二项式定理第二课时
7.4二项式定理第二课时
(1)第 (2)第 项的系数(3) (3)含 的项(4) (4)常数项 (1)第6项 (2)第3项的系数(3)含x9的项(4)常数项
解：利用二项式的通项求解
3 −3 3 −3 1 (1)T6 = T5+1 = C (x ) − = − x ,即第 项为− x 6 16 16 2x
0 1 2 n n (a + b)n ⇔Cn an + Cnan−1b + Cn an−2b2 +L+ Cn b（n∈ N*）
类型二
二项式系数、 二项式系数、项的系数的最大值问题
9
例6 求（ +1 的展开式中系数最大的项 x ） 解：分析的此二项式展开应为10项，因此二项式系 分析的此二项式展开应为10项 10 数最大的项应为第5 数最大的项应为第5、6两项，而题中所问为项 两项， 的系数，经分析的此题项的系数与二项式系数 的系数， 只差一个负号， 只差一个负号，因此
1 3 9 令 −3k = 9,则k =1,即第 项含x . T1+1 = − C6 x = −10x9. 12 2 2
9
1
(4)由 3)知 令 − 3k = 0, k = 4,即 5项 常 项 ( , 12 第 为 数 , 15 1 4 15 T = − C6 = ,常 项 数 为 . 7 16 16 2
解:(2)原式 5 5 5 0 n 1 n−1 1 2 n−2 2 4 2 +... +Cn 2n 原式= Cn 1 +Cn31 2 +Cn 1(x −1)+C5 −C5 2 n +C
= (1+ 2) =[(x −1) +1] −1 =3
人教课标版高中数学选修2-3《二项式定理(第2课时)》教学设计
1.3 二项式定理第二课时一、教学目标 1．核心素养通过二项式定理的推导过程的学习，提高学生的归纳推理能力，树立由特殊到一般的数学思想增强了学生的逻辑推理能力. 2．学习目标二项式展开式的项数、指数、系数特点及其应用. 3．学习重点二项式展开式的项数、指数、系数特点及其应用. 4．学习难点二项式定理和二项式系数性质的应用. 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习自测1.21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为15，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 解：D2.821(12)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．（用数字作答）解：-423.若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中2x 的系数为52，则a = ．解：2（二）课堂设计 1．知识回顾1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n nr n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，（2）1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++2．二项展开式的通项公式：1r n r rr n T C a b -+=3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 2．问题探究 问题探究一●活动一 认知杨辉三角在n b a )(+展开式中，当n ＝1，2，3，…时，各项的二项式系数是怎样的？()1b a + ()2b a + ()3b a +()4b a + ()5b a + ()6b a +仔细观察，你能发现什么规律？“杨辉三角”为什么会有这些规律呢？ 二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 ●活动二 函数观点认知二项式系数设函数()r n C r f =，这个函数的定义域是怎样的？试以n ＝6为例作出()rn C r f =的函数图象，观察函数图像，你能说出它的哪些性质？()n a b +展开式的二项式系数是0nC ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r 定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n mn nC C -=）． 直线2nr =是图象的对称轴．（2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!kk n n n n n n k n k C C k k----+-+==⋅， ∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112n k n k k -++>⇔<， 当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项2nn C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n nC -，12n nC+取得最大值．●活动三 认知二项式系数各二项式系数的和等于多少？为什么？∵1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++，令1x =，则0122n r nn n n n nC C C C C =++++++ ●活动四 二项式系数、系数的应用 1. 二项式系数的性质例1（1）多项式x 10＝a 0＋a 1 (x －1)＋a 2·(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10，则a 8的值为( ) A ．10 B ．45 C ．－9 D ．－45 【知识点：二项式系数的性质】解：B x 10＝[1＋(x －1)]10＝1＋110C (x －1)＋210C (x －1)2＋…＋1010C (x －1)10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10对任意实数x 都成立，∴a 8＝810C ＝210C ＝45.(2)二项式(1＋sinx)6的展开式中二项式系数最大的一项的值为52，则x 在[0,2π]内的值为________．【知识点：二项式系数的性质】详解：6π或56π.由题意得T 4＝36C ·sin 3x ＝20sin 3x ＝52，∴sinx ＝12，∵x ∈ [0,2π]，∴x ＝6π或56π.(3)若261()x ax +的二项展开式中，x 3的系数为52，则二项式系数最大的项为________． 【知识点：二项式系数的性质】 解：52x 3.∵261231661()()r r r r r rr T C x C a x ax ---+==，令12－3r ＝3，得r ＝3，∴36C a －3＝52，解得a ＝2.故二项式系数最大的项为T 4＝36C (x 2)331()2x ＝52x 3. 点拨：二项式系数、二项展开式中的项的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个击破.2.用赋值法求二项式各项系数的和 例2在10)32(y x -的展开式中，求： ①二项式系数的和; ②各项系数的和;③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和. 【知识点：用赋值法求二项式各项系数的和】分析:因为二项式系数特指组合数rn C ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式y x 32-中的系数无关.详解：设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=- (*),各项系数和即为1010a a a +++ ,奇数项系数和为0210a a a +++,偶数项系数和为9531a a a a ++++ ,x 的奇次项系数和为9531a a a a ++++ ,x 的偶次项系数和10420a a a a ++++ .由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.①二项式系数和为1010101100102=+++C C C .②令1==y x ,各项系数和为1)1()32(1010=-=-.③奇数项的二项式系数和为910102100102=+++C C C , 偶数项的二项式系数和为99103101102=+++C C C .④设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=- , 令1==y x ,得到110210=++++a a a a …(1),令1=x ,1-=y (或1-=x ,1=y )得101032105=++-+-a a a a a …(2) (1)+(2)得10102051)(2+=+++a a a , ∴奇数项的系数和为25110+;(1)-(2)得1093151)(2-=+++a a a ,∴偶数项的系数和为25110-.⑤x 的奇次项系数和为251109531-=++++a a a a ;x 的偶次项系数和为2511010420+=++++a a a a . 点拨：要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一. 3.综合运用例3(1）设a ∈Z ，且0≤a<13，若512012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．B ．1 B ．C ．11 B ．D ．12 【知识点：二项式定理的应用】解：A 本题考查二项展开式的应用．512012＝(52－1)2012＝02012C 522012－12012C 522011＋22012C 522010＋…＋20112012C ×52×(－1)2011＋20122012C ×(－1) 2012，若想被13整除需加12，∴a ＝12.（2）在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，含x 4项的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的( )A ．第11项B ．第13项C ．第18项D ．第20项 【知识点：二项式定理，数列的应用】解：D. (1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，含x 4项的系数为444567C C C ++＝123567C C C ++＝5＋15＋35＝55，以－2为首项，3为公差的等差数列的通项公式a n ＝－2＋3(n －1)＝3n －5，令a n ＝55，即3n －5＝55，n ＝20，故选D. （3）将21(1)n x-(n ∈N *)的展开式中x －4的系数记为a n ，则232014111a a a +++=…________. 【知识点：二项式定理，不等式的应用】 解：20131007.第r ＋1项2121()(1)rr r r r n T C x x-+=-=-，令－2r ＝－4，∴r ＝2， ∴a n ＝(－1)22n C ＝(1)2n n +, 23201411122212232013201411111120132[(1)()]2(1).2232013201420141007a a a ∴+++=+++⨯⨯⨯=-+-++-=⨯-=………点拨：涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，需要运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个击破，同时注意二项式定理和不等式、数列的综合应用. 3．课堂总结【知识梳理】二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个击破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用. 