平抛与圆周运动相结合专项训练卷

2013-2014学年度北京师范大学万宁附属中学
平抛运动与圆周运动相结合训练卷
考试范围：平抛 圆周 机械能；命题人：王占国；审题人：孙炜煜
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（题型注释）
6．如图所示，半径为R ，内径很小的光滑半圆细管竖直放置，一质量为m 的小球A 以某一速度从下端管口进入，并以速度1v 通过最高点C 时与管壁之间的弹力大小为
mg 6.0，另一质量也为m 小球B 以某一速度从下端管口进入，并以速度2v 通过最高点C
时与管壁之间的弹力大小为mg 3.0,且21v v >，2
10s m g =。

当A 、B 两球落地时，落地点与下端管口之间的水平距离B x 、A x 之比可能为（ ）
A.
27=
A B x x B. 213
=A B x x C.
47=
A B x x D. 4
13
=A B x x 【答案】CD 【解析】
试题分析：若A 球通过最高点时，对细管是向下的压力，则B 也是向下的压力，则根据
牛顿第二定律可得，'210.6v mg mg m R
-=,解得：'
10.4v gR ,'220.3v mg mg m R -=,
解得'
20.7v gR
故对A 只能有：'210.6v mg mg m R
+=解得：'
1 1.6v gR =
对 B 有：'220.3v mg mg m R -=,解得'
20.7v gR =或者'220.3v mg mg m R
+=解得
'
2 1.3v gR =通过C 点后，小球做平抛运动，所以水平位移x vt =，因为距离地面的高度相同，所以
落地时间相同，故可得47=
A B x x 或者4
13
=A B x x 故选CD
考点：考查了平抛运动
点评：做本题的关键是知道小球在C 点的向心力来源，可根据21v v >判断
7．如图所示，半径为R 的半圆形圆弧槽固定在水平面上，在圆弧槽的边缘A 点有一小球（可视为质点，图中未画出），今让小球对着圆弧槽的圆心O 以初速度0v 作平抛运动，从抛出到击中槽面所用时间为
g
R
（g 为重力加速度）。

则平抛的初速度可能是
A ．
gR
v 23
20-=
B ．
gR
v 2320+=
C ．
0332
v gR
+=
D ．
gR
v 2
330-=
【答案】AB 【解析】
试题分析：平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动．由竖直位移2122
R
h gt =
=，小球可能落在左半边也可能落在右半边，水平位移有两个值，由勾股定理可求出分别为0
cos30,cos30R R R R -+，由水平方向匀速直线运动可求
出两个水平速度分别为
gR
v 2
3
20-=
、
gR
v 2
320+=
AB 对。

故选:AB ．
考点：平抛运动．
点评：解决本题的关键掌握平抛运动的规律，知道平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动．
8．如图所示，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆，O 为圆心，AB 为沿水平方向的直径。

若在A 点以初速度v 1沿AB 方向平抛一小球，小球将击中坑壁上的最低点D 点；若A 点小球抛出的同时，在C 点以初速度v 2沿BA 方向平抛另一相同质量的小球并也能击中D 点。

已知∠COD = 60°，且不计空气阻力，则（ ）
A ．两小球同时落到D 点
A
O B
R
B ．两小球在此过程中动能的增加量相等
C ．在击中
D 点前瞬间，重力对两小球做功的功率不相等 D ．两小球初速度之比
12:6:3=v v
【答案】CD 【解析】
试题分析：平抛运动飞行时间只与高度有关，A 点小球后落到D 点，选项A 错误；由动能定理，两小球在此过程中动能的增加量不相等，选项B 错误；在击中D 点前瞬间，重力对两小球做功的功率不相等，选项C 正确；由平抛运动规律，11 R v t =，21R gt 2
=
；2260 Rsin v t ︒=，()2
11602
R cos gt -︒=
；联立解得v 1∶v 2=6∶3，选项D 正确 考点：考查了平抛运动的应用，
点评：做解此类型的问题时，需要结合数学知识求解，所以要在平时的训练中，训练数物结合的思想
9．如图所示，在竖直平面内有一半圆形轨道，圆心为O 。

一小球（可视为质点）从与圆心等高的圆形轨道上的A 点以速度v 0水平向右抛出，落于圆轨道上的C 点。

已知OC 的连线与OA 的夹角为θ，重力加速度为g ，则小球从A 运动到C 的时间为( )
A ．
02v g cot 2
θ
B ．
0v g tan 2
θ
C ．
0v g cot 2
θ
D ．
02v g tan 2
θ
【答案】A
【解析】
试题分析：小球以速度0v 水平向右抛出，做平抛运动，水平方向有0cos R R v t θ-=，竖直方向有2
1sin 2
R gt θ=
，解得0022sin cot 1cos 2v v t g g θθθ=⋅
=-。

