物理学7章习题解答

[物理学7章习题解答]

7-2 一个运动质点的位移与时间的关系为

m ,

其中x的单位是m，t的单位是s。试求：

(1)周期、角频率、频率、振幅和初相位；

(2) t = 2 s时质点的位移、速度和加速度。

解

(1)将位移与时间的关系与简谐振动的一般形式

相比较，可以得到

角频率s1, 频率, 周期, 振幅,

初相位.

(2) t = 2 s时质点的位移

.

t = 2 s时质点的速度

.

t = 2 s时质点的加速度

.

7-3 一个质量为2.5 kg的物体系于水平放置的轻弹簧的一端，弹簧的另一端被固定。若弹簧受10 n的拉力，其伸长量为5.0 cm，求物体的振动周期。

解根据已知条件可以求得弹簧的劲度系数

,

于是，振动系统的角频率为

.

所以，物体的振动周期为

.

7-4求图7-5所示振动装置的振动频率，已知物体的质量为m，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1 和k2。

解 以平衡位置o 为坐标原点，建立如图7-5所示的坐标系。若物体向右移动了x ，则它所受的力为

.

根据牛顿第二定律，应有

,

改写为

.

所以

,

.

7-5 求图7-6所示振动装置的振动频率，已知物体的质量为m ，两个轻弹簧的劲度系数分别为k 1 和k 2。

解 以平衡位置o 为坐标原点，建立如图7-6所示的坐标系。当物体由原点o 向右移动x 时，弹簧1伸长了

x 1 ，弹簧2伸长了x 2 ，并有

.

物体所受的力为

,

式中k 是两个弹簧串联后的劲度系数。由上式可得 , .

于是，物体所受的力可另写为

,

由上式可得 ,

所以

.

图7-5 图7-6

装置的振动角频率为

,

装置的振动频率为

.

7-6仿照式(7-15)的推导过程，导出在单摆系统中物体的速度与角位移的关系式。

解由教材中的例题7-3，单摆的角位移与时间t的关系可以写为

cos ( t+) ,

=

单摆系统的机械能包括两部分, 一部分是小物体运动的动能

,

另一部分是系统的势能，即单摆与地球所组成的系统的重力势能

.

单摆系统的总能量等于其动能和势能之和，即

,

因为, 所以上式可以化为

.

于是就得到

,

由此可以求得单摆系统中物体的速度为

.

这就是题目所要求推导的单摆系统中物体的速度与角位移的关系式。

7-7 与轻弹簧的一端相接的小球沿x轴作简谐振动，振幅为a，位移与时间的关系可以用余弦函数表示。若在t = 0时，小球的运动状态分别为

(1) x = a；

(2)过平衡位置，向x轴正方向运动；

(3)过x =处，向x轴负方向运动；

(4)过x =处，向x轴正方向运动。

试确定上述各状态的初相位。

解

(1)将t = 0和x =a代入

,

得

,

.

(2)根据以及，可以得到

,

.

由上两式可以解得

.

(3)由和v < 0可以得到

,

.

由上两式可以解得

.

(4)由和v > 0可以得到

,

.

由上两式可以解得

.

7-8 长度为l的弹簧，上端被固定，下端挂一重物后长度变为l + s，并仍在弹性限度之内。若将重物向上托起，使弹簧缩回到原来的长度，然后放手，重物将作上下运动。

(1)证明重物的运动是简谐振动；

(2)求此简谐振动的振幅、角频率和频率；

(3)若从放手时开始计时，求此振动的位移与时间的关系(向下为

正)。

解

(1)以悬挂了重物后的平衡位置o为坐标原点，建立如图7-7所示的

坐标系。因为当重物处于坐标原点o时重力与弹力相平衡，即

,

图7-7

. (1)

当重物向下移动x时，弹簧的形变量为(s + x )，物体的运动方程可以写为

,

将式(1)代入上式，得

,

即

. (2)

重物的运动满足这样的微分方程式，所以必定是简谐振动。

(2)令

, (3)

方程式(2)的解为

. (4)

振幅可以根据初始条件求得：当t = 0 时，x0 = s，v0 = 0，于是

.

角频率和频率可以根据式(3)求得：

,

.

(3)位移与时间的关系：由, 以及当t = 0 时，x0 = s，v0 = 0，根据式(4)，可以得到

,

.

由以上两式可解得

. 故有

.

7-9 一个物体放在一块水平木板上，此板在水平方向上以频率作简谐振动。若物

体与木板之间的静摩擦系数为

，试求使物体随木板一起振动的最大振幅。

解 设物体的质量为m ，以平衡位置o 为坐标原点建立如图7-8所示的坐标系。

由于物体与木板之间存在静摩擦力，使物体跟随木板一起在水平方向上作频率为

的简谐振动。

振动系统的加速度为

,

可见，加速度a 的大小正比与振幅a ，在最大位移处加速度为最大值

.

最大加速度a max 对应于最大振幅a max ，而与此最大加速度所对应的力应小于或等于重物与木板之间的最大静摩擦力，物体才能跟随木板一起振动。所以可以列出下面的方程式

,

.

由以上两式可以解得使物体随木板一起振动的最大振幅，为

.

7-10 一个物体放在一块水平木板上，此板在竖直方向上以频率作简谐振动。试求物体和木板一起振动的最大振幅。

解 设物体的质量为m ，以平衡位置o 为坐标原点建立如图7-9所示的坐标系。物体所受的力，有向下的重力m g 和向上的支撑力n ，可以列出下面的运动方程

. (1)

由简谐振动 ,

图7-8

图7-9