【重难点突破】涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个击破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用. 4．随堂检测1.()2025x y -的展开式中二项式系数的和为 ，各项系数的和为 ，二项式系数最大的项为第 项.【知识点：二项式定理的应用】 解：112.1)n x+的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 ．【知识点：二项式定理的应用】解：.展开式中只有第六项的二项式系数最大，10n =，3734101()T C x==3.0n C +12n C +24n C ++2n n n C 729=，则123nn n n n C C C C ++++=（ ）A ．63 B.64 C.31 D.32 【知识点：二项式定理的应用】 解：A（三）课后作业 基础型 自主突破1．)()4511x +-展开式中4x 的系数为 ，各项系数之和为 ．【知识点：二项式定理的应用】 解：45, 0.2．多项式12233()(1)(1)(1)(1)nn n n n n f x C x C x C x C x =-+-+-++-（6n >）的展开式中，6x 的系数为 .【知识点：二项式定理的应用】解：0．提示：()()16n f x x n =-> 3．若二项式231(3)2nx x-（n N *∈）的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.8 【知识点：二项式定理的应用】 解：B.4．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应（ ）A.低于5％B.在5％～6％之间C.在6％～8％之间D.在8％以上 【知识点：二项式定理的应用】 解：C.5．在(1)n x +的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)n x -等于（ ） A.0 B.pq C.22p q + D.22p q - 【知识点：二项式定理的应用】 解：D.6．若(1－2x )2009＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2009x 2009(x ∈R)，求20091222009222a a a +++…的值. 【知识点：二项式定理的应用】 解：令x ＝0，则a 0＝1，令x ＝12，则200912022009222a a a a ++++…＝0， ∴20091222009222a a a +++…＝－1. 能力型 师生共研7.n 的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，求(1－x )n的展开式中系数最小的项的系数． 【知识点：二项式定理的应用】解：展开式中，各项系数的和为4n ，各项二项式系数的和为2n ，由已知得2n ＝64，所以n ＝6，(1－x )6的展开式中，第四项的系数最小，为－36C ＝－20.8.若n-的展开式中含有非零常数项，求正整数n 的最小值. 【知识点：二项式定理的应用】解：431)((n rr n r r r n r rr n nT C C x---+==令43n r-＝0，得43n r=.∴n取最小值为4.9．令a n为(1＋x)1n＋的展开式中含x1n－项的系数，求数列1{}na的前n项和.【知识点：二项式定理的应用】解：∵11()r rr nT C x++=，∴1211(1)2nn n nn na C C-+++===，12(1)na n n=+，∴1111111122(1)2(1).223111ni nna n n n n==-+-++-=-=+++∑…10．已知(x cosθ＋1)5的展开式中x2的系数与(x＋54)4的展开式中x3的系数相等，求cosθ. 【知识点：二项式定理的应用】解：(x cosθ＋1)5＝(1＋x cosθ)5，展开式中x2的系数为25C cos2θ.(x＋54)4＝(54＋x)4，展开式中x3的系数为5434C，由题意可知25C cos2θ＝5434C，∴cos2θ＝12，∴cosθ＝2±.探究型多维突破11．若(cosφ＋x)5的展开式中x3的系数为2，则sin(2φ＋2π)＝________.【知识点：二项式定理的应用】解：35-12.已知7270127(12)x a a x a x a x-=++++，求：（1）127a a a+++；（2）1357a a a a+++；（3）017||||||a a a+++.【知识点：二项式定理的应用】解：（1）当1x=时，77(12)(12)1x-=-=-，展开式右边为0127a a a a++++∴0127a a a a++++1=-，当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-， （2）令1x =， 0127a a a a ++++1=- ①令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②①-② 得：713572()13a a a a +++=--，∴1357a a a a +++=7132+-.（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正， ∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+，∴ 70246132a a a a -++++=，∴017||||||a a a +++=01234567a a a a a a a a -+-+-+-702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=.自助餐1.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x 3的项的系数是( )A.74B.121C.-74D.-121 【知识点：二项式定理的应用】解: D (1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8＝xx x x x x 9545)1()1()1(1])1(1[)1(---=-----,(1-x)5中x 4的系数为545=C ,-(1-x)9中x 4的系数为12649-=-C ,-126+5＝-121.2.在n x x 2)212(+的展开式中,x 2的系数是224,则21x的系数是( ) A.14 B.28 C.56 D.112 【知识点：二项式定理的应用】解:A r n r n n r rn r n r xC xx C T 222222212)21()2(---+==,令2n-2r ＝2,r ＝n-1,则22421242=-n C ,∴5612=-n n C . ∴n ＝4.再令8-2r ＝-2,∴r ＝5.∴22386144xx C T ==-. 3.在(x+y)n 的展开式中,若第七项系数最大,则n 的值可能等于( )A.13,14B.14,15C.12,13D.11,12,13 【知识点：二项式定理的应用】解:D 分三种情况:(1)若仅T 7系数最大,则共有13项,n ＝12;(2)若T 7与T 6系数相等且最大,则共有12项,n ＝11;(3)若T 7与T 8系数相等且最大,则共有14项,n ＝13,所以n 的值可能等于11,12,13. 4．在(x ＋1)(2x ＋1)(nx ＋1)(n ∈N *)的展开式中一次项系数为( )A ．2n CB ．21nC + C ．1n n C -D ．3112n C +【知识点：二项式定理的应用】 解：B 1＋2＋3＋…＋n ＝(1)2n n +＝21n C +. 5．若(x ＋y )9按x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x ＋y ＝1，xy <0，则x 的取值范围是( )A.1(,)5-∞B.4[,)5+∞C.4(,]5-∞ D.(1,)+∞【知识点：二项式定理的应用】解：D 二项式(x ＋y )9的展开式的通项是T r ＋1＝9r C ·x 9－r ·y r 依题意有18272991,0.C x y C x y x y xy ⎧⎪+=⎨⎪⎩≤，＜由此得872(1)4(1)0(1)0x x x x x x ⎧---⎨-⎩≤，＜， 由此解得x >1，即x 的取值范围是(1，＋∞)．6．设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12 【知识点：二项式定理的应用】解：D 512 012＋a ＝(13×4－1)2 012＋a ，被13整除余1＋a ，结合选项可得a ＝12时，512 012＋a 能被13整除．7.在104)1(xx +的展开式中常数项是____________.(用数字作答)【知识点：二项式定理的应用】解:45 rr r r r r xC xx C T 54010104101)1()(--+==T 要求常数项,即40-5r ＝0,可得r ＝8,代入通项公式可得4521081018===+C C T .8.若(x+1)n ＝x n +…+ax 3+bx 2+…+1(n ∈N *),且a ∶b ＝3∶1,那么n ＝_____________. 【知识点：二项式定理的应用】 解:11 33n n nC Ca ==-,22nn nC Cb ==- ,又a ∶b ＝3∶1,∴1323=n n C C .∴3)1(62)2)(1(=-•--n n n n n ,解得n ＝11.9.在(1＋x )3＋(13＋(1)3的展开式中，x 的系数为_______(用数字作答)． 【知识点：二项式定理的应用】11 / 11 解：7 13C ＋23C ＋33C ＝23－1＝7.10．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，求a 3.【知识点：二项式定理的应用】解：不妨设1＋x ＝t ，则x ＝t －1，因此有(t －1)5＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋a 3t 3＋a 4t 4＋a 5t 5，则a 3＝25C (－1)2＝10.11.若(1-2x)2004＝a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2004x 2004(x ∈R ),求(a 0+a 1)+(a 0+a 2)+(a 0+a 3)+…+(a 0+a 2004).(用数字作答)【知识点：二项式定理的应用】解:2004令x ＝0,得a 0＝1;令x ＝1,得1＝a 0+a 1+a 2+…+a 2004,故(a 0+a 1)+(a 0+a 2)+(a 0+a 3)+…+(a 0+a 2004)＝2 003a 0+a 0+a 1+a 2+…+a 2004＝2 004.12.已知(1+kx 2)6(k 是正整数)的展开式中,x 8的系数小于120,求k.【知识点：二项式定理的应用】解:(1+kx 2)6按二项式定理展开的通项为r r r r r r x k C kx C T 26261)(==+,∴x 8的系数为444615k k C =.∴15k 4＜120,也即k 4＜8.而k 是正整数,故k 只能取1.。
二项式定理(第2课时) 优质课课件
解：令x 1.得a0 a1 a2 a3 a4 a5 0
变式练习2：
已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋ a7x7.求
(4) )|a0|＋ |a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
(4)法一：∵(1－2x)7展开式中，
a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7| ＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)， ∴(3)－(2)即可，其值为2 187.