故选A
考点：平抛运动规律的应用
点评：解决本题的关键是由图得出合位移大小和方向，从而运用几何知识和运动学知识表示出竖直和水平方向的速度与位移．
10．水平光滑直轨道ab 与半径为R 的竖直半圆形光滑轨道bc 相切，一小球以初速度v 0沿直线轨道向右运动，如图所示，小球进入圆形轨道后刚好能通过c 点，然后小球做平抛运动落在直轨道上的d 点，则（ ）
A ．小球到达c 点的速度为gR
B ．小球到达b 点时轨道的压力为5mg
C ．小球在直轨道上的落点d 与b 点距离为2R
D ．小球从c 点落到d 点所需时间为g
R 2 【答案】ACD 【解析】
二、填空题（题型注释）
三、实验题（题型注释）
四、计算题（题型注释） 11．（9分）如图所示，粗糙水平地面与半径为R=0.5m 的光滑半圆轨道BCD 相连接，且在同一竖直平面内，O 是BCD 的圆心，BOD 在同一竖直线上。

质量为m=1kg 的小物块在水平恒力F=15N 的作用下，由静止开始从A 点开始做匀加速直线运动，当小物块运动到B 点时撤去F ，小物块沿半圆轨道运动恰好能通过D 点，已知AB 间的距离为3m,重力加速度2
10m/s g =。

求：
（1）小物块运动到B 点时的速度；
（2）小物块离开D 点后落到地面上的点与B 点之间的距离。

（3）小物块在水平面上从A 运动到B 的过程中克服摩擦力做的功 【答案】（1）55/B v gR m s =（2）x=1m （3）W f =32.5J
【解析】 试题分析：（1）因为小物块恰能通过D 点，所以在D 点小物块所受重力等于向心力，即 2
D v mg m
R
= 1分
小物块由B 运动D 的过程中机械能守恒，则有 22
11222B D mv mv mgR =+ 1分 所以55/B v gR m s = 1分
(2)设小物块落地点距B 点之间的距离为x ，下落时间为t 根据平抛运动的规律D x v t = 1分
2
122
R gt =
1分
解得x=1m 1分
(3)小物块在水平面上从A 运动到B 过程中根据动能定理，有
2
12
AB f B Fx W mv -=
2分 解得：W f =32.5J 1分
考点：考查了平抛运动，机械能守恒，动能定理的应用 12．（14分）光滑水平桌面上有一轻弹簧，用质量m ＝0.4 kg 的小物块将弹簧缓慢压缩,释放后物块从A 点水平抛出, 恰好由P 点沿切线进入光滑圆弧轨道MNP ，已知其圆弧轨道为半径R ＝0.8 m 的圆环剪去了左上角135°的圆弧，P 点到桌面的竖直距离也是R ，
MN 为竖直直径，g ＝10 m/s 2
，不计空气阻力。

求：
(1)物块离开弹簧时的速度大小;
(2)物块在N 点对圆弧轨道的压力.(结果可用根式表示) 【答案】（1）4m/s （2）28+42N
【解析】
试题分析：(1)物块由A 点以初速度v A 做平抛运动，
落到P 点时其竖直速度为v y ＝2gR ， 由几何知识可知v A =V y 解得v A ＝4 m/s (2)A 到N 点，由动能定理有 mg[R+(R-Rcos45°)]=
212mv - 212
A mv 在N 点有：F-mg =2
v m R
解得F=28+42N
由牛顿第三定律可知，物体对轨道的压力大小等于F ，方向竖直向下。

考点：平抛运动 动能定理 牛顿第二定律
13．如图，斜面、水平轨道和半径R=2.5m 的竖直半圆组成光滑轨道，水平轨道与半圆的最低点相切，轨道固定在水平面上。

一个质量为m=0.1kg 的小球从水平地面上A 点斜向上抛出，并在半圆轨道最高点D 水平进入轨道，然后沿斜面向上，达到最大高度h=6.25m 。

(不计空气阻力，小球在经过斜面与水平轨道连接处时不计能量损失。

（g 取
10m/s 2
) 求
（1）小球抛出时的速度（角度可用三角函数表示）
（2）小球抛出点A到D的水平距离
（3）小球运动到半圆轨道最低点时球对轨道的压力
【答案】（1）arctan2 （2）5m (3) 11N
【解析】
(3) 根据机械能守恒定律知小球在最低点的速度为v0，由牛顿第二定律得：
N-mg=m
2
v
R
，所以：N=11N
由牛顿第三定律可知，小球运动到半圆轨道最低点时球对轨道的压力大小为11N，方向竖直向下。

