10.3二项式定理及其应用

二项式定理及其应用
一、高考要求
（1）掌握二项式定理及二项式系数的性质；会求展开式中的特定项。

（2）掌握二项式定理的简单应用，包括：近似计算；求系数；证明整除性问题；证明等式、不等式等。

二、考向指南
常见考题：
（1）求展开式的某一项或适合某种条件的特殊项；
（2）求展开式各项系数的和；
（3）取二项展开式的前几项进行近似计算。

应对策略：
牢固掌握二项展开式及其通项公式的结构与特征和二项式系数的特征。

三、典型例题
（一）二项式定理及其通项公式
例1：已知41
()2n x x -的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列。

（1）求n;
(2) 求展开式中T 3的系数与二项式系数；
（3）证明展开式中没有常数项；
（4）求展开式中所有有理项；
（5）求二项式系数最大的项；
（6）求系数最大的项；
（7）求展开式中的系数和及二项式系数和；
（8）求系数绝对值最大的项。

例2：（求某一项的系数问题）
（1）（1+x ）(2+x) (3+x)…(10+x) 展开式中x 9的系数；
（2）45(1)(1)x x +-展开式中x 4的系数；
（3）26(123)x x +-展开式中x 5的系数； (4) 求3415(
1)(1)(1)x x x ++++++的展开式中x 3
的系数；
（5）（x+2y+3z ）7的展开式中x 4y 2z 的系数。

例3（求系数和问题）
1.已知：（1-2x ）7=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 7x 7
求：(1)a 1+a 2+…+a 7= ;
(2) a 1+a 3+…+a 7= ;
(3)| a 1|+|a 2|+…+|a 7|= ;
2.已知：x 9=a 0+a 1(x+2)+a 2(x+2)2+…+a 9(x+2)9.
求：(1)a 0+ a 1+a 2+…+a 9= ;
(2)a 2.
(二)二项式定理的应用
1．求近似值
例5．求1.9975的近似值（精确到0.0001）。

练习4：
（1）某公司的股票今天的指数是2，以后每天的指数都比上一天的指数增长0.02%，则100天后这家公司的股票指数约为 （精确到0.001）。

（2）P312：例4。

2.求余数，证明整除性问题
例6．（1）求证：32n+2-8n-9能被64整除；
（2）今天是星期四，再过260天后的第一天是星期几？
题后反思：
幂指数含n 的整除性问题，通常是将底数适当拆成2个数的和，利用二项式定理展开，然后说明各项是否能被整除。

3．证明等式与不等式
例7．（1）求和：12122n n n n n C C C -++
（2）求证： 0123234(1)(1)0n n n n n n n C C C C n C -+-+
-+=
例8：（1）已知n ∈N*,x>-1,
求证：2320n n n n n C C x C x -+++>。

（2）设a>1,n ∈N,且n ≥2,求证：11n a a n
--<。

题后反思：
利用二项展开式定理证题时，只要适当的展开，取必要的几项即可。

四.作业：
P310：9，11
P312：10，11。