(2).(2014.广州二模） 1 n 3 已知（2x ) 的展开式的常数项是第7项， x 8 则正整数n的值为_________
题型2：二项式定理的应用
2、例题讲解：例1
1 n
计算并求值或化简
(1) 1 2C 4C
2 n 1 5 2 5 3 5
2 C 3
n n n 4 5
n
法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|，
即(1＋2x)7展开式中各项的系数和，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187.
例题点评
例2． 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. 求： (1) a0 ＋ a1＋a2＋…＋a7； (2) a1＋a2＋…＋a7 ； (3)a1＋a3＋a5＋a7 (4) )|a0|＋ |a1|＋|a2|＋…＋|a7|. 求二项展开式系数和，常常得用赋值法，设二项式中的 字母为0或1或-1，得到一个或几个等式，再根据结果求值。
r n r r 通项公式（第r+1项）Tr 1 Cn a b
(r 0,1, 2,
n)
注意：区分二项式系数与项的系数
1.3.1 二项式定理 课件
二.求展开式中的项及项的系数
例2.(1)求(1+2x) 的展开式的第4项的系数
7
和倒数第四项。 19 (2)求( x ) 的展开式中x3的系数。 x
分析：法1：转化为通项公式来求； 法2：利用组合数知识来求；
四：求有理项
例4 求
x3 x
r 9
1 2
解: Tr 1 C ( x ) ( x )
若令a=1,b=x，则得到：
(1+x)n =1+ Cn1x+ Cn2x2+ … +Cnkxk +…+ Cnnxn
若令a=1,b= -x，则展开式又如何？
(1-x)n =1-Cn1x+ Cn2x2+ … +(-1)kCnkxk +…+(-1)n Cnnxn
典型题型 分析与研究
一.公式的正用
例1. 用二项式定理展开下列各式：
A.-28 B.-7 C.7 D.28
课堂小结
(a b) C a C a b C a b C b
n 0 n n 1 n 1 n r n r r n n n n
———二项式定理
2）区别二项式系数，项的系数
(n N )
1）注意二项式定理中二项展开式的特征
Cn0 an ＋Cn1 an-1b ＋Cn2 an-2b2 ＋‥·＋ Cnk an-kbk ＋ ‥·＋Cnnbn
(n∈N*)
二项式定理
(a+b)n ＝ Cn0 an ＋Cn1 an-1b ＋Cn2 an-2b2 ＋‥· ＋ Cnk an-kbk ＋ ‥·＋Cnnbn (n∈N*)
右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式
二项式定理 第二课时
二项式定理（第二课时）1. 进一步熟悉二项式定理及二项展开式的通项公式，并能灵活的应用．2. 能求展开式中的第1+r 项的二项式系数r n C 与第1+r 项的系数是不同的概念．➢ 教学重点、难点：二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用．➢ 教学过程：一、复习1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++．2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+=．二、新课讲解例1．（1）求7(12)x +的展开式的第四项的系数；（2）求91()x x -的展开式中3x 的系数及二项式系数． 解：（1）7(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==，∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280．（2）∵91()x x -的展开式的通项是9921991()(1)r r r r r r r T C xC x x--+=-=-， ∴923r -=，3r =，∴3x 的系数339(1)84C -=-，3x 的二项式系数3984C =． 例2．求42)43(-+x x 的展开式中x 的系数．分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开．解：（法一）：42)43(-+x x 42]4)3[(-+=x x02412344(3)(3)4C x x C x x =+-+⋅22224(3)4C x x ++⋅3234444(3)44C x x C -+⋅+⋅，显然，上式中只有第四项中含x 的项，∴展开式中含x 的项的系数是76843334-=⋅⋅-C ．（法二）：42)43(-+x x 4)]4)(1[(+-=x x 44)4()1(+-=x x)(4434224314404C x C x C x C x C +-+-=0413222334444444(4444)C x C x C x C x C +⋅+⋅+⋅+⋅∴展开式中含x 的项的系数是34C -334444C +768-=．例3．已知()()nm x x x f 4121)(+++= *(,)m n N ∈的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中含2x 项的系数最小值．分析：展开式中含2x 项的系数是关于n m ,的关系式，由展开式中含x 项的系数为36，可得3642=+n m ，从而转化为关于m 或n 的二次函数求解．解：()()1214m nx x +++展开式中含x 的项为1124m n C x C x ⋅+⋅=11(24)m n C C x + ∴11(24)36m n C C +=，即218m n +=，()()1214m nx x +++展开式中含2x 的项的系数为 t =222224mn C C +222288m m n n =-+-， ∵218m n +=， ∴182m n =-，∴222(182)2(182)88t n n n n =---+-216148612n n =-+ 23715316()44n n =-+，∴当378n =时，t 取最小值， 但*n N ∈，∴ 5n =时，t 即2x 项的系数最小，最小值为272，此时5,8n m ==．例4．已知n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项． 解：由题意：1221121()22n n C C ⋅=+⋅，即0892=+-n n ，∴8(1n n ==舍去）∴818(r rr r T C -+=⋅82481()2r r r r C x x --=-⋅⋅()1638412r r r r C x -=-⋅08r r Z ≤≤⎛⎫ ⎪∈⎝⎭①若1+r T 是常数项，则04316=-r ，即0316=-r ，∵r Z ∈，这不可能，∴展开式中没有常数项；②若1+r T 是有理项，当且仅当4316r -为整数，∴08,r r Z ≤≤∈，∴ 0,4,8r =， 即展开式中有三项有理项，分别是：41x T =，x T 8355=，292561-=x T ．三、课堂小结1．三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性和简捷性．2．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性．四、作业补充1．已知()83a x +的展开式中3x 的系数是()91+ax 展开式中倒数第四项的系数的2倍，求 ,,,,32n a a a a 前n 项的和．2．41()n x的展开式中第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，则展开式中常数项．。
《二项式定理》第二课时参考课件
3.﹙x-y﹚10展开式中，系数最大的项是
4 4 T5 C10 x ( y)6 210 x 4 y 6
9/29/2018
。
6 6 T7 C10 x ( y) 4 210 x 6 y 4
m ( 1 a ) 4.在 的二项式展开式中，第5项的系数等于第
2 n 1
C 10 …
C
2 64 3 2 105 5
C
2 3 C3
C
C
3 44
C
C
4 55
4 1 4
C
5 15
C
r 1 n 1
C
r n
r 1 n
r … n 1
C
C
………
n 1 n 1
C
n n
即与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 ；
二项式系数前半部分逐渐增大，后半部分逐渐减小，且 ② 在中间取得最大值； ；
1 1 C 1 2
1 2 C
1
2 1 C 2
3 1 C3
(a+b)4……………… (a+b)5…………… …… (a+b) n-1……
r n
C 1
0 5
1 n 1
1C
1 n
0 4
C 4
1 5
C 5
2 n
1 4
33 C
C
0 n 1
C
C
结论：① C C
0 (a+b) n……C n
C
nr n
C
…
(1 x) (1 x) (1 x)
2
n
的所有二项式的各项系数和是
8 8 7
第13课二项式定理(二)
C
n 2 n
n=5 1 5 10 10 5 1 n=6 1 6 15 20 15 6 1
…………
C
n 1 2 n
与C
n1 2 n
题型五：二项式系数最大问题
f (r )=C ,r {0,1,2, ,n}
r n
f （ r） 35 30
当n为偶数时：
n1 n1 当r 或 时： 2 2
1.3.1 二项式定理（二）
二项式定理：
(a b ) C a C a b C a b
n 0 n n 1 n n -1 2 n n -2 r n n-r r n n
2 n
L C a b L C b
项数：n+1； 二项式系数 次数：n，a降b升
C r 0,1,L n
则a4 =
，a5 =
n
例4、求( x +3x ) 的二项展开式中, 各项的系数和比各二项式系数和大992， 求n的值.