考点：平抛运动机械能守恒定律牛顿运动定律
14．如图所示，在水平放置的圆盘边缘C点固定一个小桶，桶的高度不计，圆盘半径为R=1m,在圆盘直径CD的正上方，与CD平行放置一条水平滑道AB，滑道右端B与圆盘圆心O在同一竖直线上，且B点距离圆盘圆心的竖直高度h= 1.25m，在滑道左端静止放置质量为m=0.4kg的物块（可视为质点），物块与滑道的动摩擦因数为μ=0.2，现用力F=4 N的水平作用力拉动物块，同时圆盘从图示位置以角速度ω=2π rad/s，绕通过圆心O的竖直轴匀速转动，拉力作用在物块上一段时间后撤掉，最终物块由B点水平抛出，恰好落入圆盘边缘的小桶内。

(重力加速度取10m/s2。

)
（1）若拉力作用时间为0.5s ，求所需滑道的长度 （2）求拉力所做的最少的功 【答案】（1）4m (2)1.44J 【解析】 试题分析：（1）设在拉力F 作用下物体的加速度为a 1，只在滑动摩擦力作用下的加速度为a 2，根据牛顿第二定律有：F-µmg=ma 1 -µmg=ma 2
解得a 1=8m/s 2 a 2=-2m/s 2
由平抛运动规律知从B 到C 的时间为2h
g
=0.5s 所以从B 点飞出速度为 v B =
R
t
=2m/s 设拉力作用时间为t 0，则滑道的长度L 应满足：
()2
2
102102
1422B a t v L a t m a -≥+=
(2)要使拉力做功最少，则应拉力作用时间最短（或作用距离最短），则应满足圆盘在刚好转动一周时物块掉进C 中，由题可知圆盘转动周期：T=1s.由（1）的分析知从拉力开始作用到滑块到B 点所用时间等于0.5s ，设拉力作用时间为t 1,自由滑动时间为t 2， 则有v B =a 1t 1+a 2t 2，解得t 1=0.3s ，t 2=0.2s ，所以拉力做的最少的功为： W F =F ×
12
a 1t 12
=1.44J 考点：牛顿第二定律 平抛运动 圆周运动
15．如图所示，竖直放置的半径R=0.4m 的半圆形光滑轨道BCD 跟水平直轨道AB 相切于B 点，D 点为半圆形轨道的最高点。

可视为质点的物块m=0.5kg ，静止在水平轨道上A 点，物块与轨道AB 间的动摩擦因数为μ=0.2，AB 两点间的距离为l=2m 。

现给物块m 施以水平向右恒力F 作用s=1m 后撤除恒力，物块滑上圆轨道D 点时对轨道压力大小等
于物块重力。

（g 取10m/s 2
）
（1）求物块m 到达B 点时的速度大小 （2）求物块落到轨道上距B 点的距离x （3）求恒力F 的大小
【答案】（1）m s （2） （3）8N
【解析】 试题分析：（1）以物块为研究对象，根据题设及牛顿第三定律知物块滑上圆轨道D 点时，轨道对物块弹力大小等于物块重力，即N F mg =
设物块到达D 点时的速度为v D ，应用牛顿第二定律得：2
D
N v F mg m R
+=， 代入数据
解得：D v m s =
从B 到D 点过程，只有重做功，机械能守恒：22
11222
B D mv mv mgR =+ 代入数据解得：B v m s ==
（2）物块过D 点后做平抛运动，设从D 点到落到水平轨道上所需时间为t ，根据运动学规律得：
在竖直方向上：2122R gt =
，解得：0.4t s == 在水平方向上：D x v t ==
（3）物块在AB 段：水平向右恒力F 做正功，摩擦力做负功．由动能定理得：
2
12
B Fs mgl mv μ-=
解得：
(2
220.20.51020.528221
B
mgl mv
F N N s μ⨯⨯⨯⨯+⨯+==
=⨯
考点：动能定理的应用、牛顿第二定律、平抛运动、机械能守恒定律．
16．如图所示，从A 点以v 0=4m ／s 的水平速度抛出一质量m=lkg 的小物块(可视为质点)，当物块运动至B 点时，恰好沿切线方向进入光滑圆弧轨道BC ，经圆孤轨道后滑上与C 点等高、静止在粗糙水平面的长木板上，圆弧轨道C 端切线水平。

