用二次函数解决生活问题

用二次函数解决生活问题

二次函数是反映现实世界中变量间的数量关系和变化规律的常见的数学模型．将实际问题中的变量关系转化成二次函数后，就可以利用二次函数的图象和性质加以解决，其关键是从实际问题中抽象出数学模型．

一、以现实的生活为背景，通过对投掷、跳水、跳远、拱桥、隧道等“抛物线”的探究，建立合理的平面直角坐标系，利用待定系数确定二次函数的表达式例1 如图1，一位运动员在距篮圈中心水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运动的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．求抛物线的关系式．

分析：由函数图象的对称轴为y轴，故可设篮球运行的路线所对应的函数关系式为y=ax2+k（a≠0，k≠0）．

解：设函数关系式为y=ax2＋k（a≠0），

由题意可知，A、B两点坐标为（1.5，3.05），（0，3.5）．

则

2

1.5 3.05

3.5.

a k

k

⎧+=

⎨

=

⎩

，

解得a=－0.2，

∴抛物线对应的函数关系式为y=-0.2x2＋3.5．

例2 如图2，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB＝20米，顶点M距水面6米（即MO＝6米），小孔顶点N距水面4.5米（NC＝4.5米）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图3中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF．

图2

图3

分析：观察图3的图象可知抛物线的对称轴为y轴，顶点为（0，6），故可设函数关系式为y=ax2＋6．又因为AB＝20，所以OB＝10，故B（10，0）又在抛物线上，可代入求值．

解：设抛物线所对应的函数关系式为y=ax2＋6．

依题意，得B（10，0）．

∴a×102＋6＝0．

解得a=－0.06．即y=－0.06x2＋6．

当y=4.5时，－0.06x2＋6=4.5，解得x=±5．

∴DF＝5，EF＝10．

即水面宽度为10米．

二、在几何图形中，利用图形的面积、相似三角形等有关知识获得y与x

的关系式

例3 如图4，用长为l2 m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃．围出的苗圃是五边形ABCDE，AE⊥AB，BC⊥AB，∠C=∠D=∠E．设CD=DE=xm，五边形ABCDE的面积为Sm2．问当x取什么值时，S最大?并求出S的最大值．

分析：本题可通过对图形的适当分割，转化为比较熟悉的三角形、特殊四边形的面积问题来解决．

解：连结EC，作DF⊥EC，垂足为F．

∵∠DCB=∠CDE=∠DEA，∠EAB=∠CBA=90°，

∴∠DCB=∠CDE=∠DEA=120°．

∵DE=CD，∴∠DEC=∠DCE=30°，∴∠CEA=∠ECB=90°．

∴四边形EABC为矩形，

∴∴AE=6－DE =6－x，DF=1

2

x，EC=x3．

∴S =)60(364

332<<+-x x x ． 故当4)433(23

6=-⨯=

x 时，312=最大S m 2． 关于二次函数的实际应用，体现在生活中的方方面面。关键是同学们掌握这种处理实际问题的思路，达到举一反三的效果，不管题目背景如何变化，但它万变不离其宗，只要我们有了这种方法，任何问题都可以迎刃而解．