3
2
2 n
4 2 992
n n
(2 32)(2 31) 0
n n
例3、已知(1 3 x) a0 a1 x a2 x a10 x
10 2
10
(1)a1 a2 a3 L a9 a10
r n
r n n r
通项：Tr 1 C a
b
r
2019.03.09
题型四：二项式定理逆用
例1.化简：
0 1 2 (1)C n (x +1)n C n (x +1)n-1 C n (x +1)n-2
r ( 1)r C n (x +1)n-r
高中数学 10.4《二项式定理·第二课时》教案 旧人教版必修
二项式定理(二)●教学目标(一)教学知识点1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和.2.“赋值法”.(二)能力训练要求1.掌握二项式系数的性质，并会简单应用.2.学会用“赋值法”解决与二项式系数有关的问题.(三)德育渗透目标1.提高学生的数学素质.2.树立由一般到特殊的意识.●教学重点1.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.(2)增减性：∵k n C =k k n 1+-1C -k n , ∴当k ＜21+n 时，二项式系数逐渐增大，由对称性知后半部分是逐渐减小的. (3)最大值：当n 为偶数时，中间一项(第2n +1项)的二项式系数最大，最大值为2C n n . 当n 为奇数时，中间两项(第21+n 项和第21+n +1项)的二项式系数相等，且同时取最大值，最大值为21C -n n 或21C +n n. (4)各二项式系数和0C n +1C n +2C n +…+r n C +…+n n C =2n .2.“赋值法”在解题中的运用.●教学难点与二项展开式中系数最大项有关问题的求解.●教学方法发现法●教具准备投影片一X.内容：课本P 107图10-9.●教学过程Ⅰ.复习回顾［师生共同活动］(a +b )n =0C n a n +1C n a n -1b 1+…+r n C a n-r b r +…nn C b n .T r +1=r n C a n-r b r .Ⅱ.讲授新课［师］通项公式中的r n C ，我们称其为二项式系数，(a +b )n 展开式的二项式系数，当n 依不难发现，它有这样的规律：每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.［师］能用我们所学知识解释一下吗？［生］设这一数为r n 1C +,其肩上的数则为1C -r n 和r n C ，由组合数知识可知r n 1C +=1C -r n +r n C . ［师］上表可称为二项式系数表，早在我国南宋数学家1261年所著的《详解九章算术》中就有所记载，又称为杨辉三角.此表将二项式系数的性质表现得淋漓尽致.(打出投影片)［师］下面结合此表，来看一下二项式系数的主要性质.同学们看出哪些性质？ ［生］对称性.即与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.［师］为什么呢？［生］因为m n C =m n n -C .［师］还有什么性质？［生］增减性与最大值.当k ＜21+n 时，二项式系数是逐渐增大的； 当k ＞21+n 时，二项式系数是逐渐减小的. 当n 是偶数时，2C n n 最大；当n 是奇数时,21C -n n ,21C +n n 相等，且最大.［师］上述性质与我们所学二次函数性质有相似之处，因此r n C 可看成是以r 为自变量的函数f (r ),其定义域是{0,1,2,…,n }.［师］可以解释上述性质吗？［生］∵k n C =k k k n n n n ⋅-+---)!1()1()2)(1( =1C -k n ·kk n )1(+-， ∴当k k n 1+-＞1，即k ＜21+n 时,1C C -k nk n ＞1,即k n C ＞1C -k n .当k k n 1+-＜1,即k ＞21+n 时，1C C -k nk n ＜1,即k n C ＜1C -k n . ［师］还有其他性质吗？［生］∵(1+x )n =0C n +1C n x +2C n x 2+…+r n C x r +…+n n C x n ,当x =1时， 2n =0C n +1C n +2C n +…+r n C +…+n n C ，即(a +b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于2n .［师］是否还可发现其他性质呢？［生］在(a +b )n 的展开式中，令a =1,b =-1,则可得0=0C n -1C n +2C n -3C n +…=(0C n +2C n +…)-(1C n +3C n +…)，即0C n +2C n +…=1C n +3C n +….也就是说，在(a +b )n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的和.［师］下面看怎样应用这些性质.［例1］求(1+2x -3x 2)5的展开式中的x 5项的系数.［师］这是一个关于三项式的展开式的问题，而三项式的展开式对于我们来讲，并无现成的公式可用，那么请大家思考一下如何解决？能否与我们刚学的二项式定理产生联系呢？［生甲］我认为可以将(2x -3x 2)看作一项，用二项式定理展开，再考查各项中x 5项的系数，最后通过求和得到所求.［生乙］我也尝试了甲同学的方法，但感觉各项中x 5项的系数有些烦琐.［师］虽然此种解法较繁，但对于大家来说，能够熟悉二项式定理，熟悉二项式的展开式，熟悉二项式的通项的特点，所以，我还是提倡大家采用这种思路尝试下去，加深自己的体会.［生丙］我注意到括号内的(1+2x -3x 2)恰好可以分解因式为(1-x )(1+3x ),故三项式可转化为两个二项式之积，分别展开后考查得到x 5项的多种情形：x 0·x 5,x 1·x 4,x 2·x 3,x 3·x 2,x 4·x 1,x 5·x 0，然后将两个二项展开式的系数对应相乘相加即可.［师］很好，相对于解法一来讲，丙同学的解法就体现了解题方法的灵活性，即通过因式分解将三项式问题转化为二项式问题，其他同学注意体会.解法一：∵(1+2x -3x 2)5=［1+(2x -3x 2)］5=1+5(2x -3x 2)+10(2x -3x 2)2+10(2x -3x 2)3+5(2x -3x 2)4+(2x -3x 2)5=1+5x (2-3x )+10x 2(2-3x )2+10x 3(2-3x )3+5x 4(2-3x )4+x 5(2-3x )5,∴x 5项的系数为上式各项中含x 5项的系数和，即1023C ·21·(-3)2+514C ·23·(-3)1+25=92.解法二：∵(1+2x -3x 2)5=(1-x )5·(1+3x )5=(1-5x +10x 2-10x 3+5x 4-x 5)·(1+15x +90x 2+270x 3+405x 4+243x 5),∴展开式中x 5项的系数为243-5×405+270×10-10×90+5×15-1=92.［例2］求(1+x )3+(1+x )4+…+(1+x )16的展开式中x 3项的系数.［师］请大家审读题目后，考虑如何获得含x 3项的系数.［生甲］我认为可以求出每一项中含x 3项的系数，并注意发现其变化规律，依次为33C ,34C ,35C ,…,316C ，但是,33C ,34C ,…,316C 各项之和的求解较为复杂. ［师］甲同学的思路完全正确，大家可以一起考虑一下，看能否将甲同学的困惑解决呢？ ［生丁］可以用我们前面所学的组合数性质，将33C +34C =44C +34C =45C ，再将45C +35C =46C ，以此类推，达到求和的目的.［师］很好，乙同学求和的关键是将首项33C 变为44C ，然后多次应用组合数的性质达到化简求和的目的，此解法能使我们得到一个启示，用式子表达，即kk C +k k 1C ++k k 2C ++…+k n C =11C ++k n ，大家在以后碰到相关题目时，可以尝试使用. ［师］下面大家继续思考，看能否想出其他的解决办法.