已知长木板的质量M=4kg ，A 、B 两点距C 点的高度分别为H=0．6m 、h=0．15m ，R=0．75m ，物块与长木板
之间的动摩擦因数μ1=0．5，长木板与地面间的动摩擦因数μ2=0．2。

g 取10m ／s 2
，求：
(1)小物块运动至B 点时的速度大小和方向；
(2)小物块滑动至C 点时，对圆弧轨道C 点的压力； (3)长木板至少为多长，才能保证小物块不滑出长木板? 【答案】（1）5m/s ，与水平方向成37°角斜向下（2）47.3N ，向下（3）2.8m 【解析】
试题分析：（1）物块做平抛运动：H-h=
12
gt 2
设到达C 点时竖直分速度为v y 则：v y =gt v 1＝2
2
0y v v +＝
5
4
v 0=5m/s 方向与水平面的夹角为θ，tan θ=
y v v =
3
4
，即θ=37° （2）从A 至C 点，由动能定理得mgH=
22
201122
mv mv - ① 设C 点受到的支持力为F N ，则有F N -mg=2
2
v m R
由①式可得v 2=27m/s
所以：F N =47.3 N
根据牛顿第三定律可知，物块m 对圆弧轨道C 点的压力大小为47.3N ，方向向下 （3）由题意可知小物块m 对长木板的摩擦力f=μ1mg=5N
长木板与地面间的最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力f ′=μ2（M+m ）g=10N 因f ＜f ′，所以小物块在长木板上滑动时，长木板静止不动 小物块在长木板上做匀减速运动，至长木板右端时速度刚好为0 则长木板长度至少为l=
22
12v g
μ=2.8m 。

考点：平抛运动与圆周运动的组合，动能定理、牛顿定律 17．m 为在水平传送带上被传送的小物体（可视为质点），A 为终端皮带轮，如图所示，已知皮带轮半径为r ，传送带与皮带轮间、传送带与小物体间不会打滑．当m 可被水平抛出时，
（1）A 轮每秒的转数n 最少是多少？
（2）若A 轮有上述的最小转速，且其最高点距地面高度为h ，求小物体落地的速度方向（用反三角函数表示）
【答案】（1）1
2g
n r
π=（2）arctan 2/h r θ= 【解析】
试题分析：（1）小物体在轮的最高点时有：2m v mg r =，又有2v
n r
π=
联立解得：1
2g n r
π=
（2）抛出后小物体做平抛运动有：
竖直方向有：212
h gt =
水平方向有：x vt =
落地时速度方向与水平方向的夹角为：tan gt
v
θ= 联立解得:arctan 2/h r θ=
考点：本题综合考查了圆周运动和平抛运动
18．如图所示，一小物块自平台上以速度0v 水平抛出，刚好落在邻近一倾角为053=α的粗糙斜面AB 顶端，并恰好沿该斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差032.0=h m ，小物块与斜面间的动摩擦因数为5.0=μ，A 点离B 点所在平面的高度2.1=H m 。

有一半径为R 的光滑圆轨道与斜面AB 在B 点平滑连接， 已知6.053cos 0=，
8.053sin 0=，g 取10m/s 2。

求：
（1）小物块水平抛出的初速度0v 是多少；
（2）小物块能够通过圆轨道，圆轨道半径R 的最大值。

【答案】（1）6.00=v m/s ； （2）R 最大值为
21
8
m 【解析】
试题分析：(1)小物块自平台做平抛运动，由平抛运动知识得：
8.0032.01022=⨯⨯==gh v y m/s (2分)
由于物块恰好沿斜面下滑，则0
053tan v v y =
(3分) 得6.00=v m/s (2分)
(2)设小物块过圆轨道最高点的速度为v ，受到圆轨道的压力为N 。

