高中数学专题训练(教师版)—函数的奇偶性和周期性

高中数学专题训练（教师版）—函数的奇偶性和周期性

一、选择题

1．下列函数中，不具有奇偶性的函数是( )

A ．y ＝e x －e －x

B ．y ＝lg 1＋x 1－x

C ．y ＝cos2x

D ．y ＝sin x ＋cos x

答案 D

2．(2011·山东临沂)设f (x )是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是( )

A ．f (x )f (－x )是奇函数

B ．f (x )|f (－x )|是奇函数

C ．f (x )－f (－x )是偶函数

D ．f (x )＋f (－x )是偶函数

答案 D

3．已知f (x )为奇函数，当x >0，f (x )＝x (1＋x )，那么x <0，f (x )等于( )

A ．－x (1－x )

B ．x (1－x )

C ．－x (1＋x )

D ．x (1＋x )

答案 B

解析 当x <0时，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝x (1－x )．

4．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，则g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是( )

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．非奇非偶函数

D ．既奇又偶函数

答案 A

解析 由f (x )是偶函数知b ＝0，∴g (x )＝ax 3＋cx 是奇函数．

5．(2010·山东卷)设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )

A ．3

B ．1

C ．－1

D ．－3

答案 D

解析 令x ≤0，则－x ≥0，所以f (－x )＝2－x －2x ＋b ，又因为f (x )在R 上是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )且f (0)＝0，

即b ＝－1，f (x )＝－2－x ＋2x ＋1，所以f (－1)＝－2－2＋1＝－3，故选D.

6．(2011·北京海淀区)定义在R 上的函数f (x )为奇函数，且f (x ＋5)＝f (x )，若f (2)>1，f (3)＝a ，则( )

A ．a <－3

B ．a >3

C ．a <－1

D ．a >1

答案 C

解析 ∵f (x ＋5)＝f (x )，∴f (3)＝f (－2＋5)＝f (－2)，又∵f (x )为奇函数，∴f (－2)＝－f (2)，又f (2)>1，∴a <－1，选择

C.

7．(2010·新课标全国卷)设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( )

A ．{x |x <－2或x >4}

B ．{x |x <0或x >4}

C ．{x |x <0或x >6}

D ．{x |x <－2或x >2}

答案 B

解析 当x <0时，－x >0，

∴f (－x )＝(－x )3－8＝－x 3－8，

又f (x )是偶函数，

∴f (x )＝f (－x )＝－x 3－8，

∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x 3－8，x ≥0－x 3－8，x <0. ∴f (x －2)＝⎩⎪⎨⎪⎧

(x －2)3－8，x ≥0－(x －2)3－8，x <0， ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0(x －2)3－8>0或⎩⎪⎨⎪⎧

x <0－(x －2)3－8>0， 解得x >4或x <0.故选B.

二、填空题

8．设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，则a ＝________.

答案 －1

解析 f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a .

∵f (x )为偶函数，∴a ＋1＝0，∴a ＝－1.

9．设f (x )＝ax 5＋bx 3＋cx ＋7(其中a ，b ，c 为常数，x ∈R )，若f (－2011)＝－17，则f (2011)＝________.

答案 31

解析 f (2011)＝a ·20115＋b ·20113＋c ·2011＋7

f (－2011)＝a (－2011)5＋b (－2011)3＋c (－2011)＋7

∴f (2011)＋f (－2011)＝14，∴f (2011)＝14＋17＝31.

10．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1的图象关于________点对称．

答案(0,1)

解析 f (x )的图象是由y ＝x 3＋sin x 的图象向上平移一个单位得到的．

11．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，总有f (x ＋2)＝－f (x )成立，则f (19)＝________.

答案 0

解析 依题意得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是以4为周期的函数，因此有f (19)＝f (4×5－1)＝f (－1)＝f (1)，且f (－1＋2)＝－f (－1)，即f (1)＝－f (1)，f (1)＝0，因此f (19)＝0.

12．定义在(－∞，＋∞)上的函数y ＝f (x )在(－∞，2)上是增函数，且函数y ＝f (x ＋2)为偶函数，则f (－1)，f (4)，f (512

)的大小关系是__________．

答案 f (512

)

∴y ＝f (x )关于x ＝2对称

又y ＝f (x )在(－∞，2)上为增函数

∴y ＝f (x )在(2，＋∞)上为减函数，而f (－1)＝f (5)

∴f (512

)＜f (－1)＜f (4)． 13．(2011·山东潍坊)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f (x )的判断：

①f (x )是周期函数；

②f (x )关于直线x ＝1对称；

③f (x )在[0,1]上是增函数；

④f (x )在[1,2]上是减函数；

⑤f (2)＝f (0)，

其中正确的序号是________．

答案 ①②⑤

解析 由f (x ＋1)＝－f (x )得

f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，

∴f (x )是周期为2的函数，①正确，

f (x )关于直线x ＝1对称，②正确，

f (x )为偶函数，在[－1,0]上是增函数，

∴f (x )在[0,1]上是减函数，[1,2]上为增函数，f (2)＝f (0)．因此③、④错误，⑤正确．综上，①②⑤正确．

三、解答题

14．已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，求f (x )、g (x )的解析式．

答案 f (x )＝x 2－2，g (x )＝x

解析 ∵f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2.①

∴f (－x )＋g (－x )＝(－x )2＋(－x )－2.

又∵f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，

∴f (x )－g (x )＝x 2－x －2.②

由①②解得f (x )＝x 2－2，g (x )＝x .

15．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且函数f (x )在[0,1)上单调递减，并满足f (2－x )＝f (x )，若方程f (x )＝－1在[0,1)上有实数根，求该方程在区间[－1,3]上的所有实根之和．

答案 2

解析 由f (2－x )＝f (x )可知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又因为函数f (x )是奇函数，则f (x )在(－1,1)上单调递减，根据函数f (x )的单调性，方程f (x )＝－1在(－1,1)上有唯一的实根，根据函数f (x )的对称性，方程f (x )＝－1在(1,3)上有唯一的实根，这两个实根关于直线x ＝1对称，故两根之和等于2.

16．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a

是奇函数． (Ⅰ)求a ，b 的值；

(Ⅱ)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．

答案 (1)a ＝2，b ＝1 (2)k <－13