［生戊］我认为，可以将原式化简后再求x 3项的系数，具体做法是：把(1+x )3+(1+x )4+…+(1+x )16看作首项为(1+x )3,公比为(1+x )(当x ≠-1时)，项数为14的等比数列的前n 项和，由等比数列前n 项和公式求和可得原式=xx x 317)1()1(+-+,从上式可以看出只有(1+x )17展开式中含x 4的项与x 相除可得含x 3项，所以只需考查(1+x )17的展开式中含x 4的系数即可.［生己］戊同学在叙述过程中提到x ≠-1时，(1+x )3+(1+x )4+…+(1+x )16可以看作等比数列前n 项和，那么当x =-1时又如何解释呢？［生庚］我认为，由于此题的目的是求x 3项的系数，其中x 是任意的变量，而当x ≠-1时，求出的系数不失一般性，故不必考虑x =-1的情形.［师］大家说得很好.同学们由此题联系到我们所学的数列求和方法，将表面的14个二项式问题转化为一个二项式问题，达到了化繁为简，化不熟悉为熟悉的目的，与第一种解法有异曲同工之妙.［师］下面请大家写出完整的解答过程.解法一：由题意(1+x )3,(1+x )4,…,(1+x )16的展开式中x 3项的系数依次为33C ,34C ，…，316C ，∴所求展开式中含x 3的项的系数为33C +34C +35C +...+316C =(44C +34C )+35C + (316)=(45C +35C )+…+316C =46C +…+316C =…=416C +316C =417C .又417C =2380,∴所求展开式中含x 3的系数为2380.解法二：当x ≠-1时，(1+x )3+(1+x )4+…+(1+x )16可以看作是首项为(1+x )3,公比为(1+x ),项数为14的等比数列的前n 项和，由等比数列前n 项和的求和公式可得 原式=[]1)1(1)1()1(143-+-++x x x =xx x 317)1()1(+-+. 显然只有(1+x )17展开式中x 4项与分母x 相除可得x 3项，∴含x 3项的系数为417C =2380.Ⅲ.课堂练习(学生练习，老师讲评)课本P 109练习1～3.1.(1)1016C =1015C +915C =515C +915C =a +b ;(2)49C =126;(3)111C +311C +…+1111C =210=1024; (4)原式=21221=+n n . 2.证明：∵0C n +1C n +2C n +…+k n C +…+nn C =2n ,C n +2C n +…=1C n +3C n +…, ∴0C n +1C n +2C n +…+k n C +…+n n C =(0C n +2C n +…)+(1C n +3C n +…)=2(0C n +2C n +…)=2n . ∴0C n +2C n +…+n nC =22n=2n -1. 评述：注意灵活利用二项式系数性质.Ⅳ.课时小结通过本节学习，需掌握二项式系数的三大性质：即对称性、增减性和最大值，及二项式系数之和.Ⅴ.课后作业(一)课本P 109习题10.4 4、5.(二)预习提纲如何利用二项式定理、通项公式及二项式系数性质解决相关问题？●板书设计。
高中数学同步教学课件 二项式定理 (2)
知识梳理
注意点： (1)每一项中a与b的指数和为n. (2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依 次增加1，到n为止. (3)a与b的位置不能交换.
例1
(1)求3
x＋
1
4
x
的展开式.
方法一
3
x＋
1
4
x
＝C04(3
x)4＋C14(3
x)3 1x＋C24(3
x)2
1234
五
课时对点练
基础巩固
1.(x＋2)n的展开式共有16项，则n等于
A.17
B.16
√C.15
D.14
∵(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有16项，∴n＝15.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.若(1－2x)n的展开式中x3的系数为－160，则正整数n的值为
√A.32
B.－32
C.1 024
D.512
a10－2C110a9＋22C210a8－…＋210＝(a－2)10， 当 a＝2－ 2时，(a－2)10＝32.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
6.在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是
A.－5
第六章 §6.3 二项式定理
6.3.1 二项式定理
学习目标
1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
导语
英国科学家艾萨克·牛顿(Isaac Newton,1643－1727)被誉为人类历史上最 伟大的科学家之一.他不仅是一位物理学家、天文学家， 还是一位伟大的数学家.1664年冬，由于瘟疫流行迫使 牛顿从剑桥回到乡下，研读沃利斯博士的《无穷算术》， 牛顿开始了对二项式定理的研究，并最终建立了二项式 定理.那么，牛顿是如何思考的呢？
高二数学 二项式定理2 (2)
变式：求(3 x - 1 )10的展开式 3x
中的x3的系数?
二项式定理的逆用
例 计算并求值
(1) 1 2Cn1 4Cn2 .. 2nCnn
(2) (x 1)5 5(x 1)4 10(x 1)3 10(x 1)2
5(x 1)
逆向应用公式是高中数学的难点,也是重点,只 有熟练掌握公式的正用,才能掌握逆向应用和 变式应用
到的余数还是1吗？ 注 意:余数为正整数！
练习1：证明：9910 1能被100整除
练习2：(2a-2b)8的展开式的第4项 是多少??
变式1：(2a-2b)8的展开式的第4项 的二项式系数是多少?
变式2：(2a-2b)8的展开式的第4项 的系数是多少?
练习3：求(3 x - 1 )10的展开式 3x
C11
0 0
0 0
（7 C1000799 C19090） 1
余数是1， 所以是星期二
探究：
若将 8100 除以9，则得到的余数是多少？
8100 （9 1）100
C100
09100 NhomakorabeaC1 、1 0
099
9
C1r009100（r 1）r
C1909091
C11
0 0
0090
所以余数是1，
思 考 ：若将 8101除以9，则得
3.二项展开式的通项Tr+1= Cnr a nrbr
注意: 作用：求任一项；求某一项系数 关键：明确r
针对(a+b)n的 标准形式而言
问题探究:
(3)今天是星期一，那么 8100 天后
的这一天是星期几？
8100 （7 1）100
C10007100 C1100799 C1r007100r
2020-2021学年人教A版选修2-3 二项式定理(第二课时) 课件
故 k 可取 1,3,5,7,9.
1．求二项展开式的特定项的常见题型 (1)求第 k 项，Tk＝Ckn－1an－k＋1bk－1. (2)求含 xk 的项(或 xpyq 的项)． (3)求常数项．
(4)求有理项．
2．求二项展开式的特定项的常用方法 (1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为 0(即 0 次项)． (2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类 问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性 来求解． (3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与 求有理项一致．
合 作探 究释 疑 难 课 堂 达 标 练 经典
跟踪训练
（1）(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1=____
（2）求二项式(2x－21x)6 的展开式中的常数项.