则由向心力公式得：
R
v m mg N 2
=+ (2分)
由功能关系得：20
02021)53cos (53
sin 53cos 21)(mv R R mg mgH mv h H mg ++=-++μ (5分)
小物块能过圆轨道最高点，必有 0≥N (1分) 联立以上各式并代入数据得：218≤
R m ，R 最大值为21
8
m (2分) 考点：平抛运动，圆周运动，功能关系
19．（15分）如图所示，质量为m 的小物块在光滑的水平面上以v 0向右做直线运动，经距离l 后，进入半径为R 光滑的半圆形轨道，从圆弧的最高点飞出恰好落在出发点
上．已知l=1.6m ，m=0.10kg ，R=0.4m ，不计空气阻力，重力加速度g=10m/s 2
．
（1）求小物块运动到圆形轨道最高点时速度大小和此时小物块对轨道的压力． （2）求小物块的初速度v 0．
（3）若轨道粗糙，则小物块恰能通过圆形轨道最高点．求小物块在这个过程中克服摩擦力所做的功．
【答案】（1）3N （2）042v m s = （3）0.6f W J =
【解析】 试题分析：（1）由题意知，物块从圆形轨道最高点飞出做平抛运动， 在水平方向：l vt =；竖直方向2
122
R gt = 代入数据解得：v=4 m/s
在最高点根据向心力公式2
v mg F m R
+=，解得：F=3N
由牛顿第三定律知小物块对轨道的压力3F F N '==
（2）从出发到运动到轨道最高点的过程根据动能定理：22011222
mg R mv mv -=- 解得：042v m s =
（3）设物块恰好能过轨道最高点时速度为v '，则2
v mg m R
'=
0v
l
再由动能定理：22
11222
f W m
g R mv mv '--=- 代入数据解得：0.6f W J =
考点：本题考查平抛运动、圆周运动及动能定理，意在考查学生的综合能力。

20．（13分）如图是检验某种防护罩承受冲击能力的装置，MN 为半径 1.0m R =、固定
于竖直平面内的
1
4
光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平。

PQ 为待检验的固定曲面，该曲面为在竖直面内截面半径0.69m r =的1
4
圆弧，圆弧下端切线水平且圆心恰好位于MN
轨道的上端点N ，M 的下端相切处放置竖直向上的弹簧枪，可发射速度不同的质量
0.01kg m =的小钢珠，假设某次发射的钢珠沿轨道恰好能经过N 点，水平飞出后落到
PQ 上的S 点，取g =10m/s 2。

求：
（1）小球到达N 点时速度N v 的大小；
（2）发射该钢珠前，弹簧的弹性势能p E 的大小； （3）钢珠落到圆弧PQ 上S 点时速度S v 的大小。

【答案】（1）10m /s N v =（2）0.15J p E =（3）4m /s S v =
【解析】 试题分析：（1）恰好能过N 点，则在N 点时重力充当向心力，所以根据牛顿第二定律可
得2N mv mg R
=（2分）
故解得10m /s N v = （1分）
(2) 弹簧的弹性势能转化为动能和重力势能，所以有21
2
p N E mgR mv =+ （2分） 解得：0.15J p E = （1分）
(3)从N 点出来后，恰好做平抛运动，所以在水平方向上有：N x v t = （1分） 在竖直方向上有：2
12
y gt =
（1分）
根据几何知识可得：222
x y r += （1分）
故解得6
10
t s =
（1分） 根据速度的合成可得2
2
()S N v v gt =+ （2分） 故4m /s S v = （1分）
考点：考查了圆周运动，机械能守恒，平抛运动规律的综合应用
21．(12分) 如图所示，竖直平面内的一半径R ＝0.50 m 的光滑圆弧槽BCD ，B 点与圆心O 等高，一水平面与圆弧槽相接于D 点，质量m ＝0.10 kg 的小球从B 点正上方H ＝0.95 m 高处的A 点自由下落，由B 点进入圆弧轨道，从D 点飞出后落在水平面上的Q 点，DQ 间的距离x ＝2.4 m ，球从D 点飞出后的运动过程中相对水平面上升的最大高度
h ＝0.80 m ，g 取g ＝10 m/s 2
，不计空气阻力，求：
(1)小球经过C 点时轨道对它的支持力大小F N ； (2)小球经过最高点P 的速度大小v P ； (3)D 点与圆心O 的高度差h OD .
【答案】(1)6.8 N (2)3.0 m/s (3)0.30 m 【解析】
试题分析：(1)设经过C 点速度为v 1，由机械能守恒有mg(H ＋R)＝
12
mv 21 由牛顿第二定律有F N －mg ＝2
1mv R
代入数据解得：F N ＝6.8 N.
(2)P 点时速度为v P ， P 到Q 做平抛运动有h ＝12gt 2，2
x
＝v P t 代入数据解得：v P ＝3.0 m/s. (3)由机械能守恒定律，有
12
mv 2
p ＋mgh ＝mg(H ＋h OD )， 代入数据，解得h OD ＝0.30 m.
考点：本题考查机械能守恒、平抛运动规律。

