bootstrap方法对总体均值区间估计

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Hale Waihona Puke u1 / 2是标准正态分布的 1-α/2 百分位数。
（2）百分位数 Bootstrap 方法利用 Bootstrap 经验分布的第α/2 和第 1-α/2 分位点是（1-α） 置信水平之下统计量的置信区间的上下限。具体如下：通过 Bootstrap 抽样，可以得到 B 个 Bootstrap 样本，将每个样本得到的样本均值按照从小到大的顺序排列，可以得到一组顺序 统计量 x (i) ， 则第α/2 和第 1-α/2 分位点分别是 1-α置信水平下统计量 x 的置信区间的上下 限，即[ x
^ * ( B) 2 ^ *
,x
*
^
((1- )B) 2
]。
（3）t 百分位数 Bootstrap 方法是在对百分位数 Bootstrap 方法进行改进得到的。 通常此方法 比百分位数 bootstrap 方法得到更精确的置信区间。进行 bootstrap 抽样，针对每个 bootstrap 样本计算 t 统计量：
t 的 方 法 可 以 得 到 区 间 估 计 的 结 果 为 （ x - t / 2 (16-1)s/n, x + / 2 (16-1)s/n). 另 外 将 用 三 种
Bootstrap 方法对均值进行区间估计。 3.Bootstrap 方法区间估计的三种类型 对置信区间进行估计主要采用标准 Bootstrap，百分位数 Bootstrap,t 百分位数 Bootstrap 三 种方法。 （1）标准 Bootstrap 方法假设从服从某分布的总体 X 中独立随机地抽取容量为 n 的样本 x1,x2,x3,...,xn。对原始样本就行重复的又放回抽样，共有 n^n 个可能的 Bootstrap 样本。对 于每一个子样本求出的均值，都是总体均值的一个估计值。同时，样本均值与总体均值的分 布相同。但是实际抽取中，n^n 个样本对计算机的运行速度是一个非常大的挑战，在实际操 作中，一班 B 取 3000 即可。但是考虑到后面的方法以来 bootstrap 样本的近似分布要求样本 量尽量大，我将在最后的模拟中取 B=10000。 令 x 作为 x 的估计值， x (i) 表示第 i 个 bootstrap 样本得到的均值。
1.统计研究的目的和意义 一般来说， 涉及到对总体的均值进行区间估计， 通常的方法是根据抽得的样本量大小来选 择合适的统计量，进而套用相应的公式来进行区间估计。通常进行区间估计时，总是把总体 假设为正态分布，在此基础上利用相关理论和统计表进行推断。 Bootstrap 方法是一种在抽样的统计方法，也叫做自助法。该方法只依赖于给定的观测信 息，不需要其他的假设，不需要增加新的观测。它借助计算机对原始样本资料进行重复抽样 以产生一系列“新”的样本，可以用于研究一组数据某统计量的分布特征，特别适用于那些 难以用常规方法导出的对参数的区间估计、假设检验等问题。 Bootstrap 方法的基本思想是：在原始数据的范围内作有放回的再抽样，对参数θ进行估计， 样本含量仍为 n， 原始数据中每个观察值每次被抽到的概率相等， 为 1/n， 所得样本为 Bootstrap 样本，这样重复 B 次，就可以得到 B 个 Bootstrap 样本，然后进行统计分析。此方法可以提 高小样本下对总体均值区间估计的精度。 2.数据的背景和结构 数据来自某厂某种灯泡的寿命，已知其服从正态分布。先从一批灯泡中随机抽取 16 个， 测得其寿命为： 1510,1450,1480,1460,1520,1480,1490,1460,1480,1510,1530,1470,1500,1520,1510,1470。数据只 有 16 个，属于小样本。常规方法对小样本进行总体均值区间估计误差可能会比较大。常规
( B) 2
* Var ( x) ， x -
^
t*
((1 ) B ) 2
*
Var ( x) ]。
（1）使用常规方法，按照公式（ x 间为[1477,1503],区间长度为 26.

t / 2 (16-1)s/n, x + t / 2 (16-1)s/n)得到总体均值的置信区

（2）使用标准 bootstrap 方法，该方法思路很清晰， 可以使用 matlab 实现，取α=0.05， 程序如下： function [y1,y2]=bfun1(x,b) for i=1:b for j=1:12
end x2(i)=mean(x1); end x3=sort(x2); y1=x3(0.025*b); y2=x3(0.975*b); 运行一万次，输入命令[y1,y2]=bfun2(x,10000),得到结果为[1476.7,1503.3],区间长度为 26.6， 相比以上两种方法，区间长度没有缩短反而稍微更长。
（4）使用 t 百分位数 bootstrap 方法，matlab 程序如下： function [y1,y2]=bfun3(x,b) for i=1:b for j=1:12 k=randint(1,1,[1,16]); x1(j)=x(k); end x2(i)=mean(x1); end x0=mean(x2); for i=1:b a(i)=(x0-x2(i))^2; end p=sqrt(sum(a)/(b-1)); for i=1:b t(i)=(x2(i)-x0)/p; end q=sort(t); y1=x0-q(0.025*b)*p; y2=x0-q(0.975*b)*p; 输入命令[y1,y2]=bfun3(x,10000),得到结果为：[1476.8,1503.5]，区间长度为 26.7.由此观之， 最后一种优化过的 bootstrap 方法对区间估计的精度没有任何提高，反而精度有下降的趋势。 反思：经过模拟试验，得到的结果不是文章中表述的可以有精度上的优化。我认为有以下三 个原因：第一，可能是我对问题的理解还存在误区，可能对 bootstrap 经验分布的理解不够； 第二，原文中给出的 16 只灯泡的寿命数据，很可能是不真实的；第三，一般来说，灯泡的 寿命应该服从的是指数分布，不应该是原文中提到的是服从正态分布。
x (i ) x , t (i ) = Var ( x)
将结果从小到大排列，得到顺序统计量 t ( i ) ，当显著性水平为α时，第α/2 和第 1-α/2 分位 点分别为 t
* ( B) 2 *
^
^
和t
*
((1 ) B ) 2
.
则总体均值的置信区间为：[ x 4.模拟试验研究
^
t *
^ ^


则x=
^
1 B
x(i ) 样本方差为 Var( x )=
i 1
B
^
^
1 B -1
{x (i) x}2 ,
i 1 ^ ^ ^
B
^
^
由此得到总体均值的（1-α）%置信区间为：[ x - u1 / 2 Var( x ), x + 其中
u1 / 2 Var( x )].
k=randint(1,1,[1,16]); x1(j)=x(k);
end x2(i)=mean(x1); end x0=mean(x2); for i=1:b a(i)=(x2(i)-x0)^2; end p=sqrt(sum(a)/(b-1)); y1=x0-1.96*p; y2=x0+1.96*p; 令抽样进行一万次，输入命令[y1,y2]=bfun1(x,10000)，得到结果为：[1476.3,1503.7]，区间 长度为 26.4，较普通方法相比，精度没有提高。 （3）使用百分位数 bootstrap 方法，matlab 程序如下： function [y1,y2]=bfun2(x,b) for i=1:b for j=1:12 k=randint(1,1,[1,16]); x1(j)=x(k);