（3）在(x＋4 3y)20 的展开式中，系数为有理数的项共有 项 （4）今天是星期一，请问 8100 天后是星期几呢？
则 Tr＋1＝Cr9(
x)9－r
－2 x
r
9－3r
＝(－2)rCr9x 2 ，
所以9－3r＝3，r＝1， 2
所以第二项为含 x3 的项：T2＝－2C19x3＝－18x3.
二项式系数为 C19＝9
系数为－18
1．(变式)在本例条件不变的情况下，求二项展开式的常数项．
9－3k
[解] 通项公式为：Tk＋1＝(－2)kCk9x 2 .
解：(1)原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2＋ C45(x－1)＋C55－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
人教A版高中数学选修二项式定理教案第二课时
《二项式定理(一)》教案教材：人教A 版选修2-3第一章第三节一、教学目标1.知识与技能：(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广.(2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理.2.过程与方法：通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．3. 情感、态度与价值观：培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．二、教学重点、难点重点：用计数原理分析3)(b a +的展开式，得到二项式定理．难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.三、教学过程（一）提出问题，引入课题引入：二项式定理研究的是n b a )(+的展开式，如：2222)(b ab a b a ++=+，?)(3=+b a ?)(4=+b a ?)(100=+b a 那么n b a )(+的展开式是什么？【设计意图】把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题.（二）引导探究，发现规律1、多项式乘法的再认识．问题1. ))((2121b b a a ++的展开式是什么？展开式有几项？每一项是怎样构成的？ 问题2. ))()((212121c c b b a a +++展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？【设计意图】引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后续学习作准备.2、3)(b a +展开式的再认识探究1：不运算3)(b a +，能否回答下列问题（请以两人为一小组进行讨论）：(1) 合并同类项之前展开式有多少项？(2) 展开式中有哪些不同的项？(3) 各项的系数为多少？(4) 从上述三个问题，你能否得出3)(b a +的展开式？探究2：仿照上述过程，请你推导4)(b a +的展开式.【设计意图】通过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对3)(b a +的展开式进行再思考，分析各项的形式、项的个数，这也为推导n b a )(+的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．(三) 形成定理，说理证明探究3：仿照上述过程，请你推导n b a )(+的展开式．)()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n ∈+++++=+--ΛΛ——— 二项式定理证明：n b a )(+是n 个)(b a +相乘，每个)(b a +在相乘时，有两种选择，选a 或选b ，由分步计数原理可知展开式共有n 2项（包括同类项），其中每一项都是k k n b a -),1,0(n k Λ=的形式，对于每一项k kn b a-，它是由k 个)(b a +选了b ，n －k 个)(b a +选了a 得到的，它出现的次数相当于从n 个)(b a +中取k 个b 的组合数k n C ，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理． 【设计意图】通过仿照3)(b a +、4)(b a +展开式的探究方法，由学生类比得出n b a )(+的展开式．二项式定理的证明采用“说理”的方法，从计数原理的角度对展开过程进行分析，概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的展开式．(四) 熟悉定理，简单应用二项式定理的公式特征：（由学生归纳，让学生熟悉公式）1. 项数：共有+n １项.2. 次数：字母a 按降幂排列，次数由n 递减到0；字母b 按升幂排列，次数由0递增到n ．各项的次数都等于n ．3. 二项式系数: 依次为n n k n n n n C C C C C ,,,,,,210ΛΛ，这里),,1,0(n k C k n ⋅⋅⋅=称为二项式系数.4. 二项展开式的通项: 式中的k k n k n b aC -叫做二项展开式的通项. 用1+k T 表示. 即通项为展开式的第+k １项: 1+k T =k k n k n b a C - 变一变 （1）n b a )(- （2）n x )1(+例. 求6)12(xx -的展开式. 思考1：展开式的第３项的系数是多少？思考2：展开式的第３项的二项式系数是多少？思考3：你能否直接求出展开式的第３项？【设计意图】熟悉二项展开式，培养学生的运算能力．(五) 课堂小结，课后作业小结（由学生归纳本课学习的内容及体现的数学思想）1. 公式： )()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n ∈+++++=+--ΛΛ2. 思想方法：1.从特殊到一般的思维方式. 2.用计数原理分析二项式的展开过程. 作业巩固型作业：课本36页习题1.3 A 组 1、2、3思维拓展型作业：二项式系数n n k n n n n C C C C C ,,,,,,210ΛΛ有何性质．教案设计说明二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题――探究”的教学模式， 把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后面二项展开式的推导作铺垫．再以3)(b a +为对象进行探究，引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导n b a )(+的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯．。
高中数学必修系列10.4《二项式定理第二课时》教案旧人教版
二项式定理 ( 二)●教课目 (一 )教课知 点1.二 式系数的性 ： 称性，增减性与最大 ，各二 式系数的和 .2.“ 法” . (二 )能力 要求1.掌握二 式系数的性 ，并会 用.2.学会用“ 法”解决与二 式系数有关的 .(三 )德育浸透目 1.提升学生的数学素 .2. 立由一般到特别的意 .●教课要点1.二 式系数的性(1) 称性：与首末两头“等距离”的两个二 式系数相等 .(2)增减性：∵ C n k =n k1C n k 1 ,k∴当 k ＜n1，二 式系数逐 增大，由 称性知后半部分是逐 减小的.2nn)的二 式系数最大，最大C n 2.(3)最大 ：当 n 偶数 ，中 一 (第 +12当 n 奇数 ，中 两(第n1和第n1+1 )的二 式系数相等，且同 取最大22n1n 1，最大 C n2或 C n2 .(4)各二 式系数和C 0n + C 1n + C n 2 +⋯ + C n r +⋯ + C n n =2 n .2.“ 法”在解 中的运用 .●教课 点与二 睁开式中系数最大 有关 的求解 .●教课方法 法●教具准 投电影一 . 内容： 本 P 10710-9.●教课 程Ⅰ .复 回［ 生共同活 ］(a+b)n = C 0n a n + C 1n a n-1b 1+⋯ + C r n a n-r b r +⋯ C n n b n .T r +1= C r n a n-r b r .Ⅱ. 授新［ ］通 公式中的C n r ，我 称其 二 式系数，(a+b)n 睁开式的二 式系数，当n 依次取 1，2， 3，⋯ ，以下表所示：(a+b)1 1 1 (a+b)2 1 2 1 (a+b)3 1 3 3 1 (a+b)4 14641 (a+b)51 5 101051(a+b)6 1615201561⋯⋯⋯⋯不 ，它有 的 律：每行两头都是1，并且除 1 之外的每一个数都等于它肩上两个数的和 .［ ］能用我 所学知 解 一下 ？