力提供，则 v2 1 mg＝m R 解得 v1＝ gR. ① ②
(2)弹簧的弹性势能全部转化为鱼饵的机械能，由机械能守 恒定律知 1 2 Ep＝mg(1.5R＋R)＋2mv1 由②③两式得 Ep＝3mgR. ③ ④
错解分析：B 球下摆过程中受重力、杆的拉力作用．拉力 不做功，只有重力做功，所以B 球重力势能减少，动能增加， 机械能守恒，A 正确． 同理，A球机械能守恒，B 错误；因为A、B 系统只有重力 做功，系统机械能守恒，故C 选项正确． 错因分析：B球摆到最低位置过程中，重力势能减少，动
能增加，但不能由此确定机械能守恒．错解中认为杆施的力沿
第3讲 机械能守恒定律
考点1
机械能、机械能守恒定律
1．重力势能：物体由于被举高而具有的能． 路径 2．重力做功与重力势能的关系：重力做功与_____无关， 只与始末位置的高度差有关．重力对物体做正功，重力势能就 增加 减少 ______；重力对物体做负功，重力势能就_____．重力对物体做 的功等于物体重力势能的减少量，即 WG＝－(Ep2－Ep1) .
备考策略：多过程的曲线运动，近年各地的高考中频繁出 现，这一类问题也经常和机械能守恒定律相结合，处理这一类 问题要认真分析题意，看清有哪些过程，分析过程中力以及力 做功的情况，判断机械能是否守恒.一般运用机械能守恒定律求 速度，再结合曲线运动规律求其他物理量.
1．(2011 年清远清城区一模)在游乐节目中，选手需要借助 悬挂在高处的绳飞越到水面的浮台上，小明和小阳观看后对此 进行了讨论．如图 5－3－5 所示，他们将选手简化为质量 m＝ 60 kg 的质点，选手抓住绳由静止开始摆动，此时绳与竖直方向 夹角α＝53°，绳的悬挂点O距水面的高度为H＝3 m．不考虑空 气阻力和绳的质量，浮台露出水面的高度不计，水足够深．取
(3)从能量转移的角度：系统中有 A、B 两个物体(或更多物 体)，若 A 机械能的减少量等于 B 机械能的增加量，系统机械能 守恒，即ΔEA＝－ΔEB. 2．利用机械能守恒定律解题的一般思路 (1)选取研究对象——物体或系统． (2)根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析， 判断机械能是否守恒． (3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的初、末态 时的机械能． (4)选取方便的机械能守恒定律的方程形式(Ek2＋Ep2＝Ek1 ＋Ep1、ΔEp＝－ΔEk或ΔEA＝－ΔEB)进行求解．
D．小球 b→c 的运动过程中
加速度先减小后增加
答案：BD
图 5－3－1
题组2
对应考点2
3．如图 5－3－2 所示，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨 过光滑定滑轮，绳两端各系一小球 a 和 b.a 球质量为 m，静置 于地面；b 球质量为 3m，用手托住，高度为 h，此时轻绳刚好 拉紧．从静止开始释放 b 后，a 可能达到的最大高度为( A．h B．1.5h C．2h D．2.5h 图 5－3－2 )
1．机械能守恒定律的三种表达式 (1)从守恒的角度：选取某一平面为零势能面，如果含有弹
簧则弹簧处于原长时弹性势能为零，系统末状态的机械能和初
状态的机械能相等，即 Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1. (2)从能量转化的角度：系统的动能和势能发生相互转化 时，若系统势能的减少量等于系统动能的增加量，系统机械能 守恒，即ΔEp＝－ΔEk.
图 5－3－5
解：(1)设选手在最低点时速度为 v，根据机械能守恒，有 1 2 mgl(1－cosα)＝2mv 设选手在最低点时绳对人的拉力为 F′，有 v2 F′－mg＝m l 解得 F′＝(3－2cosα)mg＝1080 N 由牛顿第三定律知人对绳的拉力 F＝F′＝1080 N. (2)由动能定理得 mg(H－lcosα＋d)－(f1＋f2)d＝0 mgH－lcosα 则 d＝ 解得 d＝1.2 m. f1＋f2－mg ①
解析：在 b 球落地前，a、b 球组成的系统机械能守恒，且 a、b 两球速度大小相等，根据机械能守恒定律得 3mgh－mgh 1 ＝2(m＋3m)v2，v＝ gh.b 球落地时，a 球高度为 h，之后 a 球向 1 2 上做竖直上抛运动，在这个过程中机械能守恒，2mv ＝mgΔh， v2 h Δh＝2g＝2，所以 a 球可达到的最大高度为 1.5h，B 项正确．
答案：B
4．如图 5－3－3 所示，质量为 m1 的物体 A 经一轻质弹簧 与下方地面上的质量为 m2 的物体 B 相连，弹簧的劲度系数为 k，
A、B 都处于静止状态，一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端
连物体 A，另一端连一轻挂钩，开始时各段绳都处于伸直状态，
A 上方的一段绳沿竖直方向．现在挂钩上挂一质量为 m3 的物体 C 并从静止状态释放，已知它恰好能使 B 离开地面但并不继续
热点 机械能守恒定律与曲线运动结合 【例题】(2011 年福建卷)如图 5－3－4 为某种鱼饵自动投 放器中的投饵管装置示意图，其下半部 AB 是一长为 2R 的竖直 细管，上半部 BC 是半径为 R 的四分之一圆弧弯管，管口沿水 每次总将弹簧长度压缩到 0.5R 后锁定，在弹簧上端放置一粒鱼 饵，解除锁定，弹簧可将鱼饵弹射出去．设质量为 m 的鱼饵到 达管口 C 时，对管壁的作用力恰好为零．不计鱼饵在运动过程
上升．若将 C 换成另一质量为(m1＋m3)的物体 D，仍从上述初 始位置由静止状态释放，则这次 B 刚离地时 D 的速度的大小是 多少？已知重力加速度为 g.