22．(16分)如图所示，让一可视为质点的小球从光滑曲面轨道上的A 点无初速滑下，运动到轨道最低点B 后，进入半径为R 的光滑竖直圆轨道，并恰好通过轨道最高点C ，离开圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到D 点后抛出，最终撞击到搁在轨道末端点和水平地面之间的木板上，已知轨道末端点距离水平地面的高度为H ＝0.8m ，木板与水平面间的夹角为θ＝37°，小球质量为m ＝0.1kg ，A 点距离轨道末端竖直高度为h ＝0.2m ，
不计空气阻力。

(取g ＝10m/s 2
，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)
⑴求圆轨道半径R 的大小； ⑵求小球从轨道末端点冲出后，第一次撞击木板时的位置距离木板上端的竖直高度有多大；
⑶若改变木板的长度，并使木板两端始终与平台和水平面相接，试通过计算推导小球第
一次撞击木板时的动能随木板倾角θ变化的关系式，并在图中作出E k -(tan θ)2
图象。

【答案】 ⑴R ＝0.08m ；⑵y ＝0.45m ；⑶E k ＝0.8tan 2θ＋0.2，其中0＜tan 2
θ≤1，
【解析】 试题分析：⑴小球恰好能通过C 点，因此，在C 点，根据牛顿第二定律和向心力公式有：
mg ＝2
C
v m R
小球由A 点运动至C 点的过程中，只有重力做功，根据动能定理有：mg(h －2R)＝2
12
C mv －0
联立以上两式解得：R ＝
2
5
h ＝0.08m ⑵小球从A 点运动至D 点的过程中，只有重力做功，根据动能定理有：mgh ＝
2
12
D mv －0 小球离开D 点后开始做平抛运动，设经时间t 落到木板上，根据平抛运动规律可知，在水平方向上有：x ＝v D t 在竖直方向上有：y ＝
212
gt 根据图中几何关系有：tan θ＝
y x
联立以上各式解得：y ＝4htan 2
θ＝0.45m ，即小球从轨道末端点冲出后，第一次撞击木板时的位置距离木板上端的竖直高度为：y ＝0.45m
⑶小球从离开D 点到第一次撞击木板的过程中，根据动能定理有：mgy ＝E k －212
D mv 解得：
E k ＝mgy ＋
212
D mv 由⑵中求解可知：
E k ＝mgh(4tan 2
θ＋1)＝0.8tan 2
θ＋0.2 显然，当小球落地时动能最大，为：E km ＝mg(h ＋H)＝1J
所以有：0＜tan 2
θ≤1，其图象如下图所示。

考点：本题主要考查了牛顿第二定律、平抛运动规律、圆周运动向心力公式、动能定理(或机械能守恒定律)的应用以及图象问题，属于中档偏高题。

23．如图，一个质量为m 的小球（可视为质点）以某一初速度从A 点水平抛出，恰好从圆管BCD 的B 点沿切线方向进入圆弧，经BCD 从圆管的最高点D 射出，恰好又落到B 点。

