第二章-概率论解析答案习题解答

第二章 随机变量及其分布

I 教学基本要求

1、了解随机变量的概念以及它与事件的联系；

2、理解随机变量的分布函数的概念与性质；理解离散型随机变量的分布列、连续型随机变量的密度函数及它们的性质；

3、掌握几种常用的重要分布：两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布，且能熟练运用；

4、会求简单随机变量函数的分布.

II 习题解答

A 组

1、检查两个产品，用T 表示合格品，F 表示不合格品，则样本空间中的四个样本点为

1(,)F F ω=、2(,)T F ω=、3(,)F T ω=、4(,)T T ω=

以X 表示两个产品中的合格品数.

(1) 写出X 与样本点之间的对应关系；

(2) 若此产品的合格品率为p ，求(1)p X =？ 解：(1) 10ω→、21ω→、31ω→、42ω→；

(2) 1

2(1)(1)2(1)p X C p p p p ==-=-.

2、下列函数是否是某个随机变量的分布函数？

(1) 021()2021

x F x x x <-⎧⎪⎪

=-≤<⎨

⎪≥⎪⎩； (2) 2

1

()1F x x

=

+()x -∞<<+∞. 解：(1) 显然()F x 是单调不减函数；0()1F x ≤≤，且()0F -∞=、()1F +∞=；

(0)()F x F x +=，故()F x 是某个随机变量的分布函数.

(2) 由于()01F +∞=≠，故()F x 不是某个随机变量的分布函数. 3、设X 的分布函数为

(1)0

()00

x A e x F x x -⎧-≥=⎨

<⎩

求常数A 及(13)p X <≤？

解：由()1F +∞=和lim (1)x

x A e A -→+∞

-=得

1A =；

(13)(3)(1)(3)(1)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 3113(1)(1)e e e e ----=---=-.

4、设随机变量X 的分布函数为

2

00()0111

x F x Ax x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩

求常数A 及(0.50.8)p X <≤？

解：由(10)(1)F F +=得

1A =；

(0.50.8)(0.8)(0.5)(0.8)(0.5)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 220.80.50.39=-=.

5、设随机变量X 的分布列为

()a

p X k N

==

(1,2,,)k N =

求常数a ？

解：由

1

1i

i p

+∞

==∑得

11N

k a

N

==∑ 1a ⇒=.

6、一批产品共有100个，其中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的分布列？ 解：设X 表示5个产品中的次品数，则X 是离散型随机变量，其所有可能取值为0、1、…、5，且

0510905100(0)C C p X C ==、1410905100(1)C C p X C ==、2310905100(2)C C p X C ==、321090

5100

(3)C C p X C ==、

4110905100(4)C C p X C ==、50

1090

5100

(5)C C p X C ==

于是X 的分布列为

51090

5

100

()k k

C C p X k C -==(0,1,,5)k =.

7、设10件产品中有2件次品，进行连续无放回抽样，直至取到正品为止，以X 表示抽样次数，求

(1) X 的分布列； (2) X 的分布函数？

解：(1) 由题意知X 是离散型随机变量，其所有可能取值为1、2、3，且

84(1)105p X ==

=、288(2)10945p X ==⨯=、2181

(3)109845

p X ==⨯⨯=

于是X

(2) 由(1)可知的分布函数为

01412

5()44234513

x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨

⎪≤<⎪⎪≥⎩

.

8、设随机变量X 的分布函数为

010.211

()0.3

120.5231

3

x x F x x x x <-⎧⎪-≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩ 求X 的分布列？

解：X 9、某大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻每一设备被使用的概率为0.1，求在同一时刻

(1) 恰有2个设备被使用的概率； (2) 至少有3个设备被使用的概率； (3) 至多有3个设备被使用的概率？

解：设X 表示被同时使用的供水设备数，则~(5,0.1)X b (1) 恰有2个设备被使用的概率为

2235(2)(0.1)(0.9)0.0729p X C ===；

(2) 至少有3个设备被使用的概率为

(3)(3)(4)(5)p X p X p X p X ≥==+=+=

33244550555(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.00856C C C =++=；

(3) 至多有3个设备被使用的概率为

(3)1(4)(5)p X p X p X ≤=-=-=

44550551(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.99954C C =--=.

10、经验表明：预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为20%，如今餐厅有50个座位，但预定给了52位顾客，求到时顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少？

解：设X 表示预定的52位顾客中不来就餐的顾客数，则~(52,0.2)X b ，由于“顾客来到餐厅没有座位”等价于“52位顾客中至多有1位不来就餐”，于是所求概率为

00521

1515252(1)(0)(1)(0.2)(0.8)(0.2)(0.8)p X p X p X C C ≤==+==+

0.0001279=.

11、设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3的泊松分布，求 (1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率； (2) 在一周内至少发生1次交通事故的概率？

解：设X 表示该城市一周内发生交通事故的次数，则~(0.3)X P (1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率

20.3

0.3(2)0.03332!

p X e -===；

(2) 在一周内至少发生1次交通事故的概率

00.3

0.3(1)1(0)10.2590!

p X P X e -≥=-==-=.

12、设X 服从泊松分布，已知(1)(2)p X p X ===，求(4)p X =？ 解：由(1)(2)p X p X ===得

2

2

e

e λ

λλλ--=

2λ⇒=

42

2(4)0.09024!

p X e -⇒===.

13、一批产品的不合格品率为0.02，现从中任取40件进行检查，若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品，分别用以下方法求拒收的概率：

(1) 用二项分布作精确计算； (2) 用泊松分布作的似计算？

解：设X 表示抽取的40件产品中的不合格品数，则~(40,0.02)X b