士兵考军校数学模拟试题

数学试卷

注意：本试卷共三大题，满分150分

一 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把该选项的代号写在题后的括号内。） 1设集合{}

(){}

R x x y y x N R x x y y M ∈+==∈+==,1,,,12，则N M （ ） A ∅ B {}0 C {}1,0 D {}1

2已知不等式()

()01242

2

<-+--x a x a 对R x ∈恒成立，则a 的取值范围是 （ ）

A a ≤2-

B 2-≤a 56<

C 2-5

6

<> B. c a b >> C. b a c >> D. a c b >> 4设0>ω，函数2)3

sin(++

=π

ωx y 的图像向右平移

3

4π

个单位后与原图像重合，则ω的最小值是 （ ） A

32 B 34 C 2

3

D 3 5设)(x f 为定义在R 上的奇偶数，当x ≥0时，b x x f x

++=22)(（b 为常数），则()=-1f

（ ） A 3 B 2 C -1 D -3 6 ()(

)

3

4

11x x -

-的展开式2x 的系数是 （ ）

A -6

B -3

C 0

D 3

7 设向量a ，b 满足：,4,3==b a a ·b = 0 ，以a ，b ，b a - 的模为边长构成三角

形，则它的边长与半径为1的圆的公共点的个数最多为

（ ）

A 3

B 4

C 5

D 6

8 设n m ,是平面α内的两条不同直线，21,l l 是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是 （ ） A m ∥β且1l ∥α B m ∥1l 且n ∥2l C m ∥β且n ∥β D m ∥β且n ∥2l

二 填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中横线上。）

9 函数x x y sin 162+-=的定义域 。

10 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若,24,363==S S 则9a = 。

11

=++++∞→)3

1

31311(lim 2n x 。 12 在120°的两面角内放置一个半径为5的小球，它与二面角的两个面相切于A 、B 两点，则这两个点在球面上的距离为 。 13 的值域为2cos 4sin 2

+-=x x y 。 14 设=⎪⎭

⎫

⎝⎛'=21cos )(πf x

x f ，则 。 15 已知抛物线x y 42

=，过点()0,4P 的直线与抛物线相交于()()2211,,,y x B y x A 两点，则2

221y y +的最小值是 。

三 解答题（本大题共7小题，共75分。解答应写出文子说明、证明过程或演算步骤） 16 （本小题共10分）

求函数x x x x y 4

2

cos 4cos 4cos sin 47-+-=的最大值与最小值。

17 （本小题共10分）

求解方程：(

)

2313log 13log 1

33=⎪⎭

⎫

⎝

⎛---x x

18 （本小题共10分）

设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知24,111+==+n n a S a 。 （1） 设n n n a a b 21-=+，证明数列{}n b 是等比数列； （2） 求数列{}n a 的通项公式。

19 （本小题共10分）

设向量()()()ββββααsin 4,cos ,cos 4,sin ,sin ,cos 4-===c b a 。 （1） 若a 与c b 2-，求()βα+tan 得值； （2） 求c b +得最大值。

20 （本小题共10分）

已知a 是实数，函数()a x x x f -=

)(。

（1） 求函数)(x f 的单调区间，说明)(x f 在定义域上有最小值 （2） 设()a m 为)(x f 的定义域上的最小值，写出()a m 的表达式； （3） 当a = 10 时，求出()10)(-=x x x f 在区间[]3,0上的最小值。

21 （本小题共10分）

如图所示，已知ABC C B A -111是正棱柱，AC D 是的中点，11BC AB ⊥。求二面角

C BC

D --1的度数。

1A A D 1C C

1B B

22 （本小题共15分）

已知椭圆12

22

=+y x 的左焦点为F ，坐标原点为O 。

（1） 求过点F O 、，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；

（2） 设过点F 的直线交椭圆于B A 、两点，并且线段AB 的中点在直线0

=+y x 上，求直线AB 的方程。

第一套答案

1

2

3

答案：A 4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16