［生］ 一数 C n r1 ,其肩上的数C n r 1 和 C n r ，由 合数知 可知 C n r1 = C nr 1+C n r .［ ］上表可称 二 式系数表，早在我国南宋数学家1261 年所著的《 解九章算 》中就有所 ，又称 三角.此表将二 式系数的性 表 得酣畅淋漓.(打出投电影 )［ ］下边 合此表，来看一下二 式系数的主要性.同学 看出哪些性 ？［生］ 称性 .即与首末两头“等距离”的两个二 式系数相等 .［ ］ 什么呢？［生］因 C m n = C n n m . ［ ］ 有什么性 ？［生］增减性与最大 .当 k ＜n1 ，二 式系数是逐 增大的；2当 k ＞n1 ，二 式系数是逐 减小的 .2n当 n 是偶数 ，C n 2 最大；n 1n 1当 n 是奇数 , C n2 ,C n 2 相等，且最大 .［ ］上述性 与我 所学二次函数性 有相像之 ，所以C n r 可当作是以 r 自 量的函数 f(r), 其定 域是 {0,1,2, ⋯ ,n}.［ ］能够解 上述性 ？［生］∵ C n k=n( n1)( n 2) ( n k 1) = C n k 1 · (nk1) ，( k 1)! kk∴当n k 1＞ 1，即 k ＜n1,C n k＞1,即 C n k ＞ C n k 1 .k2C n k1当 n k 1＜ 1,即 k＞n1 ，Cnk＜ 1,即C n k＜ C n k 1.k2C n k1［］有其余性？［生］∵ (1+x)n= C0n + C1n x+ C2n x2+⋯ + C r n x r +⋯ + C n n x n,当 x=1 ， 2n= C0n + C1n + C2n +⋯ + C r n +⋯ + C n n，即( a+b)n的睁开式的各个二式系数的和等于2n.［］能否可其余性呢？［生］在 (a+b)n的睁开式中，令 a=1,b=-1, 可得0= C0n - C1n + C2n - C3n +⋯=( C0n + C2n +⋯ )-( C1n + C3n +⋯ )，即 C n0+ C n2+⋯= C1n+ C3n+⋯.也就是，在 (a+b)n的睁开式中，奇数的二式系数的和等于偶数的和.［］下边看怎用些性 .［例 1］求 (1+2x-3x2)5的睁开式中的x5的系数 .［］是一个对于三式的睁开式的，而三式的睁开式于我来，并没有成的公式可用，那么大家思虑一下怎样解决？可否与我学的二式定理生系呢？［生甲］我能够将(2x-3x2 )看作一，用二式定理睁开，再考各中x5的系数，最后通乞降获得所求 .［生乙］我也了甲同学的方法，但感各中x5的系数有些 .［］然此种解法繁，但于大家来，能熟习二式定理，熟习二式的睁开式，熟习二式的通的特色，所以，我是倡导大家采纳种思路下去，加深自己的领会 .［生丙］我注意到括号内的(1+2x-3x2) 恰巧能够分解因式 (1- x)(1+3 x),故三式可化两个二式之，分睁开后考获得x5的多种情况： x0·x5,x1·x4 ,x2·x3,x3·x2,x4·x1,x5·x0，而后将两个二睁开式的系数相乘相加即可.［］很好，相于解法一来，丙同学的解法就体认识方法的灵巧性，即通因式分解将三式化二式，其余同学注意领会.解法一：∵ (1+2x-3x2)5=［ 1+(2x-3x2)］5=1+5(2x-3x2)+10(2 x-3x2)2+10(2x-3x2)3+5(2x-3x2) 4+(2 x-3x2) 5=1+5x(2-3x)+10 x2(2-3x)2+10x3(2-3x)3 +5x4(2-3x)4+x5(2-3x)5,∴x5的系数上式各中含x5的系数和，即10 C23· 21· (-3)2+5 C14·23·(-3) 1+25=92.解法二：∵ (1+2x-3x2)5=(1- x)5· (1+3x)5=(1-5x+10x2-10x3+5x4-x5 )·(1+15 x+90x2+270x3+405 x4+243x5 ),∴睁开式中x5的系数243-5× 405+270× 10-10 × 90+5× 15-1=92.［例 2］求 (1+x)3+(1+ x)4+⋯ +(1+ x)16的睁开式中x3的系数 .［］大家目后，考怎样得含x3的系数 .［生甲］我能够求出每一中含x3的系数，并注意其化律，挨次C33, C43 , C53,⋯ ,C163，可是 , C33,C43 ,⋯, C163各之和的求解复 .［］甲同学的思路完好正确，大家能够一同考一下，看可否将甲同学的疑惑解决呢？［生丁］能够用我前面所学的合数性，将 C33+ C43= C44 + C43 = C54，再将C54 + C53= C64，以此推，达到乞降的目的.［］很好，乙同学乞降的关是将首C33C 44，而后多次用合数的性达到化乞降的目的，此解法能使我获得一个启迪，用式子表达，即C k k+ C k k1 + C k k2 +⋯ + C n k = C n k11，大家在此后遇到有关目，能够使用.［］下边大家思虑，看可否想出其余的解决法.［生戊］我，能够将原式化后再求x3的系数，详细做法是：把(1+ x)3+(1+ x)4+⋯+(1+ x)16看作首(1+x)3,公比 (1+ x)(当 x≠ -1)，数14 的等比数列的前 n 和，由等比数列前 n 和公式乞降可得原式= (1x)17(1 x) 3,从上式能够看出只有(1+ x)17睁开式中x含 x4的与 x 相除可得含 x3，所以只要考(1+ x)17的睁开式中含 x4的系数即可 .［生己］戊同学在表达程中提到x≠-1 ， (1+x)3+(1+ x)4+⋯ +(1+ x)16能够看作等比数列前 n 和，那么当x=-1 又怎样解呢？［生庚］我，因为此的目的是求x3的系数，此中 x 是随意的量，而当x≠ -1，求出的系数不失一般性，故不用考x=-1的情况 .［］大家得很好 .同学由此系到我所学的数列乞降方法，将表面的 14个二式化一个二式，达到了化繁，化不熟习熟习的目的，与第一种解法有异曲同工之妙 .［］下边大家写出完好的解答程.解法一：由意(1+ x)3,(1+x) 4,⋯ ,(1+x)16的睁开式中 x3的系数挨次C 33,C43，⋯，C163，∴所求睁开式中含x3的的系数C33+ C34+ C35+⋯+ C163=( C44+ C34)+ C53+⋯+ C163=( C45 + C35)+⋯ + C163 = C46 +⋯ + C163 =⋯ = C164 + C163 = C174 .又 C174=2380,∴所求睁开式中含x3的系数 2380.解法二：当 x≠ -1， (1+ x)3+(1+ x)4+⋯+(1+ x)16能够看作是首(1+x)3,公比 (1+ x),数14 的等比数列的前n 和，由等比数列前n 和的乞降公式可得原式= (1 x) 3(1x)141= (1 x)17(1 x)3.(1x) 1x然只有 (1+x)17睁开式中 x4与分母 x 相除可得 x3，∴含 x3的系数C174=2380.Ⅲ.堂(学生，老)本 P1091～3.1.(1) C1016 = C1015 + C915 = C515 + C159 =a+b;(2)C49=126;(3)C111+ C113+⋯+ C1111=210=1024;2n1(4)原式 = n 1.222.明：∵C0n + C1n + C2n +⋯ + C k n +⋯ + C n n =2 n,C 0n+ C 2n+⋯= C1n+ C 3n+⋯,∴C 0n+ C1n+ C 2n+⋯+ C k n+⋯+ C n n=( C 0n+ C 2n+⋯)+( C1n+ C 3n+⋯) =2( C n0+ C n2+⋯ )=2n.∴ C n0+ C n2+⋯+ C n n=2n=2n-1. 2述：注意灵巧利用二式系数性.Ⅳ.小通本学，需掌握二式系数的三大性：即称性、增减性和最大，及二式系数之和 .Ⅴ.后作(一 )本 P1094、 5.(二 )提怎样利用二式定理、通公式及二式系数性解决有关？●板二式定理(二 )二式系数性① 称性②增减性及最大③二式系数之和例解。
高中数学二项式定理 (2)公开课精品PPT课件
3．二项式系数的和为2n，即Cn0＋Cn1＋…＋Cnk＋…＋Cnn＝ 2n．
4．奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的 和，即Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝Cn1＋Cn3＋Cn5＋…＝2n－1．
二项式系数的性质
1．Cn＋1r＝Cnr＋Cnr－1. 2．对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等．
例4 (1－ x)6(1＋ x)4的展开式中x的系数是( )
A．－4
B．－3
C．3
D．4
【解析】 方法一：(1－ x )6的展开式的通项为C6m(－ x )m＝
m
n
C6m(－1)mx 2 ，(1＋ x)4的展开式的通项为C4n( x)n＝C4nx2，其中m
＝0，1，2，…，6，n＝0，1，2，3，4.