解：开始时，A、B 都静止，设弹簧压缩量为x1，有kx1＝
m1g.挂上C 并释放后，C 向下运动，A 向上运动，设B 刚离开
地时弹簧伸长量为x2，则有kx2＝m2g.B 不再上升，表示此时A 和C 的速度为零，C 已降到最低点，由机械能守恒定律可知， 与初状态相比，弹簧弹性势能的增加量为 ΔE＝m3 g ( x1＋x2 )－m1 g ( x1＋x2 )
3．弹性势能：物体由于发生弹性形变而具有的能量． 正功 4．弹力做功与弹性势能的关系：弹力做_____，弹性势能 负功 减少；弹力做______，弹性势能增加．弹力对物体做的功等于 弹性势能的减少量，即 W弹＝－(Ep2－Ep1)．
动能 5．机械能：_____和势能统称为机械能．
6．机械能守恒定律
C 换成D后，当B 刚离地时弹簧弹
性势能的增加量与前一次相同，由机械 能守恒有
图 5－3－3
1 1 2 (m1＋m3)v ＋2m1v2 2 ＝(m1＋m3)g(x1＋x2)－m1g(x1＋x2)－ΔE 1 得2(2m1＋m3)v2＝m1g(x1＋x2) 结合 kx1＝m1g，kx2＝m2g 得 v＝ 2m1m1＋m2g2 . k2m1＋m3
B 球机械能守恒，但B 球除受重力以外还有杆的弹力，杆的弹
力不像绳，方向并不一定沿杆的方向，即在做圆周运动时杆的 弹力可能做功，所以B 球机械能不一定守恒.再看A 球的动能增 加了，势能也增加了，A 球的能量哪里来的呢？只能是杆对 A 球做功而来，所以B 球受到的杆的弹力也做功.所以对A、B 单 个物体来说，机械能都不守恒.但杆并不存在弹性势能，所以对
小球 A 和 B，中间用轻质杆相连，在杆的中点 O 处有一固定转 动轴，把杆置于水平位置后释放，在 B 球顺时针摆动到最低位 置的过程中( )
图 5－3－6
A．B 球的重力势能减少，动能增加，B 球和地球组成的系 统机械能守恒 B．A 球的重力势能增加，动能也增加，A 球和地球组成的 系统机械能不守恒 C．A 球、B 球和地球组成的系统机械能守恒 D．A 球、B 球和地球组成的系统机械能不守恒
题组1
对应考点1
1．(2010 年上海卷)高台滑雪运动员腾空跃下，如果不考虑空 气阻力，则下落过程中该运动员机械能的转换关系是( A．动能减少，重力势能减少
)
B．动能减少，重力势能增加
C．动能增加，重力势能减少
D．动能增加，重力势能增加
解析：高度降低，重力做正功，重力势能减少，动能增加．
C 正确．
(3)选手从最低点开始做平抛运动，设落点距最低点的水平 距离为x，有x＝vt ②
1 2 H－l＝2gt 由①②③式解得 x＝2 lH－l1－cosα H 当 l＝ 2 时，x 有最大值，解得 l＝1.5 m
③
因此，两人的看法均不正确．当绳长越接近 1.5 m 时，落 点距岸边越远．
易错点 从能量转化观点解决机械能守恒问题 【例题】(双选)如图 5－3－6，质量分别为 m 和 2m 的两个
平方向，AB 管内有一原长为 R、下端固定的轻质弹簧．投饵时，
中的机械能损失，且锁定和解除锁定时，均不改变弹簧的弹性
势能．已知重力加速度为 g.求：
(1)质量为 m 的鱼饵到达管口 C 时的速度大 小 v1; (2)弹簧压缩到 0.5R 时的弹性势能Ep; (3) 已知地面与水面相距 1.5R，若使该投 饵管绕 AB 管的中轴线 OO′在 90°角的范围 内来回缓慢转动，每次弹射时只放置一粒鱼饵， 2 鱼饵的质量在—m到m之间变化，且均能落到 3
(3)不考虑因缓慢转动装置对鱼饵速度大小的影响，质量为
m 的鱼饵离开管口C 后做平抛运动，设经过t 时间落到水面上，
离OO′的水平距离为x1，由平抛规律知
1 2 4.5R＝2gt x1＝v1t＋R 由⑤⑥两式得 x1＝4R ⑤ ⑥ ⑦
2 当鱼饵的质量为3m 时，设其到达管口 C 时速度大小为 v2， 由机械能守恒定律知
能减少，动能增加，但机械能是否守恒不确定．A 球在B 球下
摆过程中，重力势能增加，动能增加，机械能增加．由于A、
B 系统只有重力做功，系统机械能守恒，A 球机械能增加，B 球
机械能一定减少．所以B、C 选项正确．
指点迷津：在分析机械能是否守恒时可以看力做功和能的 转化.本题中 B 球下落初看起来重力势能减少wenku.baidu.com动能增加，似乎
2 12 2 Ep＝3mg(1.5R＋R)＋23mv2 由④⑧两式解得 v2＝2 gR
⑧ ⑨
2 质量为3m 的鱼饵落到水面时上时，设离 OO′的水平距离 为 x2，则 x2＝v2t＋R 由⑤⑨⑩三式解得 x2＝7R 鱼饵能够落到水面的最大面积 S 为 1 2 33 2 2 S＝4(πx2－πx1)＝ 4 πR . ⑩