圆中的基本概念及定理(讲义及答案)

圆中的基本概念及定理（讲义）

课前预习

在小学的时候，我们知道“一中同长”表示的是圆，中心称为，固定的线段长称为，还知道半径为r 的圆的周长为，面积为．

在七年级我们学习了圆的另外一种说法：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆．固定的端点O 称为圆心，线段OA 称为半径．

B

一条弧AB 和经过这条弧的两条半径OA，OB 所组成的图形叫做扇形．

顶点在圆心的角叫做圆心角．

知识点睛

1.在一个平面内，线段O A 绕它固定的一个端点O旋转一周，另

一个端点A所形成的图形叫做．其固定的端点O 叫做，线段O A 叫做．以点O 为圆心的圆，记作，读作“圆O”．

2.圆中概念：

弧：，弧包括和；

弦：；

圆周角：；

圆心角：；

弦心距：；

等圆：；

等弧：．

3.圆的对称性：

圆是轴对称图形，其对称轴是；

圆是中心对称图形，其对称中心为．4.圆中基本定理：

*（1）垂径定理：

．推论：

（2）四组量关系定理：在中，如果

中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

（3）圆周角定理：．推论1：．

推论2：，

．推论3：．注：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．圆中处理问题的思路：

①找圆心，连半径，转移边；

②遇弦，作垂线，垂径定理配合勾股定理建等式；

③遇直径，找直角，由直角，找直径；

④由弧找角，由角看弧．

精讲精练

1.如图，AB 是⊙O 的直径，弦C D⊥AB，垂足为M，下列结论不

一定成立的是（）

A．CM=DM B．C B =BD

C．∠ACD=∠ADC D．OM=MB

A

M

O

C

第1题图第2题图2.如图，⊙O 的弦AB 垂直平分半径OC，若AB=

的半径为．，则⊙O

3.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直

径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口A B 的长度为mm．

O

第3题图第4题图

4.如图，圆拱桥桥拱的跨度A B=12 m，桥拱高C D=4 m，则拱桥

的直径为．

5.如图，在⊙O 中，直径CD 垂直于弦AB，垂足为E，连接OB，

CB．已知⊙O 的半径为 2，AB= 2 ，则∠BCD= ．

C

O

E

6.如图，⊙O 的弦CD 与直径AB 相交，若∠BAD=50°，则

∠ACD= ．

D C

D

A O B

O

C A B

第6题图第7题图

7.一个圆形人工湖如图所示，弦AB 是湖上的一座桥，已知桥

AB 长 100 m，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD 为．

8.如图，在半径为3的⊙O 中，直径A B 与弦C D 相交于点E，连

接A C，BD，若A C=3，则∠D= ．

B

A

D

9.如图，∠AOB=100°，点C在⊙O 上，且点C不与A，B 重合，则

∠ACB 的度数为（）

A．50°

B．80°或 50° C

．130°

D．50°或 130°

10.如图，点D为边AC 上一点，点O为边AB 上一点，AD=DO．以

O 为圆心，OD 长为半径作半圆，交AC 于另一点E，交AB 于F，G 两点，连接E F．若∠BAC=22°，则∠EFG= ．

A F O G B

11.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，如果它的一个外角

∠DCE=64°，那么∠BOD 的度数为_．

A

12.如图，⊙O的两条弦A B，CD 互相垂直，垂足为E，且A B=CD，已

知C E=1，ED=3，则⊙O 的半径是．

13.已知⊙O的半径为1，则

AB，CD

【参考答案】

课前预习

圆心；半径；2πr；πr2

知识点睛

1.圆；圆心；半径；⊙O．

2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧；优弧；劣弧；连

接圆上任意两点的线段叫做弦；

顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角；

顶点在圆心的角叫做圆心角；

圆心到弦的距离叫做弦心距；

能够重合的两个圆叫做等圆；

在同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫做等弧

3.任意一条过圆心的直线；圆心．

4.（1）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；平

分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．

（2）同圆或等圆，两个圆心角，两条弧，两条弦，两个弦心距．

（3）圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；

同弧或等弧所对的圆周角相等；

直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

圆内接四边形对角互补．

精讲精练

1. D

2. 2

3. 8

4. 13 m

5. 30°

6. 40°

7. 100 cm

8. 60°

9. D

10. 33°

11. 128°

12.

13. 7 cm 或 17 cm