【解析】 (1)展开式中，二项式系数和为210＝1 024. (2)令x＝1，y＝1，各项系数和为(2－3)10＝1. (3)(2x－3y)10＝C100(2x)10＋C101(2x)9(－3y)1＋…＋C10k(2x)10－ k(－3y)k＋…＋C1010(－3y)10， 奇数项的二项式系数和为C100＋C102＋C104＋C106＋C108＋ C1010＝29， 偶数项的二项式系数和为C101＋C103＋C105＋C107＋C109＝29.
＝321x5(x＋ 2)10.
求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋ 2)10的展开式中含
x5项的系数，即C105·( 2)5.
所以所求的常数项为C105·3（2
2）5＝632
2 .
方法二：要得到常数项，可以对5个括号中的选取情况进行
分类：
①5个括号中都选取常数项，这样得到的常数项为( 2)5.
探究1 (1)求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选 择则需根据所求的展开式系数和特征来赋值．
《二项式定理》2(课件)
C
1 4
C
2 4
C
3 4
C
4 4
(a
b)5
C
0 5
C51
C52
C
3 5
C
4 5
C55
(a
b)6
C60
C
1 6
C62
C63
C
4 6
C65
C
6 6
(a b)n
C
0 n
C
1 n
C
2 n
C
r n
C
n n
11 121 1 3 31 14 6 41 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书 里就已经出现了，这个表称为杨辉三角. 在 书中，还说明了表里“一”以外的每一个 数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这
个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数
学家贾宪(约公元11世纪)已经用过它. 这表 明我国发现这个表不晚于11世纪. 在欧洲， 这个表被认为是法国数学家帕斯卡(1623－ 1662)首先发现的，他们把这个表叫做帕斯 卡三角. 这就是说，杨辉三角的发现要比欧 洲早五百年左右，由此可见我国古代数学
二项式定理(二)
课题引入
(a b)1 C10 C11(ab)2C0 2C
1 2
C
2 2
(a
b)3
C
0 3
C
1 3
C
2 3
C
3 3
(a
b)4
C
0 4
C
1 4
C
2 4
C
3 4
C
4 4
(a
b)5
C
0 5
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
巩固练习:
1.若（2x 3)4 a0 a1 x a2 x2 a3 x3 a4 x4 ,
1 则（a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 的值是____.
2.求二项式 (3 3 1 )7 的展开式中的有理项. 105
2
4
3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数 330
)9r
(
x
1 3
)
r
(1)r
C9r
x
27r 6
令 27 r Z即4 3 r Z (r 0,1 9)
6
6
r 3或r 9
r 3
27 r 4 6
T4 (1)3C93x4 84x4
r 9
27 r 3 6
T10 (1)9 C99 x3 x3
原式的有理项为: T4 84x4 T10 x3
[( x 1) 1]4
x4
练习：
化(简1)： 1 2Cn1 4Cn2 2n Cnn
原式 Cn01n Cn11n12 Cn21n222
(1 2)n 3n
Cnn 2n
二、求特定项
有理项即
例2. 求
9
x 3 x 展开式中的有理项。 整数次幂项
解:
Tr 1
C9r
(
x
1 2
计数原理
二项式定理(2)
复习回顾
1.二项式定理：
(a b)n Cn0an Cn1an1b
C
r n
a
n
r
br
Cnnbn
2.通项公式： Tk 1
C
k n
a
n
k
b
k
第(k+1)项
3.二项式系数：
C
r n
注:项的系数与二项式系数是两个不同的概念
4.特殊地：（1
x）n
1
C
1 n
x
Cn2 x 2
Cnr xr
注意：对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通项之积比较方便。
三 、 赋值法的应用
例5、已知(1-2x)7=a0+ a1x + a2x2 + …+ a7x7 ,则
(1)a1+a2+a3+…+a7=___-__2__
(2)a1+a3+a5+a7
=_____1__3_7_
2
(3)a0+a2+a4+a6 =____1__3_7__
解: (
x 1)6 的通项是 C6r (
x )6r
C x r
6r 2
6
(2x 1)5 的通项是 C5s (2x)5s (1)s C5s (1)s 25s x5s
( x 1)6 (2x 1)5 的通项是
C C (1) 2 x s r 56
s
5s
16r 2 s 2
(
x 1)6 (2x 1)5
4.求(x ＋2)10 （x 2－1）展开式中含 x 10 项的系数为＿1＿7＿9 ＿.
5.若( x + 1 )n = x n +…+ ax3 + bx2 +…+1(n∈N*)， 且 a : b=3 : 1 ，
那么 n =_1_1___
92
92
所以 9192除以100的余数是81
例7. (2)求0.9986的近似值，使误差小于0.001.
(2)0.9986＝(1－0.002)6 ＝1＋C16(－0.002)＋C26(－0.002)2＋…＋C66(－0.002)6. ∵T3＝C26(－0.002)2＝15×0.0022＝0.00006<0.001，且第 3 项以后的项的绝对值都远小于 0.001， ∴从第 3 项起，以后的项都可以忽略不计， ∴0.9986＝(1－0.002)6≈1－6×0.002＝0.988.
x的偶次幂的所有项的系 数之和为： a0 a2 a4 .... a10
令x 1, 0 a0 a1 a2 .... a11 令x 1, (2)11 a0 a1 a2 a3 .... a11 两式相加， 211 2(a0 a2 a4 .... a10 )
a0 a2 a4 .... a10 210
四 、 二项式定理的实际应用
例7. (1) 9192除以100的余数是＿＿8＿1 ＿＿
(2)求0.9986的近似值，使误差小于0.001.
分析： 9192 (90 1)92
C902 9092 C912 9091
C 91 92
90
C 92 92
由此可见，除最后两项外均能被100整除
C9190 C92 8281 82 100 81
2
练习:
若已知(1+2x)100= a0+ a1(x-1) + a2(x-1)2 + …+ a100(x-1)100
求a1+a3+a5+a7+…+a99 的值。 5100 1 2
三 、 赋值法的应用 例6. 在(x-1)11的展开式中，x的偶次幂的所有项的系数的和为_-_1_0_2_4_ .
解： 设(x 1)11 a0 a1x a2 x2 .... a11x11
Cnn x n
令以x=1得
C
0 n
C
1 nCLeabharlann 2 nCn n
(1 1)n
2n
运用二项式定理可以在头脑里迅速地展开一些式子,从而能解决一些问 题.这节课我们来做一些练习.
一、二项式定理的逆用
例1、化简: (x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1.
原式 C40 ( x 1)4 C41( x 1)3 C42 ( x 1)2 C43 ( x 1) C44
的通项是
C C (1) 2 x s r 56
s
5s
16r 2 s 2
由题意知
16r 2 s 2
6
r 2s 4 (r 0 6, s 0 5)
r 0 r 2 解得 s 2 s 1
所以 x6 的系数为:
r 4 s 0
640 C52C60 (1)2 23 C51C62 (1)24 C50C64 (1)0 25
二、求特定项
例3、求 (1 x)6 (1 x)4的展开式中 x3的系数。 8
解法二： 1 C43 C61(1)1C42 C62 (1)2 C41 C63 (1)3 1
练习： (1 x)3(1 2x)的展开式中含 x3项的系数为 __-_5___
例4:求 ( x 1)6 (2x 1)5 的展开式中 x6项的系数.