勤学早2016年九年级数学(上)第24章《圆》专题一点通(一)圆中的证明与计算(word版有答案)

勤学早九年级数学（上）第24章《圆》专题一点通（一）

圆中的证明与计算

1．如图，AB是⊙O的直径，直线点F、C是⊙O上两点，且弧BC＝弧FC，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D

(1) 求证：CD是⊙O的切线

(2) 若CD＝2，弧AF＝弧FC，求⊙O的半径

2．如图，P A、PB分别与⊙O相切于点A、B，OC∥AP交PB于C

(1) 求证：AP＝OC＋BC

(2) 若⊙O的半径为4，P A＝8，求BC的长

3．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP、CP

(1) 求△OPC的最大面积

(2) 求∠OCP的最大度数

(3) 如图2，延长PO交⊙O于点D，连接DB．当CP＝DB时，求证：CP是⊙O的切线

4．已知AB 是半圆O 的直径，点C 是半圆O 上的动点，点D 是AB 延长线上的动点，在运动过程中，保持CD ＝OA

(1) 当直线CD 与半圆O 相切时（如图1），求∠ODC 的度数

(2) 当直线CD 与半圆O 相交时（如图2），设另一交点为E ，连接AE ，AE ∥OC

① AE 与OD 的大小有什么关系？为什么？

② 求∠ODC 的度数

5．已知四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，以AB 为直径的⊙O 与边CD 相切于点E

(1) 如图1，求证：∠ADC ＝2∠CBE

(2) 如图2，若OD ＝6，OC ＝8，求⊙O 的半径

6．已知直线AB 与⊙O 相切于点A ，弦CD ∥AB

(1) 如图1，求证：AC ＝AD

(2) 如图2，E 、F 为⊙O 上两点，且∠CDE ＝∠ADF ．若⊙O 的半径为2

5，CD ＝4，求EF 的长

勤学早九年级数学（上）第24章《圆》专题一点通（二）

圆中的数形结合

1．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－x －5交x 轴于点A ，交y 轴于点B ．如图1，过A 、O 、B 作⊙O 1

(1) 求圆心O 1的坐标

(2) 如图2，点P 是劣弧OB 上一点，连接P A 、PO 、PB ．当点P 在劣弧OB 上（端点除外）运动时，求PO

PB PA -的值 (3) 如图3，线段OB 绕点O 逆时针方向旋转30°到OC ，过A 、O 、C 三点作⊙O 2，点P 是劣弧AO 上一点，连接P A 、PO 、PC ．当点P 在劣弧AO 上（端点除外）运动时，则

PO

PA PC -的值是否发生变化？如果不变化，求其值；如果变化，说明理由

2．如图，已知A ，B 两点的坐标分别为A (32，0)，B (0，2)，点P 是△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP ＝45°

(1) 如图1，求点P 的坐标

(2) 如图2，点Q 是弧AP 上一动点，（不与A 、P 重合），连PQ 、AQ 、BQ ，求PQ

AQ BQ -的值 (3) 如图3，连BP 、AP ，在PB 上任取一点E ，连AE ．将线段AE 绕A 点顺时针旋转90°到AF ，连BF ，交AP 于点G ．当E 在线段BP 上运动时，（不与B 、P 重合），求PG

BE 的值

3．已知在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为2，⊙O 交坐标轴于A 、B 、C 、D 四点

(1) 如图1，点F 是弧BC 的中点，连接FO ，并延长交⊙O 于E ，连接F A 、FD ，求证：FE 平分∠AFD

(1) 知图2，点P 是弧AD 上任意一点（不含A 、D ），连接PC ，过A 作AQ ⊥CP 于Q ，连接OQ 、AP ，求∠OQC 的度数

(3) 如图3，点M 是弧AC 上一动点，连接MA 、MC 、MB 、MD ，求MB MA MC MD ∙-2

2的值

勤学早九年级数学（上）第24章《圆》专题一点通（一）

圆中的证明与计算参考答案

1．证明：(1) 连接OC

∵OA ＝OC

∴∠OAC ＝∠OCA

∵弧BC ＝弧FC

∴∠CAF ＝∠CAB

∴∠F AC ＝∠OCA

∴OC ∥AD

∵CD ⊥AF

∴OC ⊥CD

∴CD 是⊙O 的切线

(2) ∵弧AF 弧FC

∴∠F AC ＝∠BAC ＝30°

∴∠OAC ＝∠OCA ＝30°，∠AOC ＝120°

在Rt △ACD 中，AC ＝4，OA ＝

3

34 即⊙O 的半径为334 2．证明：(1) 连接OA 、OB

∵P A 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B

∴OA ⊥P A ，OB ⊥PB

过点C 作CD ⊥AP 于D

∴四边形OADC 为矩形

∴OA ＝CD ＝OB

∵OC ∥AP

∴∠OCB ＝∠CPD

在△OCB 和△CPD 中

⎪⎩

⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠CPD OCB CD

OB CDP OBC ∴△OCB ≌△CPD （ASA ）

∴BC ＝PD

∴AP ＝AD ＋DP ＝OC ＋BC

(2) 由(1)可知，OC ＝PC

设AD ＝OC ＝PC ＝x ，则PD ＝8－x

在Rt △CDP 中，42＋(8－x )2＝x 2，解得x ＝5

∴BC ＝8－5＝3

3．解：(1) 当OP ⊥OC 时，S △OPC 有最大值为4

(2) 当CP 为⊙O 的切线时，∠OCP 有最大值