矩阵分析结课论文

矩阵分析在电路中的应用

本人主要通简单的实例，进行浅显地说明矩阵在求解方程过程中的应用：第一，通过矩阵进行相容方程的求解；第二，通过矩阵进行不相容方程的求解；其中，在不相容方程的求解过程中，会涉及到广义逆矩阵、伪逆矩阵以及矩阵的满秩分解。在具有实际物理背景下的有关方程组能够通过矩阵的理论知识，得到、高效地求解。

一、 矩阵在相容方程求解中的应用

已知n 元线性方程组如下表示：

11112211

21122222

1122...............n n n n n n nn n n

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨

⎪⎪+++=⎩ 其矩阵的表达形式如下：

111112*********

2n n n n nn n n x b a a a a a a x b a a a x b ⎡⎤⎡⎤

⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 矩阵A 可记为

1112121

2221

2

n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

如果矩阵A 满秩，且非矛盾方程，则可以通过消元法计算出每个未知量。见如下示例：

例1设桥式电路中闭合回路的电流分别为

3

21I I I 、、，如图2所示：

图2

已知14

,1,2,1,1,254321======E R R R R R ，计算流过中央支路AB 的电

流AB I .

解：由基尔霍夫第二定律（电压定律）得如下方程组：

⎪⎩

⎪

⎨⎧=-+-=-+-+=-+-+E

I I R I I R I I R I I R I R I I R I I R I R )()(0)()(0

)()(2341321253242331221511

即

⎪⎩⎪

⎨⎧=+--=-+-=--14

3202404321

321321I I I I I I I I I

同样计算如下几个行列式

2132124

1

114=------=A

8432

1424

1101=----=D

1263

14120

11042=----=D 210

14

2104

1

0143=----=D 所以

10,6,4332211======

A

D I A D

I A D I

从而，流过中央支路AB 的电流为221-=-=I I I AB . 即电流是从B 流向A 的.

二、 矩阵在不相容方程组求解中的应用

但是在实际问题中，会出现A 不满秩，需要根据实际情况补充相关的方程，使得方程封闭；同时，在求解的实际问题当中，可能会出现矛盾方程，因为这些系数不是通过理论的推导得到，而是经过数值的计算或是实验的测量，往往不是精确解。

如何才能得到满足精度要求，且得到最优的解。这就用到矩阵的广义逆相关理论知识。

若线性方程组Ax b =，对于任意m 维向量()b R A ∈，有使解x A b -=成立的A -存在时，便称A -为A 矩阵的广义逆矩阵。广义逆矩阵应满足AA A A -=。 设,,m n n A C b C ⨯∈∈n 维向量0x 满足对于任何一个n 维向量x ，都有

22

0Ax b Ax b -≤-

便称0x 是方程组Ax b =的一个最小二乘解。

x A b -=是方程组的最小二乘解，其中广义逆矩阵A -还需满足Penrose-Moore 方程（1）、（3）。即满足()H

AA AA --=、()H

A A A A --=。

有了广义逆便可以得到矛盾方程的最小二乘解，也就是可以得到一组近似解，该近似解带入原方程后，与方程右端b 向量的误差最小。

通过广义逆，可以求解矛盾方程，但是对于一个确定的矩阵（对应一个方程组）有着多个符合上述条件的广义逆矩阵，这样带来新的问题便是如何在这多组最小二乘解中确定一组最优解。

矩阵分析给出了最佳最小二乘解，也就是所有最小二乘解中，解向量模长最小的一组解。{}0min u x =，则u 为最佳最小二乘解。

在求解最佳最小二乘解时，需要系数矩阵A 的伪逆矩阵A +。伪逆矩阵是唯一的，这也对应着最佳最小二乘解唯一性。把满足Penrose-Moore 4个方程的矩阵定义为伪逆矩阵。

伪逆矩阵A +的求法一般通过矩阵A 的满秩分解A=BC ，得到矩阵B 、C ，然

后以某一算法求得对应的伪逆矩阵，一般通过A +=()()

1

1

H H H

H C CC B B B --得到伪

逆矩阵。

通过一个示例给出矩阵的满秩分解方法， 例2求矩阵

1415

6200014124012

6557A -⎡⎤

⎢⎥-⎢

⎥=⎢⎥

--⎢⎥

--⎣⎦ 的满秩分解。

解：对矩阵A 只做初等行变换

1000

71415610

290

10

20001477124015

25001

7

72

65

5

70

000

0A -⎡⎤⎢

⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥

⎢

⎥=→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢

⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦

注意将矩阵化为阶梯型矩阵，且每行首元素为1，并且该元素1所在列的其他元素必为0。然后以主元所在列对应变换前的矩阵A 的各列向量构成矩阵B

1

412001242

65B -⎡⎤⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥

--⎢⎥-⎣⎦

以阶梯矩阵主元所在行向量构成矩阵C

1000710

29010

77525001

77C ⎡

⎤

⎢⎥-⎢

⎥⎢⎥

=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

容易验证A=BC

在构造B 矩阵时，若所化简的阶梯阵形式不同，则所选取的列向量会有差别，这也导致了矩阵的满秩分解不唯一。那么，是否与伪逆矩阵的唯一性相协调？