已知圆弧的半径为R 且A 与D 在同一水平线上，BC 弧对应的圆心角θ=60°，不计空气阻力。

求：
（1）小球从A 点做平抛运动的初速度v 0的大小； （2）在D 点处管壁对小球的作用力N ；
（3）小球在圆管中运动时克服阻力做的功W 克f 。

【答案】（1gR （2）
34mg （3）3
8
mgR 【解析】
试题分析：（1）小球从A 到B ：竖直方向
2
y
v =2gR （1+cos60°）=3gR 则v y 3gR 在B 点，由速度关系 v 0=
tan 60y v gR =︒
（2）小球从D 到B ，竖直方向
R （1+cos60°）=
212gt
解得：t=3R
g
则小球从D 点抛出的速度 v D =
sin 602
gR R =
︒ 在D 点，由牛顿第二定律得：
mg ﹣N=m 2D v R 解得：N=34
mg
（3）从A 到D 全程应用动能定理： ﹣W 克f =
220
1122D mv mv - 解得：W 克f =3
8
mgR 考点：平抛运动 圆周运动 牛顿第二定律 动能定理
24．（15分）如图所示，竖直平面内的3/4圆弧形光滑轨道半径为R ，A 端与圆心O 等高，AD 为与水平方向成45°角的斜面，B 端在O 的正上方，一个小球在A 点正上方由静止开始释放，自由下落至A 点后进入圆形轨道并恰能到达B 点.求：
（1）到达B 点的速度大小?（2）释放点距A 点的竖直高度;（3）小球落到斜面上C 点时的速度大小和方向. 【答案】（1）B v gR = （2）3
2
h R =
（3）5C v gR =,与水平方向夹角的正切值是2
【解析】
试题分析：（1）小球到达B 点：由2B
v mg m R
=
解得：B v gR =
（2）设小球的释放点距A 点高度为h ，由机械能守恒定律得：21()2
B mg h R mv -= 解得：32
h R =
（3）小球落到C 点时：由tan y x
θ=，得：2o
12tan 45B gt
v t =
解得：2
R
t g
=
2y v gt gR ==
小球落到C 点得速度大小：2
2
5C B y v v v gR =+= 小球落到C 点时，速度与水平方向夹角为ϕ：2tan 2y B
v gR v gR
ϕ=
=
=
考点：本题考查了牛顿第二定律、机械能守恒定律、平抛运动. 25．（18分）如图所示，位于竖直平面内的1/4光滑圆弧轨道，半径为R ，OB 沿竖直方向，B 处切线水平，圆弧轨道上端A 点距地面高度为H ，质量为m 的小球从A 点由静止释放，最后落在地面C 点处，不计空气阻力，求：
（1）小球刚运动到B 点时，对轨道的压力是多少? （2）小球落地点C 到B 的水平距离S 为多少?
（3）比值R/H 为多少时，小球落地点C 与B 的水平距离S 最远?该水平距离的最大值是多少（用H 表示）?
【答案】（1）B N ＝3mg （2）S 2
44HR R -（3）max S H =
【解析】
试题分析：（1）由机械能守恒定律mgR ＝
2
12
B mv 对最低点列牛顿第二定律方程2B
B v N mg m R
-=
解得：B N ＝3mg
根据牛顿第三定律小球刚运动到B 点时，对轨道的压力是B
N '＝3mg （2）由平抛运动得H-R ＝
2
12
gt ，S ＝B v t 解得：S 2
44HR R -
（3）由S 2
44HR R -22(2)H R H -- 当R ＝
2H 时，即12
R H =时，S 有最大值max S H = 考点：机械能守恒定律 牛顿运动定律 平抛运动规律
26．（19分）如图所示，在粗糙水平台阶上静止放置一质量m=0.5kg 的小物块，它与水平台阶表面的动摩擦因数μ=0.5，且与台阶边缘O 点的距离s=5m ．在台阶右侧固定了一个1/4圆弧挡板，圆弧半径R=1m ，圆弧的圆心也在O 点。

今以O 点为原点建立平面
直角坐标系．现用F=5N 的水平恒力拉动小物块，一段时间后撤去拉力，小物块最终水
平抛出并击中挡板．（g 取10m/s 2
）
（1）若小物块恰能击中档板上的P 点（OP 与水平方向夹角为37°，已知sin370.6︒=，
cos370.8︒=），则其离开O 点时的速度大小；
（2）为使小物块击中档板，求拉力F 作用的最短时间；
（3）改变拉力F 的作用时间，使小物块击中挡板的不同位置．求击中挡板时小物块动能的最小值． 【答案】(1)0433v m s =
(2) t=1s （3）min 532
k E J = 【解析】
试题分析：（1）小物块从O 到P ，做平抛运动
水平方向：0
0cos37R v t = （2分）
竖直方向：02
1sin 372
R gt = （2分） 解得：04
33
v m s =
（1分） （2）为使小物块击中档板，小物块必须能运动到O 点， 由动能定理得：0k Fx mgS E μ-=∆= （1分） 解得：x=25m （1分）
由牛顿第二定律得：F mg ma μ-= （2分） 解得：2
5a m s = （1分） 由运动学公式得：2
12
x at =
（2分） 解得：t=1s （1分）
（3）设小物块击中挡板的任意点坐标为（x ，y ），则
0x v t = （1分）
2
12
y gt =
（1分） 由机械能守恒得：2
012k E mv mgy =+ （1分）
又2
2
2
x y R += （1分）
化简得：2344
k mgR mgy
E y =+ （1分） 由数学方法求得min 5
32
k E J =
（1分） 考点：本题考查牛顿第二定律、平抛运动及机械能守恒，意在考查学生的综合能力。

27．如图所示，在竖直平面内有半径为R=0.2 m 的光滑1/4圆弧AB ，圆弧B 处的切线水平，O 点在B 点的正下方，B 点高度为h=0.8 m 。

在B 端接一长为L=1.0 m 的木板MN 。

一质量为m=1.0 kg 的滑块，与木板间的动摩擦因数为0.2，滑块以某一速度从N 点滑
到板上，恰好运动到A 点。

(g 取10 m/s 2
)求：
(1)滑块从N 点滑到板上时初速度的速度大小； (2)从A 点滑回到圆弧的B 点时对圆弧的压力；
(3)若将木板右端截去长为ΔL 的一段，滑块从A 端静止释放后，将滑离木板落在水平面上P 点处，要使落地点P 距O 点最远，ΔL 应为多少？ 【答案】（1）0.2；（2）30 N ，方向竖直向下；（3）0.16m 【解析】 试题分析：（1）由动能定理可知
2
12
mgL mgR mv μ+= （1分） 解得0.2μ= (1分) （2）根据动能定理22011
22
B mgL mv mv μ-=
- (1分) 由向心力公式可知：2
B v F mg m R
-= (1分)
解得：F=30 N
由牛顿第三定律知，滑块滑至B 点时对圆弧的压力为30 N ，方向竖直向下。

(1分) （3）由牛顿第二定律可知：mg ma μ= (1分) 根据平抛运动规律：212,0.4s 2h h gt t g
=
== (1分) 由运动学公式可知：()2
2
02v v a L L -=-∆ ，()2
022v v g L L L μ=--∆=∆(1分)
由平抛运动规律和几何关系：10.8OP x L L vt L L =-∆+=-∆+∆分) 解得当0.16m L ∆=时，落地点P 距O 点最远。

(1分)
考点：匀速圆周运动的向心力、抛体运动、动能定理
28．如图所示，一个质量为0.6kg 的小球以某一初速度从P 点水平抛出，恰好从光滑圆弧AB 的A 点的切线方向进入圆弧(不计空气阻力，进入圆弧时无机械能损失)，并从最
低点B 通过一段光滑小圆弧滑上另一粗糙斜面CD 。

已知圆弧AB 的半径R=0.9m,θ=600
,B
在O 点正下方，斜面足够长，动摩擦因数u=0.5，斜面倾角为370
，小球从p 到达A 点
时的速度为4m/s 。

（g 取10m/s 2
，cos37°=0.8，sin37°=0.6）问：
（1）P 点与A 点的水平距离和竖直高度 （2）小球在斜面上滑行的总路程
【答案】 (1) x=34.0m ；y=0.6m ；（2）m 8
25
=
总S 【解析】
试题分析: （1）A 点的水平分速度为：v Ax = v A cos60°=2m/s， 竖直分速度为：v Ay = v A sin60°=32m/s ，时间t= v Ay /g=32.0s P 点与A 点的水平距离x= v Ax t=34.0m P 点与A 点的竖直高度y=
2
2
1gt =0.6m （2）设小球斜面向上运动的距离为x ，则
2
2
037cos 37sin )60cos (A v m mgx mgx R R mg -
=︒-︒-︒-μ m x 25.1= 再滑下时设过了A 点，则
02
)60cos (37cos 37sin 2
-=︒--︒-︒v m R R mg mgx mgx μ 02.12
2
<-=J v m 故小球不能过A 点，只能来回摆动，最后停在B 点，由能量守恒定律
总S mg v m R R mg A ⋅︒=+
︒-37cos 2
)60cos (2
μ 得：m 8
25
=
总S （1分） 考点：平抛运动；机械能守恒定律 29．（17分）可视为质点的小球A 、B 静止在光滑水平轨道上，A 的左边固定有轻质弹簧，B 与弹簧左端接触但不拴接，A 的右边有一垂直于水平轨道的固定挡板P 。

左边有一小球C 沿轨道以某一初速度射向B 球，如图所示，C 与B 发生碰撞并立即结成一整体D ，在它们继续向右运动的过程中，当 D 和A 的速度刚好相等时，小球A 恰好与挡板P 发生碰撞，碰后A 立即静止并与挡板P 粘连。

之后D 被弹簧向左弹出，D 冲上左侧与水平轨道相切的竖直半圆光滑轨道，其半径为0.6R m =，D 到达最高点Q 时，D 与轨道间弹力2F N =。

已知三小球的质量分别为0.2A m kg =、0.1B C m m kg ==。

取
210/g m s =，求：。